Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Hindi

(D) माना $\phi_A, \phi_B,$ और $\phi_C$ क्रमशः पृष्ठ $A, B,$ और $C$ से संबद्ध विद्युत फ्लक्स हैं।
गॉस के नियम के अनुसार,बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
बेलन की सममिति के कारण,दोनों समतल पृष्ठों $A$ और $C$ से संबद्ध फ्लक्स समान होता है,इसलिए $\phi_A = \phi_C$ है।
इस मान को गॉस के नियम के समीकरण में रखने पर,हमें $2\phi_A + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि वक्र पृष्ठ $B$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_B = \phi$ है,इसलिए $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$।
$\phi_A$ के लिए हल करने पर,$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$ प्राप्त होता है।
अतः,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$।

(D) $R$ त्रिज्या वाले एक आवेशित चालक गोलीय कोश के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है।
जब $r > R$ होता है,तो कोश एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ होता है।
जब $r < R$ होता है,तो आवेशित चालक कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है क्योंकि चालक के अंदर खींचे गए गॉसियन पृष्ठ के भीतर कोई आवेश नहीं होता है।
चूंकि दूरी $\frac{R}{2}$,$R$ से कम है,इसलिए इस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $0$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
जब एक बिंदु आवेश $q$ को घन के एक कोने पर रखा जाता है,तो आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए $8$ समान घनों की आवश्यकता होती है।
इसलिए,एक घन से गुजरने वाला फ्लक्स कुल फ्लक्स का $\frac{1}{8}$ भाग होता है।
अतः,दिए गए घन से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{1}{8} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{q}{8\varepsilon_0}$ होगा।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint E \cdot dA = \frac{q_{en}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया विद्युत क्षेत्र $E = Ar$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है,इसलिए $a$ त्रिज्या वाले गोलाकार सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = Aa$ होगा।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi a^2$ है।
चूंकि गोले की सतह पर क्षेत्र एकसमान है और त्रिज्यीय दिशा में है,इसलिए फ्लक्स $\phi = E \times S = (Aa) \times (4\pi a^2) = 4\pi A a^3$ होगा।
गॉस के नियम के साथ तुलना करने पर: $4\pi A a^3 = \frac{q}{\varepsilon_0}$।
अतः,निहित आवेश $q = 4\pi \varepsilon_0 A a^3$ होगा।

(C) एक अनंत अचालक शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एकसमान विद्युत क्षेत्र के लिए,$d$ दूरी से अलग दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V = E \times d$ होता है।
$E$ का व्यंजक रखने पर,$V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \times d$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$d = \frac{V \times 2\varepsilon_0}{\sigma}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $V = 50 \, V$,$\sigma = 0.10 \, \mu C/m^2 = 0.10 \times 10^{-6} \, C/m^2$,और $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$.
मान रखने पर: $d = \frac{50 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12}}{0.10 \times 10^{-6}}$.
$d = \frac{100 \times 8.85 \times 10^{-12}}{10^{-7}} = 8.85 \times 10^{-3} \, m$.
$d = 8.85 \, mm$.

(B) एक अनंत अचालक आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक समान विद्युत क्षेत्र में $d$ दूरी से अलग दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V = E \cdot d$ होता है।
$E$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot d$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए हल करने पर,$d = \frac{2\varepsilon_0 V}{\sigma}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\sigma = 10^{-7} \ C/m^2$,$V = 5 \ V$,और $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2/(N \cdot m^2)$ दिया गया है।
$d = \frac{2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 5}{10^{-7}} = 88.54 \times 10^{-5} \ m = 0.8854 \times 10^{-3} \ m = 0.88 \ mm$.

(B) $1$. स्थिर-वैद्युत संतुलन में चालकों के गुण के अनुसार,चालक के पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
$2$. गॉस के नियम के अनुसार,यदि हम चालक पदार्थ के अंदर एक गॉसियन सतह पर विचार करें,तो घिरा हुआ कुल आवेश शून्य होना चाहिए।
$3$. केंद्र पर एक बिंदु आवेश $+Q$ रखा गया है। चालक पदार्थ के अंदर कुल आवेश को शून्य करने के लिए,कोश की आंतरिक सतह पर (त्रिज्या $a$ पर) $-Q$ का प्रेरित आवेश उत्पन्न होना चाहिए।
$4$. कोश पर कुल आवेश $-q$ दिया गया है। मान लीजिए कि बाहरी सतह पर आवेश $q_{outer}$ है।
$5$. चूंकि कोश पर कुल आवेश आंतरिक और बाहरी सतहों पर आवेशों का योग है,इसलिए हमारे पास है: $-Q + q_{outer} = -q$.
$6$. $q_{outer}$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है: $q_{outer} = -q + Q$.
$7$. अतः,आवेश का वितरण आंतरिक सतह पर $-Q$ और बाहरी सतह पर $-q + Q$ है।

(A) शेल प्रमेय के अनुसार,समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,जिस कोश में आवेश $q$ रखा गया है (मान लीजिए कोश $A$),उसके कारण $q$ पर लगने वाला विद्युत बल शून्य है।
आवेश $q$ पर विद्युत बल केवल दूसरे कोश (कोश $B$) के कारण है। कोश $B$ के केंद्र और आवेश $q$ के बीच की दूरी $10d + d/2 = 19d/2$ है।
चूंकि कोश $B$ बाहरी बिंदुओं के लिए अपने केंद्र पर बिंदु आवेश $Q$ के रूप में कार्य करता है,इसलिए कूलम्ब के नियम के अनुसार बल:
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{(19d/2)^2} = \frac{Qq}{4\pi \varepsilon_0 (361d^2/4)} = \frac{Qq}{361\pi \varepsilon_0 d^2}$.
चूंकि दोनों आवेश धनात्मक हैं,बल प्रतिकर्षी है,जिसका अर्थ है कि यह कोश $B$ से दूर यानी बाईं ओर कार्य करता है।

