Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Hindi

(B) एक खोखले धातु के गोले के लिए,आवेश केवल बाहरी सतह पर रहता है।
गॉस के नियम के अनुसार,गोले के अंदर किसी भी बिंदु $(r < R)$ के लिए,परिबद्ध आवेश $q_{enc} = 0$ है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है।
गोले के बाहर किसी भी बिंदु $(r > R)$ के लिए,गोला केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है। विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{r^2}$।
जैसे-जैसे $r > R$ के लिए $r$ बढ़ता है,$E$ का मान घटता है।
अतः,$r < R$ के लिए विद्युत क्षेत्र शून्य है और $r > R$ के लिए $r$ बढ़ने पर यह घटता है।

(C) अनंत रेखीय आवेश के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि दो रेखीय आवेश $1$ और $2$ हैं,जो $2R$ की दूरी पर स्थित हैं। मध्य-बिंदु $P$ दोनों रेखाओं से $R$ की दूरी पर है।
धनात्मक रेखीय आवेश के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}_1$ उससे दूर (ऋणात्मक रेखीय आवेश की ओर) इंगित करता है,इसलिए $E_1 = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$ है।
ऋणात्मक रेखीय आवेश के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}_2$ उसकी ओर ($\overrightarrow{E}_1$ की दिशा में ही) इंगित करता है,इसलिए $E_2 = \frac{|-\lambda|}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$ है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 + E_2 = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi\epsilon_0 R}\; N/C$ होगा।

(D) गॉस का नियम समाकल रूप में $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $|\overrightarrow{E}| |A| = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_{0}}$ के रूप में सरल करने के लिए,हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|\overrightarrow{E}|$ सतह पर स्थिर रहे और विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{E}$ सतह के प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्रफल सदिश $d\overrightarrow{A}$ के समानांतर हो।
यदि $|\overrightarrow{E}|$ स्थिर है और सतह को इस प्रकार चुना जाता है कि $\overrightarrow{E}$ हमेशा सतह के लंबवत हो,तो वह सतह एक समविभव सतह होती है।
इसलिए,समाकल से $|\overrightarrow{E}|$ को बाहर निकालने के लिए दोनों शर्तों की आवश्यकता होती है।

(D) शेष भाग के कारण विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हैं,जिसमें गोले को $+\rho$ घनत्व वाले पूर्ण गोले और $-\rho$ घनत्व वाले छोटे गोले के संयोजन के रूप में माना जाता है।
बिंदु $A$ पर (जो कटे हुए गोले के केंद्र पर है और बड़े गोले के केंद्र से $R/2$ की दूरी पर है):
$|\overrightarrow{E}_{A}| = |\overrightarrow{E}_{large} + \overrightarrow{E}_{small}| = |\frac{\rho (R/2)}{3\epsilon_0} + 0| = \frac{\rho R}{6\epsilon_0}$.
बिंदु $B$ पर (जो बड़े गोले के निचले हिस्से पर है,उसके केंद्र से $R$ की दूरी पर और कटे हुए गोले के केंद्र से $3R/2$ की दूरी पर है):
$|\overrightarrow{E}_{B}| = |\frac{\rho R}{3\epsilon_0} - \frac{\rho (R/2)^3}{3\epsilon_0 (3R/2)^2}| = \frac{\rho R}{3\epsilon_0} - \frac{\rho R^3/8}{3\epsilon_0 (9R^2/4)} = \frac{\rho R}{3\epsilon_0} (1 - \frac{1}{18}) = \frac{\rho R}{3\epsilon_0} (\frac{17}{18}) = \frac{17\rho R}{54\epsilon_0}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{|\overrightarrow{E}_{A}|}{|\overrightarrow{E}_{B}|} = \frac{\rho R / 6\epsilon_0}{17\rho R / 54\epsilon_0} = \frac{1}{6} \times \frac{54}{17} = \frac{9}{17} = \frac{18}{34}$.

(N/A) चूंकि विद्युत क्षेत्र में केवल $x$ घटक है,इसलिए $x$ दिशा के लंबवत फलकों के लिए,$E$ और $\Delta S$ के बीच का कोण $\pm \pi/2$ है। अतः,दो छायांकित फलकों को छोड़कर घन के प्रत्येक फलक के लिए फ्लक्स $\phi = E \cdot \Delta S$ शून्य है।
बाएँ फलक पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{L} = \alpha x^{1/2} = \alpha a^{1/2}$ ($x=a$ पर) है।
दाएँ फलक पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{R} = \alpha x^{1/2} = \alpha (2a)^{1/2}$ ($x=2a$ पर) है।
संबंधित फ्लक्स हैं:
$\phi_{L} = E_{L} \cdot \Delta S = E_{L} \Delta S \cos(180^{\circ}) = -E_{L} a^{2} = -\alpha a^{1/2} a^{2} = -\alpha a^{5/2}$.
$\phi_{R} = E_{R} \cdot \Delta S = E_{R} \Delta S \cos(0^{\circ}) = E_{R} a^{2} = \alpha (2a)^{1/2} a^{2} = \alpha \sqrt{2} a^{5/2}$.
घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \phi_{R} + \phi_{L} = \alpha a^{5/2} (\sqrt{2} - 1)$.
मान रखने पर: $\phi = 800 \times (0.1)^{5/2} \times (1.414 - 1) = 800 \times 0.003162 \times 0.414 \approx 1.05 \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-1}$.
$(b)$ गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,घन के भीतर कुल आवेश $q = \phi \varepsilon_{0}$ है।
$q = 1.05 \times 8.854 \times 10^{-12} \; C \approx 9.27 \times 10^{-12} \; C$.

(N/A) हल:
परमाणु के इस मॉडल के लिए आवेश वितरण चित्र में दर्शाया गया है। $R$ त्रिज्या के एकसमान गोलाकार आवेश वितरण में कुल ऋणात्मक आवेश $-Ze$ होना चाहिए,क्योंकि परमाणु (नाभिक का आवेश $Ze$ + ऋणात्मक आवेश) उदासीन है। यह हमें तुरंत ऋणात्मक आवेश घनत्व $\rho$ देता है,क्योंकि:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho = -Ze$
$\rho = -\frac{3Ze}{4 \pi R^{3}}$
नाभिक से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E(r)$ ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं। आवेश वितरण की गोलाकार समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र $E(r)$ का परिमाण केवल त्रिज्यीय दूरी $r$ पर निर्भर करता है। इसकी दिशा मूल बिंदु से बिंदु $P$ तक के त्रिज्यीय सदिश के अनुदिश होती है। गॉसियन सतह नाभिक पर केंद्रित एक गोलाकार सतह है। हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं: $r < R$ और $r > R$.
$(i)$ $r < R$: गोलाकार सतह द्वारा परिबद्ध विद्युत फ्लक्स $\phi = E(r) \times 4 \pi r^{2}$ है। गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध आवेश $q$ धनात्मक नाभिकीय आवेश और $r$ त्रिज्या के गोले के भीतर का ऋणात्मक आवेश है,अर्थात $q = Ze + \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho$। आवेश घनत्व $\rho$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $q = Ze - Ze \frac{r^{3}}{R^{3}}$ प्राप्त होता है। गॉस का नियम देता है $E(r) \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$,इसलिए $E(r) = \frac{Ze}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{r^{2}} - \frac{r}{R^{3}} \right)$। विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है।
$(ii)$ $r > R$: इस स्थिति में,गॉसियन गोलाकार सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शून्य है क्योंकि परमाणु उदासीन है। अतः,गॉस के नियम से,$E(r) \times 4 \pi r^{2} = 0$,जिसका अर्थ है कि $r > R$ के लिए $E(r) = 0$।

