Electric potential Questions in Hindi

(C) $q$ आवेश वाले कण को जब $V$ विभवांतर के तहत त्वरित किया जाता है,तो उसके द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है:
$KE = q \times V$
यहाँ,प्रोटॉन का आवेश $q = +e$ है।
त्वरित करने वाला विभवांतर $V = 1 \ kV$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$KE = 1e \times 1 \ kV$
$KE = 1 \ keV$
कण का द्रव्यमान विभवांतर के माध्यम से त्वरित होने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा को प्रभावित नहीं करता है,क्योंकि ऊर्जा केवल आवेश और विभवांतर पर निर्भर करती है।

(C) एक आवेशित चालक गोले के लिए,गोले के अंदर विभव स्थिर रहता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
दी गई त्रिज्या $R = 10 \, cm$ है।
गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर (केंद्र सहित) विभव सतह पर विभव के बराबर होता है: $V_{surface} = \frac{KQ}{R} = \frac{KQ}{10} = V$।
अतः,$KQ = 10V$।
गोले के बाहर $r = 15 \, cm$ की दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,विभव का सूत्र $V_{outside} = \frac{KQ}{r}$ है।
मान रखने पर: $V_{outside} = \frac{10V}{15} = \frac{2}{3}V$।

(D) छड़ का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{L}$ है।
बिंदु $O$ से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का आवेश $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$ है।
इस अवयव के कारण बिंदु $O$ पर विभव $dV = \frac{k dq}{x} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dx}{x}$ होगा।
कुल विभव $V$ ज्ञात करने के लिए $x = L$ से $x = 2L$ तक समाकलन करने पर:
$V = \int_{L}^{2L} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dx}{x} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} [\ln x]_{L}^{2L}$.
$V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} (\ln 2L - \ln L) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \ln\left(\frac{2L}{L}\right) = \frac{Q \ln 2}{4\pi \epsilon_0 L}$.

(B) $Q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण को $V$ विभवांतर से त्वरित करने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = QV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होते हैं,इसलिए $K = \frac{1}{2}mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर,हमें $\frac{1}{2}mv^2 = QV$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2QV}{m}}$.
चूंकि $m$ और $V$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए चाल $v$ आवेश के वर्गमूल के समानुपाती है: $v \propto \sqrt{Q}$.
अतः,उनकी चालों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{Q_A}{Q_B}}$ होगा।
दिए गए मान $Q_A = q$ और $Q_B = 4q$ रखने पर,हमें $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q}{4q}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$V_A / V_B$ का अनुपात $1:2$ है।

(C) एक खोखले चालक गोले के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि गोले के भीतर विद्युत विभव स्थिर रहता है।
गोले के भीतर किसी भी बिंदु पर विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
$R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले गोले की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
चूंकि $r = R/3$ गोले के भीतर स्थित है,इसलिए इस बिंदु पर विभव $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होगा।

(B) $100$ इलेक्ट्रॉनों का कुल आवेश $q = 100 \times (-1.6 \times 10^{-19} \ C) = -1.6 \times 10^{-17} \ C$ है।
आवेश $q$ को बिंदु $P$ से $Q$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_Q - V_P)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$W = (-1.6 \times 10^{-17} \ C) \times (-4 \ V - 10 \ V)$
$W = (-1.6 \times 10^{-17}) \times (-14)$
$W = 22.4 \times 10^{-17} \ J$
$W = 2.24 \times 10^{-16} \ J$.

(C) बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$,कोश पर स्थित आवेश $q$ के कारण विभव और केंद्र पर स्थित आवेश $Q$ के कारण विभव का योग है।
चालक कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर,कोश के कारण विभव स्थिर रहता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है,जो $V_{shell} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
$r = R/2$ की दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण विभव $V_{point} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R/2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2Q}{R}$ होता है।
अतः,कुल विभव $V = V_{shell} + V_{point} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R} + \frac{2Q}{4\pi \epsilon_0 R} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} (q + 2Q)$।