(D) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$+\sigma$ आवेश घनत्व वाली शीट के लिए,क्षेत्र शीट से दूर निर्देशित होता है। $-\sigma$ आवेश घनत्व वाली शीट के लिए,क्षेत्र शीट की ओर निर्देशित होता है।
प्लेटों के बाहर,दोनों शीटों के कारण उत्पन्न क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0$ है।
प्लेटों के बीच,दोनों शीटों के कारण क्षेत्र धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर (दाईं ओर) निर्देशित होते हैं। अतः,कुल विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ है।
इसलिए,$A$ और $C$ में दिए गए कथन सही हैं।

(D) चूंकि विद्युत क्षेत्र मूल बिंदु पर अभिसरित होता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ मूल बिंदु की ओर निर्देशित है। अतः,$\vec{E} = -100\,r\hat{r}$।
गॉस के नियम के अनुसार,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$।
मूल बिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह के लिए,फ्लक्स $\Phi = E \cdot (4\pi r^2) = (-100r)(4\pi r^2) = -400\pi r^3$ है।
चूंकि फ्लक्स ऋणात्मक है,इसलिए परिबद्ध आवेश $q$ ऋणात्मक होना चाहिए,जो यह पुष्टि करता है कि मूल बिंदु पर केंद्रित किसी भी गोलाकार आयतन में निहित आवेश ऋणात्मक है।
$r = 3\,cm = 0.03\,m$ के लिए,आवेश $q = \epsilon_0 \Phi = (8.854 \times 10^{-12}) \times (-400\pi \times (0.03)^3) \approx -3 \times 10^{-13}\,C$ है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) जब दो बड़ी समानांतर चालक प्लेटों को एक-दूसरे के करीब रखा जाता है,तो बाहरी फलकों पर आवेश प्लेटों पर कुल आवेश के योग का आधा होता है। मान लीजिए कि चार फलकों पर आवेश बाएं से दाएं $q_1, q_2, q_3$ और $q_4$ हैं।
$q_1 = q_4 = \frac{Q + 0}{2} = \frac{Q}{2}$
चूंकि प्लेट $X$ पर कुल आवेश $Q$ है,$q_1 + q_2 = Q \implies q_2 = Q - \frac{Q}{2} = \frac{Q}{2}$.
चूंकि प्लेट $Y$ पर कुल आवेश $0$ है,$q_3 + q_4 = 0 \implies q_3 = -q_4 = -\frac{Q}{2}$.
एक आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{q}{2A\varepsilon_0}$ होता है।
बिंदु $A$ पर (दोनों प्लेटों के बाईं ओर): चारों फलकों से क्षेत्र बाईं ओर इंगित करते हैं। $E_A = \frac{q_1 + q_2 + q_3 + q_4}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q/2 + Q/2 - Q/2 + Q/2}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q}{2A\varepsilon_0}$ (बाईं ओर)।
बिंदु $B$ पर (प्लेटों के बीच): $q_1, q_2$ से क्षेत्र दाईं ओर और $q_3, q_4$ से बाईं ओर इंगित करते हैं। $E_B = \frac{q_1 + q_2 - q_3 - q_4}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q/2 + Q/2 - (-Q/2) - Q/2}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q}{2A\varepsilon_0}$ (दाईं ओर)।
बिंदु $C$ पर (दोनों प्लेटों के दाईं ओर): चारों फलकों से क्षेत्र दाईं ओर इंगित करते हैं। $E_C = \frac{q_1 + q_2 + q_3 + q_4}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q}{2A\varepsilon_0}$ (दाईं ओर)।
इस प्रकार,$A, B$ और $C$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $\frac{Q}{2A\varepsilon_0}$ है। अतः,सभी कथन सही हैं।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश के लिए जिस पर $Q$ आवेश एकसमान रूप से वितरित है:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$: विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है क्योंकि अंदर कोई आवेश परिबद्ध (enclosed) नहीं होता है।
$2$. कोश के बाहर $(r \ge R)$: कोश अपने केंद्र पर स्थित एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = k\frac{Q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
अतः,$E(r)$ बनाम $r$ का ग्राफ $0 \le r < R$ के लिए $E = 0$ और $r \ge R$ के लिए $1/r^2$ के अनुसार घटता हुआ होना चाहिए। यह ग्राफ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(C) केंद्र से $r_1$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
$r_1$ त्रिज्या वाली गोलाकार गॉसियन सतह के लिए,$E(4\pi r_1^2) = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
परिबद्ध आवेश $q_{enc}$,$r_1$ त्रिज्या वाले गोले के आयतन पर आवेश घनत्व $\rho(r)$ का समाकलन है:
$q_{enc} = \int_0^{r_1} \rho(r) (4\pi r^2) dr = \int_0^{r_1} \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) (4\pi r^2) dr = \frac{4Q}{R^4} \int_0^{r_1} r^3 dr = \frac{4Q}{R^4} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4}$.
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर:
$E(4\pi r_1^2) = \frac{Q r_1^4}{\varepsilon_0 R^4} \implies E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \varepsilon_0 R^4 r_1^2} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4}$.