(D) अनंत रेखीय आवेश द्वारा $d$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$,रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के साथ इस प्रकार संबंधित है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 d}$
$\lambda$ के लिए सूत्र:
$\lambda = 2 \pi \varepsilon_0 d E = \frac{d E}{2 k}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2$.
दी गई मान:
$d = 0.02 \; m$
$E = 9 \times 10^4 \; N/C$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{0.02 \times 9 \times 10^4}{2 \times 9 \times 10^9} = 10^{-7} \; C/m = 0.1 \; \mu C/m$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $10 \; \mu C/m$ है।

(N/A) यह स्थिति चित्र में दर्शाई गई है। $A$ और $B$ दो समानांतर प्लेटें हैं जो एक-दूसरे के करीब हैं। प्लेट $A$ के बाहरी क्षेत्र को $I$ के रूप में,प्लेट $B$ के बाहरी क्षेत्र को $III$ के रूप में,और प्लेटों $A$ और $B$ के बीच के क्षेत्र को $II$ के रूप में लेबल किया गया है।
प्लेट $A$ का आवेश घनत्व,$\sigma = 17.0 \times 10^{-22} \; C/m^2$
प्लेट $B$ का आवेश घनत्व,$\sigma = -17.0 \times 10^{-22} \; C/m^2$
क्षेत्र $I$ और $III$ में,विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य है क्योंकि इन क्षेत्रों में गाऊसी सतह द्वारा घिरा कुल आवेश शून्य है।
क्षेत्र $II$ (प्लेटों के बीच) में,विद्युत क्षेत्र $E$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$
जहाँ $\varepsilon_0$ (मुक्त स्थान की विद्युतशीलता) $= 8.854 \times 10^{-12} \; C^2 N^{-1} m^{-2}$ है।
$E = \frac{17.0 \times 10^{-22}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 1.92 \times 10^{-10} \; N/C$
अतः,बाहरी क्षेत्रों में विद्युत क्षेत्र $0$ है और प्लेटों के बीच $1.92 \times 10^{-10} \; N/C$ है।

(A) मान लीजिए कि एक आवेशित चालक की सतह के ठीक बाहर एक बिंदु $P$ है और सतह के ठीक अंदर एक बिंदु $Q$ है।
चालक के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E$ है,जो $E = (\sigma / \varepsilon_{0}) \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
यह क्षेत्र $E$,छेद पर आवेश के छोटे हिस्से के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1$ और बाकी चालक के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2$ का योग है।
बिंदु $P$ (बाहर) पर,$E_1$ और $E_2$ एक ही दिशा में हैं,इसलिए $E_1 + E_2 = E = \sigma / \varepsilon_{0}$।
बिंदु $Q$ (अंदर) पर,$E_1$ अंदर की ओर ($\hat{n}$ के विपरीत) निर्देशित है और $E_2$ बाहर की ओर निर्देशित है,इसलिए $-E_1 + E_2 = 0$ (क्योंकि चालक के अंदर क्षेत्र शून्य होता है)।
दूसरे समीकरण से,$E_1 = E_2$।
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$2E_2 = \sigma / \varepsilon_{0}$,जिससे $E_2 = \sigma / (2 \varepsilon_{0}) \hat{n}$ प्राप्त होता है।
अतः,छेद में विद्युत क्षेत्र बाकी चालक के कारण है,जो $(\sigma / 2 \varepsilon_{0}) \hat{n}$ है।

$(A)$ आवेशित सतह के एक छोटे क्षेत्रफल को घेरने वाला एक छोटा गॉसियन पिलबॉक्स (बेलन) लें जिसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। गॉस के नियम के अनुसार, पिलबॉक्स से गुजरने वाला फ्लक्स $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ है। किनारों से गुजरने वाला फ्लक्स नगण्य है। दो सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स $(E_{2n} - E_{1n})A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$ है, जहाँ $E_{2n}$ और $E_{1n}$ अभिलंब घटक हैं। इस प्रकार, $(E_2 - E_1) \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$। एक चालक के लिए, अंदर का क्षेत्र $E_1 = 0$ है, इसलिए $E_2 \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, जो दर्शाता है कि $E = \frac{\sigma \hat{n}}{\varepsilon_0}$। $(b)$ सतह पर स्थित लंबाई $l$ और चौड़ाई $w$ का एक छोटा आयताकार लूप लें। एक बंद लूप के चारों ओर आवेश को घुमाने में स्थिर-विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है $(\oint E \cdot dl = 0)$। जैसे-जैसे चौड़ाई $w \to 0$ होती है, किनारों से योगदान समाप्त हो जाता है, जिससे $(E_{1t} - E_{2t})l = 0$ बचता है, जहाँ $E_{1t}$ और $E_{2t}$ स्पर्शरेखीय घटक हैं। इस प्रकार, $E_{1t} = E_{2t}$, जो सिद्ध करता है कि स्पर्शरेखीय घटक सतत है।

(A) आवेशित बेलन के समाक्षीय $r$ त्रिज्या और $L$ लंबाई वाले एक बेलनाकार गाऊसी पृष्ठ पर विचार करें,जहाँ $r$ दोनों बेलनों के बीच की दूरी है।
गाउस के नियम के अनुसार,गाऊसी पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint E \cdot dA = E(2 \pi r L)$ है।
इस गाऊसी पृष्ठ द्वारा परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = \lambda L$ है।
गाउस का नियम लागू करने पर,$\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$,हमें $E(2 \pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोनों बेलनों के बीच के स्थान में विद्युत क्षेत्र $\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r}$ है।

