Relation between Electric Field and Potential and Potential Gradient Questions in Hindi

(A) विद्युत विभव $V(x, y, z) = 4x^2 \text{ volt}$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z} \right)$ है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
$\vec{E}$ के समीकरण में मान रखने पर:
$\vec{E} = -(8x \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -8x \hat{i} \text{ V/m}$.
बिंदु $(1 \text{ m}, 0, 2 \text{ m})$ पर,$x$-निर्देशांक $1 \text{ m}$ है।
अतः,$\vec{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \text{ V/m}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $8 \text{ V/m}$ के परिमाण के साथ ऋणात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ विद्युत क्षेत्र एकसमान है और धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $E = E_0$ लेने पर।
सूत्र में मान रखने पर: $E_0 = -\frac{dV}{dx}$.
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $dV = -E_0 dx$.
संदर्भ बिंदु $x = 0$ (जहाँ $V = 0$) से बिंदु $x$ (जहाँ विभव $V_x$ है) तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{V_x} dV = -\int_{0}^{x} E_0 dx$.
$[V]_{0}^{V_x} = -E_0 [x]_{0}^{x}$.
$V_x - 0 = -E_0 (x - 0)$.
$V_x = -x E_0$.
अतः,$x$ पर विभव $-x E_0$ होगा।

(B) दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $d$ के लिए सूत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
विभवांतर $V = 10\,V$
दूरी $d = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$
मान रखने पर:
$E = \frac{10}{2 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^2 = 500\,N/C$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: आवेश $Q = 5\,C$,बल $F = 5000\,N$,दूरी $d = 1\,cm = 10^{-2}\,m$.
हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र $E = \frac{F}{Q} = \frac{5000}{5} = 1000\,N/C$.
विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $d$ के बीच संबंध $E = \frac{V}{d}$ है।
इसलिए,$V = E \times d$.
मान रखने पर: $V = 1000 \times 10^{-2} = 10\,V$.
अतः,विभवांतर $10\,V$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 5x^2 + 10x - 9$.
अब,$V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 10x - 9) = 10x + 10$.
इस मान को विद्युत क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$E = -(10x + 10) = -10x - 10$.
$x = 1 \text{ m}$ पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 1$ रखने पर:
$E = -10(1) - 10 = -10 - 10 = -20 \text{ V/m}$.

(A) दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ को सूत्र $E = \frac{\Delta V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta V$ विभवांतर है और $d$ दूरी है।
दिया गया है: विभवांतर $\Delta V = V_2 - V_1 = 30\, V - (-10\, V) = 40\, V$.
दूरी $d = 2\, cm = 2 \times 10^{-2}\, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{40}{2 \times 10^{-2}} = 20 \times 10^2 = 2000\, V/m$.
अतः,विद्युत क्षेत्र $2000\, V/m$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र के घटक विभव के ऋणात्मक अवकलन द्वारा प्राप्त होते हैं: $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$,$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}$,और $E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$E_x = -\frac{\partial}{\partial x}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(6 - 8y^2) = 8y^2 - 6$.
$E_y = -\frac{\partial}{\partial y}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(-16xy - 8 + 6z) = 16xy + 8 - 6z$.
$E_z = -\frac{\partial}{\partial z}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(6y - 8z) = 8z - 6y$.
मूल बिंदु $(x=0, y=0, z=0)$ पर:
$E_x = 8(0)^2 - 6 = -6 \, V/m$.
$E_y = 16(0)(0) + 8 - 6(0) = 8 \, V/m$.
$E_z = 8(0) - 6(0) = 0 \, V/m$.
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, N/C$.
$q = 2 \, C$ आवेश पर कार्य करने वाला विद्युत बल $F = qE = 2 \times 10 = 20 \, N$ होगा।

(B) विद्युत क्षेत्र के घटक विभव के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) द्वारा दिए जाते हैं:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}(-kxy) = ky$
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}(-kxy) = kx$
विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का परिमाण इस प्रकार है:
$E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(ky)^2 + (kx)^2}$
$E = k\sqrt{x^2 + y^2}$
चूंकि मूल बिंदु से दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$E = kr$
अतः,क्षेत्र की तीव्रता मूल बिंदु से दूरी $r$ के सीधे समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto r$.