(C) विद्युत क्षेत्र $V$ में स्थित आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ द्वारा दी जाती है।
$CGS$ प्रणाली में, स्थिर वैद्युत नियतांक $k = 1$ होता है।
अन्य दो आवेशों के कारण $10 \, \text{esu}$ आवेश की स्थिति पर विभव $V_A$ है:
$V_A = \frac{q_B}{r_1} + \frac{q_C}{r_2}$
यहाँ $q_B = 40 \, \text{esu}$, $r_1 = 2 \, \text{cm}$, $q_C = -20 \, \text{esu}$, और $r_2 = 4 \, \text{cm}$ दिया गया है।
$V_A = \frac{40}{2} + \frac{-20}{4} = 20 - 5 = 15 \, \text{statvolts}$.
$10 \, \text{esu}$ आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U_A$ है:
$U_A = q_A \times V_A = 10 \times 15 = 150 \, \text{ergs}$.

(A) रिंग के केंद्र पर आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{kQq}{R}$ है।
जब आवेश अनंत पर होता है,तो स्थितिज ऊर्जा $U_f = 0$ होती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा आवेश की अंतिम गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$U_i + K_i = U_f + K_f$
$\frac{kQq}{R} + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{R}$
$v^2 = \frac{2kQq}{mR}$
$v = \sqrt{\frac{2kQq}{mR}}$

(A) दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V$ को उन बिंदुओं के बीच आवेश को ले जाने के लिए किए गए कार्य $W$ और आवेश $q$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\Delta V = \frac{W}{q}$
दिया गया है:
किया गया कार्य $W = 2 \, J$
आवेश $q = 20 \, C$
गणना:
$\Delta V = \frac{2 \, J}{20 \, C} = 0.1 \, V$
अतः,दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $0.1 \, V$ है।

(D) भुजा वाले घन के मुख्य विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3}b$ होती है।
इसलिए,केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ है।
स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ है।
चूंकि $8$ कोनों पर $(-q)$ आवेश हैं और केंद्र पर $(+q)$ आवेश है,इसलिए कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = 8 \times \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{(-q)(q)}{\frac{\sqrt{3}b}{2}} \right]$
$U = 8 \times \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-2q^2}{\sqrt{3}b} \right]$
$U = \frac{-16q^2}{4\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 b} = \frac{-4q^2}{\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 b}$.

(B) विभवांतर $V$ से त्वरित आवेश $q$ पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
$W = qV = \frac{1}{2}mv^2$
चूंकि द्रव्यमान $m$ और विभवांतर $V$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $v^2 \propto q$,जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{q}$।
अतः,उनकी चालों का अनुपात होगा:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q_A}{q_B}} = \sqrt{\frac{q}{9q}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,उनकी चालों का अनुपात $1 : 3$ है।

(B) बिंदु $P$ से $Q$ तक $q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_Q - V_P)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आवेश $q$,$100$ इलेक्ट्रॉनों का कुल आवेश है,इसलिए $q = -100e = -100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = -1.6 \times 10^{-17} \ C$ है।
विभवांतर $V_Q - V_P = (-4 \ V) - (10 \ V) = -14 \ V$ है।
इन मानों को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = (-1.6 \times 10^{-17} \ C) \times (-14 \ V) = 22.4 \times 10^{-17} \ J = 2.24 \times 10^{-16} \ J$.

(C) $r$ दूरी पर एक बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ दूरी पर एक बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{V}{E} = \frac{kq/r}{kq/r^2} = r$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{600}{200} = 3 \, m$.
अब,$V = \frac{kq}{r}$ का उपयोग करके,$q$ के लिए हल करने पर: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
यहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$V = 600 \, V$,और $r = 3 \, m$ है:
$q = \frac{600 \times 3}{9 \times 10^9} = \frac{1800}{9 \times 10^9} = 200 \times 10^{-9} \, C = 0.2 \times 10^{-6} \, C = 0.2 \, \mu C$.

(A) किसी आवेश $Q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = Q(V_B - V_A)$.
दिया गया है: $Q = 0.01 \ C$ और $W = 15 \ J$.
सूत्र में मान रखने पर: $15 = 0.01 \times (V_B - V_A)$.
विभवांतर के लिए हल करने पर: $(V_B - V_A) = \frac{15}{0.01} = 1500 \ V$.

