Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(D) $1$. दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,धारावाही तार द्वारा बिंदु $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ कागज के तल के लंबवत और अंदर की ओर (कागज के भीतर) निर्देशित होता है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान $+Q$ आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = Q(\vec{V} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. यहाँ,वेग $\vec{V}$ धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में (दाईं ओर) है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ अंदर की ओर ($-\hat{k}$ दिशा में) है।
$4$. सदिश गुणनफल $\vec{V} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{V}$ दिशा $\hat{i}$ में है और $\vec{B}$ दिशा $-\hat{k}$ में है,बल की दिशा $\hat{i} \times (-\hat{k}) = -(\hat{i} \times \hat{k}) = -(-\hat{j}) = \hat{j}$ प्राप्त होती है।
$5$. यह धनात्मक $Y$-अक्ष की दिशा के अनुरूप है,जो $OY$ के अनुदिश है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v}$ दक्षिण से उत्तर दिशा में है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर है।
$\vec{v} \times \vec{B}$ के सदिश गुणनफल के लिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$\vec{v} \times \vec{B}$ की दिशा पश्चिम की ओर है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋण आवेश $(q = -e)$ होता है,इसलिए बल $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ की दिशा $\vec{v} \times \vec{B}$ के विपरीत यानी पूर्व की ओर होगी।
अतः,इलेक्ट्रॉन पूर्व दिशा में विक्षेपित होगा।
वैकल्पिक रूप से,ऋण आवेश के लिए फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर,बल पूर्व दिशा में प्राप्त होता है।

(C) जब कोई इलेक्ट्रॉन विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों में गति करता है,तो सीधी रेखा में गति करने के लिए कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए।
यह तब होता है जब विद्युत बल $F_E = qE$ चुंबकीय बल $F_B = qvB$ द्वारा संतुलित हो जाता है।
$F_E = F_B$ रखने पर,हमें $qE = qvB$ प्राप्त होता है।
वेग $v$ के लिए हल करने पर,$v = \frac{E}{B}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $E = 1500\, V/m$ और $B = 0.40\, Wb/m^2$ दिया गया है,इसलिए चाल $v = \frac{1500}{0.40} = 3750\, m/s$ होगी।
इसे वैज्ञानिक संकेतन में $3.75 \times 10^3\, m/s$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(C) जब कोई आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{mv}{qB}$
चूंकि $m$,$q$,और $B$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में एक इलेक्ट्रॉन के लिए स्थिर हैं,इसलिए:
$r \propto v$
अतः,त्रिज्या इलेक्ट्रॉन की गति (चाल) के सीधे आनुपातिक होती है।

(B) $1$. दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,धारावाही चालक द्वारा इलेक्ट्रॉन धारा की स्थिति पर (चालक के नीचे) उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होता है।
$2$. इलेक्ट्रॉन दाईं ओर गति कर रहे हैं। चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. चूंकि इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक $(q = -e)$ होता है,इसलिए बल की दिशा $(v \times B)$ की दिशा के विपरीत होती है।
$4$. क्रॉस प्रोडक्ट $(v \times B)$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,जहां $v$ दाईं ओर है और $B$ कागज के अंदर की ओर है,$(v \times B)$ की दिशा ऊपर की ओर होती है।
$5$. इसलिए,इलेक्ट्रॉनों पर लगने वाला बल नीचे की ओर होता है। वैकल्पिक रूप से,ऋणात्मक आवेशों के लिए फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर,बल नीचे की ओर निर्देशित होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होने के कारण,$v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ होता है।
त्रिज्या के सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
चूंकि $K$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
द्रव्यमान का अनुपात $m_H:m_{He}:m_O = 1:4:16$ और आवेश $q_H=1, q_{He}=1, q_O=2$ हैं:
$r_H \propto \frac{\sqrt{1}}{1} = 1$
$r_{He} \propto \frac{\sqrt{4}}{1} = 2$
$r_O \propto \frac{\sqrt{16}}{2} = \frac{4}{2} = 2$
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $r_H:r_{He}:r_O = 1:2:2$ है।
चूंकि विक्षेपण त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(d \propto 1/r)$,इसलिए सबसे छोटी त्रिज्या वाला आयन $(H^+)$ सबसे अधिक विक्षेपित होगा और $He^+$ तथा $O^{++}$ की त्रिज्या समान होने के कारण उनका विक्षेपण भी समान होगा। इसलिए,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ $+x$ दिशा में है। धनात्मक आयन $+x$ दिशा में विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ का अनुभव करते हैं,जबकि ऋणात्मक आयन $-x$ दिशा में विद्युत बल का अनुभव करते हैं।
परिणामस्वरूप,धनात्मक आयन $+x$ दिशा में वेग $\vec{v}$ प्राप्त करते हैं और ऋणात्मक आयन $-x$ दिशा में वेग $\vec{v}$ प्राप्त करते हैं।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ $+z$ दिशा में है।
आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
धनात्मक आयनों के लिए: $\vec{F}_m = (+q)(v\hat{i} \times B\hat{k}) = -qvB\hat{j}$,जो $-y$ दिशा में है।
ऋणात्मक आयनों के लिए: $\vec{F}_m = (-q)(-v\hat{i} \times B\hat{k}) = (-q)(-vB(-\hat{j})) = -qvB\hat{j}$,जो भी $-y$ दिशा में है।
इस प्रकार,दोनों प्रकार के आयन $-y$ दिशा में विक्षेपित होते हैं।