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dR}$ है, जो $V-R$ ग्राफ के ढाल (slope) का ऋणात्मक मान दर्शाता है।
$R = 4\,m$ और $R = 6\,m$ के बीच के क्षेत्र के लिए, ग्राफ एक सीधी रेखा है जो $(4, 5)$ और $(6, 0)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
इस रेखा का ढाल $m = \frac{V_2 - V_1}{R_2 - R_1} = \frac{0 - 5}{6 - 4} = \frac{-5}{2} = -2.5\,V/m$ है।
अतः, $R = 5\,m$ पर विद्युत क्षेत्र $E = -(\text{ढाल}) = -(-2.5) = 2.5\,V/m$ होगा।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ विभव $V$ से $E = -\frac{dV}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित है। इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र का परिमाण $V-x$ ग्राफ के ढाल (slope) के बराबर होता है।
क्षेत्र $1$,$3$ और $5$ में,विभव $V$ स्थिर है,इसलिए ढाल $\frac{dV}{dx} = 0$ है। अतः,${E_1} = {E_3} = {E_5} = 0$ है।
क्षेत्र $2$ और $4$ में,विभव रैखिक रूप से बदलता है। विद्युत क्षेत्र का परिमाण इन क्षेत्रों में रेखाओं के ढाल द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,क्षेत्र $4$ में रेखा का ढाल क्षेत्र $2$ की रेखा के ढाल से अधिक है। इसलिए,क्षेत्र $4$ में विद्युत क्षेत्र का परिमाण क्षेत्र $2$ से अधिक है,अर्थात ${E_2} < {E_4}$ है।
अतः,सही संबंध ${E_1} = {E_3} = {E_5} = 0$ और ${E_2} < {E_4}$ है।

(A) विभव प्रवणता को तार की प्रति इकाई लंबाई में होने वाले विभव के पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
विभव प्रवणता $ = \frac{\text{विभवांतर}}{\text{लंबाई}}$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = - \frac{dU}{dr}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $U = - \frac{ke^2}{3r^3} = - \frac{ke^2}{3} r^{-3}$।
अब,$U$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$F = - \frac{d}{dr} \left( - \frac{ke^2}{3} r^{-3} \right)$
$F = \frac{ke^2}{3} \frac{d}{dr} (r^{-3})$
$F = \frac{ke^2}{3} (-3 r^{-4})$
$F = - \frac{ke^2}{r^4}$।

(A) चरण $1$: विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध ग्रेडिएंट सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
दिया गया है $V = 4x^2$,आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$,और $\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर,$\vec{E} = -(8x) \hat{i} = -8x \hat{i} \ V/m$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: बिंदु $(1, 0, 2)$ पर विद्युत क्षेत्र का मान ज्ञात करना।
$x = 1$ रखने पर,$\vec{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \ V/m$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $(-x)$ अक्ष की दिशा में $8 \ V/m$ के परिमाण के साथ है।

(C) विभव प्रवणता को दूरी के सापेक्ष विभव में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका सूत्र $E = \frac{V}{d}$ है।
दिया गया है:
विभव $V = 20 \ kV = 20,000 \ V = 2 \times 10^4 \ V$.
दूरी $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times 10^4 \ V}{2 \times 10^{-3} \ m} = 1 \times 10^{4 - (-3)} \ V/m = 10^7 \ V/m$.
अतः,विभव प्रवणता $10^7 \ V/m$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध विभव के ऋणात्मक प्रवणता (negative gradient) द्वारा दिया जाता है।
$x$-दिशा में विद्युत क्षेत्र के घटक के लिए,यह संबंध $E_x = -\frac{dV}{dx}$ है।
यह $x$-दिशा में दूरी के सापेक्ष विभव में परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E_r$ और विभव $\phi$ के बीच संबंध $E_r = -\frac{d\phi}{dr}$ है।
दिया गया है $\phi = ar^2 + b$,इसलिए $E_r = -\frac{d}{dr}(ar^2 + b) = -2ar$ है।
गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आवेश घनत्व $\rho = \varepsilon_0 (\nabla \cdot E)$ होता है।
गोलीय निर्देशांक में,त्रिज्यीय क्षेत्र $E_r$ के लिए डाइवर्जेंस $\nabla \cdot E = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E_r)$ होता है।
$E_r = -2ar$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\nabla \cdot E = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 (-2ar)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2ar^3) = \frac{1}{r^2} (-6ar^2) = -6a$ प्राप्त होता है।
अतः,आवेश घनत्व $\rho = \varepsilon_0 (-6a) = -6a\varepsilon_0$ है।

