Electric potential Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि $a$ त्रिज्या वाले आंतरिक गोले पर आवेश $q_1$ है और $b$ त्रिज्या वाले बाहरी कोश पर आवेश $q_2$ है।
आंतरिक गोले की सतह पर विद्युत विभव दोनों गोलों के कारण विभव के योग द्वारा दिया जाता है: $V_a = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b} = 10 \text{ V}$।
बाहरी कोश की सतह पर विभव: $V_b = \frac{kq_1}{b} + \frac{kq_2}{b} = \frac{k(q_1 + q_2)}{b} = 5 \text{ V}$।
गोलों के केंद्र पर विभव उस बिंदु पर दोनों गोलों के कारण विभव का योग है। चूंकि गोलाकार कोश के अंदर विभव स्थिर होता है और उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है,इसलिए केंद्र पर विभव: $V_c = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b}$ होगा।
इसकी तुलना $V_a$ के व्यंजक से करने पर,हम देखते हैं कि $V_c = V_a = 10 \text{ V}$ है।

(C) कोशों पर आवेश $q = \text{पृष्ठीय आवेश घनत्व} \times \text{क्षेत्रफल}$ द्वारा प्राप्त होता है।
कोश $A$ (त्रिज्या $a$) के लिए: $q_A = -\sigma(4\pi a^2)$.
कोश $B$ (त्रिज्या $b$) के लिए: $q_B = +\sigma(4\pi b^2)$.
कोश $C$ (त्रिज्या $c$) के लिए: $q_C = -\sigma(4\pi c^2)$.
कोश $A$ की सतह पर विभव तीनों कोशों के कारण विभव का योग है:
$V_A = V_{A,A} + V_{A,B} + V_{A,C} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}]$.
मान रखने पर:
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} [\frac{-\sigma(4\pi a^2)}{a} + \frac{\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{-\sigma(4\pi c^2)}{c}]$.
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} [-\sigma(4\pi a) + \sigma(4\pi b) - \sigma(4\pi c)]$.
$V_A = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} [-a + b - c] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} [b - a - c]$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले समान रूप से आवेशित ठोस गोले के केंद्र पर स्थिर वैद्युत विभव $V_c = \frac{3}{2} \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
गोले के बाहर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु के लिए (जहाँ $x > R$),विभव $V(x) = \frac{kQ}{x}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ दूरी पर विभव,केंद्र पर विभव का आधा है:
$V(x) = \frac{1}{2} V_c$
$\frac{kQ}{x} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \frac{kQ}{R} \right)$
$\frac{1}{x} = \frac{3}{4R}$
$x = \frac{4R}{3}$.
गोले की सतह से दूरी $d = x - R = \frac{4R}{3} - R = \frac{R}{3}$ है।

(B) बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक $q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों छल्लों के कारण पहले छल्ले के केंद्र $A$ पर विभव:
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{\sqrt{R^2 + R^2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{\sqrt{2}R} \right)$.
दोनों छल्लों के कारण दूसरे छल्ले के केंद्र $B$ पर विभव:
$V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_2}{R} + \frac{Q_1}{\sqrt{R^2 + R^2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_2}{R} + \frac{Q_1}{\sqrt{2}R} \right)$.
किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$:
$W = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \left( \frac{Q_2}{R} + \frac{Q_1}{\sqrt{2}R} \right) - \left( \frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{\sqrt{2}R} \right) \right]$.
$W = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} \left[ (Q_2 - Q_1) + \frac{Q_1 - Q_2}{\sqrt{2}} \right]$.
$W = \frac{q(Q_2 - Q_1)}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{q(Q_2 - Q_1)}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) गोले की सतह पर गोली की स्थितिज ऊर्जा $U_s = qV_s = q \left( \frac{kq}{R} \right) = \frac{kq^2}{R}$ है।
गोले के केंद्र पर गोली की स्थितिज ऊर्जा $U_c = qV_c = q \left( \frac{3kq}{2R} \right) = \frac{3kq^2}{2R}$ है।
गोली के गोले के आर-पार जाने के लिए,सतह पर उसकी गतिज ऊर्जा सतह से केंद्र तक जाने में स्थितिज ऊर्जा में हुए परिवर्तन के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{1}{2}mu^2 = U_c - U_s$
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{3kq^2}{2R} - \frac{kq^2}{R} = \frac{kq^2}{2R}$
$u^2 = \frac{kq^2}{mR}$
$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $u^2 = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 mR}$ प्राप्त होता है।
अतः,$u = \frac{q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mR}}$।

(A) मान लीजिए कि रिंग की त्रिज्या $R$ है। चित्र से,$+Q$ से $P$ की दूरी $4a$ है। अतः,$V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0(4a)}$.
वृत्त को पूरा करने के लिए मनके को बिंदु $B$ ($+Q$ के सबसे निकटतम बिंदु) तक पहुँचना आवश्यक है। $+Q$ से $B$ की दूरी $a$ है। $B$ पर विभव $V_B = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 a} = 4V$ है।
बिंदु $P$ और बिंदु $B$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$U_P + K_P = U_B + K_B$
$qV + \frac{1}{2}mv_0^2 = qV_B + K_B$
$qV + \frac{1}{2}mv_0^2 = q(4V) + K_B$
मनके के लिए वृत्त पूरा करने हेतु,बिंदु $B$ पर उसकी गतिज ऊर्जा शून्य से अधिक होनी चाहिए $(K_B > 0)$।
$\frac{1}{2}mv_0^2 = 3qV + K_B$
चूँकि $K_B > 0$,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2}mv_0^2 > 3qV$.
$v_0^2 > \frac{6qV}{m}$
$v_0 > \sqrt{\frac{6qV}{m}}$.

