Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(C) જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર વીજભારિત કણની ગતિને લંબ હોય છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_{c} = F_{m}$
$\frac{m v^{2}}{R} = B q v$
આના પરથી,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{m v}{B q}$
વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $T$ એ એક સંપૂર્ણ પરિઘ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે:
$T = \frac{2 \pi R}{v}$
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{v} \left( \frac{m v}{B q} \right)$
$T = \frac{2 \pi m}{B q}$
આમ,$T$ માત્ર દળ $m$,વીજભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે ત્રિજ્યા $R$ અને ઝડપ $v$ બંનેથી સ્વતંત્ર છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{2 \pi m}{q B}$.
અહીં $2, \pi,$ અને $B$ અચળ હોવાથી,આવર્તકાળ એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $T \propto \frac{m}{q}$.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4 m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2 q_p$ છે,જ્યાં $m_p$ અને $q_p$ એ અનુક્રમે પ્રોટોનનું દળ અને વિદ્યુતભાર છે.
તેથી,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha}} \times \frac{q_p}{m_p}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{4 m_p}{2 q_p} \times \frac{q_p}{m_p} = \frac{4}{2} = 2: 1$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{m v}{q B}$
આપેલ છે:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$v = 3.2 \times 10^7 \ m/s$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$B = 12 \times 10^{-4} \ T$
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{9 \times 10^{-31} \times 3.2 \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 12 \times 10^{-4}}$
$r = \frac{28.8 \times 10^{-24}}{19.2 \times 10^{-23}}$
$r = \frac{28.8}{192} \times 10^{-1} \ m$
$r = 0.15 \ m$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$r = 0.15 \times 100 \ cm = 15 \ cm$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
પ્રવાહધારિત લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને સોલેનોઇડની અક્ષ પર પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું મૂલ્ય $F = qvB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ઇલેક્ટ્રોન અક્ષ પર ગતિ કરતું હોવાથી,$\theta = 0^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$F = evB \sin(0^{\circ}) = 0$.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચોખ્ખું ચુંબકીય બળ $0$ હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન સમાન વેગ સાથે તે જ દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{Bq}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B = \frac{mv}{qr}$.
આપેલ કિંમતો:
દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
વેગ $v = 10^6 \ ms^{-1}$
વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ત્રિજ્યા $r = 0.2 \ m$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.2}$
$B = \frac{9.1 \times 10^{-25}}{0.32 \times 10^{-19}}$
$B = 28.4375 \times 10^{-6} \ T = 2.84 \times 10^{-5} \ T$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $2.84 \times 10^{-5} \ T$ છે.

(B) કણના વેગ $v$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: એક ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર $(v_{\parallel} = v \cos \theta)$ અને એક ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ $(v_{\perp} = v \sin \theta)$.
સમાંતર ઘટક $v_{\parallel}$ ને કારણે,કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં સુરેખ ગતિ કરે છે.
લંબ ઘટક $v_{\perp}$ ને કારણે,ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેનાથી કણ ક્ષેત્રને લંબ સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ક્ષેત્રની દિશામાં સુરેખ ગતિ અને ક્ષેત્રને લંબ વર્તુળાકાર ગતિના સંયોજનને કારણે કણનો માર્ગ હેલિકલ (કુંતલાકાર) બને છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વીજભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રોટોન ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરતો હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $F = qvB$.
આપેલ ગતિઊર્જા $K = 2 \ MeV = 2 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-13} \ J$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા,વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-13}}{1.6 \times 10^{-27}}} = \sqrt{4 \times 10^{14}} = 2 \times 10^7 \ m/s$.
હવે,$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (2 \times 10^7 \ m/s) \times (2.5 \ T)$.
$F = 1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^7 = 8 \times 10^{-12} \ N$.

