एक समान रूप से आवेशित लंबे तार से l दूरी पर, | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए तार का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ है। एक लंबे आवेशित तार से $r_1$ और $r_2$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V_1 - V_2 = \frac{\

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$\sqrt{3}u$

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(A) मान लीजिए तार का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ है। एक लंबे आवेशित तार से $r_1$ और $r_2$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V_1 - V_2 = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$ द्वारा दिया जाता है।बिंदु $A$ ($l$ दूरी पर) और बिंदु $B$ ($2l$ दूरी पर) के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:$qV_A + \frac{1}{2}mu^2 = qV_B + \frac{1}{2}m(\sqrt{2}u)^2$$q(V_A - V_B) = \frac{1}{2}m(2u^2 - u^2) = \frac{1}{2}mu^2$$q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{2l}{l}\right) = \frac{1}{2}mu^2$$q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(2) = \frac{1}{2}mu^2 \quad \dots(i)$अब, बिंदु $A$ ($l$ दूरी पर) और बिंदु $C$ ($4l$ दूरी पर) के बीच ऊर्जा संरक्षण लागू करने पर:$qV_A + \frac{1}{2}mu^2 = qV_C + \frac{1}{2}mv^2$$\frac{1}{2}mv^2 = q(V_A - V_C) + \frac{1}{2}mu^2$$\frac{1}{2}mv^2 = q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{4l}{l}\right) + \frac{1}{2}mu^2$$\frac{1}{2}mv^2 = q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(4) + \frac{1}{2}mu^2$चूंकि $\ln(4) = 2\ln(2)$, इसलिए:$\frac{1}{2}mv^2 = 2 \left(q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(2)\right) + \frac{1}{2}mu^2$समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{1}{2}mv^2 = 2 \left(\frac{1}{2}mu^2\right) + \frac{1}{2}mu^2 = \frac{3}{2}mu^2$$v^2 = 3u^2 \Rightarrow v = \sqrt{3}u$.

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