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र में,विभव $V$ को $V(x, y, z) = V_0 - (E_x x + E_y y + E_z z)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है $V(0, 0, 0) = 10 \ V$,इसलिए $V_0 = 10 \ V$ है।
दिया गया है $V(1, 0, 0) = 8 \ V$,इसलिए $10 - E_x(1) = 8 \implies E_x = 2 \ V$ है।
दिया गया है $V(0, 1, 0) = 8 \ V$,इसलिए $10 - E_y(1) = 8 \implies E_y = 2 \ V$ है।
दिया गया है $V(0, 0, 1) = 8 \ V$,इसलिए $10 - E_z(1) = 8 \implies E_z = 2 \ V$ है।
अब,बिंदु $(1, 1, 1)$ पर विभव $V(1, 1, 1) = 10 - (2 \times 1 + 2 \times 1 + 2 \times 1) = 10 - 6 = 4 \ V$ होगा।

(D) $1$. चूंकि कोश चालक पदार्थ से बना है,इसलिए कोश के पदार्थ के अंदर $(a < R < b)$ विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
$2$. चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र को शून्य सुनिश्चित करने के लिए,कोश की आंतरिक सतह (त्रिज्या $a$ पर) पर $-Q$ का प्रेरित आवेश उत्पन्न होना चाहिए।
$3$. कोश पर कुल आवेश $-q$ है। चूंकि आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश है,इसलिए बाहरी सतह (त्रिज्या $b$ पर) पर आवेश $q_{outer} = (-q) - (-Q) = Q - q$ होगा।
$4$. कोश के पदार्थ के अंदर $R$ $(a < R < b)$ दूरी पर विभव केंद्र पर स्थित $+Q$ बिंदु आवेश,आंतरिक सतह पर $-Q$ प्रेरित आवेश और बाहरी सतह पर $(Q-q)$ आवेश के कारण विभव का योग है।
$5$. विभव $V(R) = V_{point} + V_{inner} + V_{outer} = \frac{KQ}{R} + \frac{K(-Q)}{R} + \frac{K(Q-q)}{b}$.
$6$. इसे सरल करने पर,$V(R) = 0 + \frac{K(Q-q)}{b} = \frac{K(Q-q)}{b}$.

(D) मान लीजिए कोश $C$ पर आवेश $q'$ है।
चूंकि कोश $C$ अर्थ किया गया है,इसलिए इसका विभव $V_C = 0$ है।
कोश $C$ (त्रिज्या $3a$) पर विभव $B, C$ और $D$ पर स्थित आवेशों के कारण है:
$V_C = \frac{Kq}{3a} + \frac{Kq'}{3a} - \frac{Kq}{4a} = 0$
$\frac{q}{3a} + \frac{q'}{3a} = \frac{q}{4a}$
$q + q' = \frac{3q}{4} \implies q' = -\frac{q}{4}$.
अब,कोश $A$ (त्रिज्या $a$) पर विभव की गणना करते हैं:
$V_A = \frac{Kq}{2a} + \frac{Kq'}{3a} - \frac{Kq}{4a}$
$q' = -\frac{q}{4}$ रखने पर:
$V_A = \frac{Kq}{2a} + \frac{K(-q/4)}{3a} - \frac{Kq}{4a} = \frac{Kq}{2a} - \frac{Kq}{12a} - \frac{Kq}{4a}$
$V_A = Kq \left( \frac{6 - 1 - 3}{12a} \right) = \frac{2Kq}{12a} = \frac{Kq}{6a}$.
चूंकि $V_C = 0$,इसलिए विभवांतर $V_A - V_C = \frac{Kq}{6a} - 0 = \frac{Kq}{6a}$.

(A) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{KQ}{r}$ होता है।
यहाँ,$Q = 10^{-8} \ C$ है।
आवेश की स्थिति $(4, 7, 2)$ है और प्रेक्षण बिंदु $(1, 3, 2)$ है।
दूरी $r$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $r = \sqrt{(1-4)^2 + (3-7)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ m$.
मान रखने पर,$V = \frac{(9 \times 10^9) \times 10^{-8}}{5} = \frac{90}{5} = 18 \ V$.
अतः,दिए गए बिंदु पर विद्युत विभव $18 \ V$ है।

(D) बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 3 \ V$ है और बिंदु $B$ पर $V_B = 7 \ V$ है।
इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = -e$ होता है।
किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U = qV = -eV$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$A$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_A = -3e \ V$ और $B$ पर $U_B = -7e \ V$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $B$ से $A$ की ओर गति कर रहा है,यह कम स्थितिज ऊर्जा $(-7e \ V)$ से उच्च स्थितिज ऊर्जा $(-3e \ V)$ वाले क्षेत्र की ओर जा रहा है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$K_i + U_i = K_f + U_f$,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
$K_B + U_B = K_A + U_A$
$K_A = K_B + (U_B - U_A) = K_B + (-7e - (-3e)) = K_B - 4e$.
इलेक्ट्रॉन के $A$ तक पहुँचने के लिए,$A$ पर उसकी गतिज ऊर्जा शून्य या धनात्मक होनी चाहिए $(K_A \ge 0)$।
$K_B - 4e \ge 0 \implies K_B \ge 4 \ eV$.
अतः,$A$ तक पहुँचने के लिए इलेक्ट्रॉन के पास $B$ पर कम से कम $4 \ eV$ की गतिज ऊर्जा होनी चाहिए। इसका अर्थ यह भी है कि $B$ पर उसके पास कुछ गतिज ऊर्जा होनी आवश्यक है।