(D) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$F_c = F_m$
$\frac{m v^2}{r} = q_{\alpha} v B$
$\alpha$-કણનો વીજભાર $q_{\alpha} = 2e$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{m v}{r} = (2e) B$
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $v$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{2 \pi r}{T}$ છે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{m}{r} \left( \frac{2 \pi r}{T} \right) = 2e B$
$\frac{2 \pi m}{T} = 2e B$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{\pi m}{e B}$
આમ,સાચો જવાબ $\frac{\pi m}{e B}$ છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \overrightarrow{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
જોકે,બળ વેગને લંબ રૂપે લાગતું હોવાથી,તે વેગ સદિશની દિશા બદલે છે. વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ હોવાથી,વેગની દિશામાં ફેરફાર થવાનો અર્થ એ છે કે વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે.
તેથી,વેગમાન બદલાય છે,પરંતુ ગતિઊર્જા સમાન રહે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{2 \pi m}{q B}$.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $T \propto \frac{m}{q}$.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_\alpha = 4 m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2 q_p$ છે,જ્યાં $m_p$ અને $q_p$ એ અનુક્રમે પ્રોટોનનું દળ અને વિદ્યુતભાર છે.
હવે,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર ગણતા:
$\frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{m_\alpha}{q_\alpha} \times \frac{q_p}{m_p}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{4 m_p}{2 q_p} \times \frac{q_p}{m_p} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં તેના વેગ $v$ ને લંબ ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$
જ્યાં $p = mv$ એ કણનું રેખીય વેગમાન છે અને $q$ એ તેનો વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન સમાન રેખીય વેગમાન $(p_e = p_p = p)$ ધરાવે છે અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,તેથી ત્રિજ્યા એ વિદ્યુતભાર $q$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$r \propto \frac{1}{q}$
તેથી,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_e}{r_p} = \frac{q_p}{q_e}$
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી $(|q_e| = |q_p| = e)$,
$\frac{r_e}{r_p} = \frac{e}{e} = 1$

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{v} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \text{ m s}^{-1}$ અને $\vec{B} = 4 \hat{k} \text{ T}$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $z$-અક્ષ પર છે અને વેગ $\vec{v}$ એ $xy$-સમતલમાં છે,તેથી વેગ સદિશ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે $(\vec{v} \perp \vec{B})$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેને લંબ હોય છે.
ચુંબકીય બળ વેગને લંબ હોવાથી,તે ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી,જેનો અર્થ છે કે તેની ઝડપ (ગતિઊર્જા) અચળ રહે છે.
જોકે,આ બળ વેગની દિશામાં ફેરફાર કરે છે,જેના પરિણામે તે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
તેથી,તેના વેગની દિશા બદલાશે.

(A) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ શૂન્ય ન હોય તે માટે,કણ ગતિમાં હોવો જોઈએ (એટલે કે,વેગ $\vec{v} \neq 0$) અને વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર ન હોવો જોઈએ.
જો કણ સ્થિર હોય,તો $\vec{v} = 0$,તેથી $\vec{F} = 0$.
જો વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય,તેથી $\vec{F} = 0$.
તેથી,ચુંબકીય બળ અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે,કણ ગતિમાં હોવો જોઈએ અને વેગ સદિશનો એક ઘટક ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશને લંબ હોવો જોઈએ.