(N/A) हम अत्यंत छोटी लंबाई और अत्यंत छोटे अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $dS$ वाले पिलबॉक्स (pillbox) के रूप में एक गाऊसी पृष्ठ पर विचार करते हैं।
इस पिलबॉक्स का एक हिस्सा चालक के अंदर है और शेष भाग सतह के बाहर है।
इस पिलबॉक्स द्वारा घिरा कुल आवेश $q = \sigma dS$ है,जहाँ $\sigma$ चालक का पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
चालक की सतह पर प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ सतह के लंबवत होता है। अतः,यह क्षेत्रफल सदिश $d\vec{S}$ के समानांतर है,यानी $\vec{E} \parallel d\vec{S}$।
चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 0$ होता है। इसलिए,सतह के अंदर पिलबॉक्स के अनुप्रस्थ काट से बाहर आने वाला फ्लक्स $0$ है।
सतह के बाहर पिलबॉक्स के अनुप्रस्थ काट से बाहर आने वाला फ्लक्स $\phi = \vec{E} \cdot d\vec{S} = E dS \cos 0^{\circ} = E dS$ है।
गाउस के प्रमेय के अनुसार,कुल फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $E dS = \frac{\sigma dS}{\varepsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$।
सदिश रूप में,$\vec{E} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} \hat{n}$,जहाँ $\hat{n}$ सतह के लंबवत इकाई सदिश है।
यदि $\sigma$ धनात्मक है,तो $\vec{E}$ सतह से बाहर की ओर लंबवत दिशा में होता है। यदि $\sigma$ ऋणात्मक है,तो $\vec{E}$ सतह के अंदर की ओर लंबवत दिशा में होता है।

(N/A) गॉस के नियम के अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं:
$(1)$ एक अनंत लंबाई के सीधे समान रूप से आवेशित तार के कारण विद्युत क्षेत्र प्राप्त करने के लिए।
$(2)$ समान रूप से आवेशित अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र प्राप्त करने के लिए।
$(3)$ समान रूप से आवेशित पतले गोलीय कोश के कारण विद्युत क्षेत्र प्राप्त करने के लिए।
$(4)$ समान रूप से आवेशित गोले के कारण विद्युत क्षेत्र प्राप्त करने के लिए।

(N/A) मान लीजिए कि एक अनंत लंबाई का पतला सीधा तार है जिसका रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ है।
सममिति के कारण,तार से $r$ त्रिज्यीय दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर (यदि $\lambda > 0$) या अंदर की ओर (यदि $\lambda < 0$) होगी।
विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए,हम तार के अक्ष के साथ $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई का एक बेलनाकार गाऊसीय पृष्ठ चुनते हैं।
गाऊसीय पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ गाऊस के नियम द्वारा दिया जाता है:
$\phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
बेलन के दो सपाट वृत्ताकार सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि वहां विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ सतह के क्षेत्रफल सदिश $d\vec{A}$ के लंबवत है (अर्थात $\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$)।
वक्र सतह के लिए,$\vec{E}$ हर बिंदु पर सतह के लंबवत है,इसलिए $\vec{E} \cdot d\vec{A} = E dA$।
अतः,$\phi_E = E \times (2 \pi r l)$।
गाऊसीय पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ आवेश $q_{enclosed} = \lambda l$ है।
गाऊस का नियम लागू करने पर:
$E(2 \pi r l) = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$
$E$ के लिए हल करने पर:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$

(N/A) $(i)$ मान लीजिए कि एक अनंत समतल शीट का समान पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है।
समतल के लंबवत $x$-अक्ष लीजिए। समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र $y$ और $z$ निर्देशांकों पर निर्भर नहीं करेगा और प्रत्येक बिंदु पर इसकी दिशा $x$-दिशा के समानांतर होगी।
हम गॉसियन सतह को $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाला एक आयताकार समानांतर षट्फलक मान सकते हैं,जैसा कि दिखाया गया है।
केवल दो फलक $1$ और $2$ फ्लक्स में योगदान देंगे; विद्युत क्षेत्र रेखाएं अन्य फलकों के समानांतर हैं और वे कुल फ्लक्स में योगदान नहीं देती हैं।
सतह $1$ के लंबवत इकाई सदिश $-x$-दिशा में है,जबकि सतह $2$ के लंबवत इकाई सदिश $+x$-दिशा में है।
इसलिए,दोनों सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स $\vec{E} \cdot \overrightarrow{\Delta S}$ समान है और जुड़ जाता है।
अतः गॉसियन सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $2EA$ है।
बंद सतह द्वारा घिरा आवेश $\sigma A$ है।
इसलिए,गॉस के नियम के अनुसार,
$2 EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_{0}}$
$\therefore E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}$
$\therefore \vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \hat{n} \quad \dots(1)$
जहाँ $\hat{n}$ समतल के लंबवत और उससे दूर जाने वाला इकाई सदिश है।
यदि $\sigma$ धनात्मक है तो $E$ प्लेट से दूर निर्देशित होता है और यदि $\sigma$ ऋणात्मक है तो प्लेट की ओर होता है।
$(ii)$ मान लीजिए कि $R$ त्रिज्या वाली एक पतली गोलीय कोश का समान पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है।
कोश के बाहर त्रिज्या सदिश $\vec{r}$ वाला एक बिंदु $P$ मानिए।
$P$ पर $\vec{E}$ की गणना करने के लिए,हम $P$ से गुजरने वाली और $O$ केंद्र वाली $r$ त्रिज्या की एक गोलीय गॉसियन सतह लेते हैं।
गॉसियन सतह के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E$ समान है और यह प्रत्येक बिंदु पर त्रिज्या सदिश की दिशा में है।
इस प्रकार,प्रत्येक बिंदु पर $\vec{E}$ और $\overrightarrow{\Delta S}$ समानांतर हैं,और प्रत्येक तत्व से गुजरने वाला फ्लक्स $E \Delta S$ है।
सभी $\Delta S$ पर योग करने पर,गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $E \times 4 \pi r^{2}$ प्राप्त होता है।
घिरा हुआ आवेश $q = \sigma \times 4 \pi R^{2}$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,
$E \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\epsilon_{0}}$
$\therefore E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} = \frac{k q}{r^{2}}$
$\therefore \vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \hat{r} = \frac{k q}{r^{2}} \hat{r}$
$(iii)$ चित्र में दिखाए अनुसार,$R$ त्रिज्या वाली गोलीय कोश पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है।
बिंदु $P$ कोश के अंदर है। गॉसियन सतह $O$ पर केंद्रित और $r$ त्रिज्या वाली एक गोलीय सतह है जो $P$ से गुजरती है।
गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स,जैसा कि पहले गणना की गई है,$E \times 4 \pi r^{2}$ है। इस मामले में,गॉसियन सतह कोई आवेश नहीं घेरती है $(q = 0)$।
गॉस का नियम देता है,
$E \times 4 \pi r^{2} = 0$
$\therefore E = 0 \quad (r < R)$
इस प्रकार,समान रूप से आवेशित पतली कोश के कारण कोश के अंदर के सभी बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

