Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Hindi

(A) $R$ त्रिज्या वाले और $Q$ कुल आवेश वाले एक चालक गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है क्योंकि सभी आवेश सतह पर स्थित होते हैं।
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$,गोला अपने केंद्र पर स्थित एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $E \propto \frac{1}{r^2}$।
$3$. अतः,$r < R$ के लिए विद्युत क्षेत्र शून्य है और $r \geq R$ के लिए यह $1/r^2$ के अनुसार घटता है। इस व्यवहार को दर्शाने वाला ग्राफ $A$ है,जहाँ $r=R$ तक $E=0$ है और उसके बाद यह व्युत्क्रम-वर्ग नियम के अनुसार घटता है।

(C) दिया गया है,अनंत लंबाई के तार का रेखीय आवेश घनत्व,$\lambda = \frac{1}{4} \times 10^{-2} \text{ C/m} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C/m}$.
तार से दूरी,$r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$.
मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (2.5 \times 10^{-3})}{0.2}$
$E = \frac{45 \times 10^6}{0.2} = 2.25 \times 10^8 \text{ N/C}$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $C$ है।

(A) एक समान लंबे सीधे आवेशित तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $(E)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$
दिया गया है:
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = 0.2 \ \mu Cm^{-1} = 0.2 \times 10^{-6} \ Cm^{-1}$
दूरी $r = 3 \ m$
कूलम्ब नियतांक $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$
मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (0.2 \times 10^{-6})}{3}$
$E = \frac{18 \times 10^9 \times 0.2 \times 10^{-6}}{3}$
$E = 6 \times 0.2 \times 10^3$
$E = 1.2 \times 10^3 \ Vm^{-1}$

(A) अनंत रेखीय आवेश के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $E = \frac{2k\lambda}{r}$,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$ है।
दिए गए मान: $E = 9 \times 10^4 \ NC^{-1}$ और $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$।
रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{9 \times 10^4 \times 0.02}{2 \times 9 \times 10^9}$।
$\lambda = \frac{1800}{18 \times 10^9} = 100 \times 10^{-9} = 10^{-7} \ Cm^{-1}$।

(B) एक बड़ी आवेशित प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$ होता है।
दिया गया है,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 100 \ eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
इलेक्ट्रॉन के प्लेट से टकराने से ठीक पहले रुकने के लिए,प्लेट की सतह पर उसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ होनी चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 0$ मानते हुए,$K_i = U_f = e \cdot V$,जहाँ $V$ विभवांतर $V = E \cdot d$ है।
अतः,$K_i = e \cdot \left( \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0} \right) \cdot d$.
मान रखने पर: $100 \times 1.6 \times 10^{-19} = (1.6 \times 10^{-19}) \cdot \left( \frac{2 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} \right) \cdot d$.
$100 = \frac{10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} \cdot d$.
$100 = \frac{10^6}{8.85} \cdot d$.
$d = \frac{885}{10^6} \approx 0.44 \times 10^{-3} \ m = 0.44 \ mm$.

(A) अनंत रेखीय आवेश द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
दिए गए मान:
$E = 9 \times 10^4 \ NC^{-1}$
$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$,इसलिए $\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} = 2 \times 9 \times 10^9 = 18 \times 10^9$.
रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = E \cdot 2 \pi \varepsilon_0 \cdot r = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0})} = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (9 \times 10^9)}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{9 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-2}}{2 \times 9 \times 10^9}$
$\lambda = \frac{18 \times 10^2}{18 \times 10^9} = 10^{-7} \ Cm^{-1}$
$\lambda = 0.1 \times 10^{-6} \ Cm^{-1} = 0.1 \ \mu C \ m^{-1}$.