(B) कण $x = a$ तक एक सीधी रेखा में गति करता है। चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र $(a \le x \le b)$ में प्रवेश करने पर,चुंबकीय बल अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है,जिससे कण $r = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्तापीय पथ पर गति करता है।
कण के $x > b$ क्षेत्र तक पहुँचने के लिए,वृत्तापीय पथ की त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र की चौड़ाई $(b - a)$ के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए।
अतः,शर्त $r \ge (b - a)$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $\frac{mv}{qB} \ge (b - a)$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v \ge \frac{q(b - a)B}{m}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,आवश्यक न्यूनतम वेग $v_{\min} = \frac{q(b - a)B}{m}$ है।

(B) कण $x-y$ समतल में गति करता है। गति के $x-y$ समतल में बने रहने के लिए,नेट बल $\overrightarrow F_{net} = q(\overrightarrow E + \overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ का $z$-अक्ष पर कोई घटक नहीं होना चाहिए।
प्रारंभिक वेग $\overrightarrow v = v\hat i$ है।
विकल्प $(d)$ में,$\overrightarrow F_{net} = q(a\hat i) + q(v\hat i \times (c\hat k + b\hat j)) = qa\hat i - qvc\hat j + qvb\hat k$ है। $z$-घटक $(qvb\hat k)$ की उपस्थिति कण को $x-y$ समतल से बाहर धकेलती है,इसलिए $(d)$ गलत है।
विकल्प $(b)$ में,$\overrightarrow F_{net} = q(a\hat i) + q(v\hat i \times (c\hat k + a\hat i)) = qa\hat i - qvc\hat j$ है। यहाँ,बल के केवल $x$ और $y$ घटक हैं,जो कण को $x-y$ समतल में रखते हैं। पथ गैर-वृत्ताकार है क्योंकि विद्युत क्षेत्र कण की गति को बदलता है। अतः,विकल्प $(b)$ सही संयोजन है।

(A) चूंकि ब्लॉक धात्विक है,इसलिए आवेश वाहक इलेक्ट्रॉन हैं। धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश धारा $I$ के लिए,इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश गति करते हैं,अर्थात $\overrightarrow{v} = -v\hat{i}$.
चुंबकीय क्षेत्र $y$-अक्ष के अनुदिश है,अर्थात $\overrightarrow{B} = B\hat{j}$.
लोरेंत्ज़ बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\overrightarrow{F} = (-e)(-v\hat{i} \times B\hat{j}) = evB(\hat{i} \times \hat{j}) = evB\hat{k}$.
चूंकि इलेक्ट्रॉनों पर बल धनात्मक $z$-दिशा में है,इसलिए वे $ABCD$ फलक पर जमा हो जाते हैं (चित्र में दिखाए गए निर्देशांक तंत्र के अनुसार)। $ABCD$ फलक पर ऋणात्मक आवेशों के जमा होने के कारण इसका विभव कम हो जाता है।

(D) मान लीजिए कि दो तार $xy$-तल में,$y$-अक्ष के समानांतर,$x = -d/2$ और $x = d/2$ पर रखे गए हैं। धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं।
मध्य बिंदु (मूल बिंदु) पर,पहले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ तल के अंदर की ओर ($-z$ दिशा में) निर्देशित है और दूसरे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ भी तल के अंदर की ओर ($-z$ दिशा में) है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2$ तारों के तल के लंबवत ($-z$ दिशा में) है।
आवेश $q$ का वेग $v$ तारों के तल के लंबवत ($z$ दिशा में) दिया गया है।
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B$ संरेखीय (दोनों $z$-अक्ष पर) हैं,इसलिए उनका क्रॉस उत्पाद $v \times B = 0$ है।
अतः,आवेश पर कार्य करने वाले चुंबकीय बल का परिमाण $0$ है।

