Electric potential Questions in Hindi

(A) आवेश $Q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = Q(V_B - V_A)$.
दिया गया है: $Q = 5\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$ और $W = 10\,mJ = 10 \times 10^{-3}\,J$.
विभवांतर ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(V_B - V_A) = \frac{W}{Q}$.
मान रखने पर: $(V_B - V_A) = \frac{10 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^3\,V = 2\,kV$.

(C) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विभव $V$,आवेश से दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(V \propto \frac{1}{r})$।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(B) पृथ्वी को एक अच्छा चालक माना जाता है। अपने विशाल आकार के कारण,यह अपने विभव में महत्वपूर्ण परिवर्तन किए बिना लगभग असीमित मात्रा में आवेश को स्वीकार या प्रदान कर सकती है। परिपाटी के अनुसार,पृथ्वी का विद्युत विभव $0 \ V$ लिया जाता है।

(C) एक आवेशित चालक गोले के लिए,चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विद्युत विभव का ऋणात्मक प्रवणता $(E = -dV/dr)$ है,यदि $E = 0$ है,तो $dV/dr = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि चालक के भीतर विभव $(V)$ स्थिर रहता है।
अतः,चालक गोले के भीतर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के समान ही होता है।

(C) $Q$ आवेश वाले $R$ त्रिज्या के एक चालक गोले के लिए,विद्युत विभव उसके भीतर हर जगह समान होता है और यह उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
चूंकि दूरी $R/2$ त्रिज्या $R$ से कम है,इसलिए यह बिंदु चालक गोले के अंदर स्थित है।
अतः,$R/2$ पर विभव सतह पर स्थित विभव के समान होगा,जो कि $V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$ है।

(C) एक बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है। कुल विभव व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग होता है।
मान लीजिए कि जिस बिंदु पर विभव शून्य है,उसका स्थान $x$ है। विभव का सूत्र:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_1}{x} + \frac{q_2}{|x - 6|} \right] = 0$
स्थिति $1$: आवेशों के बीच का बिंदु $(0 < x < 6)$:
$\frac{2 \times 10^{-6}}{x} + \frac{-1 \times 10^{-6}}{6 - x} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{1}{6 - x} \implies 12 - 2x = x \implies 3x = 12 \implies x = 4$.
स्थिति $2$: आवेशों के बाहर का बिंदु $(x > 6)$:
$\frac{2 \times 10^{-6}}{x} + \frac{-1 \times 10^{-6}}{x - 6} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - 6} \implies 2x - 12 = x \implies x = 12$.
अतः,$x = 4$ और $x = 12$ बिंदुओं पर विद्युत विभव शून्य है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\,g = 2 \times 10^{-3}\,kg$, आवेश $q = 2\,\mu C = 2 \times 10^{-6}\,C$, अंतिम वेग $v = 10\,m/s$, प्रारंभिक वेग $u = 0\,m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K$
$qV = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2$
चूंकि $u = 0$, इसलिए:
$qV = \frac{1}{2}mv^2$
$V = \frac{mv^2}{2q}$
मान रखने पर:
$V = \frac{(2 \times 10^{-3}\,kg) \times (10\,m/s)^2}{2 \times (2 \times 10^{-6}\,C)}$
$V = \frac{2 \times 10^{-3} \times 100}{4 \times 10^{-6}}$
$V = \frac{2 \times 10^{-1}}{4 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^5\,V = 50,000\,V = 50\,kV$.
अतः, आवश्यक विभवांतर $50\,kV$ है।

(C) एक धनात्मक आवेश स्वाभाविक रूप से उच्च विभव से निम्न विभव की ओर गति करता है।
चूंकि वृत्त $S$ के अंदर का विभव धनात्मक है और बाहर का विभव ऋणात्मक है,इसलिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं अंदर से बाहर की ओर होंगी।
इसलिए,$S$ के अंदर रखे गए एक स्वतंत्र धनात्मक आवेश पर $S$ के बाहर की दिशा में एक विद्युत बल कार्य करेगा।
परिणामस्वरूप,आवेश धनात्मक विभव वाले क्षेत्र से ऋणात्मक विभव वाले क्षेत्र की ओर गति करेगा,जिसका अर्थ है कि इसे किसी समय वृत्त $S$ को पार करना ही होगा।