(A) दिया गया है: दूरी $d = 5 \, mm = 5 \times 10^{-3} \, m$,विभवांतर $V = 50 \, V$,द्रव्यमान $m = 10^{-15} \, kg$,आवेश $q = 10^{-11} \, C$.
विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d} = \frac{50}{5 \times 10^{-3}} = 10^4 \, V/m$.
कण पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{qE}{m}$.
मान रखने पर: $a = \frac{10^{-11} \times 10^4}{10^{-15}} = \frac{10^{-7}}{10^{-15}} = 10^8 \, m/s^2$.

(C) विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $d$ के बीच का संबंध $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V = 10 \, V$ और $d = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
मान रखने पर:
$E = \frac{10}{0.2} = \frac{100}{2} = 50 \, V m^{-1}$.
अतः,दोनों प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $50 \, V m^{-1}$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ है।
दिया गया है $V(x) = 20(x^2 - 4)^{-1}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = 20 \cdot (-1) \cdot (x^2 - 4)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{40x}{(x^2 - 4)^2}$.
अतः,$E = -\left(-\frac{40x}{(x^2 - 4)^2}\right) = \frac{40x}{(x^2 - 4)^2}$.
$x = 4 \ \mu m$ रखने पर:
$E = \frac{40(4)}{(4^2 - 4)^2} = \frac{160}{(16 - 4)^2} = \frac{160}{12^2} = \frac{160}{144}$.
भिन्न को $16$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{10}{9} \ V/\mu m$.
चूंकि मान धनात्मक है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $+ve \ x$-दिशा में है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव $V$ के ऋणात्मक प्रवणता (negative gradient) द्वारा दिया जाता है: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k} \right)$.
आंशिक अवकलन (partial derivatives) की गणना करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = -5$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 3$,और $\frac{\partial V}{\partial z} = \sqrt{15}$.
इन मानों को $\vec{E}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{E} = -(-5\hat{i} + 3\hat{j} + \sqrt{15}\hat{k}) = 5\hat{i} - 3\hat{j} - \sqrt{15}\hat{k}$.
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|\vec{E}| = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2 + (-\sqrt{15})^2}$ है।
$|\vec{E}| = \sqrt{25 + 9 + 15} = \sqrt{49} = 7$ इकाई।

(A) दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ विभव प्रवणता (potential gradient) द्वारा दिया जाता है: $E = \frac{|\Delta V|}{d}$.
यहाँ,$V_1 = -10\, V$ और $V_2 = +30\, V$ दिया गया है।
विभवांतर $\Delta V = V_2 - V_1 = 30 - (-10) = 40\, V$.
दूरी $d = 2\, cm = 2 \times 10^{-2}\, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{40}{2 \times 10^{-2}} = 20 \times 10^2 = 2000\, V/m$.

(B) $Y$-अक्ष के अनुदिश विद्युत क्षेत्र का घटक $E_y$ विभव प्रवणता (potential gradient) के ऋणात्मक मान द्वारा दिया जाता है: $E_y = -\frac{\Delta V}{\Delta y}$.
दिया है: $q = 4 \ \mu C = 4 \times 10^{-6} \ C$,$\Delta V = V_B - V_A = 54.8 \ V - 56 \ V = -1.2 \ V$,और $\Delta y = y_B - y_A = 12.5 \ cm - 12.3 \ cm = 0.2 \ cm = 0.2 \times 10^{-2} \ m$.
विद्युत क्षेत्र $E_y = -\frac{-1.2}{0.2 \times 10^{-2}} = \frac{1.2}{0.002} = 600 \ V/m$.
आवेश $q$ पर बल का घटक $F_y = q E_y = (4 \times 10^{-6} \ C) \times (600 \ V/m) = 2400 \times 10^{-6} \ N = 24 \times 10^{-4} \ N$.