(D) किसी आवेश $q$ को बिंदु $P$ से बिंदु $Q$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = q(V_Q - V_P)$।
यहाँ,आवेश $q$,$100$ इलेक्ट्रॉनों का कुल आवेश है। चूँकि एक इलेक्ट्रॉन का आवेश $-1.6 \times 10^{-19} \ C$ होता है,इसलिए कुल आवेश $q = 100 \times (-1.6 \times 10^{-19} \ C) = -1.6 \times 10^{-17} \ C$ है।
विभव $V_P = 10 \ V$ और $V_Q = -4 \ V$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = (-1.6 \times 10^{-17} \ C) \times (-4 \ V - 10 \ V)$
$W = (-1.6 \times 10^{-17}) \times (-14) \ J$
$W = 22.4 \times 10^{-17} \ J = 2.24 \times 10^{-16} \ J$।

(A) मान लीजिए कि छड़ का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{L}$ है।
बिंदु $O$ से $x$ दूरी पर छड़ पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$ है।
इस अवयव के कारण बिंदु $O$ पर विद्युत विभव $dV = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{x} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dx}{x}$ है।
बिंदु $O$ पर कुल विभव $V$ प्राप्त करने के लिए $x = L$ (सिरे $A$ पर) से $x = 2L$ (सिरे $B$ पर) तक समाकलन करने पर:
$V = \int_{L}^{2L} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} \frac{dx}{x} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} [\ln x]_{L}^{2L} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} (\ln 2L - \ln L) = \frac{Q \ln 2}{4 \pi \varepsilon_0 L}$.

(B) एक समान रूप से आवेशित ठोस गोले की सतह पर विभव $V_0 = \frac{Kq}{R}$ है。
$r < R$ के लिए, विभव $V_i = \frac{Kq}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ होता है。
केंद्र पर $(r = 0)$, $V_{center} = \frac{3Kq}{2R} = \frac{3}{2}V_0$। अतः, $\frac{3V_0}{2}$ विभव के लिए $R_1 = 0$ है。
$\frac{5V_0}{4}$ विभव के लिए $(r < R)$: $\frac{5}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{2R^3}(3R^2 - R_2^2) \implies \frac{5}{2} = 3 - \frac{R_2^2}{R^2} \implies \frac{R_2^2}{R^2} = \frac{1}{2} \implies R_2 = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707R$.
$\frac{3V_0}{4}$ विभव के लिए $(r > R)$: $\frac{3}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{R_3} \implies R_3 = \frac{4}{3}R \approx 1.333R$.
$\frac{V_0}{4}$ विभव के लिए $(r > R)$: $\frac{1}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{R_4} \implies R_4 = 4R$.
अब, $R_2 = 0.707R$ और $(R_4 - R_3) = 4R - 1.333R = 2.667R$ है。
चूँकि $0.707R < 2.667R$, इसलिए $R_2 < (R_4 - R_3)$ सही है।

(A) किसी भी कोश की सतह पर किसी बिंदु पर विभव तीनों कोशों के कारण उत्पन्न विभव का योग होता है।
केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,$R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले कोश के कारण विभव $V = \frac{KQ}{R}$ यदि $r \le R$ और $V = \frac{KQ}{r}$ यदि $r > R$ होता है,जहाँ $K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
कोशों पर आवेश $q_A = \sigma(4\pi a^2)$,$q_B = -\sigma(4\pi b^2)$,और $q_C = \sigma(4\pi c^2)$ हैं।
कोश $B$ (त्रिज्या $b$) के लिए,विभव $V_B$ कोश $A$ ($b > a$ दूरी पर),कोश $B$ ($b = b$ दूरी पर),और कोश $C$ ($b < c$ दूरी पर) के कारण विभव का योग है:
$V_B = \frac{K q_A}{b} + \frac{K q_B}{b} + \frac{K q_C}{c}$
$V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} + \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} \right]$
$V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left[ \frac{a^2}{b} - \frac{b^2}{b} + \frac{c^2}{c} \right]$
$V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left[ \frac{a^2 - b^2}{b} + c \right]$

(C) माना बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ है। $A$ और $B$ पर आवेश $+q$ हैं।
रेखाखंड $AB$ पर किसी बिंदु $P$ पर, जो $A$ से $x$ दूरी पर है, $B$ से दूरी $(d - x)$ होगी।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ दोनों आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{kq}{x} + \frac{kq}{d - x}$
परिवर्तन ज्ञात करने के लिए, हम $V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dx} = -\frac{kq}{x^2} + \frac{kq}{(d - x)^2}$
न्यूनतम विभव के लिए $\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{(d - x)^2} \implies x = d - x \implies x = d/2$.
$x = d/2$ पर, विभव न्यूनतम होता है।
अतः, जैसे-जैसे हम $A$ से $B$ की ओर बढ़ते हैं, विभव पहले मध्य बिंदु तक घटता है और फिर बढ़ता है।

(C) केंद्र से $r$ दूरी पर,जहाँ $r > b$ है,विद्युत क्षेत्र केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के विद्युत क्षेत्र के समान ही होता है,क्योंकि परावैद्युत कोश गोलीय रूप से सममित है और $r > b$ त्रिज्या वाले गॉसियन सतह द्वारा घिरा कुल आवेश $Q$ है।
परावैद्युत के लिए गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$r > b$ के लिए विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{Q}{r^2}$ प्राप्त होता है।
$b$ दूरी पर विभव $V$ की गणना अनंत से $b$ तक विद्युत क्षेत्र का समाकलन करके की जाती है:
$V = -\int_{\infty}^{b} E \cdot dr = \int_{b}^{\infty} \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{Q}{r^2} dr = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{b}^{\infty} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0 b}$.
अतः,परावैद्युत कोश के बाहर के बिंदुओं पर परावैद्युत का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