(D) मान लीजिए कि दो रिंगों के केंद्र $O_1$ और $O_2$ हैं। $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली रिंग की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{R^2 + x^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली रिंग (आवेश $+q$) के लिए केंद्र $O_1$ पर:
स्वयं के कारण विभव $V_{1, self} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
दूसरी रिंग (आवेश $-q$) के कारण $d$ दूरी पर विभव $V_{1, other} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$ है।
अतः,$V_{O_1} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.
दूसरी रिंग (आवेश $-q$) के लिए केंद्र $O_2$ पर:
स्वयं के कारण विभव $V_{2, self} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$ है।
पहली रिंग (आवेश $+q$) के कारण $d$ दूरी पर विभव $V_{2, other} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$ है।
अतः,$V_{O_2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{R} + \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = -V_{O_1}$.
विभवांतर $\Delta V = V_{O_1} - V_{O_2} = V_{O_1} - (-V_{O_1}) = 2V_{O_1}$ है।
$\Delta V = 2 \cdot \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.

(B) दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V$ में गति करने वाले आवेश $q$ पर किया गया कार्य $W = q \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
विभवांतर $\Delta V = V_{final} - V_{initial} = 70\, V - 50\, V = 20\, V$ है।
इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ होता है।
अतः,गतिज ऊर्जा $K.E. = q \times \Delta V = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (20 \, V) = 3.2 \times 10^{-18} \, J$ होगी।

(B) चित्र के अनुसार,वहाँ कोई बाहरी विद्युत क्षेत्र मौजूद नहीं है।
विद्युत क्षेत्र में आवेश $q$ को स्थानांतरित करने में किया गया कार्य $W = q \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि कोई बाहरी आवेश या क्षेत्र नहीं है,इसलिए विद्युत विभव $V$ पूरे क्षेत्र में शून्य है।
अतः,किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य है।
परिणामस्वरूप,एक बिंदु आवेश को बिंदु $P$ से किसी भी बिंदु $A$,$B$ या $C$ तक ले जाने में किया गया कार्य शून्य है।
इस प्रकार,$W_A = W_B = W_C = 0$।

(B) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक खोखले धात्विक गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{dV}{dr} = 0$ है,इसलिए गोले के अंदर विभव $V$ स्थिर रहता है।
गोले की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{R}$ होता है।
चूंकि अंदर विभव स्थिर रहता है,इसलिए केंद्र पर विभव सतह पर विभव के समान ही होता है,जो कि $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{R}$ है।