(A) अनंत लंबाई की आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ शीट के लंबवत इकाई सदिश है जो शीट से दूर की ओर इंगित करता है।
बिंदु $P$ पर ($z=a$ और $z=2a$ के बीच):
$1$. $z=2a$ पर $+\sigma$ घनत्व वाली शीट के कारण: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$ (नीचे की ओर)।
$2$. $z=a$ पर $-2\sigma$ घनत्व वाली शीट के कारण: $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ (शीट की ओर,यानी नीचे की ओर)।
$3$. $z=-a$ पर $-\sigma$ घनत्व वाली शीट के कारण: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$ (शीट की ओर,यानी नीचे की ओर)।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\left(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right) \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ है।
$-q$ आवेश पर लगने वाला विद्युत बल $\vec{F} = (-q) \vec{E}_{net} = (-q) \left(-\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}\right) = +\frac{2q\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ होगा।

(A) अनंत लंबाई की अचालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
शीट $Z = 3a$ $(\sigma)$,$Z = a$ $(-2\sigma)$,और $Z = -a$ $(-\sigma)$ पर स्थित हैं। बिंदु $P$,$Z = a$ और $Z = 3a$ के बीच स्थित है।
$1$. $Z = 3a$ पर शीट $(\sigma)$: बिंदु $P$ इसके नीचे है,इसलिए क्षेत्र $-\hat{k}$ दिशा में है: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k}$.
$2$. $Z = a$ पर शीट $(-2\sigma)$: बिंदु $P$ इसके ऊपर है,इसलिए क्षेत्र शीट की ओर ($+\hat{k}$ दिशा में) है: $\vec{E}_2 = \frac{2\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k}$.
$3$. $Z = -a$ पर शीट $(-\sigma)$: बिंदु $P$ इसके ऊपर है,इसलिए क्षेत्र शीट की ओर ($+\hat{k}$ दिशा में) है: $\vec{E}_3 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k}$.
कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (-\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2}) \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k}$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $A$ माना जा सकता है।

(B) अनंत लंबाई के सीधे तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
दिया है: $\lambda = \frac{1}{3} \text{ C m}^{-1}$,$r = 18 \text{ cm} = 0.18 \text{ m}$,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$.
मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times (1/3) \times 9 \times 10^9}{0.18} = \frac{6 \times 10^9}{0.18} = \frac{600 \times 10^9}{18} = \frac{1}{3} \times 10^{11} \text{ N/C}$.
$q = 3 \mu\text{C} = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ आवेश पर लगने वाला बल $F$:
$F = qE = (3 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (\frac{1}{3} \times 10^{11} \text{ N/C}) = 10^5 \text{ N}$.

(C) गॉस का नियम बताता है कि किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का $1/\epsilon_0$ गुना होता है।
जबकि कूलम्ब का नियम बिंदु आवेशों के विद्युत क्षेत्र को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है,यह निरंतर आवेश वितरण के लिए गणितीय रूप से जटिल हो जाता है।
गॉस का नियम विशेष रूप से उन मामलों में विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए बहुत शक्तिशाली है जहाँ आवेश वितरण में उच्च स्तर की समरूपता (जैसे गोलाकार,बेलनाकार या समतलीय समरूपता) होती है।
एक उपयुक्त गॉसियन सतह चुनकर,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = q_{enc} / \epsilon_0$ संबंध का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र को आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।

(B) अनंत रेखीय आवेश के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{line} = \frac{2k\lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण उससे $(d-r)$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{point} = \frac{kq}{(d-r)^2}$ होता है।
कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों के परिमाण समान होने चाहिए: $E_{line} = E_{point}$.
मान रखने पर $\lambda = 1 \ C \ m^{-1}$,$q = 1 \ C$,और $d = 3 \ m$:
$\frac{2k(1)}{r} = \frac{k(1)}{(3-r)^2}$
$\frac{2}{r} = \frac{1}{(3-r)^2}$
$2(3-r)^2 = r$
$2(9 - 6r + r^2) = r$
$18 - 12r + 2r^2 = r$
$2r^2 - 13r + 18 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4} = \frac{13 \pm 5}{4}$
$r_1 = \frac{18}{4} = 4.5 \ m$ और $r_2 = \frac{8}{4} = 2 \ m$.
चूंकि बिंदु को मूल बिंदु और आवेश के बीच होना चाहिए $(0 < r < 3)$,इसलिए मान्य दूरी $r = 2 \ m$ है।

