निम्नलिखित स्थितियों के लिए विद्युत क्षेत्र का व्यंजक प्राप्त कीजिए:
$(i)$ अनंत आकार की और समान आवेश वितरण वाली समतल शीट।
$(ii)$ समान आवेश वितरण वाली पतली गोलीय कोश के बाहर किसी बिंदु पर।
$(iii)$ समान आवेश वितरण वाली पतली गोलीय कोश के अंदर किसी बिंदु पर।

(N/A) $(i)$ मान लीजिए कि एक अनंत समतल शीट का समान पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है।
समतल के लंबवत $x$-अक्ष लीजिए। समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र $y$ और $z$ निर्देशांकों पर निर्भर नहीं करेगा और प्रत्येक बिंदु पर इसकी दिशा $x$-दिशा के समानांतर होगी।
हम गॉसियन सतह को $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाला एक आयताकार समानांतर षट्फलक मान सकते हैं,जैसा कि दिखाया गया है।
केवल दो फलक $1$ और $2$ फ्लक्स में योगदान देंगे; विद्युत क्षेत्र रेखाएं अन्य फलकों के समानांतर हैं और वे कुल फ्लक्स में योगदान नहीं देती हैं।
सतह $1$ के लंबवत इकाई सदिश $-x$-दिशा में है,जबकि सतह $2$ के लंबवत इकाई सदिश $+x$-दिशा में है।
इसलिए,दोनों सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स $\vec{E} \cdot \overrightarrow{\Delta S}$ समान है और जुड़ जाता है।
अतः गॉसियन सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $2EA$ है।
बंद सतह द्वारा घिरा आवेश $\sigma A$ है।
इसलिए,गॉस के नियम के अनुसार,
$2 EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_{0}}$
$\therefore E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}$
$\therefore \vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \hat{n} \quad \dots(1)$
जहाँ $\hat{n}$ समतल के लंबवत और उससे दूर जाने वाला इकाई सदिश है।
यदि $\sigma$ धनात्मक है तो $E$ प्लेट से दूर निर्देशित होता है और यदि $\sigma$ ऋणात्मक है तो प्लेट की ओर होता है।
$(ii)$ मान लीजिए कि $R$ त्रिज्या वाली एक पतली गोलीय कोश का समान पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है।
कोश के बाहर त्रिज्या सदिश $\vec{r}$ वाला एक बिंदु $P$ मानिए।
$P$ पर $\vec{E}$ की गणना करने के लिए,हम $P$ से गुजरने वाली और $O$ केंद्र वाली $r$ त्रिज्या की एक गोलीय गॉसियन सतह लेते हैं।
गॉसियन सतह के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E$ समान है और यह प्रत्येक बिंदु पर त्रिज्या सदिश की दिशा में है।
इस प्रकार,प्रत्येक बिंदु पर $\vec{E}$ और $\overrightarrow{\Delta S}$ समानांतर हैं,और प्रत्येक तत्व से गुजरने वाला फ्लक्स $E \Delta S$ है।
सभी $\Delta S$ पर योग करने पर,गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $E \times 4 \pi r^{2}$ प्राप्त होता है।
घिरा हुआ आवेश $q = \sigma \times 4 \pi R^{2}$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,
$E \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\epsilon_{0}}$
$\therefore E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} = \frac{k q}{r^{2}}$
$\therefore \vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \hat{r} = \frac{k q}{r^{2}} \hat{r}$
$(iii)$ चित्र में दिखाए अनुसार,$R$ त्रिज्या वाली गोलीय कोश पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है।
बिंदु $P$ कोश के अंदर है। गॉसियन सतह $O$ पर केंद्रित और $r$ त्रिज्या वाली एक गोलीय सतह है जो $P$ से गुजरती है।
गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स,जैसा कि पहले गणना की गई है,$E \times 4 \pi r^{2}$ है। इस मामले में,गॉसियन सतह कोई आवेश नहीं घेरती है $(q = 0)$।
गॉस का नियम देता है,
$E \times 4 \pi r^{2} = 0$
$\therefore E = 0 \quad (r < R)$
इस प्रकार,समान रूप से आवेशित पतली कोश के कारण कोश के अंदर के सभी बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।