(D) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\overrightarrow{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6 - 8y^2$
$\frac{\partial V}{\partial y} = -16xy - 8 + 6z$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 6y - 8z$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6 - 0 = 6$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0 - 8 + 0 = -8$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0 - 0 = 0$
अतः,मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = -(6 \hat{i} - 8 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -6 \hat{i} + 8 \hat{j} \, N/C$ है।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|\overrightarrow{E}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, N/C$ है।
$2 \, C$ के आवेश पर लगने वाला बल $F = q|\overrightarrow{E}| = 2 \times 10 = 20 \, N$ होगा।

(A) विभवांतर $V_B - V_A$ को संबंध $V_B - V_A = - \int_{A}^{B} E \cdot dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 10 \, m$ और $B = 20 \, m$ है।
$V_{20} - V_{10} = - \int_{10}^{20} \frac{100}{x^2} \, dx$.
$V_{20} - V_{10} = - 100 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{10}^{20}$.
$V_{20} - V_{10} = 100 \left[ \frac{1}{20} - \frac{1}{10} \right]$.
$V_{20} - V_{10} = 100 \left[ \frac{1 - 2}{20} \right] = 100 \left( -\frac{1}{20} \right) = -5 \, V$.
विभवांतर का परिमाण $|V_{10} - V_{20}| = 5 \, V$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र के घटक $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$,$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}$,और $E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
आंशिक अवकलन करने पर:
$E_x = -\frac{\partial}{\partial x}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(6 - 8y^2) = 8y^2 - 6$
$E_y = -\frac{\partial}{\partial y}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(-16xy - 8 + 6z) = 16xy + 8 - 6z$
$E_z = -\frac{\partial}{\partial z}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(6y - 8z) = 8z - 6y$
मूल बिंदु $(x=0, y=0, z=0)$ पर:
$E_x = 8(0)^2 - 6 = -6 \ V/m$
$E_y = 16(0)(0) + 8 - 6(0) = 8 \ V/m$
$E_z = 8(0) - 6(0) = 0 \ V/m$
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ N/C$.
विद्युत बल $F = qE = 2 \ C \times 10 \ N/C = 20 \ N$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभवांतर $dV$ के बीच का संबंध $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r} = -E \, dr \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,विद्युत क्षेत्र की दिशा में विभव बढ़ता है। $x$-अक्ष पर $20 \, V$ और $30 \, V$ की समविभव रेखाओं के बीच की दूरी $dr = (20 - 10) \, cm = 10 \times 10^{-2} \, m$ है।
विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और $x$-अक्ष पर विस्थापन सदिश $d\vec{r}$ के बीच का कोण $\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ है (या लंबवत दूरी विधि का उपयोग करते हुए,$E = \frac{dV}{dr_{\perp}}$ जहाँ $dr_{\perp} = dr \sin 30^\circ$)।
$E = \frac{\Delta V}{\Delta r \sin \theta} = \frac{30 - 20}{0.1 \times \sin 30^\circ} = \frac{10}{0.1 \times 0.5} = \frac{10}{0.05} = 200 \, V/m$ प्राप्त होता है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ है।
दिया गया है $V = axy$,अतः विद्युत क्षेत्र के घटक हैं:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -ay$
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -ax$
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}$ है।
घटकों का मान रखने पर,$E = \sqrt{(-ay)^2 + (-ax)^2} = \sqrt{a^2y^2 + a^2x^2} = a\sqrt{x^2 + y^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल बिंदु से दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ है,इसलिए $E = ar$ होगा।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E$,$r$ के समानुपाती है $(E \propto r)$।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ होता है।
यहाँ $V = 4x^2$ दिया गया है।
अवकलन करने पर: $E = -\frac{d}{dx}(4x^2) = -8x$.
बिंदु $(1 \ m, 0, 2 \ m)$ पर,$x$-निर्देशांक $1 \ m$ है।
$E$ के समीकरण में $x = 1$ रखने पर: $E = -8(1) = -8 \ V/m$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $-X$-अक्ष की दिशा में है।
अतः,विद्युत क्षेत्र का परिमाण $8 \ V/m$ है और दिशा $-X$-अक्ष है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 5x^2 + 10x - 9$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 10x - 9) = 10x + 10$।
अतः,$E = -(10x + 10)$।
$x = 1 \ m$ पर,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$E = -(10(1) + 10) = -(10 + 10) = -20 \ V/m$।