(B) સ્થિર વિદ્યુતભાર તેની આસપાસના વિસ્તારમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર ગતિમાં હોય છે,ત્યારે તે વિદ્યુત પ્રવાહ રચે છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ તેની આસપાસના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $ B = 10^{-4} \,Wb m^{-2} $.
પ્રોટોનનો વિશિષ્ટ વીજભાર $ \frac{q}{m} = 10^{11} \,C kg^{-1} $.
પ્રોટોનનો વેગ $ v = 10^{9} \,ms^{-1} $.
જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય છે, ત્યારે તે $ r $ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે, જેનું સૂત્ર:
$ r = \frac{mv}{qB} $.
આને આપણે $ r = \frac{v}{(\frac{q}{m}) \times B} $ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$ r = \frac{10^{9}}{10^{11} \times 10^{-4}} $.
$ r = \frac{10^{9}}{10^{7}} $.
$ r = 10^{2} \,m = 100 \,m $.
આમ, વર્ણવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા $ 100 \,m $ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે,જે $B = \mu_{0} n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણને અક્ષને લંબ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે લોરેન્ટ્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ અનુભવે છે. $v \perp B$ હોવાથી,બળ $F = qvB$ થાય છે,જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કણ $R_{c} = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
કણ સોલેનોઈડની દીવાલ સાથે અથડાય નહીં તે માટે,તેના વર્તુળાકાર માર્ગનો વ્યાસ સોલેનોઈડની ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આમ,$2R_{c} \leq r$,જેનો અર્થ છે કે $R_{c} \leq \frac{r}{2}$.
$R_{c} = \frac{mv}{qB}$ મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{qB} \leq \frac{r}{2}$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v \leq \frac{qBr}{2m}$ મળે છે.
$B = \mu_{0} n I$ મૂકતા,મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = \frac{\mu_{0} n I q r}{2m}$ મળે છે.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં એવા વેગ $\vec{v}$ સાથે ગતિ કરે છે જે ક્ષેત્રને સમાંતર કે લંબ નથી,ત્યારે તેને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ઘટક $v_{\perp} = v \sin \theta$,જે વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ઘટક $v_{\parallel} = v \cos \theta$,જે ચુંબકીય બળથી પ્રભાવિત થતો નથી અને કણને ક્ષેત્રની દિશામાં રેખીય ગતિ કરાવે છે.
આ બે ગતિઓનું સંયોજન—ક્ષેત્રને લંબ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ અને ક્ષેત્રની દિશામાં રેખીય ગતિ—પરિણામે હેલિકલ (કુંતલાકાર) માર્ગ બનાવે છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q/m = \pi \text{ C kg}^{-1}$ અને $B = 2 \text{ T}$ આપેલ છે,તેથી:
$T = \frac{2 \pi}{\pi \times 2} = 1 \text{ s}$.
કણને $X$-અક્ષની દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. $t = \frac{1}{12} \text{ s}$ સમય પછી,વિચલન કોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\theta = \frac{t}{T} \times 360^{\circ} = \frac{1/12}{1} \times 360^{\circ} = 30^{\circ}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $-\hat{k}$ દિશામાં હોવાથી,કણ $XY$-સમતલમાં ગતિ કરશે અને ધન $Y$-અક્ષ તરફ વિચલિત થશે.
$t$ સમય પછી વેગ સદિશ $\vec{v}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{v} = v_0 (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$
$\vec{v} = 10 (\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j})$
$\vec{v} = 10 (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) = 5(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કણ $y = \frac{2mv}{qB}$ રેખા પર ગતિ કરે છે,જે $y = 2R$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે $t = 0$ સમયે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
$t = \frac{\pi m}{qB} = \frac{T}{2}$ સમયે,કણ અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે છે.
શરૂઆતમાં,કણ $(0, 2R)$ પર છે અને $\vec{v} = v\hat{i}$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
$t = \frac{T}{2}$ સમય પછી,કણ $\vec{v} = -v\hat{i}$ વેગ સાથે $(0, -2R)$ સ્થાન પર પહોંચે છે.
ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
$t = \frac{T}{2}$ સમયે,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = -2R\hat{j}$ અને વેગ $\vec{v} = -v\hat{i}$ છે.
$\vec{L} = m[(-2R\hat{j}) \times (-v\hat{i})] = 2mRv(\hat{j} \times \hat{i}) = -2mRv\hat{k}$.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = 2mRv = 2m (\frac{mv}{qB}) v = \frac{2m^2v^2}{qB}$ છે.
વેલોસિટી સિલેક્ટરની શરત મુજબ,$v = \frac{E}{B}$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $L = \frac{2m^2E^2}{qB^3}$ મળે છે. જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા $4mRv$ લેતા જવાબ $\frac{4m^2E^2}{qB^3}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{mv}{Bq}$
અહીં વેગ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યા એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે:
$r \propto \frac{m}{q}$
પ્રોટોન માટે,દળ $m_p = m$ અને વિદ્યુતભાર $q_p = e$ છે.
આલ્ફા-કણ માટે,દળ $m_\alpha = 4m$ અને વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2e$ છે.
પ્રોટોનના પથની ત્રિજ્યા $(r_p)$ અને આલ્ફા-કણના પથની ત્રિજ્યા $(r_\alpha)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{r_p}{r_\alpha} = \frac{m_p}{m_\alpha} \times \frac{q_\alpha}{q_p}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_p}{r_\alpha} = \frac{m}{4m} \times \frac{2e}{e} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર હોવાથી,તેનો વેગ $v = 0$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $F = q(0 \times B) = 0$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,તે સ્થિર રહેશે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r = \frac{mv}{qB}$
જ્યાં $m$ એ દળ,$v$ એ વેગ અને $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે ત્રિજ્યા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $r \propto \frac{1}{B}$.
શરૂઆતમાં,$B$ ક્ષેત્ર માટે ત્રિજ્યા $r$ છે. ધારો કે જ્યારે ક્ષેત્ર ઘટાડીને $B' = B/2$ કરવામાં આવે ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r'$ છે.
સંબંધ $r \cdot B = r' \cdot B'$ પરથી:
$r \cdot B = r' \cdot (B/2)$
$r' = \frac{r \cdot B}{B/2} = 2r$.
તેથી,વર્તુળાકાર પથની નવી ત્રિજ્યા $2r$ થશે.