(N/A) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक पतले गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$: गॉस के नियम के अनुसार,आवेशित गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है क्योंकि इसके अंदर कोई आवेश नहीं होता है $(q_{enclosed} = 0)$। अतः,$E = 0$।
$2$. कोश के बाहर $(r \geq R)$: कोश अपने केंद्र पर केंद्रित एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है। $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $E \propto \frac{1}{r^2}$।
$3$. ग्राफ में $y$-अक्ष पर $E$ और $x$-अक्ष पर दूरी $r$ को दर्शाया गया है। $r < R$ के लिए,ग्राफ $x$-अक्ष पर स्थित होता है $(E=0)$। $r = R$ पर,विद्युत क्षेत्र में अचानक वृद्धि होती है। $r > R$ के लिए,क्षेत्र व्युत्क्रम वर्ग नियम (inverse square law) का पालन करते हुए घटता है।

(N/A) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश पर विचार करें।
गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $r$ दूरी पर कोश के बाहर स्थित किसी बिंदु के लिए $(r > R)$,हम $r$ त्रिज्या वाली एक गोलीय गॉसियन सतह चुनते हैं।
गोलीय सममिति के कारण,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ त्रिज्यीय है और गॉसियन सतह के सभी बिंदुओं पर इसका परिमाण समान है।
गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = E \oint da = E(4\pi r^2)$ है।
गॉसियन सतह द्वारा घेरा गया कुल आवेश $Q$ है।
गॉस के नियम को लागू करने पर: $E(4\pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0}$।
अतः,कोश के बाहर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$ है।
यह दर्शाता है कि कोश के बाहर के बिंदुओं के लिए,विद्युत क्षेत्र ऐसा ही है जैसे कि पूरा आवेश $Q$ कोश के केंद्र पर केंद्रित हो।

(N/A) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ पर एक बिंदु आवेश $+q$ रखा गया है।
$O$ को केंद्र मानकर $r$ त्रिज्या का एक गोलीय गॉसियन पृष्ठ $S$ की कल्पना करें जो आवेश $q$ को परिबद्ध करता है।
पृष्ठ पर एक बिंदु $P$ पर एक सूक्ष्म क्षेत्रफल अवयव $d\vec{S}$ पर विचार करें। गोलीय सममिति के कारण,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित है और क्षेत्रफल सदिश $d\vec{S}$ के समानांतर है। अतः,उनके बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ है:
$\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
चूंकि गोलीय पृष्ठ पर $\vec{E}$ एकसमान है और $\vec{E} \parallel d\vec{S}$,इसलिए:
$\oint E \, dS \cos 0^{\circ} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
$E \oint dS = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $\oint dS = 4\pi r^{2}$ होता है,इसलिए:
$E(4\pi r^{2}) = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
यदि बिंदु $P$ पर एक परीक्षण आवेश $q_{0}$ रखा जाए,तो उस पर लगने वाला बल $F = q_{0}E$ होगा। $E$ का मान रखने पर:
$F = q_{0} \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q q_{0}}{r^{2}}$
यह व्यंजक कूलम्ब का नियम है।

विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेशों से उत्पन्न होती हैं और त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर फैलती हैं। समान रूप से आवेशित खोखले बेलन के लिए,क्षेत्र रेखाएं बेलन की सतह के लंबवत होती हैं। त्रिज्यीय दिशा में (अक्ष के लंबवत),क्षेत्र रेखाएं बाहर की ओर इंगित करती हैं। बेलन के सिरों के पास,क्षेत्र रेखाएं बाहर की ओर मुड़ जाती हैं,जो किनारों पर क्षेत्र की असमानता को दर्शाती हैं। इसे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है।

(N/A) एक घन में $8$ कोने होते हैं। यदि एक आवेश $q$ को एक कोने पर रखा जाता है,तो यह उस कोने के चारों ओर के $8$ समान घनों द्वारा समान रूप से साझा किया जाता है।
अतः,गॉस के नियम के अनुसार एक घन से होकर गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स है:
$\phi = \frac{1}{8} \times \frac{q}{\epsilon_{0}} = \frac{q}{8 \epsilon_{0}}$
$(b)$ यदि आवेश $q$ को $B$ पर रखा जाता है,जो घन के एक किनारे का मध्य-बिंदु है,तो यह $4$ समान घनों द्वारा समान रूप से साझा किया जाता है।
अतः,एक घन से होकर गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स है:
$\phi = \frac{1}{4} \times \frac{q}{\epsilon_{0}} = \frac{q}{4 \epsilon_{0}}$

(N/A) $r$ त्रिज्या वाले एक गाऊसी गोले पर विचार करें। गाऊस के नियम का उपयोग करते हुए: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
$r \leq R$ के लिए,परिबद्ध आवेश $q(r) = \int_0^r \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_0^r (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^r r^3 dr = \pi k r^4$ है।
गाऊस का नियम लागू करने पर: $E(4\pi r^2) = \frac{\pi k r^4}{\epsilon_0} \implies E = \frac{kr^2}{4\epsilon_0}$.
$r > R$ के लिए,कुल आवेश $Q = \pi k R^4 = 2e$ है। अतः,$E(4\pi r^2) = \frac{2e}{\epsilon_0} \implies E = \frac{2e}{4\pi \epsilon_0 r^2}$.
$(b)$ प्रोटॉन पर बल शून्य होने के लिए,गोले के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र को दूसरे प्रोटॉन के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र द्वारा निरस्त होना चाहिए। मान लीजिए कि प्रोटॉन केंद्र से विपरीत दिशाओं में $d$ दूरी पर हैं। $d$ दूरी पर गोले का विद्युत क्षेत्र $E_s = \frac{q(d)}{4\pi \epsilon_0 d^2} = \frac{\pi k d^4}{4\pi \epsilon_0 d^2} = \frac{k d^2}{4\epsilon_0}$ है।
चूंकि $Q = \pi k R^4 = 2e$,इसलिए $k = \frac{2e}{\pi R^4}$ है। अतः $E_s = \frac{2e d^2}{4\pi \epsilon_0 R^4}$.
$2d$ दूरी पर दूसरे प्रोटॉन का विद्युत क्षेत्र $E_p = \frac{e}{4\pi \epsilon_0 (2d)^2} = \frac{e}{16\pi \epsilon_0 d^2}$ है।
$E_s = E_p$ को बराबर करने पर: $\frac{2e d^2}{4\pi \epsilon_0 R^4} = \frac{e}{16\pi \epsilon_0 d^2} \implies d^4 = \frac{R^4}{8} \implies d = \frac{R}{8^{1/4}} = \frac{R}{\sqrt[4]{8}}$.

