$R$ त्रिज्या वाले एक गोले पर विचार करें जिसमें आवेश घनत्व इस प्रकार वितरित है:
$\rho(r) = kr$ जहाँ $r \leq R$
$\rho(r) = 0$ जहाँ $r > R$
$(a)$ सभी बिंदुओं $r$ पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
$(b)$ मान लीजिए कि गोले पर कुल आवेश $2e$ है,जहाँ $e$ प्राथमिक आवेश है। दो प्रोटॉन को कहाँ रखा जाना चाहिए ताकि उन पर लगने वाला बल शून्य हो? मान लें कि प्रोटॉन के प्रवेश से आवेश वितरण नहीं बदलता है।

(N/A) $r$ त्रिज्या वाले एक गाऊसी गोले पर विचार करें। गाऊस के नियम का उपयोग करते हुए: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
$r \leq R$ के लिए,परिबद्ध आवेश $q(r) = \int_0^r \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_0^r (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^r r^3 dr = \pi k r^4$ है।
गाऊस का नियम लागू करने पर: $E(4\pi r^2) = \frac{\pi k r^4}{\epsilon_0} \implies E = \frac{kr^2}{4\epsilon_0}$.
$r > R$ के लिए,कुल आवेश $Q = \pi k R^4 = 2e$ है। अतः,$E(4\pi r^2) = \frac{2e}{\epsilon_0} \implies E = \frac{2e}{4\pi \epsilon_0 r^2}$.
$(b)$ प्रोटॉन पर बल शून्य होने के लिए,गोले के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र को दूसरे प्रोटॉन के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र द्वारा निरस्त होना चाहिए। मान लीजिए कि प्रोटॉन केंद्र से विपरीत दिशाओं में $d$ दूरी पर हैं। $d$ दूरी पर गोले का विद्युत क्षेत्र $E_s = \frac{q(d)}{4\pi \epsilon_0 d^2} = \frac{\pi k d^4}{4\pi \epsilon_0 d^2} = \frac{k d^2}{4\epsilon_0}$ है।
चूंकि $Q = \pi k R^4 = 2e$,इसलिए $k = \frac{2e}{\pi R^4}$ है। अतः $E_s = \frac{2e d^2}{4\pi \epsilon_0 R^4}$.
$2d$ दूरी पर दूसरे प्रोटॉन का विद्युत क्षेत्र $E_p = \frac{e}{4\pi \epsilon_0 (2d)^2} = \frac{e}{16\pi \epsilon_0 d^2}$ है।
$E_s = E_p$ को बराबर करने पर: $\frac{2e d^2}{4\pi \epsilon_0 R^4} = \frac{e}{16\pi \epsilon_0 d^2} \implies d^4 = \frac{R^4}{8} \implies d = \frac{R}{8^{1/4}} = \frac{R}{\sqrt[4]{8}}$.