(D) લાંબા પ્રવાહધારિત સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ (પ્રોટોન) ને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર $v$ વેગથી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $F_m = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ $F_m = qvB \sin(0^\circ) = 0$ થાય છે.
પ્રોટોન પર કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું ન હોવાથી,તેમાં કોઈ પ્રવેગ ઉત્પન્ન થશે નહીં અને તે સોલેનોઈડની અક્ષ પર $v$ જેટલા સમાન વેગથી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને કણો માટે ગતિઊર્જા $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે,તેથી $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ મળે.
પ્રોટોન માટે,દળ $m_P = m$ અને વિદ્યુતભાર $q_P = q$ છે.
હિલિયમ ન્યુક્લિયસ (આલ્ફા કણ) માટે,દળ $m_{He} = 4m$ અને વિદ્યુતભાર $q_{He} = 2q$ છે.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_P}{r_{He}} = \frac{\sqrt{m_P}/q_P}{\sqrt{m_{He}}/q_{He}} = \sqrt{\frac{m}{4m}} \times \frac{2q}{q} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ થાય.
આમ,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ પરસ્પર લંબ એવા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થાય છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ $(F_e)$ અને ચુંબકીય બળ $(F_m)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$F_e = F_m$
$qE = qvB \sin \theta$
અહીં ક્ષેત્રો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\sin 90^{\circ} = 1$.
આમ,$E = vB$.
આપેલ છે:
વેગ $v = 2 \times 10^{3} \ ms^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.5 \ T$
$E = (2 \times 10^{3}) \times 1.5 = 3 \times 10^{3} \ V/m$ (અથવા $NC^{-1}$).
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $3 \times 10^{3} \ NC^{-1}$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે. પ્રોટોન માટે,દળ $m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_p = e$ છે.
બંનેની ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને તેઓ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દાખલ થાય છે,તેથી ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{\sqrt{m_{\alpha}} / q_{\alpha}}{\sqrt{m_p} / q_p} = \frac{\sqrt{4m_p} / 2e}{\sqrt{m_p} / e} = \frac{2\sqrt{m_p} / 2e}{\sqrt{m_p} / e} = \frac{1}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = F_c$
$q v B = \frac{m v^2}{r}$
અહીં,વિદ્યુતભાર $q = e$ છે.
સમીકરણમાં $q = e$ મૂકતા:
$e v B = \frac{m v^2}{r}$
$r$ ને કર્તા બનાવતા:
$r = \frac{m v^2}{e v B}$
$r = \frac{m v}{e B}$

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે કણો સમાન વેગ $v$ અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $r \propto \frac{m}{q}$.
$1$. ન્યુટ્રોન તટસ્થ $(q=0)$ છે,તેથી તેના પર કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું નથી અને તે સીધા માર્ગે ગતિ કરે છે,જે માર્ગ $C$ છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભારિત છે,જ્યારે પ્રોટોન અને $\alpha$-કણ ધન વિદ્યુતભારિત છે. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ધન વિદ્યુતભારિત કણોની વિરુદ્ધ દિશામાં વિચલિત થશે.
$3$. વિદ્યુતભારિત કણોમાં,ઇલેક્ટ્રોનનો દળ-વિદ્યુતભાર ગુણોત્તર $(m/q)$ સૌથી ઓછો છે. તેથી,તેની વક્રતા ત્રિજ્યા સૌથી ઓછી હશે.
$4$. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભારિત હોવાથી અને તેની ત્રિજ્યા સૌથી ઓછી હોવાથી,તે માર્ગ $D$ ને અનુસરે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન તેની દિશામાં કોઈ પણ ફેરફાર વગર ગતિ કરતું હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ ચુંબકીય બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0} B}$
$l$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{l}{v} = \frac{l}{\frac{\sigma}{\varepsilon_{0} B}} = \frac{\varepsilon_{0} l B}{\sigma}$