(A) गॉस के नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या और कुल $Q$ आवेश वाले एक समान आवेशित गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के बाहर के बिंदुओं $(r > R)$ के लिए,कोश ऐसे व्यवहार करता है जैसे कि उसका सारा आवेश उसके केंद्र पर केंद्रित हो। अतः,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}$ है। $q$ आवेश पर लगने वाला बल $F = qE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Qq}{r^{2}}$ होता है।
$2$. कोश के अंदर के बिंदुओं $(r < R)$ के लिए,कोश के कारण विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है। इसलिए,अंदर रखे गए $q$ आवेश पर लगने वाला बल $F = qE = 0$ होता है।
इन परिणामों की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कथन $A$ सही है।

(C) एक पतली अनंत आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों शीटों का सतह आवेश घनत्व $\sigma$ समान है और वे समान चिह्न की हैं,इसलिए उनके बीच के बिंदु पर पहली शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (शीट से दूर की दिशा में) है।
उसी बिंदु पर दूसरी शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (दूसरी शीट से दूर की दिशा में,जो $E_1$ की विपरीत दिशा में है) है।
शीटों के बीच का कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net}$ इन क्षेत्रों का सदिश योग है: $E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = 0$.
अतः,दो समानांतर शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(A) $q$ आवेश वाले $R$ त्रिज्या के ठोस धातु के गोले को $a$ आंतरिक त्रिज्या और $b$ बाहरी त्रिज्या वाले एक चालक गोलीय कोश के अंदर रखने पर:
$1$. $r < R$ के लिए: चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है।
$2$. $R \leq r < a$ के लिए: विद्युत क्षेत्र केंद्रीय गोले के कारण होता है,इसलिए $E = \frac{k q}{r^2}$।
$3$. $a \leq r < b$ के लिए: यह क्षेत्र चालक कोश के पदार्थ के अंदर है। आंतरिक सतह $a$ पर प्रेरित $-q$ आवेश केंद्रीय आवेश $q$ के क्षेत्र को निरस्त कर देता है,इसलिए $E = 0$।
$4$. $r \geq b$ के लिए: कुल परिबद्ध आवेश $q + 0 = q$ है (यह मानते हुए कि कोश तटस्थ है),इसलिए $E = \frac{k q}{r^2}$।
अतः,विद्युत क्षेत्र $r < R$ के लिए शून्य है,$R \leq r < a$ के लिए $1/r^2$ के अनुसार बदलता है,$a \leq r < b$ के लिए शून्य है और $r \geq b$ के लिए $1/r^2$ के अनुसार बदलता है।

(A) आवेशित डिस्क की अक्ष पर $Z$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,डिस्क पर $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई की एक छोटी रिंग (वलय) पर विचार करें।
इस रिंग का क्षेत्रफल $dA = 2\pi r dr$ है।
इस रिंग पर आवेश $dq = \sigma dA = \sigma (2\pi r dr)$ है।
अक्ष पर $Z$ बिंदु पर इस रिंग के कारण विद्युत क्षेत्र $dE$ का मान रिंग के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{(dq) Z}{(Z^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{(\sigma 2\pi r dr) Z}{(Z^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\sigma Z}{2 \varepsilon_{0}} \frac{r dr}{(Z^{2} + r^{2})^{3/2}}$.
कुल विद्युत क्षेत्र $E$ ज्ञात करने के लिए,$r = 0$ से $r = R$ तक $dE$ का समाकलन करें:
$E = \int_{0}^{R} \frac{\sigma Z}{2 \varepsilon_{0}} \frac{r dr}{(Z^{2} + r^{2})^{3/2}}$.
मान लीजिए $u = Z^{2} + r^{2}$,तो $du = 2r dr$,इसलिए $r dr = \frac{du}{2}$.
$E = \frac{\sigma Z}{4 \varepsilon_{0}} \int_{Z^{2}}^{Z^{2}+R^{2}} u^{-3/2} du = \frac{\sigma Z}{4 \varepsilon_{0}} \left[ \frac{u^{-1/2}}{-1/2} \right]_{Z^{2}}^{Z^{2}+R^{2}} = \frac{\sigma Z}{2 \varepsilon_{0}} \left[ -\frac{1}{\sqrt{u}} \right]_{Z^{2}}^{Z^{2}+R^{2}}$.
$E = \frac{\sigma Z}{2 \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{Z} - \frac{1}{\sqrt{Z^{2} + R^{2}}} \right) = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \left( 1 - \frac{Z}{\sqrt{Z^{2} + R^{2}}} \right)$.

(B) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 150 y^2 \hat{j}$ द्वारा दिया गया है। चूंकि विद्युत क्षेत्र केवल $y$-दिशा में है,इसलिए घन से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स केवल ऊपरी और निचली सतहों के कारण होगा।
निचली सतह के लिए,$y = 0$:
$\Rightarrow E = 150(0)^2 = 0 \, N/C$
$\Rightarrow \phi_{\text{bottom}} = E \cdot A \cdot \cos(180^{\circ}) = 0$
ऊपरी सतह के लिए,$y = 0.5 \, m$:
$\Rightarrow E = 150(0.5)^2 = 150 \times 0.25 = 37.5 \, N/C$
ऊपरी सतह का क्षेत्रफल $A = (0.5 \, m)^2 = 0.25 \, m^2$ है।
ऊपरी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{top}} = E \cdot A = 37.5 \times 0.25 = 9.375 \, N \cdot m^2/C$ है।
कुल फ्लक्स $\phi = \phi_{\text{top}} + \phi_{\text{bottom}} = 9.375 + 0 = 9.375 \, N \cdot m^2/C$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,$\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$ है।
$Q_{\text{in}} = \phi \cdot \epsilon_0 = 9.375 \times 8.854 \times 10^{-12} \approx 83.0 \times 10^{-12} \, C = 8.3 \times 10^{-11} \, C$।

(D) अनंत रेखीय आवेश के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2k\lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r_1 = 10 \, mm = 10^{-2} \, m$ और $r_2 = 12 \, mm = 12 \times 10^{-3} \, m$ है।
धनात्मक आवेश पर बल $F_1 = qE_1 = q \left( \frac{2k\lambda}{r_1} \right)$ (रेखीय आवेश से दूर की दिशा में)।
ऋणात्मक आवेश पर बल $F_2 = qE_2 = q \left( \frac{2k\lambda}{r_2} \right)$ (रेखीय आवेश की ओर)।
कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2 = 2k\lambda q \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $4 = 2 \times (9 \times 10^9) \times (3.0 \times 10^{-6}) \times q \times \left( \frac{1}{10 \times 10^{-3}} - \frac{1}{12 \times 10^{-3}} \right)$.
$4 = 54 \times 10^3 \times q \times (100 - 83.33) = 54 \times 10^3 \times q \times (16.67)$.
$4 = 900180 \times q \Rightarrow q \approx 4.44 \times 10^{-6} \, C = 4.44 \, \mu C$.