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$।
दिया गया है:
$q_1 = 7\ \mu C = 7 \times 10^{-6}\ C$
$q_2 = -2\ \mu C = -2 \times 10^{-6}\ C$
$(-9\ cm, 0, 0)$ और $(9\ cm, 0, 0)$ बिंदुओं के बीच की दूरी $r = 9\ cm - (-9\ cm) = 18\ cm = 0.18\ m$ है।
मान रखने पर:
$U = (9 \times 10^9) \times \frac{(7 \times 10^{-6}) \times (-2 \times 10^{-6})}{0.18}$
$U = (9 \times 10^9) \times \frac{-14 \times 10^{-12}}{0.18}$
$U = \frac{-126 \times 10^{-3}}{0.18} = -0.7\ J$।

(C) तीन बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}} + \frac{q_3q_1}{r_{31}} \right)$
दिया गया है: $q_1 = q_2 = q_3 = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C = 10^{-5} \ C$,और भुजा $a = 10 \ cm = 0.1 \ m = 10^{-1} \ m$.
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $r_{12} = r_{23} = r_{31} = a = 10^{-1} \ m$.
मान रखने पर:
$U = 3 \times \left( \frac{k \cdot q^2}{a} \right)$
$U = 3 \times \left( \frac{9 \times 10^9 \times (10^{-5})^2}{10^{-1}} \right)$
$U = 3 \times \left( \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-10}}{10^{-1}} \right)$
$U = 3 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-10} \times 10^1$
$U = 27 \times 10^0 = 27 \ J$.

(B) अनंत से आवेश $q_3$ को किसी बिंदु तक लाने में किया गया कार्य $W$ निकाय की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = q_3 \times V$ है,जहाँ $V$ आवेशों $q_1$ और $q_2$ के कारण $x = 2 \ m$ पर विद्युत विभव है।
$x = 2 \ m$ पर विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)$
यहाँ,$r_1$ आवेश $q_1$ से $x = 2 \ m$ तक की दूरी है,इसलिए $r_1 = 2 \ m$। $r_2$ आवेश $q_2$ से $x = 2 \ m$ तक की दूरी है,इसलिए $r_2 = 1 \ m$।
मान रखने पर:
$W = q_3 \times \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{-1 \times 10^{-6}}{2} + \frac{1 \times 10^{-6}}{1} \right)$
$W = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times \left( -0.5 \times 10^{-6} + 1 \times 10^{-6} \right)$
$W = 9 \times 10^3 \times (0.5 \times 10^{-6})$
$W = 4.5 \times 10^{-3} \ J$

(D) बिंदु $A$ पर $+1\ \mu C$ और $-1\ \mu C$ आवेशों के कारण विभव:
$V_A = \frac{k(1 \times 10^{-6})}{2} + \frac{k(-1 \times 10^{-6})}{3} = k \times 10^{-6} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = k \times 10^{-6} \left( \frac{1}{6} \right)$
$V_A = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{6} = 1.5 \times 10^3 \ V$
बिंदु $B$ पर $+1\ \mu C$ और $-1\ \mu C$ आवेशों के कारण विभव:
$V_B = \frac{k(1 \times 10^{-6})}{3} + \frac{k(-1 \times 10^{-6})}{2} = k \times 10^{-6} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = k \times 10^{-6} \left( -\frac{1}{6} \right)$
$V_B = -\frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{6} = -1.5 \times 10^3 \ V$
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर:
$V_A - V_B = 1.5 \times 10^3 - (-1.5 \times 10^3) = 3.0 \times 10^3 \ V = 3000 \ V$

(B) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ के लिए,मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ है।
बिंदु $B$ $(2, 0)$ के लिए,मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$ है।
चूंकि दूरियाँ $r_A$ और $r_B$ समान हैं,इसलिए बिंदु $A$ और $B$ पर विद्युत विभव समान होंगे:
$V_A = \frac{kq}{r_A} = \frac{kq}{2}$
$V_B = \frac{kq}{r_B} = \frac{kq}{2}$
अतः,बिंदु $A$ और $B$ के बीच विभवांतर है:
$V_A - V_B = \frac{kq}{2} - \frac{kq}{2} = 0 \ V$.