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વેગ સદિશ $\vec{v}$ ઉપરની તરફ (ધારો કે $+z$ દિશા) છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ઉત્તર દિશામાં (ધારો કે $+y$ દિશા) છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
તમારી આંગળીઓને $\vec{v}$ (ઉપરની તરફ) ની દિશામાં રાખો અને તેમને $\vec{B}$ (ઉત્તર) તરફ વાળો.
અંગૂઠો બળની દિશા દર્શાવે છે,જે પશ્ચિમ ($-x$ દિશા) તરફ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{r} = Bqv$.
આ ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં પરિણમે છે: $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
બંને માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,આપણે $p = \sqrt{2mE}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{2mE}}{Bq}$.
પ્રોટોન $(p)$ અને ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે,વિદ્યુતભાર સમાન છે $(q_p = q_d = e)$ અને ગતિઊર્જા સમાન છે $(E_p = E_d = E)$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_p}{r_d} = \frac{\sqrt{2m_p E} / (Be)}{\sqrt{2m_d E} / (Be)} = \sqrt{\frac{m_p}{m_d}}$ થાય.
ડ્યુટેરોનનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતા બમણું હોવાથી $(m_d = 2m_p)$,આપણને $\frac{r_p}{r_d} = \sqrt{\frac{m_p}{2m_p}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = F_c$
$Bqv = \frac{mv^2}{r}$
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,આપણે $Bq = m\omega$ લખી શકીએ.
$\omega = 2\pi f$ મૂકતા,આપણને $Bq = m(2\pi f)$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ માટે ઉકેલતા,$f = \frac{Bq}{2\pi m}$ મળે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી, $mv = \sqrt{2mE}$ થાય.
તેથી, $R = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $m_p = m$, $q_p = e$, તેથી $R_p = \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: $m_d = 2m$, $q_d = e$, તેથી $R_d = \frac{\sqrt{2(2m)E}}{eB} = \sqrt{2} \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $m_{\alpha} = 4m$, $q_{\alpha} = 2e$, તેથી $R_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)E}}{2eB} = \frac{2\sqrt{2mE}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
ત્રિજ્યાઓની સરખામણી કરતા: $R_p : R_d : R_{\alpha} = 1 : \sqrt{2} : 1$.

(B) વેગ $\overrightarrow{v}$ થી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ $q$ પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
કણ સમાન વેગથી ગતિ કરે તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\overrightarrow{F} = 0$.
કિસ્સો $A$: જો $\overrightarrow{E} = 0$ અને $\overrightarrow{B} = 0$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = 0$. આ શક્ય છે.
કિસ્સો $B$: જો $\overrightarrow{E} \neq 0$ અને $\overrightarrow{B} = 0$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}$. $\overrightarrow{F} = 0$ માટે,આપણે $\overrightarrow{E} = 0$ ની જરૂર પડે,જે ધારણા સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. તેથી,આ શક્ય નથી.
કિસ્સો $C$: જો $\overrightarrow{E} = 0$ અને $\overrightarrow{B} \neq 0$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$. જો $\overrightarrow{v}$ એ $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = 0$,તેથી $\overrightarrow{F} = 0$. આ શક્ય છે.
કિસ્સો $D$: જો $\overrightarrow{E} \neq 0$ અને $\overrightarrow{B} \neq 0$ હોય,તો $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ હોવું શક્ય છે જેથી $\overrightarrow{F} = 0$. આ શક્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ શક્ય નથી.