(B) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ है।
दिया गया है $V = 4x + 3y$।
विद्युत क्षेत्र का $x$-घटक $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}(4x + 3y) = -4 \, \text{V/m}$ है।
विद्युत क्षेत्र का $y$-घटक $E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}(4x + 3y) = -3 \, \text{V/m}$ है।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}$ है।
मान रखने पर,$E = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{V/m}$ (या $\text{N/C}$)।

(A) विभव प्रवणता को प्रति इकाई लंबाई विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $E = \frac{V}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम से,$V = iR$,जहाँ $R = \rho \frac{L}{A}$ है।
विभव प्रवणता के सूत्र में $R$ का मान रखने पर:
$E = \frac{i \rho L}{A L} = \frac{i \rho}{A}$.
दिए गए मान: $i = 0.2 \, A$,$\rho = 40 \times 10^{-8} \, \Omega \, m$,और $A = 8 \times 10^{-6} \, m^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{0.2 \times 40 \times 10^{-8}}{8 \times 10^{-6}}$.
$E = \frac{8 \times 10^{-8}}{8 \times 10^{-6}} = 10^{-2} \, V/m$.

(C) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = Q \times 10^{11} \, V$,इसलिए $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} = Q \times 10^{11}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r} = 4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{11}$ प्राप्त होता है।
उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} \right) \cdot \frac{1}{r}$ होता है।
मान रखने पर,$E = (Q \times 10^{11}) \times (4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{11})$।
अतः,$E = 4 \pi \varepsilon_0 Q \times 10^{22} \, V/m$।

(D) विद्युत विभव $V = -x^2y - xz^3 + 4$ दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k} \right)$ है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^2y - xz^3 + 4) = -2xy - z^3$
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2y - xz^3 + 4) = -x^2$
$\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-x^2y - xz^3 + 4) = -3xz^2$
इन मानों को $\vec{E}$ के सूत्र में रखने पर:
$\vec{E} = -[(-2xy - z^3)\hat{i} + (-x^2)\hat{j} + (-3xz^2)\hat{k}]$
$\vec{E} = (2xy + z^3)\hat{i} + x^2\hat{j} + 3xz^2\hat{k}$.

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ है।
जहाँ $\nabla = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}$ है।
अतः,$\vec{E} = -\left[ \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z} \right]$.
दिया गया है $V = 4x^2$,आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 8x$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$,और $\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
इन मानों को $\vec{E}$ के समीकरण में रखने पर:
$\vec{E} = -(8x \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -8x \hat{i} \text{ V/m}$.
बिंदु $(1, 0, 2)$ पर,$x = 1$ रखने पर:
$\vec{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \text{ V/m}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $8 \text{ V/m}$ के परिमाण के साथ ऋणात्मक $X-$ अक्ष की दिशा में है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव $V$ के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) द्वारा दिया जाता है: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
दिया गया है $V(x, y, z) = 6x - 8xy - 8y + 6yz$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -(6 - 8y) = -6 + 8y$.
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(-8x - 8 + 6z) = 8x + 8 - 6z$.
$E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -(6y) = -6y$.
बिंदु $(1, 1, 1)$ पर:
$E_x = -6 + 8(1) = 2 \ V/m$.
$E_y = 8(1) + 8 - 6(1) = 10 \ V/m$.
$E_z = -6(1) = -6 \ V/m$.
अतः,$\vec{E} = 2\hat{i} + 10\hat{j} - 6\hat{k} \ V/m$.
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|\vec{E}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} = 2\sqrt{35} \ V/m$.
विद्युत बल $\vec{F} = q\vec{E}$ है। दिया गया है $q = 2 \ C$,अतः बल का परिमाण $F = q|\vec{E}| = 2 \times 2\sqrt{35} = 4\sqrt{35} \ N$.