(A) बाहरी गोलीय कोश (त्रिज्या $R_2 = 30 \, cm = 0.3 \, m$) की सतह पर विद्युत विभव $V$,आंतरिक कोश (आवेश $q_1 = 0.5 \, \mu C$) और बाहरी कोश (आवेश $q_2 = 3 \, \mu C$) दोनों के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
आंतरिक कोश के कारण उसकी बाहरी सतह पर विभव $V_1 = \frac{k q_1}{R_2}$ है।
बाहरी कोश के कारण उसकी सतह पर विभव $V_2 = \frac{k q_2}{R_2}$ है।
कुल विभव $V = V_1 + V_2 = \frac{k}{R_2} (q_1 + q_2)$.
मान रखने पर: $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = 0.5 \times 10^{-6} \, C$,$q_2 = 3 \times 10^{-6} \, C$,और $R_2 = 0.3 \, m$.
$V = \frac{9 \times 10^9}{0.3} (0.5 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6})$
$V = (30 \times 10^9) \times (3.5 \times 10^{-6})$
$V = 105 \times 10^3 \, V = 1.05 \times 10^5 \, V = 10.5 \times 10^4 \, V$.

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $V_{tiny} = \frac{kq}{r} = 10 \ V$ है।
जब $8$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3 \Rightarrow R = 2r$।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = 8q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V_{big} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r}$ होगा।
$V_{big} = 4 \times (\frac{kq}{r}) = 4 \times 10 \ V = 40 \ V$।

(B) एक खोखले धातु के गोले के लिए,विद्युत आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
खोखले गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र हर जगह शून्य होता है।
चूंकि गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए विद्युत विभव पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
सतह पर विभव (और इस प्रकार अंदर किसी भी बिंदु पर) $V = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$Q = 3.2 \times 10^{-19} \ C$,और $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{9 \times 10^9 \times 3.2 \times 10^{-19}}{0.1}$.
$V = \frac{28.8 \times 10^{-10}}{0.1} = 28.8 \times 10^{-9} \ V$.

(C) जब कोई आवेशित कण $V$ विभवांतर से त्वरित होता है,तो उसके द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है:
$KE = q \times V$
जहाँ:
$q$ कण का आवेश है।
$V$ विभवांतर है।
प्रोटॉन के लिए,आवेश $q = e$ (प्रारंभिक आवेश) होता है।
दिया गया है,$V = 1 \,V$.
इन मानों को रखने पर:
$KE = e \times 1 \,V = 1 \,eV$.
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $1 \,eV$ होगी।

(B) मान लीजिए कि जिस बिंदु पर विद्युत विभव शून्य है,वह बिंदु $A$ से $x$ दूरी पर स्थित है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल विभव $q_1$ और $q_2$ के कारण विभव का बीजगणितीय योग है।
$V_{total} = \frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{50 - x} = 0$.
मान रखने पर: $\frac{4 \times 10^{-8}}{x} + \frac{-6 \times 10^{-8}}{50 - x} = 0$.
$\frac{4}{x} = \frac{6}{50 - x}$.
$4(50 - x) = 6x$.
$200 - 4x = 6x$.
$10x = 200$.
$x = 20 \ cm$.
अतः,बिंदु $A$ से $20 \ cm$ की दूरी पर विद्युत विभव शून्य होगा।

(B) एक आवेशित गोलीय कोश के लिए,कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव की ऋणात्मक प्रवणता $(E = -dV/dr)$ है,यदि $E = 0$ है,तो कोश के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है।
अतः,कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
चूंकि सतह पर विभव $10 \ V$ दिया गया है,इसलिए कोश के केंद्र पर भी विभव $10 \ V$ ही होगा।