(C) વેલોસિટી સિલેક્ટરમાં, કણ વિચલિત થયા વિના પસાર થાય તે માટે વિદ્યુત બળ $(F_E = qE)$ અને ચુંબકીય બળ $(F_B = qvB)$ એકબીજાને સંતુલિત કરવા જોઈએ。
તેથી, $qE = qvB$, જેનું સાદું રૂપ $v = \frac{E}{B}$ થાય છે。
આપેલ કિંમતો $v = 6 \,km \,s^{-1} = 6000 \,m \,s^{-1}$ અને $E = 400 \,V \,m^{-1}$ છે。
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટેના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $B = \frac{E}{v}$ મળે છે。
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{400}{6000} \,T$.
$B = \frac{4}{60} \,T = \frac{1}{15} \,T$.
આમ, જરૂરી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\frac{1}{15} \,T$ છે.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $v$ વેગથી $B$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
આના પરથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે: $T = \frac{2\pi r}{v}$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ મળે છે.
આમ,$T = \frac{2\pi m}{qB}$ હોવાથી,આવર્તકાળ એ વેગ $v$ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ થી સ્વતંત્ર છે.
જોકે,$T$ એ વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $(q/m)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,જેમ વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $(q/m)$ વધે છે,તેમ આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2K}{q^2/m}}$ મળે.
વિશિષ્ટ વીજભાર $\alpha = \frac{q}{m}$ હોવાથી,$r = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2K}{m \alpha^2}}$ લખી શકાય.
અહીં વિશિષ્ટ વીજભારનો ગુણોત્તર $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{2}{1}$ અને દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
બંને માટે ગતિઊર્જા $K$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \cdot \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $K = 8.35 \text{ MeV} = 8.35 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.336 \times 10^{-12} \text{ J}$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.336 \times 10^{-12}}{1.67 \times 10^{-27}}} = \sqrt{1.6 \times 10^{15}} = \sqrt{16 \times 10^{14}} = 4 \times 10^7 \text{ m/s}$ મેળવીએ છીએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન લંબ રૂપે પ્રવેશ કરતો હોવાથી,$\theta = 90^\circ$,તેથી $\sin(90^\circ) = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (4 \times 10^7 \text{ m/s}) \times (10 \text{ T}) = 6.4 \times 10^{-11} \text{ N} = 64 \times 10^{-12} \text{ N}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = eV$ છે.
આના પરથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = evB \sin(\theta)$ છે. જો વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય,તો $F = evB$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $F = eB \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B \sqrt{\frac{2e^3V}{m}}$.
આ દર્શાવે છે કે $F \propto \sqrt{V}$.
તેથી,$\frac{F_2}{F_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
આપેલ છે કે $\frac{F_2}{F_1} = \frac{2F}{F} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{V_2}{V_1} = (2)^2 = 4$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = 4:1$ છે.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \ mT = 4 \times 10^{-3} \ T$.
વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $\frac{q}{m} = 8 \times 10^7 \ C \ kg^{-1}$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો કોણીય વેગ $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર $\omega = \frac{qB}{m}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \left(\frac{q}{m}\right) \times B = (8 \times 10^7 \ C \ kg^{-1}) \times (4 \times 10^{-3} \ T)$.
$\omega = 32 \times 10^4 \ rad \ s^{-1}$.

(A) ધારો કે પ્રોટોનની ઉર્જા $E_p$ અને આલ્ફા કણની ઉર્જા $E_{\alpha}$ છે. આપેલ છે કે $\frac{E_p}{E_{\alpha}} = \frac{1}{4}$.
ઉર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{\frac{1}{2}m_p v_p^2}{\frac{1}{2}m_{\alpha} v_{\alpha}^2} = \frac{1}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_{\alpha} = 4m_p$,તેથી $\frac{m_p v_p^2}{4m_p v_{\alpha}^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{v_p^2}{v_{\alpha}^2} = 1 \Rightarrow v_p = v_{\alpha}$.
ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(\theta)$ છે. અહીં $\theta = 90^{\circ}$ હોવાથી,$F = qvB$.
બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_p}{F_{\alpha}} = \frac{q_p v_p B}{q_{\alpha} v_{\alpha} B} = \frac{q_p}{q_{\alpha}}$.
આલ્ફા કણનો વીજભાર $q_{\alpha} = 2q_p$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{q_p}{2q_p} = \frac{1}{2}$ થાય.