(A) जब एक आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
पथ की ज्यामिति से,कण चुंबकीय क्षेत्र के भीतर $d$ क्षैतिज दूरी तय करता है।
त्रिज्या $r$,क्षैतिज दूरी $d$ और विक्षेपण कोण $\theta$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\sin \theta = \frac{d}{r}$ है।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin \theta = \frac{d}{p / (qB)} = \frac{Bqd}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में प्रोटॉन के पथ की ज्यामिति से,हमारे पास $\sin \theta = \frac{d}{r}$ है,जहाँ $d = 0.1 \; m$ चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्र की चौड़ाई है और $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V = 500 \times 10^3 \; V$ त्वरक विभव है।
$\sin \theta$ के व्यंजक में $r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \theta = \frac{d}{r} = Bd \sqrt{\frac{q}{2mV}}$
दिए गए मान: $B = 0.51 \; T$,$d = 0.1 \; m$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$,$V = 500 \times 10^3 \; V$.
$\sin \theta = 0.51 \times 0.1 \times \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 500 \times 10^3}}$
$\sin \theta = 0.051 \times \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19}}{1.67 \times 10^{-21}}} \approx 0.051 \times \sqrt{95.8} \approx 0.051 \times 9.78 \approx 0.5$
चूँकि $\sin \theta = 0.5$,इसलिए $\theta = 30^o$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$।
इलेक्ट्रॉन के अपनी दिशा उलटने के लिए,उसे चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत तल में एक अर्ध-वृत्ताकार पथ का अनुसरण करना होगा।
यदि इलेक्ट्रॉन धनात्मक $X$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है (वेग $\vec{v} = v\hat{i}$),और हम $Y$-अक्ष के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र $(\vec{B} = B\hat{j})$ लागू करते हैं,तो बल $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{j}) = -evB\hat{k}$ होगा।
यह बल $Z$-दिशा में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन $X-Z$ तल में अर्ध-वृत्त में गति करता है।
अर्ध-वृत्त पूरा करने के बाद,वेग सदिश ऋणात्मक $X$-दिशा $(-v\hat{i})$ में इंगित करेगा,जिससे इलेक्ट्रॉन की दिशा प्रभावी रूप से उलट जाएगी।
इस प्रकार,$Y$-अक्ष (या $Z$-अक्ष) के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र लागू करने से वांछित परिणाम प्राप्त होगा।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow F = q(\overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा कण के वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है। अतः,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन की चाल $v$ उसकी प्रारंभिक चाल $u$ के बराबर रहती है,यानी $v = u$.
ऋणात्मक आवेश (इलेक्ट्रॉन) पर चुंबकीय बल के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर: वेग $\overrightarrow v$ धनात्मक $x$-दिशा में है और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow B$ ऋणात्मक $z$-दिशा $(-B_0 \hat k)$ में है। बल $\overrightarrow F = -e(\overrightarrow v \times \overrightarrow B) = -e(u \hat i \times -B_0 \hat k) = -e(u B_0 \hat j) = -e u B_0 \hat j$ है। इस प्रकार,प्रारंभिक बल ऋणात्मक $y$-दिशा में कार्य करता है।
इलेक्ट्रॉन दक्षिणावर्त (घड़ी की दिशा में) वृत्ताकार पथ का अनुसरण करेगा और चुंबकीय क्षेत्र के उस बिंदु से बाहर निकलेगा जहाँ $y < 0$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन के बिना विचलित हुए क्षेत्र से गुजरने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए। कुल बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{F} = 0$ के लिए,हमारे पास $\overrightarrow{F_e} = -\overrightarrow{F_m}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $|\overrightarrow{F_e}| = |\overrightarrow{F_m}|$.
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब विद्युत बल $\overrightarrow{F_e} = q\overrightarrow{E}$,चुंबकीय बल $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$,और वेग $\overrightarrow{v}$ इस प्रकार उन्मुख हों कि $\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{E}$,और $\overrightarrow{B}$ एक-दूसरे के परस्पर लंबवत हों।
विकल्प $C$ में,वेग $\overrightarrow{v}$,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$,और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ को एक-दूसरे के परस्पर लंबवत (प्रत्येक एक-दूसरे से $90^\circ$ पर) दिखाया गया है,जो विद्युत और चुंबकीय बलों को एक-दूसरे को संतुलित करने की अनुमति देता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा इलेक्ट्रॉन पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ स्थिर है और द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए चाल $v$ स्थिर रहती है।
परिणामस्वरूप,संवेग का परिमाण $(p = mv)$ भी अपरिवर्तित रहता है।
अतः,ऊर्जा और संवेग दोनों अपरिवर्तित रहते हैं।

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन बीम परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बिना विचलित हुए गुजरती है,तो विद्युत बल चुंबकीय बल द्वारा संतुलित हो जाता है।
$F_e = F_m$
$eE = evB$
इसलिए,गति $v$ इस प्रकार दी जाती है:
$v = \frac{E}{B}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \frac{3 \times 10^4}{2 \times 10^{-3}}$
$v = 1.5 \times 10^7 \ m/s$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) जब कोई आवेशित कण ऐसे क्षेत्र से एकसमान वेग से गुजरता है जहाँ विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों मौजूद हों और वे एक-दूसरे के तथा वेग सदिश के लंबवत हों,तो कण पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होता है।
यहाँ दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र $E = 20 \ V m^{-1}$ और चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.5 \ T$ है।
कण के एकसमान वेग से गति करने की शर्त विद्युत बल और चुंबकीय बल के संतुलन द्वारा दी जाती है:
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \frac{20}{0.5} = 40 \ m s^{-1}$।
अतः,इलेक्ट्रॉनों का वेग $40 \ m s^{-1}$ है।