(B) एक तंत्रिका तंतु का विश्राम झिल्ली विभव (Resting membrane potential) कोशिका झिल्ली के आर-पार का वह विद्युत विभवांतर है जब न्यूरॉन विश्राम अवस्था में होता है।
यह विभव झिल्ली के आर-पार आयनों (मुख्य रूप से $Na^+$,$K^+$,और $Cl^-$) के असमान वितरण द्वारा बनाए रखा जाता है।
तंत्रिका कोशिका में विश्राम झिल्ली विभव का विशिष्ट मान लगभग $-70 \ mV$ होता है।
इसे वोल्ट में बदलने पर,हमें $-70 \times 10^{-3} \ V = -0.07 \ V$ प्राप्त होता है।
इस मान की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$0.1 \ V$ सबसे निकटतम कोटि है।

(B) विभवांतर $V$ के अंतर्गत त्वरित आवेश $q$ पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = qV$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यह कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \frac{1}{2}mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर,हमें $qV = \frac{1}{2}mv^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
चूंकि दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ समान है और वे समान विभवांतर $V$ के अंतर्गत त्वरित होते हैं,इसलिए वेग $v$ आवेश के वर्गमूल के समानुपाती होता है: $v \propto \sqrt{q}$.
अतः,उनके वेगों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q_A}{q_B}}$ होगा।
दिए गए मान $q_A = q$ और $q_B = 4q$ रखने पर,हमें $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q}{4q}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $v_A/v_B = 1:2$ है।

(A) वृत्त के केंद्र पर कई बिंदु आवेशों के कारण उत्पन्न कुल विद्युत विभव $V$,प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभव का बीजगणितीय योग होता है।
$V = \sum \frac{k q_i}{r}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ और $r = 0.4 \ m$ है।
कुल आवेश $Q_{total} = (+5 - 5 + 7 - 5 + 11 + 7 + 15 - 7) \ \mu C = 28 \ \mu C = 28 \times 10^{-6} \ C$.
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 28 \times 10^{-6}}{0.4} = \frac{9 \times 28 \times 10^3}{0.4} = \frac{252 \times 10^3}{0.4} = 630 \times 10^3 \ V = 63 \times 10^4 \ V$.

(D) $r$ दूरी पर स्थित आवेश $Q$ के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र से,दोनों आवेशों $+q$ (बिंदु $B$ पर) और $-q$ (बिंदु $C$ पर) से बिंदु $A$ की दूरी $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
बिंदु $A$ पर कुल विभव दोनों आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V_A = V_B + V_C$
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(-q)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q - q}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) = 0$.

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले गोलीय कोश के लिए:
$1$. सतह पर किसी भी बिंदु $(B)$ पर विभव $V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
$2$. कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर (केंद्र $A$ और $R/2$ दूरी पर स्थित बिंदु $C$ सहित) विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
$3$. इसलिए,$V_A = V_B = V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) वर्ग के कोनों पर स्थित चार समान आवेशों $Q$ के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग होता है।
प्रत्येक आवेश केंद्र से $r$ दूरी पर है,जहाँ $r$ वर्ग के विकर्ण की आधी लंबाई है।
वर्ग का विकर्ण $= a\sqrt{2}$.
अतः,$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
केंद्र पर विभव $V = 4 \times \frac{kQ}{r} = 4 \times \frac{kQ}{a/\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}kQ}{a}$ है।
यहाँ $Q = \frac{10}{3} \times 10^{-9} \ C$,$a = 8 \times 10^{-2} \ m$,और $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ दिया गया है।
$V = \frac{4 \times \sqrt{2} \times 9 \times 10^9 \times (\frac{10}{3} \times 10^{-9})}{8 \times 10^{-2}}$.
$V = \frac{4 \times \sqrt{2} \times 3 \times 10}{8 \times 10^{-2}} = \frac{120\sqrt{2}}{8 \times 10^{-2}} = 15 \times 10^2 \sqrt{2} = 1500\sqrt{2} \ V$.