(D) अनंत लंबाई के सीधे तार से $x$ त्रिज्यीय दूरी पर रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 x}$.
दिया गया है: $\lambda = 2.5 \times 10^{-7} \ Cm^{-1}$,$E = 7.5 \times 10^4 \ NC^{-1}$,और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
$x$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $x = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 E} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 E}$.
मान रखने पर: $x = \frac{2 \times (2.5 \times 10^{-7}) \times (9 \times 10^9)}{7.5 \times 10^4}$.
$x = \frac{5 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^9}{7.5 \times 10^4} = \frac{45 \times 10^2}{7.5 \times 10^4} = \frac{45}{7.5} \times 10^{-2} \ m$.
$x = 6 \times 10^{-2} \ m = 6 \ cm$.

(D) $1$. एक चालक गोलीय कोश के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि कोश पर आवेश किसी भी आंतरिक क्षेत्र को रद्द करने के लिए स्वयं को पुनर्वितरित कर लेते हैं। इसलिए, केंद्र पर रखे गए आवेश $q_1$ पर लगने वाला बल $F_1 = q_1 \times E_{in} = q_1 \times 0 = 0$ है。
$2$. कोश के बाहर $x$ दूरी पर रखे गए आवेश $q_2$ के लिए, गॉस के नियम के अनुसार कोश अपने केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ की तरह व्यवहार करता है। इसके अतिरिक्त, केंद्र पर स्थित आवेश $q_1$ भी $q_2$ पर बल लगाता है。
$3$. $q_2$ की स्थिति पर कुल विद्युत क्षेत्र $Q$ और $q_1$ द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है, जो $E_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{x^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q+q_1}{x^2}$ है。
$4$. $q_2$ पर लगने वाला बल $F_2 = q_2 \times E_{total} = \frac{q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q+q_1}{x^2}$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक ठोस गोले के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार दिया जाता है:
$E = \begin{cases} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q r}{R^3} ; & \text{के लिए } r < R \\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} ; & \text{के लिए } r \geq R \end{cases}$
$r < R$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ दूरी $r$ के सीधे समानुपाती है $(E \propto r)$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$r \geq R$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है $(E \propto 1/r^2)$,जो एक अतिपरवलयिक वक्र को दर्शाता है।
इस प्रकार,ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,$r = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और फिर $r > R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करते हुए घटता है।

(C) मान लीजिए कि गुहिका बनाने से पहले ठोस गोले का आवेश $Q_0$ है। एकसमान आवेशित अचालक गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0} = \frac{Q_0 \vec{r}}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,गुहिका के केंद्र $(O')$ पर विद्युत क्षेत्र मूल गोले के कारण क्षेत्र और हटाए गए गोलाकार भाग के कारण उत्पन्न होने वाले क्षेत्र का अंतर है।
$E = E_{Q_0} - E_{\text{cavity}} = \frac{Q_0}{4 \pi \epsilon_0 R^3} \left( \frac{R}{2} \right) - 0 = \frac{Q_0}{8 \pi \epsilon_0 R^2} = \frac{Q_0}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \left( \frac{1}{2} \right)$.
चूंकि आवेश घनत्व $\rho$ एकसमान है,आवेश आयतन के समानुपाती होता है: $\frac{Q}{Q_0} = \frac{V_{\text{sphere}} - V_{\text{cavity}}}{V_{\text{sphere}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{4}{3} \pi (R/4)^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$.
अतः,$Q_0 = Q \left( \frac{64}{63} \right)$.
$Q_0$ का मान $E$ के समीकरण में रखने पर:
$E = \frac{Q (64/63)}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{32}{63} \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right) \approx 0.5079 \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right)$.
इसकी तुलना $E = K \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right)$ से करने पर,हमें $K \approx 0.51$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि गोले का आयतन आवेश घनत्व $\rho_v = 1 \times 10^{-6} \ C/m^3$ है।
स्थिरांक $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$ है।
केंद्र से दूरी $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$ है।
समान रूप से आवेशित गोले के अंदर किसी बिंदु के लिए,गॉस के नियम के अनुसार विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{\rho_v r}{3 \epsilon_0}$
चूंकि $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,इसलिए $\frac{1}{\epsilon_0} = 36 \pi \times 10^9$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{\rho_v r}{3} \times (36 \pi \times 10^9)$
$E = \rho_v r \times 12 \pi \times 10^9$
$\rho_v$ और $r$ के मान रखने पर:
$E = (1 \times 10^{-6}) \times (10^{-3}) \times 12 \pi \times 10^9$
$E = 10^{-9} \times 12 \pi \times 10^9$
$E = 12 \pi \ N/C$.
अतः,विद्युत क्षेत्र $12 \pi \ N/C$ है।