(C) $x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई वाले एक गोलीय कोश पर विचार करें। इस कोश पर आवेश $dq = \rho(x) \cdot 4 \pi x^2 dx = \rho_0 \left( \frac{5}{4} - \frac{x}{R} \right) \cdot 4 \pi x^2 dx$ है।
$r (r < R)$ त्रिज्या वाले गोले के भीतर कुल आवेश $q$ है:
$q = \int_0^r dq = 4 \pi \rho_0 \int_0^r \left( \frac{5}{4} x^2 - \frac{x^3}{R} \right) dx$
$q = 4 \pi \rho_0 \left[ \frac{5}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{1}{R} \cdot \frac{r^4}{4} \right] = 4 \pi \rho_0 \left( \frac{5 r^3}{12} - \frac{r^4}{4R} \right) = \pi \rho_0 r^3 \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right)$.
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ है:
$E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \left[ \pi \rho_0 r^3 \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right) \right]$
$E = \frac{\rho_0 r}{4 \varepsilon_0} \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right)$.

(D) वैद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $\phi$ के बीच संबंध $E = -\frac{d\phi}{dr}$ है।
दिया गया है $\phi = ar^2 + b$,इसलिए $E = -\frac{d}{dr}(ar^2 + b) = -2ar$ है।
गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आवेश घनत्व $\rho$ को $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
गोलीय निर्देशांक में,त्रिज्यीय सममित क्षेत्र $E(r)$ के लिए,डाइवर्जेंस $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ होता है।
समीकरण में $E = -2ar$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 (-2ar)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2ar^3) = \frac{1}{r^2} (-6ar^2) = -6a$ प्राप्त होता है।
अतः,आवेश घनत्व $\rho = -6a\varepsilon_0$ है।

(B) $Q$ कुल आवेश और $R$ त्रिज्या वाले एक समान रूप से आवेशित गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q r}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $E \propto r$,जिसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र केंद्र $(r=0)$ से सतह $(r=R)$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. सतह पर $(r = R)$: विद्युत क्षेत्र अधिकतम होता है,$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}$.
$3$. गोले के बाहर $(r > R)$: गोला केंद्र पर एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$. यह दर्शाता है कि $E \propto \frac{1}{r^2}$,जिसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती घटता है।
इस व्यवहार की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो ग्राफ $r < R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए $1/r^2$ के रूप में कमी दिखाता है,वह सही है।

(A) समान रूप से आवेशित अचालक गोले के अंदर $r < R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
समान रूप से आवेशित गोले के अंदर विद्युत विभव $V(r) = \frac{\rho}{6 \epsilon_0} (3R^2 - r^2)$ होता है।
केंद्र पर $(r = 0)$,$V_{centre} = \frac{3 \rho R^2}{6 \epsilon_0} = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0}$.
सतह पर $(r = R)$,$V_{surface} = \frac{\rho}{6 \epsilon_0} (3R^2 - R^2) = \frac{2 \rho R^2}{6 \epsilon_0} = \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0}$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = q(V_{surface} - V_{centre}) = q \left( \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0} - \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0} \right) = -\frac{q \rho R^2}{6 \epsilon_0}$.
चूंकि परिवर्तन का परिमाण $\frac{q \rho R^2}{6 \epsilon_0}$ है,इसलिए कथन-$1$ सत्य है। कथन-$2$ विद्युत क्षेत्र का सूत्र प्रदान करता है,जिसका उपयोग विभव अंतर प्राप्त करने के लिए किया जाता है,इसलिए यह कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(C) $a < r < b$ त्रिज्या वाले एक गोलाकार गाऊसी सतह पर विचार करें।
गाउस के नियम के अनुसार,$\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
यहाँ,$q_{enclosed} = Q + \int_{a}^{r} \rho(r') \cdot 4\pi r'^2 dr'$.
दिया गया है $\rho(r') = \frac{A}{r'}$,इसलिए $q_{enclosed} = Q + \int_{a}^{r} \frac{A}{r'} \cdot 4\pi r'^2 dr' = Q + 4\pi A \int_{a}^{r} r' dr' = Q + 4\pi A \left[ \frac{r'^2}{2} \right]_{a}^{r} = Q + 2\pi A (r^2 - a^2)$.
गाउस का नियम लागू करने पर: $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q + 2\pi A (r^2 - a^2)}{\epsilon_0}$.
$E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} [Q - 2\pi A a^2 + 2\pi A r^2] = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} [\frac{Q - 2\pi A a^2}{r^2} + 2\pi A]$.
विद्युत क्षेत्र $E$ को स्थिर ($r$ से स्वतंत्र) होने के लिए,$\frac{1}{r^2}$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$Q - 2\pi A a^2 = 0$.
$A = \frac{Q}{2\pi a^2}$.

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु पर केंद्रित $R$ त्रिज्या वाले गोले के लिए,विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है और सतह पर इसका परिमाण $E = \alpha R$ है।
गोले का क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ है।
गोले से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_E = E \times A = (\alpha R) \times (4\pi R^2) = 4\pi \alpha R^3$ है।
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$Q_{enclosed} = \varepsilon_0 \Phi_E$।
अतः,$Q = \varepsilon_0 (4\pi \alpha R^3) = 4\pi \varepsilon_0 \alpha R^3$ प्राप्त होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{in}}{\varepsilon_0}$ होता है।
$y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले बेलन के लिए, विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 y \hat{j}$ वक्र सतह के समानांतर है और वृत्ताकार सिरों के लंबवत है।
वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि $\vec{E} \cdot d\vec{s} = 0$ है।
निचली सतह $(y = 0)$ पर, $\vec{E} = 0$ है, इसलिए फ्लक्स $0$ है।
ऊपरी सतह $(y = l)$ पर, $\vec{E} = E_0 l \hat{j}$ और क्षेत्रफल सदिश $d\vec{s} = dA \hat{j}$ है।
अतः ऊपरी सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \int E_0 l dA = E_0 l (\pi r^2)$ है।
इस प्रकार, कुल फ्लक्स $\phi = E_0 l \pi r^2$ प्राप्त होता है।
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए, $Q_{in} = \varepsilon_0 \phi = \varepsilon_0 E_0 \pi r^2 l$ होगा।