(C) दिया गया विभव फलन: $V = 6xy - y + 2yz$.
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6y$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 6x - 1 + 2z$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 2y$
अतः,$\vec{E} = -[ (6y)\hat{i} + (6x - 1 + 2z)\hat{j} + (2y)\hat{k} ]$.
बिंदु $(1, 1, 0)$ पर मान रखने पर:
$\vec{E}_{(1, 1, 0)} = -[ (6 \times 1)\hat{i} + (6 \times 1 - 1 + 2 \times 0)\hat{j} + (2 \times 1)\hat{k} ]$
$\vec{E}_{(1, 1, 0)} = -(6\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) \ N/C$.

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ एकसमान है और धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।
विद्युत क्षेत्र और विद्युत विभव के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि विद्युत विभव $V$ विद्युत क्षेत्र की दिशा में घटता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए जैसे-जैसे हम $x$-अक्ष पर बाएं से दाएं जाते हैं,विभव घटता जाता है।
दिए गए बिंदुओं के $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
बिंदु $C$,$x = -a$ पर है।
बिंदु $B$ और $D$,$x = 0$ पर हैं।
बिंदु $A$,$x = a$ पर है।
चूंकि $x$ बढ़ने पर विभव घटता है,इसलिए विभव $C$ पर अधिकतम और $A$ पर न्यूनतम होगा।

(B) दिया गया है,$V = k[2x^2 - y^2 + z^2]$।
विद्युत क्षेत्र विभव की ऋणात्मक प्रवणता (gradient) द्वारा दिया जाता है: $\vec{E} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k}\right)$।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = k(4x)$
$\frac{\partial V}{\partial y} = k(-2y)$
$\frac{\partial V}{\partial z} = k(2z)$
अतः,$\vec{E} = -k(4x \hat{i} - 2y \hat{j} + 2z \hat{k})$।
बिंदु $(1, 1, 1)$ पर,विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E}_{(1,1,1)} = -k(4(1) \hat{i} - 2(1) \hat{j} + 2(1) \hat{k}) = -k(4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण:
$|\vec{E}| = \sqrt{(-4k)^2 + (2k)^2 + (-2k)^2} = \sqrt{16k^2 + 4k^2 + 4k^2} = \sqrt{24k^2} = 2k\sqrt{6}$।

(D) विद्युत क्षेत्र $E_x$ और विभव $V$ के बीच का संबंध $E_x = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $V-x$ ग्राफ के ढाल (slope) का ऋणात्मक मान है।
बिंदु $A$ पर, ढाल $\frac{dV}{dx}$ धनात्मक है, इसलिए $E_x = -(\text{धनात्मक}) = \text{ऋणात्मक}$। अतः, $A$ पर विद्युत क्षेत्र ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।
बिंदु $B$ पर, ग्राफ अपने शीर्ष पर पहुँचता है, इसलिए ढाल $\frac{dV}{dx} = 0$, जिसका अर्थ है कि $E_x = 0$ है।
बिंदु $C$ पर, ढाल $\frac{dV}{dx}$ ऋणात्मक है, इसलिए $E_x = -(\text{ऋणात्मक}) = \text{धनात्मक}$। अतः, $C$ पर विद्युत क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।
इसलिए, सही कथन यह है कि बिंदु $C$ पर $x$-घटक धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।

(A) दिया गया विभव फलन $V(x) = \frac{20}{x^2 - 4} \text{ volt}$ है।
विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ है।
$E = -\frac{d}{dx} \left( 20(x^2 - 4)^{-1} \right) = -20 \cdot (-1)(x^2 - 4)^{-2} \cdot (2x) = \frac{40x}{(x^2 - 4)^2}$.
अब,$E$ के समीकरण में $x = 4 \mu m$ रखने पर:
$E = \frac{40(4)}{(4^2 - 4)^2} = \frac{160}{(16 - 4)^2} = \frac{160}{12^2} = \frac{160}{144}$.
अंश और हर को $16$ से विभाजित करने पर,हमें $E = \frac{10}{9} \text{ V/}\mu m$ प्राप्त होता है।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $+ve \ x$ दिशा में है।

(B) विद्युत क्षेत्र में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर का संबंध $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{x}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक का मूल बिंदु $(x = 0)$ से $x = 2 \ m$ बिंदु तक समाकलन करने पर:
$V_A - V_O = -\int_{0}^{2} 30x^2 dx$
$V_A - V_O = -[10x^3]_{0}^{2}$
$V_A - V_O = -(10(2)^3 - 10(0)^3)$
$V_A - V_O = -(10 \times 8) = -80 \ V$.