(C) थॉमसन प्रयोग में,क्रॉस किए गए विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ से गुजरने वाले आवेशित कण के लिए कोई विक्षेपण न होने की शर्त बलों के संतुलन द्वारा दी जाती है: $qE = qvB$,जिसका अर्थ है $v = E/B$.
विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $qV = \frac{1}{2}mv^2$ है,जिससे $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ प्राप्त होता है।
वेग के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{E}{B} = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{E^2}{B^2} = \frac{2qV}{m}$,जो दर्शाता है कि $\frac{q}{m} = \frac{E^2}{2VB^2}$.
निश्चित विभव $V$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के लिए,$B^2 \propto \frac{1}{m}$ होता है।
यदि द्रव्यमान $m$ को $208$ के गुणांक में बढ़ाया जाता है,तो $B^2$ को $1/208$ के गुणांक में बदलना चाहिए।
इसलिए,$B$ को $\sqrt{1/208}$ के गुणांक में बदलना चाहिए,जिसका अर्थ है कि शर्त को बनाए रखने के लिए $B$ को $\sqrt{208} \approx 14.4$ से गुणा करना होगा।

(C) वेग चयनकर्ता में,विद्युत बल $F_e = qE$ और चुंबकीय बल $F_m = qvB$ विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं।
आयनों के अविचलित रहने के लिए,बलों को संतुलित होना चाहिए: $qE = qvB$,जिससे $v = \frac{E}{B}$ प्राप्त होता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 1000 \ V$ और $d = 1 \ cm = 0.01 \ m = 10^{-2} \ m$ दिया गया है।
अतः,$E = \frac{1000}{10^{-2}} = 10^5 \ V/m$.
चुंबकीय क्षेत्र $B = 1 \ T$ दिया गया है।
इन मानों को वेग के सूत्र में रखने पर: $v = \frac{10^5}{1} = 10^5 \ m/s$।

(B) थॉमसन के पॉजिटिव रे प्रयोग में,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में आयनों का विक्षेपण लॉरेंट्ज़ बल और गतिकी द्वारा निर्धारित होता है।
विद्युत क्षेत्र की दिशा में विस्थापन $y$,$(q/m) \cdot (1/v^2)$ के समानुपाती होता है,और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में विस्थापन $z$,$(q/m) \cdot (1/v)$ के समानुपाती होता है।
वेग $v$ को हटाने पर,हमें प्रक्षेप पथ का समीकरण प्राप्त होता है: $z^2 = k \cdot (q/m) \cdot y$,जहाँ $k$ क्षेत्र की तीव्रता और ज्यामिति से संबंधित एक स्थिरांक है।
चूंकि सभी आयनों के लिए $q/m$ स्थिर है,समीकरण $z^2 = C \cdot y$ के रूप में सरल हो जाता है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,फोटोग्राफिक प्लेट पर ट्रेस परवलयाकार होता है।

(B) मास स्पेक्ट्रोग्राफ में,जब आयनों को समान वेग $v$ से एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रक्षेपित किया जाता है,तो वे $r = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करते हैं।
चूंकि आयन फोटोग्राफिक प्लेट पर टकराते हैं,इसलिए प्रवेश बिंदु से दूरी व्यास $D = 2r = \frac{2mv}{qB}$ होती है।
यह दिया गया है कि $v$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए व्यास $D$ द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात के सीधे आनुपातिक है: $D \propto \frac{m}{q}$।
प्रत्येक आयन के लिए $\frac{m}{q}$ अनुपात की गणना करने पर:
$1$. ${O^{++}}$ के लिए: $\frac{m}{q} \propto \frac{16}{2} = 8$
$2$. ${C^+}$ के लिए: $\frac{m}{q} \propto \frac{12}{1} = 12$
$3$. ${He^{++}}$ के लिए: $\frac{m}{q} \propto \frac{4}{2} = 2$
$4$. ${H^+}$ के लिए: $\frac{m}{q} \propto \frac{1}{1} = 1$
चूंकि ${C^+}$ का $\frac{m}{q}$ अनुपात सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे दूर जाकर टकराएगा।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन बीम विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बिना विक्षेपित हुए गुजरता है,तो विद्युत बल और चुंबकीय बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
यहाँ $E = 1.125 \times 10^{-6} \, N/C$ और $B = 3 \times 10^{-10} \, T$ दिया गया है।
$v = \frac{1.125 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-10}} = 0.375 \times 10^4 = 3750 \, m/s$.