(D) दो चालकों के बीच धारा तभी प्रवाहित होती है जब उनके बीच विभवांतर हो।
जब दो आवेशित पिंडों को जोड़ा जाता है,तो आवेश उच्च विभव वाले पिंड से निम्न विभव वाले पिंड की ओर प्रवाहित होता है।
यदि दोनों पिंड समान विभव पर हैं,तो उनके बीच कोई विभवांतर नहीं होता है,और इसलिए,उनके बीच कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
अतः,सही स्थिति यह है कि उनका विभव समान होना चाहिए।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r}$ है।
जब $n = 8$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $R = n^{1/3} r = 8^{1/3} r = 2r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = 8q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r} = 4 \left( \frac{kq}{r} \right) = 4v$ है।
अतः,बड़ी बूंद और छोटी बूंद के विभव का अनुपात $\frac{V}{v} = 4:1$ है।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है।
छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r}$ है।
जब $n = 27$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$n = 27$ के लिए,$R = (27)^{1/3} r = 3r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = 27q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3} v$ होता है।
$n = 27$ रखने पर,$V = (27)^{2/3} v = (3^3)^{2/3} v = 3^2 v = 9v$.
अतः,विद्युत विभव $9$ गुना बढ़ जाएगा।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r = 2 \, cm = 0.02 \, m$ है और प्रत्येक पर आवेश $q = 10^{-9} \, C$ है।
छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{0.02} = \frac{9}{0.02} = 450 \, V$ है।
जब $n = 64$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,इसलिए $R = n^{1/3}r$।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \times \frac{kq}{r} = n^{2/3}v$ है।
मान रखने पर: $V = (64)^{2/3} \times 450 = (4^3)^{2/3} \times 450 = 4^2 \times 450 = 16 \times 450 = 7200 \, V$।
अतः,$V = 7.2 \times 10^3 \, V$।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और उसका आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r} = 10\,V$ है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और उसका आवेश $Q$ है। आयतन संरक्षण के अनुसार,$64$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $R^3 = 64r^3$ प्राप्त होता है,अतः $R = 4r$.
बड़ी बूंद का कुल आवेश $Q = 64q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(64q)}{4r} = 16 \times \frac{kq}{r}$ होगा।
$v = \frac{kq}{r} = 10\,V$ का मान रखने पर,हमें $V = 16 \times 10 = 160\,V$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r}$ है।
जब $n = 8$ बूंदों को जोड़कर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाई जाती है,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $R = n^{1/3}r = 8^{1/3}r = 2r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = 8q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3}V$ होता है।
$n = 8$ रखने पर,हमें $V' = 8^{2/3}V = (2^3)^{2/3}V = 2^2 V = 4V$ प्राप्त होता है।
अतः,बड़ी बूंद पर विभव छोटी बूंद का $4$ गुना होगा।

(C) एक चालक का विद्युत विभव $V$,संबंध $V = Q/C$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Q$ चालक को दिए गए आवेश की मात्रा को दर्शाता है।
$C$ चालक की धारिता (capacitance) को दर्शाता है,जो उसकी ज्यामिति,आकार और आसपास के माध्यम पर निर्भर करती है।
इसलिए,विभव $V$ आवेश की मात्रा $Q$ और धारिता $C$ (जो ज्यामिति और आकार पर निर्भर करती है) दोनों पर निर्भर करता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) माना $r$ और $R$ त्रिज्या वाले गोलों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं। दिया गया है कि $q_1 + q_2 = Q$.
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व समान है,$\sigma = \frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2}$.
इससे प्राप्त होता है $\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2}$,अर्थात $q_1 = q_2 \frac{r^2}{R^2}$.
कुल आवेश के समीकरण में यह मान रखने पर: $q_2 \frac{r^2}{R^2} + q_2 = Q \implies q_2 \left( \frac{r^2 + R^2}{R^2} \right) = Q \implies q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$.
इसी प्रकार,$q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$.
सामान्य केंद्र पर विभव दोनों गोलों के कारण विभव का योग है: $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$.
$q_1$ और $q_2$ के मान रखने पर: $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right)$.
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r}{R^2 + r^2} + \frac{Q R}{R^2 + r^2} \right) = \frac{Q(R + r)}{4\pi \varepsilon_0(R^2 + r^2)}$.

(B) एक रिंग के केंद्र $(O_1)$ से दूसरी रिंग के केंद्र $(O_2)$ तक $q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_{O_2} - V_{O_1})$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों रिंगों के कारण पहली रिंग के केंद्र $(O_1)$ पर विभव:
$V_{O_1} = \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$.
दोनों रिंगों के कारण दूसरी रिंग के केंद्र $(O_2)$ पर विभव:
$V_{O_2} = \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right)$.
विभवांतर:
$V_{O_2} - V_{O_1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} - Q_1 - \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( (Q_2 - Q_1) - \frac{1}{\sqrt{2}}(Q_2 - Q_1) \right) = \frac{Q_2 - Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{(Q_2 - Q_1)(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} \cdot 4\pi \varepsilon_0 R}$.
अतः,किया गया कार्य $W = \frac{q(Q_2 - Q_1)(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} \cdot 4\pi \varepsilon_0 R}$ है।