(B) एक खोखले चालक गोले (या आवेशित गोलीय कोश) के लिए,गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव की ऋणात्मक प्रवणता $(E = -dV/dr)$ के बराबर होता है,यदि $E = 0$ है,तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है।
इसलिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर,केंद्र सहित,विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि सतह पर विभव $10 \ V$ है,इसलिए केंद्र पर भी विभव $10 \ V$ होगा।

(D) माना आंतरिक और बाहरी कोशों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं। दिया गया है कि $Q = q_1 + q_2$ ... $(i)$
चूंकि पृष्ठ आवेश घनत्व समान हैं,$\sigma_1 = \sigma_2$,इसलिए $\frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2} \implies \frac{q_1}{q_2} = \frac{r^2}{R^2}$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें $q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$ और $q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$ प्राप्त होता है।
केंद्र पर विद्युत विभव दोनों कोशों के कारण विभव का योग है: $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right]$.
$q_1$ और $q_2$ के मान रखने पर: $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right] = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Qr}{R^2 + r^2} + \frac{QR}{R^2 + r^2} \right]$.
अतः,$V = \frac{Q(R + r)}{4\pi \varepsilon_0(R^2 + r^2)}$.

(D) माना कि आंतरिक गोले की त्रिज्या $a$ है और बाहरी कोश की त्रिज्या $b$ है।
प्रारंभ में,गोले का विभव $V_{\text{sphere}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{a}$ है और कोश का विभव $V_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{b}$ है।
विभवांतर $V = V_{\text{sphere}} - V_{\text{shell}} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ है।
अब,कोश को $-3Q$ आवेश दिया जाता है।
गोले का नया विभव $V'_{\text{sphere}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{3Q}{b} \right)$ होगा।
कोश का नया विभव $V'_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{b} - \frac{3Q}{b} \right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( -\frac{2Q}{b} \right)$ होगा।
नया विभवांतर $V' = V'_{\text{sphere}} - V'_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{3Q}{b} - (-\frac{2Q}{b}) \right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{3Q}{b} + \frac{2Q}{b} \right) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) = V$ है।
अतः,विभवांतर $V$ ही रहेगा।

(A) कोशों पर आवेश $q = \sigma \times 4\pi r^2$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$q_a = \sigma(4\pi a^2)$,$q_b = -\sigma(4\pi b^2)$,और $q_c = \sigma(4\pi c^2)$।
किसी भी बिंदु पर विभव सभी कोशों के कारण विभव का योग होता है।
कोश $A$ के लिए ($a$ त्रिज्या पर):
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{a} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{\sigma(4\pi a^2)}{a} + \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} \right] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (a - b + c)$।
कोश $B$ के लिए ($b$ त्रिज्या पर):
$V_B = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{b} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} + \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} \right] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{a^2}{b} - b + c \right)$।

(C) दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V$ को आवेश $Q$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य $W$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $W = Q \cdot \Delta V$
दिया गया है: $Q = 20 \ C$,$W = 2 \ J$
मान रखने पर: $2 = 20 \cdot \Delta V$
$\Delta V = \frac{2}{20} = 0.1 \ V$
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच विभवांतर $0.1 \ V$ है।

(C) $V_0$ विभव वाले बिंदु से $q$ आवेश को अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य $W = q(V_{\infty} - V_0)$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $V_{\infty} = 0$,इसलिए आवश्यक कार्य $W = -qV_0$ है। यहाँ $q = -Q$ है,इसलिए $W = -(-Q)V_0 = QV_0$ होगा।
कोनों पर स्थित चार $Q$ आवेशों के कारण वर्ग के केंद्र पर विभव $V_0$ प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग है।
प्रत्येक कोने से केंद्र की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
$V_0 = 4 \times \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{a/\sqrt{2}} \right) = \frac{4\sqrt{2} Q}{4\pi \varepsilon_0 a} = \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a}$।
अतः,आवश्यक कार्य $W = (-Q) \times (-V_0) = Q \times \left( \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a} \right) = \frac{\sqrt{2} Q^2}{\pi \varepsilon_0 a}$ होगा।