(A) पैराबोला स्पेक्ट्रोग्राफ में,किसी आयन का विक्षेपण $x$ उसके वेग के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $x \propto \frac{1}{v^2}$।
इसका अर्थ है कि जिस आयन का विक्षेपण कम होगा,उसका वेग अधिक होगा।
दिए गए ग्राफ से,$P, Q, R,$ और $S$ आयनों की ऊर्ध्वाधर अक्ष से क्षैतिज दूरियाँ (विक्षेपण) क्रमशः $x_1, x_2, x_3,$ और $x_4$ हैं।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$ है।
चूंकि $v \propto \frac{1}{\sqrt{x}}$,इसलिए $v_1 > v_2 > v_3 > v_4$ प्राप्त होता है।

(D) इस क्षेत्र में,आवेशित कण विद्युत बल $\vec{F_e} = q\vec{E}$ का अनुभव करता है।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में (यदि धनात्मक है) या उसके विपरीत (यदि ऋणात्मक है) त्वरित होना शुरू कर देगा।
जैसे-जैसे कण वेग $\vec{v}$ प्राप्त करता है,वह चुंबकीय बल $\vec{F_m} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ का अनुभव करता है।
चूंकि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र समानांतर हैं,और कण का वेग $\vec{v}$ विद्युत क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होता है,इसलिए वेग $\vec{v}$ हमेशा चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर रहेगा (अर्थात $\vec{v} \parallel \vec{B}$)।
इसलिए,चुंबकीय बल $F_m = qvB \sin(0^\circ) = 0$ होता है।
चूंकि कण पर कोई चुंबकीय बल कार्य नहीं कर रहा है और विद्युत बल क्षेत्रों की रेखा के साथ कार्य करता है,इसलिए कण एक सीधी रेखा में गति करेगा।

(B) इलेक्ट्रॉन के विशिष्ट आवेश $(e/m)$ को निर्धारित करने के लिए जे. जे. थॉमसन के प्रयोग में,इलेक्ट्रॉन बीम पर विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र लगाए जाते हैं।
$1$. विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ को एक-दूसरे के लंबवत रखा जाता है।
$2$. विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों इलेक्ट्रॉन बीम की गति की दिशा के लंबवत होते हैं।
$3$. क्षेत्रों को इस प्रकार समायोजित किया जाता है कि इलेक्ट्रॉन बीम बिना विक्षेपित हुए गुजर जाए,जिससे इलेक्ट्रॉनों का वेग निर्धारित किया जा सकता है और बाद में $e/m$ अनुपात की गणना की जाती है।
अतः,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं और दोनों इलेक्ट्रॉन बीम के भी लंबवत हैं।

(C) प्रोटॉन का आवर्तकाल $(T_p)$ एक चक्कर पूरा करने में लगा समय है।
दिया गया है कि प्रोटॉन $5$ चक्करों के लिए $25 \mu \text{sec}$ लेता है,इसलिए $T_p = \frac{25}{5} = 5 \mu \text{sec}$.
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के आवर्तकाल का सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ है।
$\alpha$-कण $(T_{\alpha})$ और प्रोटॉन $(T_p)$ के आवर्तकाल की तुलना करने पर: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{m_{\alpha}}{m_p} \times \frac{q_p}{q_{\alpha}}$.
चूंकि $m_{\alpha} = 4m_p$ और $q_{\alpha} = 2q_p$,इसलिए $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{4m_p}{m_p} \times \frac{q_p}{2q_p} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
अतः,$T_{\alpha} = 2 \times T_p = 2 \times 5 \mu \text{sec} = 10 \mu \text{sec}$.

(B) जब कण $x = a$ पर चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो उस पर एक चुंबकीय बल कार्य करता है जो उसे $R = \frac{MV}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति कराता है।
कण के $x = b$ क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए,उसके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र की चौड़ाई $(b - a)$ के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए।
अतः,हमारे पास शर्त है: $R \ge (b - a)$.
$R$ का व्यंजक रखने पर: $\frac{MV}{qB} \ge (b - a)$.
$V$ के लिए हल करने पर: $V \ge \frac{q(b - a)B}{M}$.
इस प्रकार,आवश्यक न्यूनतम वेग $V_{\min} = \frac{q(b - a)B}{M}$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन के बिना विक्षेपण के गुजरने के लिए,विद्युत बल और चुंबकीय बल संतुलित होने चाहिए: $|\overrightarrow{F}_e| = |\overrightarrow{F}_m|$.
चूंकि $|\overrightarrow{F}_e| = eE$ और $|\overrightarrow{F}_m| = evB$,इसलिए $eE = evB$,जिसका अर्थ है $v = \frac{E}{B}$।
संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर,$v = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}$ प्राप्त होता है।
$l$ लंबाई तय करने में लगा समय $t = \frac{l}{v}$ है।
$v$ का मान रखने पर,$t = \frac{l}{(\sigma / \varepsilon_0 B)} = \frac{\varepsilon_0 l B}{\sigma}$ प्राप्त होता है।

(D) इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि वेग $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = qvB$ होता है।
वेग का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = qB\sqrt{\frac{2qV}{m}}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $F \propto \sqrt{V}$ है।
यदि विभव को बढ़ाकर $5V$ कर दिया जाए,तो नया बल $F'$ का मान $F' = F \sqrt{\frac{5V}{V}} = \sqrt{5}F$ होगा।