(A) कुल इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम डिस्क को आवेश की संकेंद्रित रिंगों को जोड़कर बनाने की कल्पना करते हैं।
$r$ त्रिज्या और समान सतह आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक डिस्क पर विचार करें। $r$ त्रिज्या और $dr$ चौड़ाई वाली एक पतली रिंग पर आवेश इस प्रकार है:
$dq = (2\pi r dr) \sigma$
$r$ त्रिज्या वाली डिस्क की परिधि पर विभव $V = 4\sigma r$ दिया गया है। अनंत से अतिरिक्त आवेश $dq$ को डिस्क की परिधि पर लाने के लिए किया गया कार्य इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितिज ऊर्जा $dU$ है:
$dU = V dq = (4\sigma r) \cdot (2\pi r dr \sigma) = 8\pi \sigma^2 r^2 dr$
$R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए कुल ऊर्जा $U$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करते हैं:
$U = \int_0^R 8\pi \sigma^2 r^2 dr = 8\pi \sigma^2 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{8}{3}\pi \sigma^2 R^3$

(A) अनंत तार के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ होता है।
दिया है $\lambda = 4 \pi \varepsilon_0$,अतः $E = \frac{4 \pi \varepsilon_0}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2}{r}$।
बिंदु $A$ $(r_A = 2 \, m)$ और $B$ $(r_B = 1 \, m)$ के बीच विभवांतर:
$V_B - V_A = - \int_{r_A}^{r_B} E \, dr = - \int_{2}^{1} \frac{2}{r} \, dr = -2 [\ln r]_2^1 = -2 (\ln 1 - \ln 2) = 2 \ln 2$।
चूंकि कण नियत चाल से गति कर रहा है,कुल कार्य शून्य होगा $(W_{ext} + W_{elec} = 0)$।
विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $W_{elec} = q(V_A - V_B) = q(-(V_B - V_A)) = 2 \times (-2 \ln 2) = -4 \ln 2$।
बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य $W_{ext} = -W_{elec} = 4 \ln 2$।

(B) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले चाप के कारण उसके केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विभव एक अदिश राशि है,केंद्र पर कुल विभव तीनों चापों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है।
$V_{net} = V_1 + V_2 + V_3$
$V_{net} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} (Q_1 + Q_2 + Q_3)$
दिए गए आवेश $Q_1 = +Q$,$Q_2 = +3Q$,और $Q_3 = -2Q$ हैं।
$V_{net} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} (Q + 3Q - 2Q)$
$V_{net} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} (2Q)$
$V_{net} = \frac{2Q}{4\pi \epsilon_0 R} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 R}$.

(B) गोलीय सममित आवेश वितरण के बाहर स्थित किसी बिंदु के लिए,संपूर्ण आवेश को उसके केंद्र पर केंद्रित माना जा सकता है।
दिया गया है:
कुल आवेश $q = 5 \ nC = 5 \times 10^{-9} \ C$.
दूरी $r = 15 \ cm = 0.15 \ m = 15 \times 10^{-2} \ m$.
बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{k q}{r}$
मान रखने पर:
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-9}}{15 \times 10^{-2}}$
$V = \frac{45}{0.15} = \frac{4500}{15} = 300 \ V$
अतः,बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $300 \ V$ है।

(B) किसी आवेशित वस्तु के अंदर या सतह पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ सभी सतह आवेश तत्वों $dq$ से विभव योगदान के समाकल द्वारा दिया जाता है,अर्थात $V = \int \frac{k dq}{r}$।
समान सतह आवेश घनत्व $\sigma$ वाले एक खोखले अर्धगोले के लिए,केंद्र $O$ पर विभव आधार पर किसी भी अन्य बिंदु की तुलना में अधिक होता है क्योंकि केंद्र,औसतन,आधार पर किसी भी अन्य बिंदु की तुलना में आवेशित सतह तत्वों के अधिक निकट होता है।
जैसे-जैसे हम केंद्र $O$ से रिम $A$ की ओर बढ़ते हैं,आवेशित सतह के विभिन्न भागों की दूरी औसतन बढ़ती जाती है,जिससे विद्युत विभव में कमी आती है।
इसलिए,केंद्र $O$ पर विभव अर्धगोले के आधार पर अधिकतम विभव है।
अतः,$V_O > V_A$ या $V_A < V_O$।

(A) जब दो चालक गोलों को एक लंबे तार से जोड़ा जाता है,तो वे समान विद्युत विभव प्राप्त कर लेते हैं।
मान लीजिए $R$ त्रिज्या वाले छोटे गोले का विभव $V_1$ है और $3R$ त्रिज्या वाले बड़े गोले का विभव $V_2$ है।
छोटे गोले का विभव $V_1 = \frac{kQ}{R}$ है।
बड़े गोले का विभव उसके अपने आवेश $Q$ और उसके केंद्र पर स्थित आवेश $q'$ के कारण है: $V_2 = \frac{kQ}{3R} + \frac{kq'}{3R}$।
चूंकि वे जुड़े हुए हैं,इसलिए $V_1 = V_2$।
$\frac{kQ}{R} = \frac{kQ}{3R} + \frac{kq'}{3R}$।
$\frac{3R}{k}$ से गुणा करने पर,हमें $3Q = Q + q'$ प्राप्त होता है।
अतः,$q' = 2Q$।