(B) पहली रिंग के केंद्र $A$ पर विद्युत विभव,रिंग $1$ और रिंग $2$ के कारण विभव का योग है:
$V_A = \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$
दूसरी रिंग के केंद्र $B$ पर विद्युत विभव है:
$V_B = \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right)$
$q$ आवेश को $A$ से $B$ तक ले जाने के लिए किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ है:
$V_B - V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} - Q_1 - \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$
$V_B - V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) - Q_1(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)$
$V_B - V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} (Q_2 - Q_1) \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right)$
अतः,$W = q(V_B - V_A)$ के अनुसार:
$W = \frac{q(Q_2 - Q_1)(\sqrt{2} - 1)}{4\pi \varepsilon_0 R\sqrt{2}}$
नोट: कार्य का परिमाण $\frac{q(Q_1 - Q_2)(\sqrt{2} - 1)}{4\pi \varepsilon_0 R\sqrt{2}}$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = -\Delta U = -q\Delta V = q(V_i - V_f)$ द्वारा दिया जाता है।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q = +2e$ होता है।
विभवांतर $\Delta V = V_f - V_i = 50\ V - 70\ V = -20\ V$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = -q\Delta V = -(2e) \times (-20\ V) = 40\ eV$ होगा।
चूंकि कण उच्च विभव से निम्न विभव की ओर गति करता है,इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा में $40\ eV$ की वृद्धि होती है।

(C) चित्र से,$AC = L$,$BC = L$ है। चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $CD$ अर्धवृत्त का व्यास है,इसलिए दूरी $BD = L$ है (चूंकि $C, B, D$ संरेख हैं और $CD$ अर्धवृत्त का व्यास है,अतः $CB = BD = L$)।
$C$ पर विभव:
$V_C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AC} + \frac{-q}{BC} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{L} - \frac{q}{L} \right] = 0$
$D$ पर विभव:
$AD = AB + BD = 2L + L = 3L$
$V_D = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{3L} - \frac{q}{L} \right]$
$V_D = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L} \left[ \frac{1}{3} - 1 \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L} \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{q}{6\pi\varepsilon_0 L}$
$+Q$ आवेश को $C$ से $D$ तक ले जाने में किया गया कार्य:
$W = Q(V_D - V_C) = Q \left( -\frac{q}{6\pi\varepsilon_0 L} - 0 \right) = -\frac{qQ}{6\pi\varepsilon_0 L}$

(D) किसी भी कोश पर स्थित बिंदु पर विभव सभी कोशों के कारण उत्पन्न विभव का योग होता है। $r$ त्रिज्या और $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व वाले कोश पर आवेश $q = 4\pi r^2 \sigma$ होता है।
अतः,$q_A = 4\pi a^2 \sigma$,$q_B = -4\pi b^2 \sigma$,और $q_C = 4\pi c^2 \sigma$.
विभव इस प्रकार हैं:
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + c]$
$V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{b} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2}{b} - b + c]$
$V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{c} + \frac{q_B}{c} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2 - b^2}{c} + c]$
दिया गया है $c = a + b$,इसलिए $c - b = a$ और $c - a = b$. साथ ही $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = (a - b)c$.
$V_A$ में $c = a + b$ रखने पर: $V_A = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + (a + b)] = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$.
$V_C$ में $c = a + b$ रखने पर: $V_C = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{(a - b)c}{c} + c] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + a + b] = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$.
अतः,$V_A = V_C = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$ और $V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2}{b} + a]$,इसलिए यह स्पष्ट है कि $V_A = V_C \neq V_B$.

(D) दिया गया है कि $AC = BC = 2a$ है। $D$ और $E$ क्रमशः $BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$AE = EC = a$ और $BD = DC = a$ है।
$\Delta ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(AD)^2 = (AC)^2 - (DC)^2 = (2a)^2 - (a)^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$,अतः $AD = a\sqrt{3}$ है।
इसी प्रकार,$\Delta BEC$ में,$(BE)^2 = (BC)^2 - (EC)^2 = (2a)^2 - (a)^2 = 3a^2$,अतः $BE = a\sqrt{3}$ है।
$A, B,$ और $C$ पर स्थित आवेशों के कारण बिंदु $D$ पर विद्युत विभव:
$V_D = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{BD} + \frac{q}{DC} + \frac{q}{AD} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a\sqrt{3}} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} \left[ 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right]$ है।
$A, B,$ और $C$ पर स्थित आवेशों के कारण बिंदु $E$ पर विद्युत विभव:
$V_E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AE} + \frac{q}{EC} + \frac{q}{BE} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a\sqrt{3}} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} \left[ 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right]$ है।
चूँकि $V_D = V_E$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = Q(V_E - V_D) = 0$ होगा।