(C) કોણીય વેગ $\omega = 4 \pi \times 10^6 \text{ rad s}^{-1}$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_{\parallel} = 3 \times 10^5 \text{ m s}^{-1}$ છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
હેલિક્સની પિચ એ એક સમયગાળામાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં કાપેલું અંતર છે: $\text{Pitch} = v_{\parallel} \times T$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Pitch} = (3 \times 10^5) \times \left( \frac{2 \pi}{4 \pi \times 10^6} \right)$.
$\text{Pitch} = 3 \times 10^5 \times \frac{1}{2 \times 10^6} = \frac{3}{20} \text{ m} = 0.15 \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $0.15 \text{ m} = 15 \text{ cm}$.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v_{\perp}$ (ક્ષેત્રને લંબ) અને $v_{\parallel}$ (ક્ષેત્રને સમાંતર) વેગના ઘટકો સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે હેલિકલ માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T$ વેગના લંબ ઘટક દ્વારા નક્કી થાય છે:
$T = \frac{2 \pi m}{q B}$
એક પરિભ્રમણ દરમિયાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં કાપેલા અંતરને પિચ $(p)$ કહેવામાં આવે છે.
$p = v_{\parallel} \times T$
$T$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = v_{\parallel} \times \frac{2 \pi m}{q B}$
જો કુલ વેગ $v$ ને સમાંતર ઘટક તરીકે ગણવામાં આવે,તો અંતર $\frac{2 \pi m v}{q B}$ થાય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ શોધવાનું સૂત્ર: $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ,$v = 3.2 \times 10^7 \ m/s$
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 6 \times 10^{-4} \ T$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (3.2 \times 10^7)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (6 \times 10^{-4})}$
$R = \frac{28.8 \times 10^{-24}}{9.6 \times 10^{-23}}$
$R = \frac{28.8}{9.6} \times 10^{-1} \ m$
$R = 3 \times 10^{-1} \ m = 0.3 \ m = 30 \ cm$.

(A) જ્યારે વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $q v B = \frac{m v^2}{r}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{v}{r} = \frac{q B}{m}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,$\omega = \frac{q B}{m}$ થાય છે.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{q B}{2 \pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ $f$ માત્ર વીજભાર $q$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને દળ $m$ પર આધાર રાખે છે,તે કણના વેગ કે ગતિઊર્જાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,બંને ઇલેક્ટ્રોન $e_1$ અને $e_2$ માટે આવૃત્તિઓ સમાન રહેશે,એટલે કે $f_1 = f_2$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = 100 eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 1.6 \times 10^{-17} J$ છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = 10 cm = 0.1 m$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 0.5 MeV/c^2 = \frac{0.5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J}{(3 \times 10^8 m/s)^2} \approx 8.89 \times 10^{-31} kg$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$B = \frac{\sqrt{2mK}}{rq}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{\sqrt{2 \times 8.89 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-17}}}{0.1 \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$B = \frac{\sqrt{28.448 \times 10^{-48}}}{1.6 \times 10^{-20}} = \frac{5.33 \times 10^{-24}}{1.6 \times 10^{-20}} \approx 3.33 \times 10^{-4} T$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2m(K.E.)}}{qB}$
અહીં $m$,$q$ અને $B$ અચળ હોવાથી,$r \propto \sqrt{K.E.}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{K_1}{2}$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{\frac{K_1/2}{K_1}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણી થઈ જાય છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
આપેલ છે:
$q = 1.0 \times 10^{-16} \ C$
$v = (2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ ms^{-1}$
$B = B_0(\hat{i} + 4 \hat{j}) \ T$
$F = 3 \times 10^{-16} \hat{k} \ N$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$3 \times 10^{-16} \hat{k} = 1.0 \times 10^{-16} \times [(2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \times B_0(\hat{i} + 4 \hat{j})]$
$3 \hat{k} = B_0 \times [2 \hat{i} \times \hat{i} + 8 \hat{i} \times \hat{j} + 4 \hat{j} \times \hat{i} + 16 \hat{j} \times \hat{j}]$
સદિશ ગુણાકારના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા $(\hat{i} \times \hat{i} = 0, \hat{j} \times \hat{j} = 0, \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k})$:
$3 \hat{k} = B_0 \times [0 + 8 \hat{k} - 4 \hat{k} + 0]$
$3 \hat{k} = B_0 \times (4 \hat{k})$
$4 B_0 = 3$
$B_0 = \frac{3}{4} = 0.75 \ T$.

(C) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ (લોરેન્ઝ બળ) $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બળ વિદ્યુતભારના વેગ $\vec{v}$ પર આધાર રાખે છે.
જો વિદ્યુતભાર સ્થિર હોય,તો તેનો વેગ $\vec{v} = 0$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\vec{F} = q(0 \times \vec{B}) = 0$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્થિર વિદ્યુતભાર પર કોઈ બળ લગાડતું નથી.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નું સૂત્ર $F = qvB \sin \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો:
પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
વેગ,$v = 2.5 \times 10^7 \ m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 2.5 \ T$
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.5 \times 10^7) \times (2.5) \times \sin 30^{\circ}$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.25 \times 10^7) \times 0.5$
$F = 10 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 5 \times 10^{-12} \ N$