(D) आवेशों की एक प्रणाली के कारण विद्युत विभव $V$ प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश के कारण विभव का बीजगणितीय योग होता है: $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$.
एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे गए तीन समान आवेशों के लिए, प्रणाली $C_{3v}$ समरूपता रखती है।
प्रत्येक आवेश के निकट, स्थानीय आवेश के विभव के प्रभुत्व के कारण समविभव पृष्ठ लगभग गोलाकार (त्रिभुज के तल में वृत्ताकार) होते हैं।
जैसे-जैसे हम आवेशों से दूर जाते हैं, समविभव पृष्ठ आपस में मिलने लगते हैं और अंततः एक ऐसा आकार ले लेते हैं जो आवेश वितरण की समग्र समरूपता को दर्शाता है।
तीन समान आवेशों के लिए, दूर-क्षेत्र के समविभव पृष्ठ एक वृत्ताकार आकार के करीब होंगे, लेकिन निकट-से-मध्य क्षेत्र में, उन्हें समबाहु त्रिभुज की तीन-गुना घूर्णी समरूपता प्रदर्शित करनी चाहिए।
ग्राफ $D$ उन समविभव रेखाओं को दर्शाता है जो प्रत्येक आवेश के पास वृत्ताकार हैं और तीनों आवेशों को घेरते हुए एक बड़ा, लगभग त्रिकोणीय आकार बनाती हैं, जो प्रणाली की समरूपता को सही ढंग से प्रस्तुत करता है।

(A) मान लीजिए ठोस गोले की त्रिज्या $r_a$ है और खोखले कवच की त्रिज्या $r_b$ है।
ठोस गोले की सतह पर विभव $V_{sphere} = \frac{KQ}{r_a} + \frac{K(0)}{r_b} = \frac{KQ}{r_a}$ है।
खोखले कवच की सतह पर विभव $V_{shell} = \frac{KQ}{r_b} + \frac{K(0)}{r_b} = \frac{KQ}{r_b}$ है।
प्रारंभिक विभवांतर $V = V_{sphere} - V_{shell} = K Q \left( \frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b} \right)$ है।
जब कवच को $-3Q$ आवेश दिया जाता है,तो ठोस गोले की सतह पर नया विभव $V'_{sphere} = \frac{KQ}{r_a} + \frac{K(-3Q)}{r_b}$ हो जाता है।
खोखले कवच की सतह पर नया विभव $V'_{shell} = \frac{KQ}{r_b} + \frac{K(-3Q)}{r_b} = -\frac{2KQ}{r_b}$ हो जाता है।
नया विभवांतर $V' = V'_{sphere} - V'_{shell} = \left( \frac{KQ}{r_a} - \frac{3KQ}{r_b} \right) - \left( -\frac{2KQ}{r_b} \right) = \frac{KQ}{r_a} - \frac{KQ}{r_b} = V$ है।
अतः,विभवांतर अपरिवर्तित रहता है।

(B) आवेशित कोश के कारण किसी बिंदु पर विभव $V = \frac{kQ}{r}$ (जब $r \ge R$) और $V = \frac{kQ}{R}$ (जब $r < R$) द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ कोश की त्रिज्या है।
बिंदु $A$ केंद्र से $r = R$ की दूरी पर स्थित है।
$1$. आंतरिक कोश के कारण विभव (त्रिज्या $R/2$,आवेश $Q$): चूंकि $r > R/2$,इसलिए $V_1 = \frac{kQ}{R}$।
$2$. मध्य कोश के कारण विभव (त्रिज्या $2R$,आवेश $2Q$): चूंकि $r < 2R$,इसलिए $V_2 = \frac{k(2Q)}{2R} = \frac{kQ}{R}$।
$3$. बाहरी कोश के कारण विभव (त्रिज्या $4R$,आवेश $8Q$): चूंकि $r < 4R$,इसलिए $V_3 = \frac{k(8Q)}{4R} = \frac{2kQ}{R}$।
बिंदु $A$ पर कुल विभव $V_A = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{kQ}{R} + \frac{kQ}{R} + \frac{2kQ}{R} = \frac{4kQ}{R}$।

(B) किसी आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने के लिए बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य $W_{ext} = q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्प $B$ के लिए: धन आवेश $(q > 0)$ को निम्न विभव $(V_A)$ से उच्च विभव $(V_B)$ तक ले जाने का अर्थ है कि $V_B > V_A$,इसलिए $V_B - V_A > 0$। अतः,$W_{ext} = q(V_B - V_A) > 0$। यह कार्य धनात्मक है।
विकल्प $A$ के लिए: ऋण आवेश $(q < 0)$ को उच्च विभव $(V_A)$ से निम्न विभव $(V_B)$ तक ले जाने का अर्थ है कि $V_B < V_A$,इसलिए $V_B - V_A < 0$। अतः,$W_{ext} = q(V_B - V_A) > 0$। यह कार्य धनात्मक है,ऋणात्मक नहीं।
विकल्प $C$ के लिए: विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_{field} = -\Delta U = -(U_{final} - U_{initial})$ होता है। यदि उच्च स्थितिज ऊर्जा से निम्न स्थितिज ऊर्जा की ओर गति हो,तो $U_{final} < U_{initial}$,इसलिए $\Delta U < 0$। अतः,$W_{field} = -(\text{ऋणात्मक}) = \text{धनात्मक}$।
इसलिए,विकल्प $B$ सही कथन है।

(A) अर्धगोलीय कवच पर $\theta$ कोण पर एक पतली वलय (ring) पर विचार करें,जिसकी चौड़ाई $R d\theta$ और त्रिज्या $r = R \cos \theta$ है। इस वलय पर आवेश $dq = \sigma (2\pi r) (R d\theta) = 2\pi \sigma R^2 \cos \theta d\theta$ है।
एक समान रूप से आवेशित गोलीय कवच के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव स्थिर होता है और वह $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$ के बराबर होता है।
अर्धगोलीय कवच के लिए,केंद्र $O$ पर विभव $V_O = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}$ होता है।
आधार पर केंद्र से $x = R/2$ की दूरी पर स्थित बिंदु $A$ के लिए,विभव $V_A = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}$ होता है। इसका कारण यह है कि अर्धगोलीय कवच के आधार पर किसी भी बिंदु पर विभव स्थिर रहता है और यह केंद्र पर विभव के बराबर होता है।