(D) बिंदु आवेशों के निकाय के कारण मूल बिंदु पर विद्युत विभव $V = \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए स्थानों और आवेशों का मान रखने पर:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \left( \frac{q}{x_0} + \frac{q}{3x_0} + \frac{q}{5x_0} + \dots \right) - \left( \frac{q}{2x_0} + \frac{q}{4x_0} + \frac{q}{6x_0} + \dots \right) \right]$
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x_0} \left[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots \right]$
टेलर श्रेणी $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ का उपयोग करते हुए, $x=1$ के लिए, हमें $\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ प्राप्त होता है।
अतः, $V = \frac{q \ln 2}{4\pi\varepsilon_0 x_0}$।

(A) अनंत से बिंदु $P$ तक विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल उस बिंदु पर विद्युत विभव $V$ के रूप में परिभाषित होता है।
$\int_{\infty}^{P} -\vec{E} \cdot d\vec{l} = V_P - V_{\infty}$.
चूंकि अनंत पर विभव $V_{\infty} = 0$ है,इसलिए यह समाकल रिंग के केंद्र पर विभव को दर्शाता है।
$R$ त्रिज्या और $q$ कुल आवेश वाली रिंग के लिए,केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $q = 1.11 \times 10^{-10}\,C$,$R = 0.5\,m$,और $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ है।
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{1.11 \times 10^{-10}}{0.5} = \frac{9.99 \times 10^{-1}}{0.5} = \frac{0.999}{0.5} \approx 2\,V$.

(B) प्रारंभ में,चित्र $(i)$ के अनुसार,$Q$ की स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{2kqQ}{a}$ है ... $(i)$
चित्र $(ii)$ के अनुसार,जब आवेश $Q$ को $x$ की अल्प दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा हो जाती है:
$U_f = kqQ \left[ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right] = kqQ \left[ \frac{(a-x) + (a+x)}{a^2 - x^2} \right] = \frac{2kqQa}{a^2 - x^2}$ ... $(ii)$
अतः,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$\Delta U = U_f - U_i = 2kqQ \left[ \frac{a}{a^2 - x^2} - \frac{1}{a} \right] = 2kqQ \left[ \frac{a^2 - (a^2 - x^2)}{a(a^2 - x^2)} \right] = \frac{2kqQx^2}{a(a^2 - x^2)}$
चूंकि $x << a$,हम $a^2 - x^2 \approx a^2$ मान सकते हैं। इसलिए:
$\Delta U \approx \frac{2kqQx^2}{a(a^2)} = \frac{2kqQ}{a^3} x^2$
इस प्रकार,$\Delta U \propto x^2$।

(A) मान लीजिए कि ठोस गोले की त्रिज्या $a$ है और खोखले कवच की त्रिज्या $b$ है।
प्रारंभ में,ठोस गोले पर $Q$ आवेश है और कवच पर $0$ आवेश है।
ठोस गोले की सतह पर विभव $V_{\text{sphere}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{a} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{0}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{a}$ है।
खोखले कवच की सतह पर विभव $V_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{b} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{0}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{b}$ है।
प्रारंभिक विभवांतर $V = V_{\text{sphere}} - V_{\text{shell}} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ है।
अब,कवच को $-3Q$ आवेश दिया जाता है।
ठोस गोले की सतह पर नया विभव $V'_{\text{sphere}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{a} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-3Q}{b}$ है।
खोखले कवच की सतह पर नया विभव $V'_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{b} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-3Q}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( -\frac{2Q}{b} \right)$ है।
नया विभवांतर $V' = V'_{\text{sphere}} - V'_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{3Q}{b} - (-\frac{2Q}{b}) \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{Q}{b} \right) = V$ होता है।

(B) $Q$ आवेश वाले $R$ त्रिज्या के एक खोखले गोलाकार कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r \le R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है: $V_{inside} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$.
$2$. कोश के बाहर $(r \ge R)$,कोश केंद्र पर रखे बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विभव $V_{out} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$ के अनुसार बदलता है,जिसका अर्थ है कि $V \propto \frac{1}{r}$.
$3$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $B$ सही ढंग से $r \le R$ के लिए स्थिर विभव और $r > R$ के लिए अतिपरवलयिक (hyperbolic) कमी को दर्शाता है।