(A) गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आयतन आवेश घनत्व $\rho$,विद्युत फ्लक्स घनत्व $\vec{D}$ के डाइवर्जेंस (divergence) द्वारा प्राप्त होता है:
$\rho = \nabla \cdot \vec{D}$
दिया गया है $\vec{D} = e^{-x} \sin y \hat{i} - e^{-x} \cos y \hat{j} + 2z \hat{k}$.
डाइवर्जेंस की गणना करने पर:
$\rho = \frac{\partial}{\partial x}(e^{-x} \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(-e^{-x} \cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z)$
$\rho = -e^{-x} \sin y + e^{-x} \sin y + 2$
$\rho = 2 \, C/m^{3}$.
चूंकि आयतन सूक्ष्म है और मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर स्थित है,इसलिए आवेश घनत्व $\rho$ का मान $2 \, C/m^{3}$ नियत रहता है।
कुल आवेश $Q = \rho \times \Delta V$ द्वारा प्राप्त होता है।
$Q = 2 \, C/m^{3} \times (2 \times 10^{-9} \, m^{3}) = 4 \times 10^{-9} \, C$.
चूंकि $1 \, nC = 10^{-9} \, C$,इसलिए कुल आवेश $4 \, nC$ है।

(A) अक्ष से $r$ दूरी पर बेलन के बाहर किसी बिंदु के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$.
$r$ त्रिज्या और $\ell$ लंबाई की गॉसियन सतह पर विचार करने पर,परिबद्ध आवेश $q_{enc} = \rho \cdot \pi R^{2} \ell$ है।
अतः,$E(2 \pi r \ell) = \frac{\rho \pi R^{2} \ell}{\varepsilon_{0}}$,जिससे विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0} r}$ प्राप्त होता है।
स्थिर-विद्युत बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $qE = \frac{mv^{2}}{r}$.
$E$ का मान रखने पर: $q \left( \frac{\rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0} r} \right) = \frac{mv^{2}}{r}$.
सरल करने पर,हमें $mv^{2} = \frac{q \rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{q \rho R^{2}}{4 \varepsilon_{0}}$ है।

(C) अनंत विस्तार वाली पतली,अचालक समतल आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र का मान $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है।
यह विद्युत क्षेत्र एकसमान होता है,जिसका अर्थ है कि यह शीट से दूरी पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि $P_{1}$ और $P_{2}$ दोनों इस बड़ी शीट के निकट स्थित बिंदु हैं,इसलिए दोनों बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र का मान समान होगा,चाहे उनकी दूरियाँ $l$ और $2l$ कुछ भी हों।
अतः,$E_{1} = E_{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
आवेशित कण $q$ पर बल $F = qE = \frac{qQ}{A \epsilon_0} = 10 \; N$ है।
जब एक प्लेट को हटा दिया जाता है,तो शेष प्लेट एक एकल आवेशित शीट के रूप में कार्य करती है। एक एकल आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E^{\prime} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} = \frac{Q}{2 A \epsilon_0}$ होता है।
अतः,कण पर कार्य करने वाला नया बल $F^{\prime} = qE^{\prime} = \frac{qQ}{2 A \epsilon_0} = \frac{1}{2} \left( \frac{qQ}{A \epsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \times 10 \; N = 5 \; N$ होगा।

(C) प्रति इकाई क्षेत्रफल विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या उस सतह पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ के बराबर होती है।
$R$ त्रिज्या और आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले एक समान रूप से आवेशित गोले के लिए,सतह पर $(r = R)$ विद्युत क्षेत्र गॉस के नियम के अनुसार $E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $q = \rho \times \text{आयतन} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^{3}$,इस मान को $E$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi R^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} = \frac{\rho R}{3 \epsilon_{0}}$.
यहाँ $\rho = 2 \, \mu C \, m^{-3} = 2 \times 10^{-6} \, C \, m^{-3}$,$R = 6 \, m$,और $\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \, C^{2} N^{-1} m^{-2}$ है।
$E = \frac{2 \times 10^{-6} \times 6}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{12 \times 10^{-6}}{26.55 \times 10^{-12}} \approx 0.4519 \times 10^{12} \, N C^{-1}$.
विकल्पों के अनुसार निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $45 \times 10^{10} \, N C^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) बेलनाकार आयतन के भीतर $x$ त्रिज्या और $h$ लंबाई वाले एक बेलनाकार गॉसियन सतह के लिए गॉस के नियम का उपयोग करते हुए:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$
चूंकि विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय है और वक्र सतह पर समान है,इसलिए वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $E(2\pi x h)$ है। सपाट सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है।
परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = \rho \times V = \rho \times (\pi x^2 h)$ है।
गॉस के नियम को लागू करने पर:
$E(2\pi x h) = \frac{\rho \pi x^2 h}{\varepsilon_{0}}$
$E = \frac{\rho x}{2\varepsilon_{0}}$
दिया गया है $x = \frac{2\varepsilon_{0}}{\rho}$,इस मान को $E$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{\rho}{2\varepsilon_{0}} \times \left( \frac{2\varepsilon_{0}}{\rho} \right) = 1 \; V m^{-1}$.

(C) गॉस के नियम के अनुसार,गॉसियन सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या $(r < R)$ वाली एक गोलीय गॉसियन सतह के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ समान है और त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित है,इसलिए $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = E(4\pi r^2)$।
परिबद्ध आवेश $Q_{\text{in}}$ की गणना $r$ त्रिज्या के गोले के आयतन पर आवेश घनत्व $\rho(r)$ का समाकलन करके की जाती है:
$Q_{\text{in}} = \int_{0}^{r} \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_{0}^{r} \rho_{0} \left(\frac{3}{4} - \frac{r'}{R}\right) 4\pi r'^2 dr'$
$Q_{\text{in}} = 4\pi \rho_{0} \int_{0}^{r} \left(\frac{3}{4}r'^2 - \frac{r'^3}{R}\right) dr' = 4\pi \rho_{0} \left[ \frac{3}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right] = 4\pi \rho_{0} \left( \frac{r^3}{4} - \frac{r^4}{4R} \right) = \pi \rho_{0} r^3 \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$।
गॉस का नियम लागू करने पर:
$E(4\pi r^2) = \frac{\pi \rho_{0} r^3}{\varepsilon_{0}} \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$
$E = \frac{\rho_{0} r}{4\varepsilon_{0}} \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$,विभव की ऋणात्मक प्रवणता (gradient) द्वारा दिया जाता है: $E = -\frac{dV}{dr}$।
$V(r) = \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = -\frac{d}{dr} \left( \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \right) = -\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{r(-\alpha e^{-\alpha r}) - e^{-\alpha r}}{r^2} \right) = \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2} (1 + \alpha r)$।
$r = 1/\alpha$ पर,विद्युत क्षेत्र है:
$E(1/\alpha) = \frac{q e^{-1}}{4 \pi \varepsilon_{0} (1/\alpha)^2} (1 + \alpha(1/\alpha)) = \frac{q}{e} \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} (1/\alpha^2)} \cdot 2 = \frac{2q \alpha^2}{4 \pi \varepsilon_{0} e}$।
गॉस के नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या वाले गोले से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}}$ है।
$r = 1/\alpha$ पर $E$ का मान रखने पर:
$\phi = \left( \frac{2q \alpha^2}{4 \pi \varepsilon_{0} e} \right) \cdot 4 \pi (1/\alpha)^2 = \frac{2q}{e \varepsilon_{0}}$।
इसे $\frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}}$ के बराबर रखने पर,हमें $q_{\text{enclosed}} = 2q/e$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यवस्था पर विचार करें।
पहले अनंत लंबाई के चालक द्वारा $R$ लंबवत दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E_{1} = \frac{2k\lambda_{1}}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरे चालक पर लंबाई $dl$ के एक छोटे अवयव पर विचार करें जो पहले चालक के निकटतम बिंदु से $l$ दूरी पर है। पहले चालक से इस अवयव की दूरी $R = \sqrt{r^{2} + l^{2}}$ है।
आवेश अवयव $dq = \lambda_{2} dl$ पर बल $dF = E_{1} dq = \frac{2k\lambda_{1}}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} \lambda_{2} dl$ है।
समरूपता के कारण,दूसरे चालक के लंबवत बल के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। नेट बल $F$ दूसरे चालक की दिशा में घटकों का समाकलन है: $F = \int_{-\infty}^{\infty} dF \cos \theta$,जहाँ $\cos \theta = \frac{r}{R} = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}}$.
$\cos \theta$ का मान रखने पर,हमें मिलता है $F = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2k\lambda_{1}\lambda_{2}}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} dl = 2k\lambda_{1}\lambda_{2}r \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dl}{r^{2} + l^{2}}$.
$l = r \tan \theta$ और $dl = r \sec^{2} \theta d\theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,समाकलन $2k\lambda_{1}\lambda_{2}r \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{r \sec^{2} \theta d\theta}{r^{2} \sec^{2} \theta} = 2k\lambda_{1}\lambda_{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = 2k\lambda_{1}\lambda_{2} [\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2\pi k\lambda_{1}\lambda_{2}$ हो जाता है।
चूंकि परिणाम $r$ से स्वतंत्र है,इसलिए बल $r^{0}$ के समानुपाती है।