(A) गोलाकार आवेश वितरण के अंदर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है: $E(r) = \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0 r^2}$,जहाँ $q_{enc}$ त्रिज्या $r$ के गोले के भीतर परिबद्ध आवेश है।
परिबद्ध आवेश $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr'$ है।
$\rho(r') = \rho_0 \left[1 - \left(\frac{r'}{R}\right)^3\right]$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q(r) = 4\pi\rho_0 \int_0^r \left(r'^2 - \frac{r'^5}{R^3}\right) dr' = 4\pi\rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^6}{6R^3} \right]$.
अतः,$E(r) = \frac{4\pi\rho_0}{4\pi\epsilon_0 r^2} \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^6}{6R^3} \right) = \frac{\rho_0}{\epsilon_0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^4}{6R^3} \right)$.
अधिकतम क्षेत्र के लिए,$\frac{dE}{dr} = 0$:
$\frac{d}{dr} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^4}{6R^3} \right) = \frac{1}{3} - \frac{4r^3}{6R^3} = 0$.
$\frac{1}{3} = \frac{2r^3}{3R^3} \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{2} \Rightarrow r = \frac{R}{2^{1/3}}$.

(A) अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = 2k \frac{\lambda}{r}$
जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$ है।
दिया गया है:
$\lambda = \frac{1}{3} \, C \cdot m^{-1}$
$r = 18 \, cm = 0.18 \, m = 18 \times 10^{-2} \, m$
मान रखने पर:
$E = 2 \times (9 \times 10^9) \times \frac{1/3}{18 \times 10^{-2}}$
$E = 18 \times 10^9 \times \frac{1}{3 \times 18 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{18 \times 10^9}{54 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{1}{3} \times 10^{11} \, N \cdot C^{-1}$
$E \approx 0.33 \times 10^{11} \, N \cdot C^{-1}$

(D) खोखले गोलाकार कोश पर कुल आवेश $q$,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ और गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल $(4 \pi r^2)$ का गुणनफल होता है: $q = \sigma \times 4 \pi r^2$।
गॉस के नियम के अनुसार,घन की बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि घन एक सममित बंद सतह है और आवेश इसके केंद्र में स्थित है,इसलिए फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होता है।
अतः,घन के एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi' = \frac{1}{6} \times \frac{q}{\varepsilon_0}$ होगा।
$q$ का मान रखने पर: $\phi' = \frac{1}{6} \times \frac{\sigma \times 4 \pi r^2}{\varepsilon_0} = \frac{2 \pi r^2 \sigma}{3 \varepsilon_0}$।