(B) जब किसी आवेशित कण को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,कण का आवेश $q = 2e$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का प्रारंभिक आवेश है।
विभवांतर $V = 5 \; V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = (2e) \times (5 \; V)$
$K = 10 \; eV$.
अतः,कण की अंतिम गतिज ऊर्जा $10 \; eV$ होगी।

(D) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = qV$ है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ है और विभवांतर $V = 100,000 \text{ V} = 10^5 \text{ V}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (10^5 \text{ V})$
$E = 1.6 \times 10^{-14} \text{ J}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) जब $e$ आवेश वाले एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा इलेक्ट्रॉन पर किया गया कार्य $W = eV$ होता है।
यह किया गया कार्य इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए,$K = eV$ होता है।
जैसे-जैसे विभवांतर $V$ बढ़ता है,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा बढ़ती है।
अतः,इलेक्ट्रॉनों को विद्युत विभव से गुजारकर उनकी ऊर्जा बढ़ाई जा सकती है।

(B) $V$ विभवांतर से गुजरने वाले $q$ आवेश पर किया गया कार्य $W = qV$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = e$ है और विभवांतर $V$ है।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्जा $K = e \times V = eV$ जूल होगी।

(D) सही विकल्प $D$ है।
इलेक्ट्रॉन वोल्ट (प्रतीक $eV$) ऊर्जा की एक इकाई है।
परिभाषा के अनुसार,$1 \ eV$ वह गतिज ऊर्जा है जो एक एकल इलेक्ट्रॉन द्वारा $1 \ V$ के विद्युत विभवांतर से गुजरने पर प्राप्त की जाती है।
गणितीय रूप से,$1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$,जहाँ $J$ ऊर्जा की $SI$ इकाई,जूल है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक आवेशित चालक गोले के लिए,आवेश $Q$ पूरी तरह से इसकी सतह पर स्थित होता है।
गोले के अंदर (दूरी $r < R$ के लिए),विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
चूंकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
गोले की सतह पर विभव $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर,जिसमें केंद्र से $R/2$ की दूरी भी शामिल है,विभव $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ होगा।

(B) $R$ त्रिज्या वाली आवेशित रिंग के केंद्र से उसकी अक्ष पर $x$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{x^2 + R^2}}$ होता है।
मान लीजिए रिंगों के केंद्र $C_1$ और $C_2$ हैं,जो $d$ दूरी पर स्थित हैं। $C_1$ पर विभव,$C_1$ पर स्थित रिंग (आवेश $+q$) और $C_2$ पर स्थित रिंग (आवेश $-q$) के कारण विभव का योग है:
$V_1 = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R} + \frac{-q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{d^2 + R^2}}$.
$C_2$ पर विभव,$C_2$ पर स्थित रिंग (आवेश $-q$) और $C_1$ पर स्थित रिंग (आवेश $+q$) के कारण विभव का योग है:
$V_2 = \frac{-q}{4\pi \epsilon_0 R} + \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{d^2 + R^2}}$.
केंद्रों के बीच विभवांतर $\Delta V = V_1 - V_2$ है:
$\Delta V = \left( \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{d^2 + R^2}} \right) - \left( -\frac{q}{4\pi \epsilon_0 R} + \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{d^2 + R^2}} \right)$
$\Delta V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{d^2 + R^2}} + \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{d^2 + R^2}} \right)$
$\Delta V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot 2 \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{d^2 + R^2}} \right) = \frac{q}{2\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{d^2 + R^2}} \right)$.