(B) अनंत आवेशित तार के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र संरक्षी है,इसलिए आवेश $q$ को स्थानांतरित करने में किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
बिंदु $A$,$x$-अक्ष से $r_A = a$ दूरी पर है।
बिंदु $C$,$x$-अक्ष से $r_C = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ दूरी पर है।
किया गया कार्य $W_{CA} = q(V_A - V_C) = -q \int_{r_C}^{r_A} E dr$ द्वारा दिया जाता है।
$W = -q \int_{a\sqrt{2}}^{a} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} dr = -\frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} [\ln r]_{a\sqrt{2}}^{a}$।
$W = -\frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} (\ln a - \ln(a\sqrt{2})) = -\frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln(\frac{a}{a\sqrt{2}})$।
$W = -\frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln(\sqrt{2}) = \frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln(2^{1/2}) = \frac{q\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln 2$।

(A) $r < a$ के लिए,चालक कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए $E = 0$ है।
$a < r < b$ के लिए,विद्युत क्षेत्र केवल आंतरिक कोश के कारण होता है। गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$E = \frac{kQ}{r^2}$ प्राप्त होता है।
$r > b$ के लिए,कुल परिबद्ध आवेश $Q + (-2Q) = -Q$ है। अतः,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k(-Q)}{r^2} = -\frac{kQ}{r^2}$ है।
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो आलेख $r < a$ के लिए $E = 0$,$a < r < b$ के लिए धनात्मक $1/r^2$ परिवर्तन और $r > b$ के लिए ऋणात्मक $1/r^2$ परिवर्तन दर्शाता है,वह पहला आलेख है।

(B) गोले के अंदर बिंदु $A$ $(x < R)$ के लिए,गॉस के नियम का उपयोग करते हुए: $E_A \cdot 4\pi x^2 = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^x \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$.
$\rho = \rho_0 r^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $E_A \cdot 4\pi x^2 = \frac{4\pi \rho_0}{\epsilon_0} \int_0^x r^4 dr = \frac{4\pi \rho_0 x^5}{5\epsilon_0}$.
अतः,$E_A = \frac{\rho_0 x^3}{5\epsilon_0}$.
गोले के बाहर बिंदु $B$ $(y > R)$ के लिए,गोला केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है: $E_B = \frac{Q_{total}}{4\pi \epsilon_0 y^2}$.
$Q_{total} = \int_0^R \rho_0 r^2 \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi \rho_0 \int_0^R r^4 dr = \frac{4\pi \rho_0 R^5}{5}$.
इसलिए,$E_B = \frac{4\pi \rho_0 R^5}{5 \cdot 4\pi \epsilon_0 y^2} = \frac{\rho_0 R^5}{5\epsilon_0 y^2}$.
दिया गया है कि $E_A = E_B$,इसलिए $\frac{\rho_0 x^3}{5\epsilon_0} = \frac{\rho_0 R^5}{5\epsilon_0 y^2}$.
सरल करने पर,हमें $x^3 y^2 = R^5$ प्राप्त होता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार, बेलन के चालक पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
चूंकि तार पर प्रति इकाई लंबाई आवेश $\lambda$ है, इसलिए बेलन की आंतरिक सतह पर प्रति इकाई लंबाई $-\lambda$ प्रेरित आवेश उत्पन्न होगा।
आंतरिक सतह पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_{in} = \frac{-\lambda}{2\pi R}$ है।
चूंकि बेलन पर प्रति इकाई लंबाई कुल आवेश $2\lambda$ है, इसलिए बाहरी सतह पर प्रति इकाई लंबाई आवेश $2\lambda - (-\lambda) = 3\lambda$ होगा।
बाहरी सतह पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_{out} = \frac{3\lambda}{2\pi R}$ है।
$r > R$ त्रिज्या वाले गॉसियन पृष्ठ के लिए, प्रति इकाई लंबाई कुल परिबद्ध आवेश $\lambda + 3\lambda = 4\lambda$ है।
गॉस के नियम का उपयोग करने पर: $E(2\pi r) = \frac{4\lambda}{\epsilon_0} \implies E = \frac{2\lambda}{\pi \epsilon_0 r}$।
अतः, विकल्प $B$ सही है।