(B) $R$ त्रिज्या और एकसमान आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले एक ठोस गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_0}$। इसे सरल करने पर $E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $E \propto r$। अतः,ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$: गोला अपने केंद्र पर एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है। विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$ है,जिसका अर्थ है कि $E \propto \frac{1}{r^2}$। अतः,ग्राफ एक अतिपरवलय (hyperbola) है।
सतह पर $(r = R)$,विद्युत क्षेत्र अधिकतम होता है,जिसका मान $E_{max} = \frac{kq}{R^2}$ है।
इन विशेषताओं की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,वक्र $II$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) मान लीजिए तार का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ है। एक लंबे आवेशित तार से $r_1$ और $r_2$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V_1 - V_2 = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ ($l$ दूरी पर) और बिंदु $B$ ($2l$ दूरी पर) के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$qV_A + \frac{1}{2}mu^2 = qV_B + \frac{1}{2}m(\sqrt{2}u)^2$
$q(V_A - V_B) = \frac{1}{2}m(2u^2 - u^2) = \frac{1}{2}mu^2$
$q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{2l}{l}\right) = \frac{1}{2}mu^2$
$q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(2) = \frac{1}{2}mu^2 \quad \dots(i)$
अब, बिंदु $A$ ($l$ दूरी पर) और बिंदु $C$ ($4l$ दूरी पर) के बीच ऊर्जा संरक्षण लागू करने पर:
$qV_A + \frac{1}{2}mu^2 = qV_C + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = q(V_A - V_C) + \frac{1}{2}mu^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{4l}{l}\right) + \frac{1}{2}mu^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(4) + \frac{1}{2}mu^2$
चूंकि $\ln(4) = 2\ln(2)$, इसलिए:
$\frac{1}{2}mv^2 = 2 \left(q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(2)\right) + \frac{1}{2}mu^2$
समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = 2 \left(\frac{1}{2}mu^2\right) + \frac{1}{2}mu^2 = \frac{3}{2}mu^2$
$v^2 = 3u^2 \Rightarrow v = \sqrt{3}u$.

(A) $R$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ के एक समान गोलीय आयतन आवेश वितरण के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ गॉस के नियम द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$:
$E = \frac{k Q r}{R^3}$
यहाँ,$E \propto r$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$:
$E = \frac{k Q}{r^2}$
यहाँ,$E \propto \frac{1}{r^2}$,जो $r$ के बढ़ने के साथ घटने वाले वक्र को दर्शाता है।
सतह पर $(r = R)$,विद्युत क्षेत्र अधिकतम होता है,$E_{max} = \frac{k Q}{R^2}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ $r < R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r \geq R$ के लिए $1/r^2$ के अनुसार कमी को दर्शाता है,वह विकल्प $A$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \oint E \cdot dA = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
यहाँ विद्युत क्षेत्र $E = 250 r$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है,इसलिए $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ त्रिज्या वाले गोले के लिए सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
फ्लक्स $\Phi_E = E \cdot A = (250 r) \cdot (4 \pi r^2) = 1000 \pi r^3$ है।
$r = 0.2 \, m$ का मान रखने पर:
$\Phi_E = 1000 \pi (0.2)^3 = 1000 \pi (0.008) = 8 \pi \, V \cdot m$ प्राप्त होता है।
अब,$\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ का उपयोग करते हुए,$Q = \Phi_E \cdot \varepsilon_0$ होगा।
$Q = 8 \pi \cdot (8.854 \times 10^{-12}) \approx 25.13 \times 8.854 \times 10^{-12} \approx 2.22 \times 10^{-10} \, C$।

(C) आवेशित गोलीय कोश के कारण किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ होता है (कोश के बाहर के बिंदुओं के लिए) और कोश के अंदर के बिंदुओं के लिए $E = 0$ होता है।
बिंदु $P$ के लिए (केंद्र से $r$ दूरी पर,जो $q$ आवेश वाले आंतरिक कोश के बाहर है और $3q$ आवेश वाले बाहरी कोश के अंदर है):
$E_P = \frac{kq}{r^2} + 0 = \frac{kq}{r^2} \quad \dots (i)$
बिंदु $Q$ के लिए (केंद्र से $2r$ दूरी पर,जो दोनों कोशों के बाहर है):
$E_Q = \frac{kq}{(2r)^2} + \frac{k(3q)}{(2r)^2} = \frac{kq}{4r^2} + \frac{3kq}{4r^2} = \frac{4kq}{4r^2} = \frac{kq}{r^2} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का अनुपात:
$E_P : E_Q = \frac{kq}{r^2} : \frac{kq}{r^2} = 1 : 1$.