(C) त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान आवेशित गोले के लिए,इसके केंद्र से $r$ दूरी $(r > a)$ पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$
यहाँ,$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ और $Q$ स्थिरांक हैं।
अतः,विद्युत विभव $V$,गोले के केंद्र से दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(V \propto \frac{1}{r})$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) $1$. विकल्प $A$ गलत है क्योंकि गॉस का नियम व्युत्क्रम वर्ग नियम $(1/r^2)$ का सीधा परिणाम है। यदि क्षेत्र $1/r^n$ के अनुसार बदलता है जहाँ $n \neq 2$,तो फ्लक्स केवल परिबद्ध आवेश पर ही नहीं,बल्कि सतह के आकार पर भी निर्भर करेगा।
$2$. विकल्प $B$ गलत है क्योंकि हालांकि गॉस का नियम हमेशा सत्य होता है,लेकिन यह केवल तब क्षेत्र वितरण की गणना के लिए उपयोगी होता है जब उच्च समरूपता (जैसे गोलाकार,बेलनाकार या समतलीय समरूपता) हो। द्विध्रुव में ऐसी समरूपता का अभाव होता है।
$3$. विकल्प $C$ गलत है क्योंकि दो बिंदु आवेशों के लिए,उनके बीच किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र तभी शून्य होता है यदि आवेशों का चिह्न समान हो (प्रतिकर्षण बल)। यदि वे विपरीत चिह्न के होते,तो क्षेत्र उनके बीच के क्षेत्र के बाहर शून्य होता।
$4$. विकल्प $D$ सही है। परिभाषा के अनुसार,विभवांतर $V_B - V_A$ वह कार्य है जो एक बाहरी एजेंट द्वारा इकाई धन आवेश को $A$ से $B$ तक बिना त्वरित किए ले जाने में किया जाता है।

(A) एक चालक गोले के लिए,आवेश $Q$ पूरी तरह से इसकी बाहरी सतह पर स्थित होता है।
चूंकि चालक गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है,इसलिए अंदर के भाग में विद्युत विभव $V$ स्थिर रहता है।
गोले के अंदर विद्युत विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
अतः,केंद्र से $x < R$ की किसी भी दूरी पर,विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होगा।

(A) एक खोखले धात्विक गोले के लिए,गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है $(E = 0)$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता होता है $(E = -dV/dr)$,यदि $E = 0$ है,तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है।
इसलिए,केंद्र पर विभव $(V_C)$ सतह पर विभव $(V_S)$ के बराबर होता है।
दिया गया है कि $V_S = 10\, V$,इसलिए केंद्र पर विभव $V_C = 10\, V$ होगा।

(D) बिंदु आवेश $q$ के कारण $x$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
दो आवेशों $q_1 = -20 \,\mu C$ और $q_2 = +40 \,\mu C$ के बीच की दूरी $r$ है,इसलिए कुल विभव $V = V_1 + V_2 = 0$ होगा।
इसका अर्थ है $\frac{kq_1}{x_1} + \frac{kq_2}{x_2} = 0$,या $\frac{|q_1|}{x_1} = \frac{|q_2|}{x_2}$।
चूंकि $|q_1| < |q_2|$,वह बिंदु जहाँ विभव शून्य है,छोटे आवेश $(-20 \,\mu C)$ के करीब होना चाहिए।
$1$. क्षेत्र $A$ में ($-20 \,\mu C$ के बाईं ओर): मान लीजिए $-20 \,\mu C$ से दूरी $x$ है। तो $\frac{20}{x} = \frac{40}{r+x} \implies 20r + 20x = 40x \implies 20x = 20r \implies x = r$। अतः,क्षेत्र $A$ में विभव शून्य है।
$2$. क्षेत्र $B$ में (आवेशों के बीच): मान लीजिए $-20 \,\mu C$ से दूरी $x$ है। तो $\frac{20}{x} = \frac{40}{r-x} \implies 20r - 20x = 40x \implies 60x = 20r \implies x = r/3$। अतः,क्षेत्र $B$ में विभव शून्य है।
$3$. क्षेत्र $C$ में ($+40 \,\mu C$ के दाईं ओर): धनात्मक आवेश का परिमाण बड़ा होने के कारण,यहाँ विभव कभी शून्य नहीं होगा।
अतः,क्षेत्र $A$ और $B$ दोनों में विभव शून्य है।