(D) शीट द्वारा उत्पन्न एकसमान विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ शीट से दूर की दिशा में होता है।
बाएं आधे हिस्से $(AC)$ पर बल $F = qE = (\lambda \cdot \frac{l}{2}) \cdot \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\lambda l \sigma}{4\epsilon_0}$ बाईं ओर कार्य करता है।
दाएं आधे हिस्से $(CB)$ पर बल $F = qE = (\lambda \cdot \frac{l}{2}) \cdot \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\lambda l \sigma}{4\epsilon_0}$ दाईं ओर कार्य करता है।
जब छड़ को एक छोटे कोण $\theta$ से घुमाया जाता है,तो कब्जेदार बिंदु $C$ के परितः टॉर्क $\tau = 2 \cdot F \cdot (\frac{l}{4} \cos \theta) \approx 2 \cdot F \cdot \frac{l}{4} = \frac{Fl}{2} = \frac{\lambda l^2 \sigma}{8\epsilon_0}$ होता है।
चूंकि $\tau = I\alpha$,जहां $I = \frac{ml^2}{12}$ केंद्र $C$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है,हमारे पास $\frac{ml^2}{12} \alpha = \frac{\lambda l^2 \sigma}{8\epsilon_0} \theta$ है।
$\alpha = \frac{12 \lambda \sigma}{8 m \epsilon_0} \theta = \frac{3 \lambda \sigma}{2 m \epsilon_0} \theta$.
$\alpha = \omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{3 \lambda \sigma}{2 m \epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{2m\epsilon_0}{3\lambda\sigma}}$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
इस प्रश्न में,आवेश $3q$ और $5q$ अर्धगोले की समतल सतह पर स्थित हैं। चूंकि वे सतह पर हैं,इसलिए हम दिए गए अर्धगोले के ऊपर एक समान अर्धगोला रखकर एक पूर्ण गोला मान सकते हैं।
इस पूर्ण गोले द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q_{enclosed} = 3q + 5q = 8q$ है।
सममिति के कारण,मूल अर्धगोले से गुजरने वाला फ्लक्स पूर्ण गोले से गुजरने वाले कुल फ्लक्स का आधा होगा।
अतः,वक्र सतह पर विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{1}{2} \times \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{2} \times \frac{8q}{\varepsilon_0} = \frac{4q}{\varepsilon_0}$ होगा।

(B) $1$. स्थिरवैद्युत संतुलन में एक चालक के गुणों के अनुसार,चालक के पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
$2$. कोश के चालक पदार्थ के अंदर एक गाऊसी सतह पर विचार करें। गाऊस के नियम के अनुसार,इस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शून्य होना चाहिए।
$3$. परिबद्ध कुल आवेश केंद्र पर $+Q$ बिंदु आवेश और कोश की आंतरिक सतह पर प्रेरित आवेश $q_{in}$ का योग है। अतः,$+Q + q_{in} = 0$,जिसका अर्थ है कि $q_{in} = -Q$ है।
$4$. कोश पर कुल $-q$ आवेश है। मान लीजिए कि बाहरी सतह पर आवेश $q_{out}$ है। चूंकि कुल आवेश आंतरिक और बाहरी सतहों पर आवेशों का योग है,इसलिए $q_{in} + q_{out} = -q$ है।
$5$. $q_{in} = -Q$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-Q + q_{out} = -q$ प्राप्त होता है,जिससे $q_{out} = -q + Q$ मिलता है।
$6$. अतः,आंतरिक सतह पर आवेश $-Q$ है और बाहरी सतह पर आवेश $(-q + Q)$ है।

(A) एक आवेशित चालक के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E = \sigma / \epsilon_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
यह क्षेत्र उस छोटे हिस्से (जहाँ छेद किया गया है) के कारण क्षेत्र $(E_{patch})$ और शेष कोश के कारण क्षेत्र $(E_{rest})$ के अध्यारोपण का परिणाम है।
सतह के ठीक बाहर एक बिंदु पर,$E_{patch} + E_{rest} = E = \sigma / \epsilon_0$ होता है।
चूंकि एक छोटे हिस्से के कारण क्षेत्र $E_{patch} = \sigma / (2\epsilon_0)$ है,इसलिए हमारे पास $E_{rest} = E - E_{patch} = \sigma / (2\epsilon_0) = E/2$ है।
सतह के ठीक अंदर एक बिंदु पर,क्षेत्र $E_{patch} - E_{rest} = \sigma / (2\epsilon_0) - \sigma / (2\epsilon_0) = 0$ होते हैं।
जब एक छेद किया जाता है,तो छेद के अंदर विद्युत क्षेत्र शेष कोश के कारण होता है $(E_{rest})$,जो $E/2$ है।

(C) तांबे की एक बड़ी चालक प्लेट के लिए,आवेश $Q$ प्लेट के दोनों तरफ वितरित हो जाता है। प्रत्येक तरफ पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{2A}$ होता है। सतह के पास विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{2A\epsilon_0} = 10 \ V/m$ है।
प्लास्टिक की कुचालक प्लेट के लिए,आवेश $Q$ सतह पर वहीं स्थिर रहता है जहाँ उसे रखा गया है। यदि आवेश पूरे पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ पर वितरित है,तो पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma' = \frac{Q}{A}$ होगा। कुचालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E' = \frac{\sigma'}{2\epsilon_0} = \frac{Q}{2A\epsilon_0}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $E' = E = 10 \ V/m$।

(B) मान लीजिए $R$ त्रिज्या का एक ठोस गोला है जिसकी आवेश घनत्व $\rho$ एकसमान है। गोले के अंदर किसी बिंदु $\vec{r}$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक छोटा गोलाकार कोटर (cavity) बनाया जाता है,तो कोटर में विद्युत क्षेत्र मूल बड़े गोले के कारण क्षेत्र और कोटर को भरने वाले विपरीत आवेश घनत्व $-\rho$ के एक छोटे गोले के कारण क्षेत्र का अध्यारोपण (superposition) होता है।
मान लीजिए $\vec{r}_1$ बड़े गोले के केंद्र से स्थिति सदिश है और $\vec{r}_2$ कोटर के केंद्र से स्थिति सदिश है।
कोटर में विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3\epsilon_0} + \frac{-\rho \vec{r}_2}{3\epsilon_0} = \frac{\rho}{3\epsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ है।
चूंकि $(\vec{r}_1 - \vec{r}_2) = \vec{d}$,जहां $\vec{d}$ बड़े गोले के केंद्र को कोटर के केंद्र से जोड़ने वाला एक स्थिर सदिश है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{d}}{3\epsilon_0}$ पूरे कोटर में स्थिर (एकसमान) और शून्येतर रहता है।