(A) $r$ $(r < R)$ दूरी पर कुल विद्युत क्षेत्र $E$,केंद्रीय धनात्मक आवेश और समान रूप से वितरित ऋणात्मक आवेश के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. केंद्रीय धनात्मक आवेश $+Ze$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze}{r^2}$ है।
$2$. ऋणात्मक आवेश $-Ze$ को $R$ त्रिज्या के गोले में समान रूप से वितरित किया गया है। गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,इस गोले के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(Ze)r}{R^3}$ है।
$3$. चूंकि क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 - E_2 = \frac{Ze}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r^2} - \frac{r}{R^3} \right]$ होगा।

(D) अनंत रूप से लंबी आवेशित शीट जिसका पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ है,उसके कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि बाईं शीट $0$ स्थिति पर है और दाईं शीट $r$ स्थिति पर है। दोनों शीटों पर समान धनात्मक पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ है।
बाईं शीट से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर,बाईं शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $(E_1)$ दाईं ओर इंगित करता है और इसका मान $E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ है।
दाईं शीट के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $(E_2)$ बाईं ओर इंगित करता है और इसका मान $E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ है।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $(E_{net})$ इन दोनों क्षेत्रों का सदिश योग है:
$E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0$.
अतः,बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $0$ है।

(C) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = 100 \, V/m$,पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$.
गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi = E \cdot A = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है,जहाँ $A$ पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल है $(A = 4\pi R^2)$।
अतः,कुल आवेश $q = E \cdot A \cdot \varepsilon_0$ होगा।
मान रखने पर:
$q = 100 \times 4 \times 3.14 \times (6.4 \times 10^6)^2 \times 8.854 \times 10^{-12}$
$q = 100 \times 4 \times 3.14 \times 40.96 \times 10^{12} \times 8.854 \times 10^{-12}$
$q \approx 4.55 \times 10^5 \, C$.
इस प्रकार,पृथ्वी की सतह पर कुल आवेश लगभग $4.55 \times 10^5 \, C$ है।

(D) अनंत आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र,जिसका पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है,$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
प्लेट $A$ (आवेश घनत्व $+\sigma$) के लिए,विद्युत क्षेत्र प्लेट से दूर की दिशा में होता है। प्लेट $B$ (आवेश घनत्व $-\sigma$) के लिए,विद्युत क्षेत्र प्लेट की ओर होता है।
क्षेत्र $I$ में (प्लेट $A$ के बाईं ओर): प्लेट $A$ के कारण क्षेत्र $E_A = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (बाईं ओर) है और प्लेट $B$ के कारण क्षेत्र $E_B = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (दाईं ओर) है। परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_B - E_A = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = 0$ है।
क्षेत्र $II$ में (प्लेटों के बीच): प्लेट $A$ के कारण क्षेत्र $E_A = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (दाईं ओर) है और प्लेट $B$ के कारण क्षेत्र $E_B = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (दाईं ओर) है। परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_A + E_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \neq 0$ है।
क्षेत्र $III$ में (प्लेट $B$ के दाईं ओर): प्लेट $A$ के कारण क्षेत्र $E_A = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (दाईं ओर) है और प्लेट $B$ के कारण क्षेत्र $E_B = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (बाईं ओर) है। परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_A - E_B = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = 0$ है।
अतः,विद्युत तीव्रता $I$ और $III$ दोनों क्षेत्रों में शून्य है।

(C) $R = 10 \,cm$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के लिए:
गोले के बाहर के बिंदु $(r > R)$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 20 \,cm = 0.2 \,m$ दिया गया है,इसलिए $E = \frac{kQ}{(0.2)^2} = \frac{kQ}{0.04}$।
अतः,$kQ = 0.04 E$।
गोले के अंदर के बिंदु $(r < R)$ पर विद्युत क्षेत्र $E' = \frac{kQr}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 5 \,cm = 0.05 \,m$ और $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$ है।
मान रखने पर: $E' = \frac{(kQ)(0.05)}{(0.1)^3} = \frac{(0.04 E)(0.05)}{0.001} = \frac{0.002 E}{0.001} = 2 E$।

(A) गोले के संतुलन के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल धागे में तनाव $T$,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और प्लेट से दूर क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला स्थिर वैद्युत बल $F_e = qE$ हैं।
चूंकि प्लेट एक बड़ी चालक प्लेट है,इसकी सतह के पास विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ है।
तनाव का क्षैतिज घटक स्थिर वैद्युत बल को संतुलित करता है: $T \sin \theta = qE = q \left(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\right)$.
तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है: $T \cos \theta = mg$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{q \sigma / \varepsilon_0}{mg}$.
$\tan \theta = \frac{q \sigma}{\varepsilon_0 m g}$.
$\sigma$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sigma = \frac{\varepsilon_0 m g \tan \theta}{q}$.

(B) रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ वाली एक लंबी पतली आवेशित छड़ द्वारा $d$ लंबवत दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 d}$ होता है।
चूंकि $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$,हम $2k = \frac{2}{4 \pi \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \pi \varepsilon_0}$ लिख सकते हैं।
इस मान को विद्युत क्षेत्र के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{2k \lambda}{d}$ प्राप्त होता है।
विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ होता है। दूसरी छड़ की $l$ लंबाई के लिए,आवेश $q = \lambda l$ है।
इसलिए,प्रति इकाई लंबाई बल $\frac{F}{l} = \frac{(\lambda l) E}{l} = \lambda E$ होगा।
$E$ का मान रखने पर,हमें $\frac{F}{l} = \lambda \left( \frac{2k \lambda}{d} \right) = \frac{2k \lambda^2}{d}$ प्राप्त होता है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
गॉस का नियम बताता है कि किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का $\frac{1}{\epsilon_0}$ गुना होता है।
यद्यपि गॉस का नियम किसी भी आवेश वितरण के लिए सार्वभौमिक रूप से सत्य है,लेकिन यह विद्युत क्षेत्र की 'आसान' गणना के लिए केवल तभी उपयोगी होता है जब आवेश वितरण में उच्च स्तर की सममिति (जैसे गोलीय,बेलनाकार या समतलीय सममिति) हो।
ऐसे मामलों में,हम एक ऐसी गॉसियन सतह चुन सकते हैं जहाँ विद्युत क्षेत्र का परिमाण स्थिर हो और विद्युत क्षेत्र सदिश तथा क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण या तो $0^{\circ}$ हो या $90^{\circ}$ हो,जो पृष्ठीय समाकलन $\oint E \cdot dA$ को सरल बना देता है।

(A) दिया गया है:
विद्युत क्षेत्र $E = 150 \,V/m$
पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$
निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \,C^2/(N \cdot m^2)$
गोलीय सतह के लिए गॉस के नियम का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$
आवेश $q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$q = E \cdot 4 \pi \varepsilon_0 R^2$
मान रखने पर:
$q = 150 \times 4 \times 3.14159 \times 8.854 \times 10^{-12} \times (6.4 \times 10^6)^2$
$q = 150 \times 4 \times 3.14159 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 40.96 \times 10^{12}$
$q \approx 6.8 \times 10^5 \,C$
अतः,पृथ्वी की सतह पर कुल आवेश लगभग $6.8 \times 10^5 \,C$ है।