(B) चालक कोश पर किसी भी बिंदु पर विभव,निकाय में मौजूद सभी आवेशों के कारण उसके केंद्र पर विभव के समान होता है।
विभव $V = V_{\text{shell}} + V_A + V_B + V_C$
$V = \frac{KQ_0}{R} + \frac{KQ_0}{R/2} + \frac{K(-2Q_0)}{2R/3} + \frac{K(3Q_0)}{2R}$
$V = \frac{KQ_0}{R} + \frac{2KQ_0}{R} - \frac{3KQ_0}{R} + \frac{1.5KQ_0}{R}$
$V = \frac{1.5KQ_0}{R} = \frac{3KQ_0}{2R}$

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेश युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
$a$ भुजा वाले वर्ग के लिए,$a$ दूरी पर $4$ युग्म (भुजाएं) और $a\sqrt{2}$ दूरी पर $2$ युग्म (विकर्ण) हैं।
मान लीजिए आवेश $q_1 = Q$,$q_2 = 2Q$,$q_3 = 3Q$,और $q_4 = 4Q$ हैं।
$a$ दूरी पर स्थित युग्म:
$(q_1, q_2) = (Q, 2Q) \implies U_1 = \frac{k(Q)(2Q)}{a} = 2 \frac{kQ^2}{a}$
$(q_2, q_3) = (2Q, 3Q) \implies U_2 = \frac{k(2Q)(3Q)}{a} = 6 \frac{kQ^2}{a}$
$(q_3, q_4) = (3Q, 4Q) \implies U_3 = \frac{k(3Q)(4Q)}{a} = 12 \frac{kQ^2}{a}$
$(q_4, q_1) = (4Q, Q) \implies U_4 = \frac{k(4Q)(Q)}{a} = 4 \frac{kQ^2}{a}$
$a\sqrt{2}$ दूरी पर स्थित युग्म:
$(q_1, q_3) = (Q, 3Q) \implies U_5 = \frac{k(Q)(3Q)}{a\sqrt{2}} = 3 \frac{kQ^2}{a\sqrt{2}}$
$(q_2, q_4) = (2Q, 4Q) \implies U_6 = \frac{k(2Q)(4Q)}{a\sqrt{2}} = 8 \frac{kQ^2}{a\sqrt{2}}$
कुल स्थितिज ऊर्जा $U = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + U_6 = (2 + 6 + 12 + 4) \frac{kQ^2}{a} + (3 + 8) \frac{kQ^2}{a\sqrt{2}} = 24 \frac{kQ^2}{a} + 11 \frac{kQ^2}{a\sqrt{2}} = \frac{kQ^2}{a} \left( 24 + \frac{11}{\sqrt{2}} \right)$.

(D) केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विभव,जहाँ $r_2 < x < r_1$ है,दोनों गोलों के कारण विभव का योग है।
$1$. बाहरी गोले (त्रिज्या $r_1$,आवेश $q_1$) के कारण उसके अंदर किसी भी बिंदु पर विभव स्थिर होता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है: $V_1 = \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0 r_1}$।
$2$. आंतरिक गोले (त्रिज्या $r_2$,आवेश $q_2$) के कारण उसके बाहर $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विभव: $V_2 = \frac{q_2}{4\pi \varepsilon_0 x}$ होता है।
$3$. $x$ दूरी पर कुल विभव $V = V_1 + V_2 = \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0 r_1} + \frac{q_2}{4\pi \varepsilon_0 x}$ होगा।

(C) आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, आवेश $q$ दूरियों $r = 1, 2, 4, 8, \dots \, \text{m}$ पर स्थित हैं।
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{1} + \frac{q}{2} + \frac{q}{4} + \frac{q}{8} + \dots \right]$
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right]$
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$ होता है।
अतः, $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \times 2 = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0}$.

(A) माना आंतरिक गोले की त्रिज्या $a$ है और बाहरी कोश की त्रिज्या $b$ है। माना आंतरिक गोले पर आवेश $q_1$ है और बाहरी कोश पर आवेश $q_2$ है।
आंतरिक गोले की सतह पर विभव: $V_a = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b} = 10\, V$.
बाहरी कोश की सतह पर विभव: $V_b = \frac{kq_1}{b} + \frac{kq_2}{b} = 50\, V$.
उभयनिष्ठ केंद्र $O$ पर विभव: $V_O = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b}$.
इस समीकरण की तुलना $V_a$ के समीकरण से करने पर,हम देख सकते हैं कि केंद्र पर विभव आंतरिक गोले की सतह पर विभव के बराबर होता है।
अतः,$V_O = 10\, V$.