(B) विद्युत क्षेत्र $(E)$ और विभव $(V)$ के बीच का संबंध सूत्र $E_x = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र के $x$-घटक का परिमाण,$|E_x|$,$V-X$ ग्राफ के ढाल (slope) के निरपेक्ष मान के बराबर है,अर्थात $|E_x| = |\frac{dV}{dx}|$.
वह क्षेत्र ज्ञात करने के लिए जहाँ विद्युत क्षेत्र का परिमाण अधिकतम है,हमें वह क्षेत्र पहचानना होगा जहाँ $V-X$ ग्राफ का ढाल सबसे अधिक तीव्र (अर्थात सबसे बड़ा निरपेक्ष मान) है।
ग्राफ को देखने पर:
- क्षेत्र $1$ और $4$ में,विभव स्थिर है,इसलिए ढाल $0$ है,जिसका अर्थ है कि $E_x = 0$.
- क्षेत्र $2$ और $3$ में,विभव दूरी के साथ बदलता है,इसलिए ढाल शून्य नहीं है।
- क्षेत्र $2$ और $3$ में रेखाओं की तीव्रता की तुलना करने पर,क्षेत्र $2$ में रेखा,क्षेत्र $3$ की रेखा की तुलना में बहुत अधिक तीव्र है।
अतः,ढाल का परिमाण क्षेत्र $2$ में अधिकतम है,जिसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र का परिमाण क्षेत्र $2$ में अधिकतम है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ है।
दिया गया है $V = -5x + 3y + \sqrt{15}z$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -(-5) = 5$
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(3) = -3$
$E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -(\sqrt{15}) = -\sqrt{15}$
अतः,$\vec{E} = 5\hat{i} - 3\hat{j} - \sqrt{15}\hat{k}$.
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}$ है।
$|\vec{E}| = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2 + (-\sqrt{15})^2} = \sqrt{25 + 9 + 15} = \sqrt{49} = 7$.