(D) गोले के अंदर कुल आवेश $q$ ज्ञात करने के लिए आवेश घनत्व का गोले के आयतन पर समाकलन करने पर:
$q = \int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$q = \int_0^R \rho_0 \left( 1 - \frac{r}{R} \right) 4\pi r^2 dr$
$q = 4\pi \rho_0 \int_0^R \left( r^2 - \frac{r^3}{R} \right) dr$
$q = 4\pi \rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right]_0^R$
$q = 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{3} - \frac{R^4}{4R} \right) = 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{12} \right) = \frac{\pi \rho_0 R^3}{3}$
गोले के बाहर $r$ दूरी $(r > R)$ पर गॉस के नियम का उपयोग करने पर:
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi \rho_0 R^3}{3 \varepsilon_0}$
$E = \frac{\rho_0 R^3}{12 \varepsilon_0 r^2}$

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dr}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि स्थिर विभवांतर $\Delta V$ के लिए त्रिज्याओं का अंतर $\Delta r = r_{i+1} - r_i$ स्थिर है,जिसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{\Delta V}{\Delta r}$ स्थिर है।
गोलीय आवेश वितरण के लिए,गॉस के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{q_{enclosed}}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ होता है।
चूँकि $E$ स्थिर है,इसलिए $q_{enclosed} \propto r^2$ होगा।
हम जानते हैं कि $q_{enclosed} = \int_0^r \rho(r) 4\pi r^2 dr$ होता है।
चूँकि $q_{enclosed} \propto r^2$ है,इसलिए दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dq}{dr} \propto 2r$ प्राप्त होता है।
अतः,$\rho(r) 4\pi r^2 \propto r$,जो यह दर्शाता है कि $\rho(r) \propto \frac{1}{r}$।

(A) $R$ त्रिज्या वाली डिस्क की अक्ष पर उसके केंद्र से $h$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
छिद्र वाली डिस्क के लिए,हम इसे $R_1 = 2a$ त्रिज्या की एक बड़ी डिस्क में से $R_2 = a$ त्रिज्या की एक छोटी डिस्क को घटाकर मान सकते हैं।
बड़ी डिस्क के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{(2a)^2 + h^2}} \right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{2a \sqrt{1 + (h/2a)^2}} \right)$ है।
चूँकि $h << a$,हम द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हैं: $E_1 \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{2a} \right)$.
छोटी डिस्क के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}} \right) \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{a} \right)$ है।
कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[ (1 - \frac{h}{2a}) - (1 - \frac{h}{a}) \right] = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( \frac{h}{a} - \frac{h}{2a} \right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( \frac{h}{2a} \right) = \frac{\sigma h}{4a\epsilon_0}$.
इसकी तुलना $Ch$ से करने पर,हमें $C = \frac{\sigma}{4a\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है:
विद्युत क्षेत्र $E = 150\, N/C$ (अंदर की ओर निर्देशित,इसलिए $E = -150\, N/C$)
पृथ्वी की त्रिज्या $R_E = 6.37 \times 10^6\, m$
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\, C^2/(N \cdot m^2)$
गॉस के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\epsilon_0} = E \cdot A$ है,जहाँ $A = 4\pi R_E^2$ पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
अतः,$q = \epsilon_0 \cdot E \cdot 4\pi R_E^2$
मान रखने पर:
$q = (8.85 \times 10^{-12}) \times (-150) \times 4 \times 3.14159 \times (6.37 \times 10^6)^2$
$q \approx -6.80 \times 10^5\, C$
$kC$ में बदलने पर $(1\, kC = 10^3\, C)$:
$q \approx -680\, kC$
चूंकि विद्युत क्षेत्र अंदर की ओर निर्देशित है,इसलिए आवेश ऋणात्मक है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,गोलीय सममित आवेश वितरण के केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $E \cdot (4\pi r^2) = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
$r < R$ त्रिज्या वाले गोले के भीतर कुल आवेश $q$ ज्ञात करने के लिए,हम आयतन पर आवेश घनत्व का समाकलन करेंगे:
$q = \int_0^r \rho(x) \cdot 4\pi x^2 dx$
$\rho(x) = \rho_0 \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q = 4\pi \rho_0 \int_0^r \left( x^2 - \frac{x^3}{R} \right) dx$
$q = 4\pi \rho_0 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4R} \right]_0^r = 4\pi \rho_0 \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right)$
अब,गॉस के नियम का उपयोग करते हुए:
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{4\pi \rho_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right)$
दोनों पक्षों को $4\pi r^2$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R} \right)$