(B) स्थिर-वैद्युत बल द्वारा किया गया कार्य निकाय की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के ऋणात्मक मान के बराबर होता है।
$W = -\Delta U = U_i - U_f$
प्रारंभ में,केंद्र में स्थित आवेश $q$,छह आवेशों $q$ से $r$ दूरी पर है। छह आसपास के आवेशों के कारण केंद्र के आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U_i = 6 \times (kq^2 / r) = 6q^2 / 4\pi\varepsilon_0 r$ है।
जब केंद्र के आवेश को अनंत पर ले जाया जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा $U_f = 0$ हो जाती है।
अतः,स्थिर-वैद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $W = U_i - U_f = 6q^2 / 4\pi\varepsilon_0 r - 0 = 6q^2 / 4\pi\varepsilon_0 r$ है।

(B) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{kq}{r}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
बिंदु $A$ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ के लिए,मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \, m$ है।
बिंदु $B$ $(2, 0)$ के लिए,मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \, m$ है।
चूंकि दूरियाँ $r_A$ और $r_B$ समान हैं,इसलिए बिंदुओं $A$ और $B$ पर विद्युत विभव समान होंगे: $V_A = V_B = \frac{kq}{2}$।
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $\Delta V = V_A - V_B = 0 \, V$ होगा।

(C) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
अनंत आवेशों के लिए,कुल विभव व्यक्तिगत विभवों का योग है:
$V = \sum \frac{kq}{r} = kq \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)$.
यहाँ,$k = 9 \times 10^9 \, N\cdot m^2/C^2$ और $q = 0.2 \times 10^{-6} \, C$ है।
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है। इसका योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ है।
मान रखने पर:
$V = (9 \times 10^9) \times (0.2 \times 10^{-6}) \times 2 = 1.8 \times 10^3 \times 2 = 3600 \, V$.
चूंकि $1000 \, V = 1 \, kV$,इसलिए विभव $3.60 \, kV$ है।

(B) एक खोखला धातु का गोला एक गोलीय चालक कवच की तरह कार्य करता है।
किसी भी आवेशित गोलीय चालक के लिए,चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता है $(E = -dV/dr)$,यदि $E = 0$ है,तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहना चाहिए।
इसलिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर,जिसमें केंद्र भी शामिल है,विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि सतह पर विभव $10\, V$ है,इसलिए केंद्र पर भी विभव $10\, V$ होगा।

(B) एक आवेश $q$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_{\text{अंतिम}} - V_{\text{प्रारंभिक}})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पास में कोई आवेश नहीं है, इसलिए पूरे क्षेत्र में विद्युत विभव $V$ स्थिर रहता है (या यदि हम अनंत को संदर्भ के रूप में लें तो यह शून्य है)।
बिंदु $A, B$ और $C$ एक वक्र पर स्थित हैं, लेकिन किसी भी बाहरी विद्युत क्षेत्र या स्रोत आवेश की अनुपस्थिति में, अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं पर विभव समान होता है।
इसलिए, बिंदु $P$ और किसी भी बिंदु $A, B$ या $C$ के बीच विभवांतर शून्य है।
अतः, $W_A = q(V_A - V_P) = 0$, $W_B = q(V_B - V_P) = 0$, और $W_C = q(V_C - V_P) = 0$।
इसलिए, $W_A = W_B = W_C = 0$।

(C) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = -a$ और $x = a$ पर रखे गए दो समान धनात्मक आवेशों $q$ के लिए,किसी भी बिंदु $x$ पर कुल विभव $V(x) = \frac{kq}{|x+a|} + \frac{kq}{|x-a|}$ है।
$1$. जैसे $x \to a$,$V \to +\infty$. जैसे $x \to -a$,$V \to +\infty$. इसका अर्थ है कि विभव को $x = a$ और $x = -a$ पर अनंत होना चाहिए।
$2$. मूल बिंदु $(x = 0)$ पर,विभव $V(0) = \frac{kq}{a} + \frac{kq}{a} = \frac{2kq}{a}$ है,जो एक धनात्मक और निश्चित मान है।
$3$. जैसे $x \to \pm\infty$,$V \to 0$.
इन गुणों की तुलना दिए गए ग्राफों से करने पर,विभव हर जगह धनात्मक है और दोनों आवेशों के बीच मूल बिंदु पर इसका मान न्यूनतम है। ग्राफ $C$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है,जो आवेशों के बीच एक $U$-आकार का वक्र दिखाता है और अनंत पर शून्य की ओर जाता है।

(A) मान लीजिए कि $a$ त्रिज्या वाले आंतरिक कोश पर आवेश $q_1$ है और $2a$ त्रिज्या वाले बाहरी कोश पर आवेश $q_2$ है।
आंतरिक कोश की सतह पर विभव: $V_{inner} = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{2a} = 10\,V$.
बाहरी कोश की सतह पर विभव: $V_{outer} = \frac{kq_1}{2a} + \frac{kq_2}{2a} = 5\,V$.
कोशों के केंद्र पर विभव: $V_{centre} = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{2a}$.
इस व्यंजक की तुलना आंतरिक कोश के विभव के समीकरण से करने पर,हम देख सकते हैं कि $V_{centre} = V_{inner} = 10\,V$.

(D) रिंग के केंद्र पर $d\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप के सूक्ष्म अवयव पर आवेश:
$dQ = \lambda R d\theta = \lambda_0 \cos(\theta/2) R d\theta$
इस आवेश $dQ$ के कारण रिंग के केंद्र पर विभव $dV$:
$dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{dQ}{R} = \frac{\lambda_0 \cos(\theta/2) R d\theta}{4 \pi \epsilon_0 R} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} \cos(\theta/2) d\theta$
कुल विभव $V$ ज्ञात करने के लिए,हम $\theta = 0$ से $\theta = 2\pi$ तक समाकलन करते हैं:
$V = \int_0^{2\pi} dV = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{2\pi} \cos(\theta/2) d\theta$
$V = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} \left[ 2 \sin(\theta/2) \right]_0^{2\pi}$
$V = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} \left[ 2 \sin(\pi) - 2 \sin(0) \right] = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} [0 - 0] = 0 \text{ V}$

(D) माना $r$ और $R$ त्रिज्या वाले गोलों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं। दिया गया है कि $q_1 + q_2 = Q$.
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व समान हैं,$\sigma = \frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2}$.
अनुपात के गुण का उपयोग करते हुए,$\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2} = \frac{q_1 + q_2}{r^2 + R^2} = \frac{Q}{r^2 + R^2}$.
अतः,$q_1 = \frac{Q r^2}{r^2 + R^2}$ और $q_2 = \frac{Q R^2}{r^2 + R^2}$.
उभयनिष्ठ केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$ होगा।
$q_1$ और $q_2$ के मान रखने पर,$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(r^2 + R^2)} + \frac{Q R^2}{R(r^2 + R^2)} \right)$.
$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(r^2 + R^2)} (r + R)$.