(C) इलेक्ट्रॉन के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के क्षेत्र से बिना विक्षेपण के गुजरने के लिए,विद्युत बल और चुंबकीय बल बराबर होने चाहिए।
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
यहाँ,विभवांतर $V = 1000 \ V$ और दूरी $d = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है।
विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d} = \frac{1000}{10^{-2}} = 10^5 \ V/m$.
चुंबकीय क्षेत्र $B = 1 \ T$ दिया गया है।
मान रखने पर,$v = \frac{10^5}{1} = 10^5 \ m/s$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान एक आवेशित कण पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
इस बल का परिमाण है:
$F = qvB \sin \theta$
जहाँ $\theta$ वेग सदिश $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
बल के शून्य न होने $(F \neq 0)$ के लिए,$\sin \theta \neq 0$ होना चाहिए।
चूंकि $\theta = 0^{\circ}$ और $\theta = 180^{\circ}$ पर $\sin \theta = 0$ होता है,इसलिए इन स्थितियों में बल शून्य होता है।
अतः,बल के शून्य न होने के लिए,कोण $\theta$ का मान $0^{\circ}$ और $180^{\circ}$ के अलावा कुछ भी हो सकता है।

(A) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ का अनुभव करता है।
चूंकि बल हमेशा कण के वेग के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शुद्ध बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए गति के दौरान कण की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,$3$ $seconds$ के बाद भी गतिज ऊर्जा $K$ ही रहेगी।

(D) आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$।
दिया गया है:
आवेश $q = -2 \times 10^{-6}\, C$
वेग $\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6\, m/s$
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 2\hat{j}\, T$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec{F} = (-2 \times 10^{-6}) \times [(2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6] \times (2\hat{j})$
$\vec{F} = -2 \times 2 \times [ (2\hat{i} \times \hat{j}) + (3\hat{j} \times \hat{j}) ]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{j} = 0$:
$\vec{F} = -4 \times (2\hat{k} + 0)$
$\vec{F} = -8\hat{k}\, N$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि बल $-z$ दिशा में है।
अतः,बल $-z$ दिशा में $8\, N$ है।

(C) कण पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। कण के सीधी क्षैतिज रेखा में गति करने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए।
कथन $(2)$ के लिए: यदि $\vec{B}$ और $\vec{E}$ दोनों वेग $\vec{v}$ की दिशा में हैं,तो $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होता है। विद्युत बल $q\vec{E}$ वेग की दिशा में कार्य करता है,जिससे त्वरण होता है लेकिन कोई विक्षेपण नहीं होता। इस प्रकार,कण सीधी रेखा में गति करना जारी रखता है।
कथन $(3)$ के लिए: यदि $\vec{v}$,$\vec{E}$,और $\vec{B}$ परस्पर लंबवत हैं,तो चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ वेग $\vec{v}$ के लंबवत कार्य करता है। $\vec{E}$ को इस प्रकार चुनकर कि विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$,$\vec{F}_m$ के बराबर और विपरीत हो,कुल बल शून्य हो जाता है। यह वेग चयनकर्ता (velocity selector) का सिद्धांत है।
अतः,$(2)$ और $(3)$ दोनों सीधी रेखा में गति बनाए रखने के लिए संभव स्थितियाँ हैं।

(D) विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F}_{E} = -e\vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F}_{B} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ एक ही दिशा में हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $0^{\circ}$ है। अतः,$\vec{v} \times \vec{B} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{F}_{B} = 0$ है।
इलेक्ट्रॉन पर कुल बल $\vec{F} = \vec{F}_{E} + \vec{F}_{B} = -e\vec{E}$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ वेग की दिशा में ही कार्य कर रहा है,इसलिए बल $-e\vec{E}$ इलेक्ट्रॉन के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
चूंकि बल गति की दिशा के विपरीत है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गति कम हो जाएगी।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $m$ द्रव्यमान,$q$ आवेश और $K$ गतिज ऊर्जा वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ इस प्रकार दी जाती है:
$R = \frac{\sqrt{2mK}}{Bq}$
प्रोटॉन के लिए: $m_p = m$,$q_p = e$,$K_p = 1\, MeV$.
$R_p = \frac{\sqrt{2m(1)}}{Be}$
$\alpha$-कण के लिए: $m_{\alpha} = 4m$,$q_{\alpha} = 2e$.
$R_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K_{\alpha}}}{B(2e)} = \frac{\sqrt{8mK_{\alpha}}}{2Be} = \frac{\sqrt{2mK_{\alpha}}}{Be}$
चूंकि त्रिज्याएं समान हैं $(R_p = R_{\alpha})$:
$\frac{\sqrt{2m(1)}}{Be} = \frac{\sqrt{2mK_{\alpha}}}{Be}$
$1 = K_{\alpha}$
अतः,$\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा $1\, MeV$ है।

(A) समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के लिए वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
गतिज ऊर्जा $K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $K = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन $(p)$ और अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए, चूंकि $B$ और $R$ समान हैं, उनकी गतिज ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = \left(\frac{q_{\alpha}}{q_{p}}\right)^2 \left(\frac{m_{p}}{m_{\alpha}}\right)$.
चूंकि $q_{\alpha} = 2q_{p}$ और $m_{\alpha} = 4m_{p}$ दिया गया है, हमारे पास है:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = (2)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
अतः, $K_{\alpha} = K_{p} = 1 \, MeV$।

(C) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 3.57 \times 10^{-2} \, T$ और विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \, C/kg$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के परिक्रमण की आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2 \pi m}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14} \times (1.76 \times 10^{11}) \times (3.57 \times 10^{-2})$
$f = \frac{1}{6.28} \times 6.2832 \times 10^9$
$f \approx 1 \times 10^9 \, Hz = 1 \, GHz$.