(D) $d \leq 1 \text{ cm}$ दूरी पर (ठोस गोले के अंदर) विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं।
केंद्र पर $d$ त्रिज्या वाले गोले को गॉसियन सतह के रूप में मानें।
इस सतह द्वारा घिरा आवेश $q_{enc} = \rho_1 \cdot V = \rho_1 \cdot (\frac{4}{3} \pi d^3)$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,$\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ है।
$E(4 \pi d^2) = \frac{\rho_1 (\frac{4}{3} \pi d^3)}{\varepsilon_0}$।
$E = \frac{\rho_1 d}{3 \varepsilon_0}$।
यहाँ $\rho_1 = -3 \text{ C/cm}^3$ दिया गया है,इसलिए विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|E_d| = |\frac{-3 d}{3 \varepsilon_0}| = \frac{d}{\varepsilon_0}$ होगा।
अतः,$d \leq 1 \text{ cm}$ के लिए,$E_d = \frac{d}{\varepsilon_0}$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $\oint E \cdot ds = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
कोटर के अंदर $r$ त्रिज्या (जहाँ $r < R_1$) वाले एक गॉसियन पृष्ठ के लिए,घिरा हुआ कुल आवेश केवल केंद्र पर रखा गया बिंदु आवेश $q$ है।
अतः,$E(4 \pi r^2) = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ प्राप्त होता है।
चालक कोश पर स्थित आवेश $Q$ कोटर के अंदर विद्युत क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देता है क्योंकि गोलीय सममित आवेशित कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

(A) एक बड़ी आवेशित प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,इलेक्ट्रॉन पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होना चाहिए।
$W = \Delta K$
$F \cdot d = K_{initial}$
$(qE)d = K_{initial}$
$q \left( \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}} \right) d = K_{initial}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$\sigma = 8.85 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$
$\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \ C^{2} \ N^{-1} \ m^{-2}$
$K_{initial} = 8 \times 10^{-17} \ J$
गणना के अनुसार,यदि हम $E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ लेते हैं (जैसे कि दो प्लेटों के बीच),तो $d = 0.5 \ mm$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) इलेक्ट्रोस्टैटिक विभव $\Phi = a r^2 + b$ दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $\Phi$ के बीच संबंध $E = -\frac{d\Phi}{dr}$ है।
अतः,$E = -\frac{d}{dr}(a r^2 + b) = -2ar$.
गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आवेश घनत्व $\rho$ और विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ है।
गोलीय निर्देशांक में,एक त्रिज्यीय क्षेत्र $E(r)$ के लिए डाइवर्जेंस $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ होता है।
$E = -2ar$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 (-2ar)) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2a r^3) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$\frac{1}{r^2} (-6a r^2) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$-6a = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
अतः,$\rho = -6a \varepsilon_0$.

(B) एक अनंत अचालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत क्षेत्र और विभवांतर के बीच के संबंध $|dV| = |E| dr$ का उपयोग करते हुए,$\Delta V$ विभवांतर वाले दो समविभव पृष्ठों के बीच की दूरी $r = \frac{\Delta V}{E}$ होती है।
$E$ का मान रखने पर,$r = \frac{\Delta V \cdot 2 \varepsilon_0}{\sigma} = \frac{\Delta V}{2 \pi \sigma (1 / 4 \pi \varepsilon_0)}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\Delta V = 90 \text{ V}$,$\sigma = 2 \times 10^{-7} \text{ C/m}^2$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$ दिया गया है।
अतः,$r = \frac{90}{2 \pi \times 2 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^9} = \frac{90}{3600 \pi} \text{ m} = \frac{1}{40 \pi} \text{ m} = \frac{1000}{40 \pi} \text{ mm} = \frac{25}{\pi} \text{ mm}$.

(C) प्रश्न के अनुसार,दो बड़ी समानांतर प्लेटों के बीच की जगह एक समान आवेश घनत्व $\rho$ वाले पदार्थ से भरी हुई है। चूंकि यह एक समांग माध्यम है,इसलिए इन प्लेटों के बीच किसी भी बिंदु पर विभव की गणना पॉइसन (Poisson's) के समीकरण द्वारा की जाती है:
$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
चूंकि हमें $x$-दिशा में किसी भी बिंदु पर विभव की गणना करनी है,इसलिए $y$ और $z$ दिशाओं में विभव का अवकलन शून्य होगा।
अतः,समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$\frac{d^2 V}{d x^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d^2 V}{d x^2} dx = -\int \frac{\rho}{\varepsilon_0} dx$
$\frac{d V}{d x} = -\frac{\rho x}{\varepsilon_0} - A$
दोनों पक्षों का पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d V}{d x} dx = \int \left( -\frac{\rho x}{\varepsilon_0} - A \right) dx$
$V = -\frac{\rho x^2}{2 \varepsilon_0} - Ax - B$
$V = -\left( \frac{\rho x^2}{2 \varepsilon_0} + Ax + B \right)$

