Variable separable type differential equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = e^{-2y}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $e^{2y} dy = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{2y} dy = \int dx$,જે $\frac{e^{2y}}{2} = x + C$ આપે છે.
શરત $y = 0$ જ્યારે $x = 5$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ: $\frac{e^{2(0)}}{2} = 5 + C$.
$\frac{1}{2} = 5 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{1}{2} - 5 = -\frac{9}{2}$.
તેથી,સમીકરણ $\frac{e^{2y}}{2} = x - \frac{9}{2}$ બને છે.
હવે,$y = 3$ હોય ત્યારે $x$ શોધવા માટે,આપણે $y = 3$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ: $\frac{e^{2(3)}}{2} = x - \frac{9}{2}$.
$\frac{e^6}{2} = x - \frac{9}{2}$,જે $x = \frac{e^6}{2} + \frac{9}{2} = \frac{e^6 + 9}{2}$ આપે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $dy - \sin x \sin y \, dx = 0$.
પદોને અલગ કરતા: $dy = \sin x \sin y \, dx$.
બંને બાજુ $\sin y$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{\sin y} = \sin x \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \csc y \, dy = \int \sin x \, dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \csc y \, dy = \ln |\tan \frac{y}{2}|$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln |\tan \frac{y}{2}| = -\cos x + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\tan \frac{y}{2} = e^{-\cos x + C} = e^{-\cos x} \cdot e^C$.
ધારો કે $e^C = c_1$,તેથી $\tan \frac{y}{2} = c_1 e^{-\cos x}$.
બંને બાજુ $e^{\cos x}$ વડે ગુણતા: $e^{\cos x} \tan \frac{y}{2} = c_1$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: ${e^y}\frac{{dy}}{{dx}} + ({e^y} + 1)\cot x = 0$
ચલને અલગ કરતા:
${e^y}\frac{{dy}}{{dx}} = -({e^y} + 1)\cot x$
$\frac{{{e^y}}}{{{e^y} + 1}}dy = -\cot x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{{{e^y}}}{{{e^y} + 1}}dy = -\int \cot x dx$
ધારો કે $u = {e^y} + 1$,તેથી $du = {e^y} dy$. સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int \frac{1}{u} du = -\int \cot x dx$
$\ln|{e^y} + 1| = -\ln|\sin x| + C$
$\ln|{e^y} + 1| + \ln|\sin x| = C$
$\ln A + \ln B = \ln(AB)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\ln|({e^y} + 1)\sin x| = C$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$({e^y} + 1)\sin x = K$ (જ્યાં $K = e^C$ એ અચળાંક છે).

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \sin x + 2x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int (\sin x + 2x) dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sin x dx = -\cos x$ અને $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = -\cos x + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + c$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$y = x^2 - \cos x + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = 2xy$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = 2x \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx$.
આથી મળે: $\ln|y| = x^2 + C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|y| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1} e^{x^2}$.
ધારો કે $C = \pm e^{C_1}$,તેથી સામાન્ય ઉકેલ $y = Ce^{x^2}$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $ydx - xdy = x^2 ydx$.
પદોને ગોઠવતા: $-xdy = y(x^2 - 1)dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = (\frac{1}{x} - x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (\frac{1}{x} - x) dx$.
$\ln|y| = \ln|x| - \frac{x^2}{2} + C$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \ln|y| = 2 \ln|x| - x^2 + 2C$.
$\ln(y^2) = \ln(x^2) - x^2 + K$.
$\ln(\frac{y^2}{x^2}) = -x^2 + K$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{y^2}{x^2} = e^{-x^2} e^K$.
તેથી,$y^2 e^{x^2} = c x^2$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 4x + y + 1$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે જમણી બાજુ $x$ અને $y$ નું સુરેખ વિધેય છે.
ધારો કે $v = 4x + y + 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{dx} = 4 + \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 4$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dv}{dx} - 4 = v$ મળે છે,જે ચલ વિયોજનીય (variable separable) વિકલ સમીકરણ છે.
તેથી,યોગ્ય આદેશ $y + 4x + 1 = v$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x + y - 1)dx + (2x + 2y - 3)dy = 0$ છે,જેને $\frac{dy}{dx} = - \frac{x + y - 1}{2(x + y) - 3}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $x + y = t$. તેથી $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dt}{dx} - 1 = - \frac{t - 1}{2t - 3}$.
$\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{t - 1}{2t - 3} = \frac{2t - 3 - t + 1}{2t - 3} = \frac{t - 2}{2t - 3}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2t - 3}{t - 2} dt = dx$.
$\frac{2(t - 2) + 1}{t - 2} dt = dx \implies (2 + \frac{1}{t - 2}) dt = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (2 + \frac{1}{t - 2}) dt = \int dx$.
$2t + \log |t - 2| = x + c$.
$t = x + y$ મૂકતા: $2(x + y) + \log |x + y - 2| = x + c$.
$2x + 2y + \log |x + y - 2| = x + c \implies x + 2y + \log |x + y - 2| = c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin \left( \frac{dy}{dx} \right) = a$ છે.
બંને બાજુ પ્રતિવિધેય લેતા,$\frac{dy}{dx} = \sin^{-1}(a)$ મળે.