(C) जब $m$ द्रव्यमान,$q$ आवेश और $K$ गतिज ऊर्जा वाले एक आवेशित कण को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
इस वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का मान $r = \frac{mv}{qB}$ होता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,हमें $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार पथ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
$r$ का व्यंजक रखने पर,$A = \pi \left( \frac{\sqrt{2mK}}{qB} \right)^2 = \frac{\pi (2mK)}{q^2 B^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m$,$q$ और $B$ स्थिरांक हैं,इसलिए $A \propto K$ होता है।

(C) जब एक आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $B$ में एक वृत्त में गति करता है, तो उस पर वृत्त के केंद्र की ओर चुंबकीय बल $F_m = qvB$ कार्य करता है।
कण को एक समान वेग से सीधी रेखा में गति कराने के लिए, उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
यह तब प्राप्त होता है जब एक विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार लगाया जाता है कि विद्युत बल $F_e = qE$ चुंबकीय बल $F_m$ को संतुलित कर दे।
अतः, $qE = qvB$, जो सरल होकर $E = vB$ हो जाता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है, इसलिए वेग $v = \frac{qBr}{m}$ है।
$v$ के इस मान को $E$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $E = \left(\frac{qBr}{m}\right)B = \frac{qB^2r}{m}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $q = 10.0\,\mu C = 10 \times 10^{-6}\,C$, $m = 1\,\mu g = 1 \times 10^{-9}\,kg$, $r = 10\,cm = 0.1\,m$, और $B = 0.1\,T$ है।
इन मानों को रखने पर: $E = \frac{(10 \times 10^{-6}) \times (0.1)^2 \times 0.1}{1 \times 10^{-9}} = \frac{10^{-5} \times 0.01 \times 0.1}{10^{-9}} = \frac{10^{-8}}{10^{-9}} = 10\,V/m$।

(C) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल सूत्र $\vec F_m = q(\vec v \times \vec B)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
आवेश $q = 2.0 \times 10^{-6}\,C$
वेग $\vec v = 3.0 \times 10^6\,\hat i\,m/s$
चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = -0.2\,\hat k\,T$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec F_m = (2.0 \times 10^{-6}) \times (3.0 \times 10^6\,\hat i \times -0.2\,\hat k)$
$\vec F_m = (2.0 \times 3.0 \times -0.2) \times (\hat i \times \hat k)$
चूंकि $\hat i \times \hat k = -\hat j$,इसलिए:
$\vec F_m = -1.2 \times (-\hat j) = 1.2\,\hat j\,N$
अतः,बल $1.2\,N$ धनात्मक $y$-दिशा में कार्य करता है।

(A) $1$. चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति करने वाले इलेक्ट्रॉन (ऋणात्मक आवेशित कण) के लिए,चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है। चुंबकीय क्षेत्र की दिशा फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है।
$2$. क्षेत्र $B_1$ में,इलेक्ट्रॉन दक्षिणावर्त (clockwise) मुड़ता है। ऋणात्मक आवेश के लिए नियम लागू करने पर,चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ पृष्ठ के अंदर की ओर होना चाहिए।
$3$. क्षेत्र $B_2$ में,इलेक्ट्रॉन वामावर्त (counter-clockwise) मुड़ता है,इसलिए $B_2$ पृष्ठ के बाहर की ओर है।
$4$. वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ होती है। चूँकि $m, v$ और $q$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \frac{1}{B}$ होता है।
$5$. आकृति से देखा जा सकता है कि क्षेत्र $B_1$ में त्रिज्या $r_1$,क्षेत्र $B_2$ की त्रिज्या $r_2$ से छोटी है $(r_1 < r_2)$।
$6$. अतः,$B_1 > B_2$ होगा। यानी $B_1$,$B_2$ से अधिक प्रबल है।