(A) आवेशित अनंत चालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,एक अचालक शीट के लिए,$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ होता है। विकल्पों और दिए गए समाधान चित्र के संदर्भ को देखते हुए,गेंद पर कार्य करने वाला बल $F = qE = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ है।
गेंद $B$ पर कार्य करने वाले बलों पर विचार करते हुए: विद्युत बल $F$ क्षैतिज रूप से कार्य करता है और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है।
संतुलन में,धागे में तनाव इन बलों को संतुलित करता है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{F}{mg} = \frac{q\sigma / 2\varepsilon_{0}}{mg} = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_{0}mg}$.

(A) एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाली अनंत शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है (जहाँ $z > 0$ है)। चूंकि बिंदु $A$ और $B$ के $z$-निर्देशांक धनात्मक हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}$ है।
किया गया कार्य $W = -q \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -q \vec{E} \cdot (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A})$.
यहाँ $\vec{r}_{A} = a(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ और $\vec{r}_{B} = a(\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k})$ है।
विस्थापन $\vec{d} = \vec{r}_{B} - \vec{r}_{A} = a(-4\hat{j} + 3\hat{k})$ है।
किया गया कार्य $W = -q (\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}) \cdot a(-4\hat{j} + 3\hat{k}) = -\frac{q \sigma a}{2\varepsilon_{0}} (3) = -\frac{3q \sigma a}{2\varepsilon_{0}}$.
नोट: किए गए कार्य का परिमाण $\frac{3q \sigma a}{2\varepsilon_{0}}$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या वाले गोले के लिए,सतह पर विद्युत क्षेत्र $E$ समान होता है,इसलिए $E(4 \pi R^{2}) = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$।
कुल आवेश $q_{enclosed}$ गोले के आयतन पर आयतन आवेश घनत्व $\rho = k r$ का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
$q_{enclosed} = \int_{0}^{R} \rho (4 \pi r^{2}) dr = \int_{0}^{R} (k r) (4 \pi r^{2}) dr = 4 \pi k \int_{0}^{R} r^{3} dr = 4 \pi k \left[ \frac{r^{4}}{4} \right]_{0}^{R} = \pi k R^{4}$।
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर:
$E(4 \pi R^{2}) = \frac{\pi k R^{4}}{\varepsilon_{0}}$।
$E$ के लिए हल करने पर:
$E = \frac{\pi k R^{4}}{4 \pi R^{2} \varepsilon_{0}} = \frac{k R^{2}}{4 \varepsilon_{0}}$।

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
धनावेशित समतल $(+\sigma)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_{+}$ समतल से दूर की ओर इंगित करता है।
ऋणावेशित समतल $(-\sigma)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_{-}$ समतल की ओर इंगित करता है।
दोनों समतलों के बीच,दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में यानी धनात्मक समतल से ऋणात्मक समतल की ओर कार्य करते हैं।
इसलिए,कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_{+} + E_{-} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ होगा।
इसकी दिशा धनात्मक समतल से ऋणात्मक समतल की ओर होती है।