(D) दिया गया ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जो दो चरों के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध को प्रदर्शित करता है,अर्थात $Y \propto 1/X$.
विद्युत विभव के सूत्र $V = Q/C$ से।
स्थिर आवेश $Q$ के लिए,विभव $V$,धारिता $C$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $V \propto 1/C$.
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $Y$-अक्ष पर $V$ और $X$-अक्ष पर $C$ होता है।
अतः,यह ग्राफ स्थिर आवेश $(Q)$ के लिए विद्युत विभव $(V)$ बनाम धारिता $(C)$ को दर्शाता है।

(C) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक आवेशित गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,अर्थात $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$।
$2$. कोश के बाहर $(r \geq R)$,कोश अपने केंद्र पर स्थित एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $V \propto \frac{1}{r}$।
अतः,$V$ बनाम $r$ का ग्राफ $r < R$ के लिए एक क्षैतिज रेखा और $r \geq R$ के लिए $V \propto \frac{1}{r}$ का पालन करने वाला एक वक्र होना चाहिए। यह ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(A) वोल्ट वोल्टेज या विभवांतर $(V)$ की विद्युत इकाई है।
- $V$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ से इस प्रकार संबंधित है:
$V = \frac{\Delta U}{q}$
उपरोक्त सूत्र से,हमें $1$ वोल्ट का विभवांतर तब प्राप्त होता है जब $1$ कूलम्ब $(C)$ के आवेश को स्थानांतरित करने में $1$ जूल $(J)$ की स्थितिज ऊर्जा का परिवर्तन होता है।
इसलिए,$1$ वोल्ट $= 1$ जूल/कूलम्ब $(J/C)$.

(B) $1$. विद्युत विभव को प्रति इकाई धनात्मक आवेश को अनंत से किसी बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो प्रति इकाई आवेश की स्थितिज ऊर्जा के बराबर है। अतः,कथन $A$ सही है।
$2$. स्थिर-विद्युत बल एक संरक्षी बल है। संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,यह केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। इसलिए,कथन $B$ गलत है क्योंकि इसमें कहा गया है कि कार्य पथ पर निर्भर करता है।
$3$. जब एक धनात्मक आवेश कूलम्ब प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध गति करता है,तो निकाय पर बाहरी कार्य किया जाता है,जिससे निकाय की स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है। अतः,कथन $C$ सही है।
$4$. मूलभूत आवेश $(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ एक मूलभूत स्थिरांक है,जबकि 'आवेश' एक भौतिक गुण है जो $e$ का कोई भी पूर्णांक गुणज हो सकता है। अतः,कथन $D$ सही है।

(A) मान लीजिए कि आंतरिक ठोस गोले की त्रिज्या $r$ है और बाहरी कोश की त्रिज्या $R$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,गोले और कोश के बीच के क्षेत्र $(r < x < R)$ में विद्युत क्षेत्र $E$ केवल $x$ त्रिज्या वाले गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध आवेश पर निर्भर करता है।
परिबद्ध आवेश आंतरिक गोले पर स्थित आवेश $Q$ है।
अतः,$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 x^2}$ है।
आंतरिक गोले की सतह और बाहरी कोश की सतह के बीच विभवांतर $V = \int_{r}^{R} E \, dx = \int_{r}^{R} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 x^2} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
समाकलन करने पर,$V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r}^{R} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि विभवांतर $V$ केवल आंतरिक गोले के आवेश $Q$ और त्रिज्याओं $r$ तथा $R$ पर निर्भर करता है,इसलिए बाहरी कोश पर आवेश बदलने से दोनों सतहों के बीच विभवांतर पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,नया विभवांतर $V$ ही रहेगा।

(D) स्थिर वैद्युत बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,यदि किसी कण द्वारा दो बिंदुओं के बीच गति करने पर किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,तो उस बल को संरक्षी बल कहा जाता है।
इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।
इसके अतिरिक्त,संरक्षी बलों का एक मूलभूत गुण यह है कि किसी बंद लूप में उनके द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य होता है।
चूंकि स्थिर वैद्युत बल संरक्षी है,इसलिए यह इस गुण का पालन करता है।
अतः,कथन-$2$ सत्य है और यह सही व्याख्या प्रदान करता है कि कार्य पथ से स्वतंत्र क्यों है (कथन-$1$)।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक खोखले चालक गोले के भीतर $(r < R)$ विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{dV}{dr}$ होता है,यदि $E = 0$ है,तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहना चाहिए।
गोले के भीतर विभव का मान उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है,जो $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ है।
अतः,एक आवेशित खोखले चालक गोले के भीतर विद्युत विभव स्थिर रहता है।