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ है।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र का परिमाण विभव प्रवणता के परिमाण के बराबर होता है,$|E| = |\frac{dV}{dx}|$.
दिए गए चित्र में,विद्युत क्षेत्र रेखाएं $X$ के पास एक-दूसरे के करीब हैं और जैसे-जैसे हम $Y$ की ओर बढ़ते हैं,वे अधिक फैलती (समान) जाती हैं।
यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $|E|$,$X$ के पास अधिक है और जैसे-जैसे हम $Y$ की ओर बढ़ते हैं,यह कम होती जाती है।
चूंकि $|E| = |\frac{dV}{dx}|$,इसलिए विभव $V$ बनाम दूरी $d$ के ग्राफ का ढलान $X$ के पास अधिक होना चाहिए और जैसे-जैसे हम $Y$ की ओर बढ़ते हैं,ढलान कम होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $B$ में दिया गया ग्राफ $X$ के पास $V$ में तीव्र गिरावट (अधिक ढलान) और $Y$ की ओर बढ़ते हुए कम गिरावट (कम ढलान) को दर्शाता है,जो विभव के परिवर्तन को सही ढंग से प्रस्तुत करता है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E_x$ विभव $V$ से $E_x = -\frac{dV}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
$1$. $x < -d$ के लिए,$V = 0$,इसलिए $E_x = -\frac{d(0)}{dx} = 0$.
$2$. $-d \le x < 0$ के लिए,$V = -V_0(1 + \frac{x}{d})^2$.
$E_x = -\frac{d}{dx}[-V_0(1 + \frac{x}{d})^2] = V_0 \cdot 2(1 + \frac{x}{d}) \cdot \frac{1}{d} = \frac{2V_0}{d}(1 + \frac{x}{d})$.
$x = -d$ पर,$E_x = 0$. $x = 0$ पर,$E_x = \frac{2V_0}{d}$.
$3$. $0 \le x < d$ के लिए,$V = -V_0(1 + 2\frac{x}{d})$.
$E_x = -\frac{d}{dx}[-V_0(1 + 2\frac{x}{d})] = V_0 \cdot \frac{2}{d} = \frac{2V_0}{d}$.
यह एक स्थिर मान है।
$4$. $x \ge d$ के लिए,$V = -3V_0$,इसलिए $E_x = -\frac{d(-3V_0)}{dx} = 0$.
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ $x$ के फलन के रूप में $E_x$ को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) समविभव रेखाओं का समीकरण $V = ax + by + c$ है। ग्राफ से,$V = 2 \, V$ के लिए,रेखा $(6, 2)$ और $(4, 1)$ से होकर गुजरती है। ढाल $m = \frac{1-2}{4-6} = \frac{-1}{-2} = 0.5$ है। समीकरण $y - 1 = 0.5(x - 4) \Rightarrow y = 0.5x - 1 \Rightarrow 0.5x - y = 1$ है। $2$ से गुणा करने पर,हमें $x - 2y = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$V = k(x - 2y)$। $V = 2$ के लिए,$2 = k(6 - 2(2)) = 2k \Rightarrow k = 1$। इसलिए,$V = x - 2y$।
विद्युत क्षेत्र के घटक $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -1 \, V/\text{cm} = -100 \, V/m$ और $E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(-2) = +2 \, V/\text{cm} = +200 \, V/m$ हैं।
अतः,$E_x = -100 \, V/m$ और $E_y = +200 \, V/m$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E} = E \cos 45^\circ \hat{i} + E \sin 45^\circ \hat{j} = \frac{400}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) \, V/m$ है।
बिंदुओं $A(0, 0.02 \, m)$ और $B(0.03 \, m, 0)$ के बीच विभवांतर $V_A - V_B = \vec{E} \cdot \vec{r}_{BA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = -0.03 \hat{i} + 0.02 \hat{j} \, m$ है।
$V_A - V_B = \left[ \frac{400}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) \right] \cdot (-0.03 \hat{i} + 0.02 \hat{j})$
$V_A - V_B = \frac{400}{\sqrt{2}} (-0.03 + 0.02) = \frac{400}{\sqrt{2}} (-0.01) = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2} \approx -2.828 \, V$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $2.8 \, V$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध ग्रेडिएंट सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{E} = -\nabla V = -\left[ \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z} \right]$.
दिया गया है $V = 4x^2$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
इन मानों को विद्युत क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$\overrightarrow{E} = -[\hat{i}(8x) + \hat{j}(0) + \hat{k}(0)] = -8x \hat{i}$.
बिंदु $(1 \, m, 0, 2 \, m)$ पर,$x$ का मान $1 \, m$ है।
अतः,$\overrightarrow{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \, V/m$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $8 \, V/m$ के परिमाण के साथ ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dr}$ है।
दिया गया है $V = b - ar^2$,इसलिए $E = -\frac{d}{dr}(b - ar^2) = 2ar$ है।
गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आवेश घनत्व $\rho = \varepsilon_0 (\nabla \cdot E)$ द्वारा दिया जाता है।
गोलीय निर्देशांक में,त्रिज्यीय क्षेत्र $E(r)$ के लिए डाइवर्जेंस $\nabla \cdot E = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E)$ होता है।
$E = 2ar$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\nabla \cdot E = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot 2ar) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(2ar^3) = \frac{1}{r^2} (6ar^2) = 6a$।
अतः,आवेश घनत्व $\rho = \varepsilon_0 (6a) = 6a\varepsilon_0$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ है।
दिया गया है $V = 5x^2 + 5xy$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -(10x + 5y)$.
बिंदु $(1, -2)$ पर,$E_x = -(10(1) + 5(-2)) = -(10 - 10) = 0$.
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(5x) = -5x$.
बिंदु $(1, -2)$ पर,$E_y = -5(1) = -5$.
अतः,बिंदु $(1, -2)$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 0 \hat{i} - 5 \hat{j} = -5 \hat{j} \, V/m$ होगा।