(B) इलेक्ट्रॉन पर नेट बल लोरेंत्ज़ बल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{e} + \vec{F}_{m} = 0$.
चूंकि $\vec{F}_{e} = q\vec{E}$ और $\vec{F}_{m} = q(\vec{v} \times \vec{B})$,हमारे पास $q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ है,जो $\vec{E} + (\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है $\vec{v} = v\hat{i}$ और $\vec{E} = -E\hat{j}$,इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-E\hat{j} + (v\hat{i} \times \vec{B}) = 0$,या $v\hat{i} \times \vec{B} = E\hat{j}$ प्राप्त होता है।
$\hat{i}$ और $\vec{B}$ का क्रॉस प्रोडक्ट $\hat{j}$ होने के लिए,सदिश $\vec{B}$ को ऋणात्मक $z$-अक्ष $(-\hat{k})$ के अनुदिश होना चाहिए,क्योंकि $\hat{i} \times (-\hat{k}) = \hat{j}$ होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र को ऋणात्मक $z$-अक्ष की दिशा में होना चाहिए।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ बल $\vec{F}_e = qE_0 \hat{i}$ लगाता है,जिससे $x$-अक्ष पर त्वरण $a_x = \frac{qE_0}{m}$ उत्पन्न होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \hat{i}$ विद्युत क्षेत्र और $x$-अक्ष के समानांतर है। चूंकि प्रारंभिक वेग $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए कण $yz$-तल में हेलिकल गति करता है और साथ ही $x$-अक्ष पर त्वरित होता है।
$t$ समय पर वेग के घटक $v_x = a_x t = \frac{qE_0}{m} t$ हैं और $yz$-तल में चाल $v_{\perp} = v_0$ स्थिर रहती है।
$t$ समय पर कुल चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_{\perp}^2} = \sqrt{(\frac{qE_0}{m} t)^2 + v_0^2}$ है।
हमें दिया गया है कि $t$ समय पर चाल $2v_0$ हो जाती है:
$2v_0 = \sqrt{(\frac{qE_0}{m} t)^2 + v_0^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4v_0^2 = (\frac{qE_0}{m} t)^2 + v_0^2$
$3v_0^2 = (\frac{qE_0}{m} t)^2$
वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{3}v_0 = \frac{qE_0}{m} t$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = \frac{\sqrt{3}mv_0}{qE_0}$

(B) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
इस वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB_0}$ द्वारा दी जाती है।
कण को $(d, 0, 0)$ बिंदु से ऋणात्मक $x$-अक्ष की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। $y-z$ तल वह तल है जहाँ $x = 0$ होता है।
कण के $y-z$ तल से न टकराने के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $y-z$ तल से दूरी $d$ के बराबर या उससे कम होनी चाहिए।
अतः,$R \leq d$.
$R$ का मान रखने पर: $\frac{mv}{qB_0} \leq d$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v \leq \frac{B_0 q d}{m}$.
इसलिए,$v$ का अधिकतम मान $v_{\text{max}} = \frac{B_0 q d}{m}$ है।

(D) विशिष्ट आवेश $\alpha = q/m$ द्वारा दिया जाता है। कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र में हेलिकल पथ पर गति करता है।
हेलिकल गति का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi m}{B_o q} = \frac{2 \pi}{B_o \alpha}$ है।
दिया गया समय $t = \frac{\pi}{B_o \alpha} = \frac{T}{2}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक $v_x = V_o$ है,जो स्थिर रहता है। अतः,$t = T/2$ पर $x$-निर्देशांक $x = v_x \cdot t = V_o \cdot \frac{\pi}{B_o \alpha} = \frac{V_o \pi}{B_o \alpha}$ होगा।
चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v_y = V_o$ है। कण $yz$-तल में $r = \frac{m v_y}{B_o q} = \frac{V_o}{B_o \alpha}$ त्रिज्या के साथ वृत्ताकार गति करता है।
$t = T/2$ पर,कण $yz$-तल में आधा वृत्त पूरा करता है। $yz$-तल में $(0, 0)$ से $+y$ दिशा में प्रारंभिक वेग के साथ शुरू करके,आधे आवर्तकाल के बाद,$y$-दिशा में विस्थापन $0$ और $z$-दिशा में विस्थापन $-2r = -\frac{2 V_o}{B_o \alpha}$ होता है।
अतः,निर्देशांक $\left( \frac{V_o \pi}{B_o \alpha}, 0, - \frac{2 V_o}{B_o \alpha} \right)$ हैं।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ होता है।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$।
स्थिर $K$ और $B$ के लिए,त्रिज्या $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ है।
विक्षेपण त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(d \propto \frac{1}{r})$,इसलिए $d \propto \frac{q}{\sqrt{m}}$।
$H^+$ के लिए: $q=1, m=1 \Rightarrow d \propto \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$।
$He^+$ के लिए: $q=1, m=4 \Rightarrow d \propto \frac{1}{\sqrt{4}} = 0.5$।
$O^{2+}$ के लिए: $q=2, m=16 \Rightarrow d \propto \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5$।
मानों की तुलना करने पर,$H^+$ सबसे अधिक विक्षेपित होता है,जबकि $He^+$ और $O^{2+}$ समान और कम विक्षेपित होते हैं।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $T = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mT}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mT}}{qB}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $R = \frac{\sqrt{2mT}}{qB}$।
नई स्थिति के लिए,गतिज ऊर्जा $T' = 2T$ और चुंबकीय क्षेत्र $B' = 3B$ है।
नई त्रिज्या $R'$ इस प्रकार होगी: $R' = \frac{\sqrt{2m(2T)}}{q(3B)}$।
$R' = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2mT}}{3qB} = \frac{\sqrt{2}}{3} \left( \frac{\sqrt{2mT}}{qB} \right)$।
कोष्ठक में दिए गए पद के लिए $R$ रखने पर,$R' = \frac{\sqrt{2}}{3} R = \sqrt{\frac{2}{9}} R$ प्राप्त होता है।