(B) माना पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है। गोलों पर आवेश $q_1 = 4\pi r^2 \sigma$ और $q_2 = 4\pi R^2 \sigma$ हैं।
कुल आवेश $Q = q_1 + q_2 = 4\pi \sigma (r^2 + R^2)$,इसलिए $\sigma = \frac{Q}{4\pi (r^2 + R^2)}$ है।
आंतरिक गोले के कारण केंद्र पर विभव $V_1 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{4\pi r^2 \sigma}{r} = \frac{r \sigma}{\varepsilon_0}$ है।
बाहरी गोले के कारण केंद्र पर विभव $V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_2}{R} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{4\pi R^2 \sigma}{R} = \frac{R \sigma}{\varepsilon_0}$ है।
केंद्र पर कुल विभव $V = V_1 + V_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (r + R)$ है।
$\sigma = \frac{Q}{4\pi (r^2 + R^2)}$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(R + r)Q}{(R^2 + r^2)}$ प्राप्त होता है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित $q$ आवेश के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ है।
मध्य बिंदु $O$ पर,दोनों आवेशों $+q$ और $-q$ से दूरी $d$ है।
मध्य बिंदु पर कुल विद्युत विभव $V_{total}$ दोनों आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V_{total} = V_{+q} + V_{-q}$
$V_{total} = \frac{k(+q)}{d} + \frac{k(-q)}{d}$
$V_{total} = \frac{kq}{d} - \frac{kq}{d} = 0$.

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ के रूप में दिया गया है,जहाँ $E_0 > 0$ है।
$1$. बिंदुओं $A(0,0)$ और $B(1,0)$ के लिए: विभवांतर $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\int_0^1 E_0 dx = -E_0$ है।
चूंकि $E_0 > 0$,इसलिए $V_B - V_A < 0$,जिसका अर्थ है कि $V_A > V_B$ है।
$2$. बिंदुओं $A(0,0)$ और $C(0,1)$ के लिए: विभवांतर $V_C - V_A = -\int_A^C \vec{E} \cdot d\vec{r}$ है। चूंकि विद्युत क्षेत्र $x$-दिशा में है और विस्थापन $d\vec{r}$,$y$-दिशा में है,इसलिए $\vec{E} \cdot d\vec{r} = 0$ होगा।
अतः,$V_C - V_A = 0$,जिसका अर्थ है कि $V_A = V_C$ है।
इस प्रकार,सही संबंध $V_A > V_B$ और $V_A = V_C$ है।

(C) घन के केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ है।
कोनों पर $(-q)$ परिमाण के $8$ आवेश स्थित हैं।
केंद्र पर स्थित आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_i q}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$q_i = -q$ और $r = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ है।
$U = 8 \times \left[ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{(-q)(q)}{\frac{\sqrt{3}b}{2}} \right]$.
$U = 8 \times \left[ \frac{-q^2}{4\pi \epsilon_0} \times \frac{2}{\sqrt{3}b} \right]$.
$U = \frac{-16q^2}{4\sqrt{3}\pi \epsilon_0 b} = \frac{-4q^2}{\sqrt{3}\pi \epsilon_0 b}$.

(A) $x$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण मूल बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वितरण के लिए,आवेश $x=1$ पर $q$,$x=2$ पर $-q$,$x=3$ पर $q$,$x=4$ पर $-q$ आदि हैं।
मूल बिंदु पर कुल विभव:
$V = kq \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right)$
टेलर श्रेणी विस्तार $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ के लिए,हमें $\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ प्राप्त होता है।
अतः,$V = kq \ln(2)$।