(A) डिस्क के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ है।
डिस्क की अक्ष पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E' = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right)$ है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है,इसलिए:
$E' = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}}\right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{R}{\sqrt{2}R}\right) = E \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
चूंकि $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$,इसलिए $E' = E(1 - 0.707) = 0.293E$.
विद्युत क्षेत्र में कमी $E - E' = E - 0.293E = 0.707E$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{0.707E}{E} \times 100\% = 70.7\%$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ विभव के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) द्वारा दिया जाता है: $E = -\frac{dV}{dx} = -\frac{d}{dx}(4x^2) = -8x \text{ V/m}$.
गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \oint E \cdot dA = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ होता है।
मूल बिंदु पर केंद्रित $L = 1 \text{ m}$ भुजा वाले घन के लिए,फलक $x = 0.5 \text{ m}$ और $x = -0.5 \text{ m}$ पर स्थित हैं।
$x = 0.5 \text{ m}$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = -8(0.5) = -4 \text{ V/m}$ (मूल बिंदु की ओर) है।
$x = -0.5 \text{ m}$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = -8(-0.5) = 4 \text{ V/m}$ (मूल बिंदु से दूर) है।
$x = 0.5 \text{ m}$ वाले फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = E_1 \cdot A = -4 \times (1^2) = -4 \text{ V} \cdot \text{m}^2$ है।
$x = -0.5 \text{ m}$ वाले फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_2 = E_2 \cdot A = 4 \times (1^2) = 4 \text{ V} \cdot \text{m}^2$ है।
अन्य चार फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि विद्युत क्षेत्र इन फलकों के समानांतर है।
कुल फ्लक्स $\phi_{\text{net}} = \phi_1 + \phi_2 = -4 + 4 = 0$ है।
चूंकि $\phi_{\text{net}} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$,इसलिए $q_{\text{enclosed}} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ वाले रेखीय आवेश से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r_0$ और $r$ दूरी के बीच विभवांतर $\Delta V = -\int_{r_0}^{r} E \, dr = -\int_{r_0}^{r} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \, dr = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r}{r_0} \right) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r_0}{r} \right)$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है: $\frac{1}{2}mv^2 = q(V_i - V_f) = q \Delta V$.
विभवांतर का मान रखने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = q \left( \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r}{r_0} \right) \right)$.
चूंकि $m, q, \lambda, \pi, \varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v^2 \propto \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$,जिसका अर्थ है कि $v \propto \sqrt{\ln \left( \frac{r}{r_0} \right)}$।

(C) सबसे पहले,हम गोले के आयतन पर आवेश घनत्व का समाकलन करके $Q$ और $R$ के पदों में स्थिरांक $k$ ज्ञात करते हैं:
$2Q = \int_{0}^{R} \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R} (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_{0}^{R} r^3 dr = 4\pi k \frac{R^4}{4} = \pi k R^4$.
अतः,$k = \frac{2Q}{\pi R^4}$.
अब,गॉस के नियम का उपयोग करके केंद्र से $a$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ ज्ञात करते हैं:
$E(4\pi a^2) = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_{0}^{a} (kr) 4\pi r^2 dr = \frac{4\pi k}{\varepsilon_0} \frac{a^4}{4} = \frac{\pi k a^4}{\varepsilon_0}$.
$E = \frac{k a^2}{4\varepsilon_0} = \frac{(2Q/\pi R^4) a^2}{4\varepsilon_0} = \frac{Q a^2}{2\pi \varepsilon_0 R^4}$.
आवेश $A$ (या $B$) पर कोई बल न लगे,इसके लिए गोले द्वारा लगाया गया बल और दूसरे आवेश द्वारा लगाया गया बल संतुलित होना चाहिए:
$|qE| = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{|Q||-Q|}{(2a)^2} \implies Q \left( \frac{Q a^2}{2\pi \varepsilon_0 R^4} \right) = \frac{Q^2}{16\pi \varepsilon_0 a^2}$.
सरल करने पर: $\frac{a^2}{2 R^4} = \frac{1}{16 a^2} \implies a^4 = \frac{R^4}{8} \implies a = \frac{R}{8^{1/4}} = 8^{-1/4}R$.

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एकसमान आवेश घनत्व $\rho$ वाले अचालक गोले के लिए,$r$ त्रिज्या वाले गाऊसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $(r < R)$ इस प्रकार है: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$।
चूंकि गोला अचालक है और आवेश पूरे आयतन में समान रूप से वितरित है,इसलिए परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = \rho \cdot V = \rho \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3)$ होगा।
गाऊसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2$ है।
अतः,$E \cdot (4\pi r^2) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}$।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,केंद्र से $r_1$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ को $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह के लिए,यह समीकरण $E(4\pi r_1^2) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^{r_1} \rho(r) (4\pi r^2) dr$ बन जाता है।
$\rho(r) = \frac{Q}{\pi R^4} r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E(4\pi r_1^2) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^{r_1} \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) (4\pi r^2) dr$.
$E(4\pi r_1^2) = \frac{4\pi Q}{\pi R^4 \varepsilon_0} \int_0^{r_1} r^3 dr$.
$E(4\pi r_1^2) = \frac{4 Q}{R^4 \varepsilon_0} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4 \varepsilon_0}$.
$E$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \varepsilon_0 R^4 r_1^2} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4}$.

(D) केंद्र से $r_1$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले $r_1$ त्रिज्या वाले गोले के भीतर निहित आवेश $q$ की गणना करते हैं।
त्रिज्या $r$ और मोटाई $dr$ के एक गोलाकार कवच में आवेश का अंश $dq = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$ द्वारा दिया जाता है।
$\rho(r) = \frac{Q}{\pi R^4} r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$dq = \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{4Q}{R^4} r^3 dr$.
$r_1$ त्रिज्या के भीतर निहित कुल आवेश $q$:
$q = \int_0^{r_1} \frac{4Q}{R^4} r^3 dr = \frac{4Q}{R^4} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4}$.
$r_1$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह के लिए गॉस के नियम का उपयोग करते हुए:
$E \cdot 4\pi r_1^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$q$ का मान रखने पर:
$E \cdot 4\pi r_1^2 = \frac{Q r_1^4}{\varepsilon_0 R^4}$.
$E$ के लिए हल करने पर:
$E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \varepsilon_0 R^4 r_1^2} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4}$.