(B) $R_1 < r < R_2$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,कुल विभव $V$ दोनों गोलों के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$1$. आंतरिक गोले (त्रिज्या $R_1$,आवेश $Q_1$) के कारण $r$ दूरी $(r > R_1)$ पर विभव $V_1 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_1}{r}$ है।
$2$. बाहरी गोले (त्रिज्या $R_2$,आवेश $Q_2$) के कारण उसके अंदर के भाग में विभव स्थिर रहता है,जो $V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_2}{R_2}$ है।
$3$. अतः,$r$ दूरी पर कुल विभव $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r} + \frac{Q_2}{R_2} \right)$ होगा।

(B) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{kq}{r}$ होता है।
बिंदु $A$ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ के लिए,मूल बिंदु से दूरी $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \ m$ है।
बिंदु $B$ $(2, 0)$ के लिए,मूल बिंदु से दूरी $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \ m$ है।
चूंकि $r_A = r_B$,इसलिए दोनों बिंदुओं पर विभव समान है: $V_A = V_B = \frac{kq}{2}$।
अतः,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_A - V_B = 0 \ volt$ होगा।

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में,बिंदु $P$ के सापेक्ष स्थिति $\vec{r}$ पर विभव $V = V_P - \vec{E} \cdot \vec{r} = V_P - Er \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ त्रिज्या सदिश और क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
विभव $V_{min} = V_P - Er$ (जहाँ $\theta = 0^o$) और $V_{max} = V_P + Er$ (जहाँ $\theta = 180^o$) के बीच बदलता है।
दिया गया है $V_{min} = 589.0\,V$ और $V_{max} = 589.8\,V$,इसलिए व्यास पर विभव का अंतर $2Er = 589.8 - 589.0 = 0.8\,V$ है। अतः,$Er = 0.4\,V$ है।
केंद्र का विभव $V_P$ औसत है: $V_P = (589.0 + 589.8) / 2 = 589.4\,V$ है।
$\theta = 60^o$ कोण पर स्थित बिंदु के लिए,विभव $V = V_P - Er \cos(60^o) = 589.4 - 0.4 \times 0.5 = 589.4 - 0.2 = 589.2\,V$ होगा।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक डोरी की लंबाई $L$ है। दोनों आवेशों के बीच की दूरी $x = 2L \sin \theta$ है।
संतुलन में,प्रत्येक आवेश पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$,और स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{kq^2}{x^2}$ हैं।
बलों को वियोजित करने पर: $T \sin \theta = F_e$ और $T \cos \theta = mg$ प्राप्त होता है।
इनका अनुपात लेने पर $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{x^2 mg}$ मिलता है।
अतः,$x^2 = \frac{kq^2}{mg \tan \theta}$,जिसका अर्थ है $x = q \sqrt{\frac{k}{mg \tan \theta}}$।
आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के केंद्र पर (प्रत्येक आवेश से $x/2$ दूरी पर) स्थिर वैद्युत विभव $V$ है:
$V = \frac{kq}{x/2} + \frac{kq}{x/2} = \frac{4kq}{x}$.
$x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{4kq}{q \sqrt{\frac{k}{mg \tan \theta}}} = 4 \sqrt{k^2 \cdot \frac{mg \tan \theta}{k}} = 4 \sqrt{k \, mg \tan \theta}$.

(C) मान लीजिए कि $r$ और $R$ त्रिज्या वाले गोलों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं।
दिया गया है कि $q_1 + q_2 = Q$.
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व समान है,$\sigma_1 = \sigma_2$.
$\frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2} \implies \frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2}$.
अनुपात के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2} = \frac{q_1 + q_2}{r^2 + R^2} = \frac{Q}{r^2 + R^2}$.
अतः,$q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$ और $q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$.
उभयनिष्ठ केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$ है।
$q_1$ और $q_2$ के मान रखने पर:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r + Q R}{R^2 + r^2} \right)$.
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(R + r)Q}{R^2 + r^2}$.

(D) माना कोशों पर आवेश $Q_1, Q_2, Q_3$ हैं और पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है। चूँकि $\sigma$ सभी के लिए समान है,$\sigma = \frac{Q_1}{4\pi a^2} = \frac{Q_2}{4\pi b^2} = \frac{Q_3}{4\pi c^2}$ है।
अतः,$Q_1 = 4\pi a^2 \sigma$,$Q_2 = 4\pi b^2 \sigma$,$Q_3 = 4\pi c^2 \sigma$ है।
कुल आवेश $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 4\pi \sigma (a^2 + b^2 + c^2)$,इसलिए $\sigma = \frac{Q}{4\pi (a^2 + b^2 + c^2)}$ है।
$r < a$ पर विभव प्रत्येक कोश के कारण विभव का योग है: $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{Q_1}{a} + \frac{Q_2}{b} + \frac{Q_3}{c})$ है।
$Q_1, Q_2, Q_3$ के मान प्रतिस्थापित करने पर: $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{4\pi a^2 \sigma}{a} + \frac{4\pi b^2 \sigma}{b} + \frac{4\pi c^2 \sigma}{c}) = \frac{\sigma}{\epsilon_0} (a + b + c)$ है।
$\sigma$ का मान रखने पर: $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 (a^2 + b^2 + c^2)} (a + b + c)$ है।