(C) मान लीजिए कि वर्ग के कोने $P, Q, R, S$ हैं। $P$ और $S$ पर $+q$ आवेश हैं,और $Q$ और $R$ पर $-q$ आवेश हैं। बिंदु $A$,भुजा $PS$ का मध्य बिंदु है।
चूंकि वर्ग की भुजा की लंबाई $2L$ है,इसलिए $A$ से $P$ और $A$ से $S$ की दूरी $L$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके $A$ से $Q$ और $A$ से $R$ की दूरी: $AQ = AR = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{4L^2 + L^2} = L\sqrt{5}$ होगी।
बिंदु $A$ पर कुल विद्युत विभव $V_A$ चारों आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{q}{AP} + \frac{q}{AS} + \frac{-q}{AQ} + \frac{-q}{AR}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L\sqrt{5}} - \frac{q}{L\sqrt{5}}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{2q}{L} - \frac{2q}{L\sqrt{5}}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2q}{L} (1 - \frac{1}{\sqrt{5}})$

(A) मान लीजिए कि वर्ग के केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q_i$ के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चारों कोनों के लिए दूरी $r$ समान है,इसलिए केंद्र पर कुल विभव प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग है:
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{-Q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{2q}{r} + \frac{2Q}{r} \right)$
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r} (-Q - q + 2q + 2Q)$
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r} (Q + q)$
केंद्र पर विभव शून्य होने के लिए,$V_{total} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है:
$Q + q = 0$
$Q = -q$

(B) विद्युत क्षेत्र की दिशा में विद्युत विभव घटता है।
दिए गए चित्र से,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा में बिंदु $B$ सबसे बाईं ओर स्थित है,उसके बाद बिंदु $C$ है और अंत में बिंदु $A$ है।
इसलिए,इन बिंदुओं पर विभव का संबंध $V_B > V_C > V_A$ है।
अतः,विद्युत विभव बिंदु $B$ पर अधिकतम है।

(B) एक चालक गोले के लिए,आवेश $Q$ पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
चालक गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है क्योंकि आवेश सतह पर इस प्रकार वितरित होते हैं कि वे अंदर के प्रत्येक बिंदु पर एक-दूसरे के क्षेत्र को निरस्त कर देते हैं।
चालक गोले के अंदर विद्युत विभव $V$ स्थिर रहता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
अतः,केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ है।
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = 0$ है।

(C) चाप की लंबाई $L = r\theta = r \times \frac{\pi}{3} = \frac{r\pi}{3}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ है,इसलिए चाप पर कुल आवेश $q = \lambda \times L = \lambda \times \frac{r\pi}{3}$ है।
चाप के सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी $r$ पर हैं।
$r$ दूरी पर स्थित आवेश $q$ के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$q$ का मान रखने पर,$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \times \frac{(\lambda r\pi / 3)}{r}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$V = \frac{\lambda r\pi}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{12\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(B) विद्युत विभव $V$ को विद्युत क्षेत्र में अनंत से किसी बिंदु तक एक इकाई आवेश को लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$V = W / Q$ होता है।
कार्य $W$ का $SI$ मात्रक $Joule$ $(J)$ है और आवेश $Q$ का $SI$ मात्रक $coulomb$ $(C)$ है।
इसलिए,विभव $V$ का मात्रक $Joule / coulomb$ $(J/C)$ है,जो $1 \text{ volt}$ के बराबर होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एकसमान आवेशित गोले की सतह पर विद्युत विभव $V_S = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_S = \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
गोले के केंद्र पर विद्युत विभव $V_C = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_C = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
केंद्र और सतह के बीच विभवांतर $\Delta V = V_C - V_S$ है।
$\Delta V = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0} - \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0} = \frac{3 \rho R^2 - 2 \rho R^2}{6 \epsilon_0} = \frac{\rho R^2}{6 \epsilon_0}$.