(D) $\sigma$ आवेश घनत्व वाली एक अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ शीट के लंबवत इकाई सदिश है जो शीट से दूर इंगित करता है।
बिंदु $(0, 2a, 0)$ पर,स्थिति $Y=2a$ है।
$1$. $Y=a$ पर $-\sigma$ घनत्व वाली शीट के लिए: बिंदु शीट के दाईं ओर है। क्षेत्र शीट की ओर (ऋण $Y$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_1 = -\frac{-\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j}$.
$2$. $Y=3a$ पर $2\sigma$ घनत्व वाली शीट के लिए: बिंदु शीट के बाईं ओर है। क्षेत्र शीट से दूर (ऋण $Y$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{j}$.
$3$. $Y=4a$ पर $4\sigma$ घनत्व वाली शीट के लिए: बिंदु शीट के बाईं ओर है। क्षेत्र शीट से दूर (ऋण $Y$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_3 = -\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{j}$.
कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \right) \hat{j} = \frac{\sigma - 2\sigma - 4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{5\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j}$.

(B) एक आवेशित ठोस बेलन के भीतर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं।
दिए गए बेलन के समाक्ष '$x$' त्रिज्या और '$\ell$' लंबाई वाले एक बेलनाकार गॉसियन पृष्ठ पर विचार करें।
इस गॉसियन पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q_{enc} = \rho \times V = \rho (\pi x^{2} \ell)$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,गॉसियन पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enc}}{k \varepsilon_{0}}$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र बेलन की वक्र सतह पर त्रिज्यीय और एकसमान है,इसलिए फ्लक्स $E(2 \pi x \ell)$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $E(2 \pi x \ell) = \frac{\rho \pi x^{2} \ell}{k \varepsilon_{0}}$.
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{\rho x}{2 k \varepsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = q / \varepsilon_{0}$ होता है।
जब एक आवेश $q$ को एक घन के एक कोने पर रखा जाता है,तो इस घन को $8$ समान घनों से बनी एक बड़ी गॉसियन सतह का हिस्सा माना जा सकता है,ताकि आवेश पूरी तरह से केंद्र में आ जाए।
इस प्रकार,पूरे घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{cube} = q / (8 \varepsilon_{0})$ है।
आवेश $q$ घन के तीन फलकों पर स्थित है। विद्युत क्षेत्र रेखाएं इन तीन फलकों के समानांतर हैं,इसलिए इन तीन फलकों से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स शून्य है।
शेष फ्लक्स $\phi_{cube}$ घन के अन्य तीन फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
इसलिए,अन्य तीन फलकों में से किसी एक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \frac{1}{3} \times \phi_{cube} = \frac{1}{3} \times \frac{q}{8 \varepsilon_{0}} = \frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ होगा।

(A) आवेश $X$-अक्ष पर $0.5R$ के अंतराल पर रखे गए हैं। चूँकि एक आवेश मूल बिंदु (गोले का केंद्र) पर स्थित है,इसलिए आवेशों की स्थितियाँ $x = 0, \pm 0.5R, \pm 1.0R, \pm 1.5R, \dots$ होंगी।
$1.5R$ त्रिज्या वाले गोलीय पृष्ठ के लिए,परिबद्ध आवेश वे हैं जो $x = 0, x = +0.5R, x = -0.5R, x = +1.0R$ और $x = -1.0R$ पर स्थित हैं।
कुल परिबद्ध आवेशों की संख्या $1 + 2 + 2 = 5$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ होता है।
परिबद्ध आवेश का मान रखने पर,$\phi = \frac{5q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(A) अनंत लंबाई के रेखीय आवेश के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों तारों के बीच मध्य बिंदु पर,प्रत्येक तार से दूरी $r = R$ है।
धनात्मक आवेशित तार $(+\lambda)$ के कारण विद्युत क्षेत्र उससे दूर की ओर होता है और ऋणात्मक आवेशित तार $(-\lambda)$ के कारण विद्युत क्षेत्र उसकी ओर होता है।
चूंकि मध्य बिंदु तारों के बीच में है,इसलिए दोनों विद्युत क्षेत्र सदिश एक ही दिशा में (धनात्मक तार से ऋणात्मक तार की ओर) कार्य करते हैं।
अतः,कुल विद्युत क्षेत्र $E_{total} = E_1 + E_2 = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi \epsilon_0 R}$ होगा।