(C) जब गोले $A$ को $Q$ आवेश दिया जाता है,तो यह अर्थ किए गए गोले $B$ की आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश प्रेरित करता है।
चूंकि गोला $B$ अर्थ किया गया है,इसलिए इसका विभव शून्य हो जाता है।
चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,लेकिन दोनों गोलों के बीच के क्षेत्र में (जहाँ $r_A < r < r_B$),विद्युत क्षेत्र गोले $A$ पर स्थित $Q$ आवेश के कारण होता है।
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ है,जो शून्य नहीं है।
बाहरी गोले $B$ के बाहर,कुल आवेश $Q + (-Q) = 0$ है,इसलिए $B$ के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य है।
अतः,$A$ और $B$ के बीच का क्षेत्र शून्य नहीं है और $B$ के बाहर का क्षेत्र शून्य है।

(C) $R$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$, विद्युत क्षेत्र $E_{in} = \frac{kQr}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है $E_{in} \propto r$. यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला एक रैखिक संबंध है।
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$, विद्युत क्षेत्र $E_{out} = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है $E_{out} \propto \frac{1}{r^2}$. यह एक व्युत्क्रम वर्ग संबंध है।
$3$. सतह पर $(r = R)$, विद्युत क्षेत्र अधिकतम होता है, $E_{max} = \frac{kQ}{R^2}$.
इन सबको मिलाने पर, ग्राफ मूल बिंदु से $r = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है और फिर $r > R$ के लिए व्युत्क्रम वर्ग वक्र का पालन करता है। यह ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(A) $R$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के लिए,आयतन आवेश घनत्व $\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ है।
$r$ त्रिज्या $(r < R)$ वाली गौसियन सतह के लिए गौस के नियम का उपयोग करते हुए:
$\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
$E(4\pi r^2) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_0}$
$\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E(4\pi r^2) = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_0} = \frac{Q r^3}{\epsilon_0 R^3}$
$E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}$
चूंकि $K = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$,हमें $E = \frac{KQr}{R^3}$ प्राप्त होता है।

(D) अनंत लंबाई के समान रूप से आवेशित तार से $r$ लंबवत दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A(3, 4, -6)$ के लिए,$z$-अक्ष से लंबवत दूरी $r_A = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
बिंदु $B(3, 4, 0)$ के लिए,$z$-अक्ष से लंबवत दूरी $r_B = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
चूंकि $r_A = r_B = 5$,इसलिए बिंदु $A$ और $B$ पर विद्युत क्षेत्र समान हैं।
अतः,$A$ और $B$ पर विद्युत क्षेत्र का अनुपात $E_A : E_B = 1 : 1$ है।

(B) रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाले एक अनंत लंबे समान रूप से आवेशित तार के लिए,दूरी $r$ पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं।
तार के समाक्ष $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई का एक बेलनाकार गॉसियन पृष्ठ मानिए।
गॉसियन पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = E \times (2\pi rl)$ द्वारा दिया जाता है।
गॉस के नियम के अनुसार,$\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
चूंकि परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = \lambda l$ है,इसलिए $E \times (2\pi rl) = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
$E$ के लिए हल करने पर,$E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E$ दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $E \propto \frac{1}{r}$।

(C) समान और विपरीत पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाली दो बड़ी समानांतर पतली धातु की शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$
दिया गया है:
$\sigma = 26.4 \times 10^{-12} \, C/m^2$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$
मान रखने पर:
$E = \frac{26.4 \times 10^{-12}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$E = \frac{26.4}{8.85} \approx 2.983 \approx 3 \, N/C$
अतः,शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र $3 \, N/C$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद गॉसियन सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1 < r < r_2$ दूरी पर स्थित एक बिंदु के लिए,हम कोशों के साथ संकेंद्रित $r$ त्रिज्या की एक गोलीय गॉसियन सतह पर विचार करते हैं।
इस गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध एकमात्र आवेश आंतरिक कोश पर स्थित आवेश $Q_1$ है।
इसलिए,$Q_{\text{enclosed}} = Q_1$ है।
गॉस का नियम लागू करने पर: $E(4\pi r^2) = \frac{Q_1}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ है।

(A) बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करते हैं। हम गुहिका वाले बेलन को $\rho$ घनत्व वाले एक पूर्ण ठोस बेलन और $-\rho$ घनत्व वाले एक गोले के योग के रूप में मानते हैं।
$1$. $R$ त्रिज्या के अनंत ठोस बेलन के कारण अक्ष से $r = 2R$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र:
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$E_{cyl} = \frac{\rho R^2}{2 \varepsilon_0 r} = \frac{\rho R^2}{2 \varepsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}$.
$2$. $a = R/2$ त्रिज्या की गोलीय गुहिका के कारण उसके केंद्र से $r = 2R$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र:
समान रूप से आवेशित गोले के बाहर विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E_{sph} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \cdot (4/3)\pi a^3}{r^2}$ है।
$a = R/2$ और $r = 2R$ रखने पर:
$E_{sph} = \frac{\rho \cdot (4/3)\pi (R/2)^3}{4\pi \varepsilon_0 (2R)^2} = \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
$3$. $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
चूंकि गोले का आवेश घनत्व $-\rho$ है,इसलिए क्षेत्र बेलन के क्षेत्र की विपरीत दिशा में होगा।
$E_{net} = E_{cyl} - E_{sph} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0} - \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{23\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
दिए गए व्यंजक $\frac{23\rho R}{16K\varepsilon_0}$ के साथ तुलना करने पर:
$16K = 96 \implies K = 6$.