આ ચલ વિયોજનીય પ્રકારનું વિકલ સમીકરણ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int dy = \int \sin^{-1}(a) \, dx$ મળે.
અહીં $\sin^{-1}(a)$ અચળ હોવાથી,$y = x \sin^{-1}(a) + c$ મળે.
શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1 = 0 \cdot \sin^{-1}(a) + c \implies c = 1$.
આમ,સમીકરણ $y = x \sin^{-1}(a) + 1$ બને છે.
પદોને ગોઠવતા,$y - 1 = x \sin^{-1}(a)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y - 1}{x} = \sin^{-1}(a)$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા,આપણને $\sin \left( \frac{y - 1}{x} \right) = a$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos (x + y) \, dy = dx$ ... $(i)$
ધારો કે $x + y = v$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે $\cos v \left( \frac{dv}{dx} - 1 \right) = 1$.
આનું સાદું રૂપ $\cos v \frac{dv}{dx} = 1 + \cos v$ થાય,અથવા $\frac{\cos v}{1 + \cos v} \, dv = dx$.
નિત્યસમ $\cos v = 2 \cos^2(v/2) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2 \cos^2(v/2) - 1}{2 \cos^2(v/2)} \, dv = dx$,જેનું સાદું રૂપ $\left( 1 - \frac{1}{2} \sec^2(v/2) \right) \, dv = dx$ થાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$v - \tan(v/2) = x + c$ મળે છે.
$v = x + y$ પાછા મૂકતા,$(x + y) - \tan \left( \frac{x + y}{2} \right) = x + c$,જેનું સાદું રૂપ $y = \tan \left( \frac{x + y}{2} \right) + c$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{1 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2}}$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$.
આથી,$\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + c$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = c$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2^{y - x}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{2^y}{2^x}$ તરીકે લખી શકીએ.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{2^y} = \frac{dx}{2^x}$ મળે છે,જે $2^{-y} dy = 2^{-x} dx$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int 2^{-y} dy = \int 2^{-x} dx$ મળે.
$\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2^{-y}}{-\ln 2} = \frac{2^{-x}}{-\ln 2} + C_1$ મળે.
$-\ln 2$ વડે ગુણતા,$2^{-y} = 2^{-x} - C_1 \ln 2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2^{-x} - 2^{-y} = C_1 \ln 2$ મળે.
ધારો કે $C = C_1 \ln 2$,તો $\frac{1}{2^x} - \frac{1}{2^y} = c$ થાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) = \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{x - y}{2} \right) - \sin \left( \frac{x + y}{2} \right)$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \left( \frac{x - y}{2} \right) - \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \sin \left( -\frac{y}{2} \right) = -2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \sin \left( \frac{y}{2} \right)$ થાય.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \sin \left( \frac{y}{2} \right)$.
ચલને અલગ કરતા,$\text{cosec} \left( \frac{y}{2} \right) dy = -2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \text{cosec} \left( \frac{y}{2} \right) dy = -2 \int \cos \left( \frac{x}{2} \right) dx + c$.
$\int \text{cosec} (ax) dx = \frac{1}{a} \log \tan \left( \frac{ax}{2} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\log \tan (y/4)}{1/2} = -2 \frac{\sin (x/2)}{1/2} + c$ મળે.
આથી,$2 \log \tan (y/4) = -4 \sin (x/2) + c$,એટલે કે $\log \tan (y/4) = c - 2 \sin (x/2)$ મળે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x + y)^2 \frac{dy}{dx} = a^2$ છે.
ધારો કે $x + y = v$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$v^2 (\frac{dv}{dx} - 1) = a^2$
$\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{a^2}{v^2}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{a^2}{v^2} + 1 = \frac{a^2 + v^2}{v^2}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{v^2}{a^2 + v^2} dv = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{v^2 + a^2 - a^2}{a^2 + v^2} dv = \int dx$
$\int (1 - \frac{a^2}{a^2 + v^2}) dv = x + c$
$v - a \tan^{-1}(\frac{v}{a}) = x + c$
$v = x + y$ પાછા મૂકતા:
$(x + y) - a \tan^{-1}(\frac{x + y}{a}) = x + c$
$y - a \tan^{-1}(\frac{x + y}{a}) = c$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{x} + \frac{dy}{y} = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{x} + \int \frac{dy}{y} = \int 0$.
આથી આપણને મળે છે: $\log |x| + \log |y| = C_1$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log |xy| = C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|xy| = e^{C_1}$.
ધારો કે $e^{C_1} = c$,તેથી અંતિમ ઉકેલ: $xy = c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y - x\frac{dy}{dx} = a(y^2 + \frac{dy}{dx})$
પદોને ગોઠવતા:
$y - ay^2 = a\frac{dy}{dx} + x\frac{dy}{dx}$
$y(1 - ay) = (a + x)\frac{dy}{dx}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dx}{a + x} = \frac{dy}{y(1 - ay)}$
જમણી બાજુ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{y(1 - ay)} = \frac{1}{y} + \frac{a}{1 - ay}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dx}{a + x} = \int \left(\frac{1}{y} + \frac{a}{1 - ay}\right) dy$
$\ln|a + x| = \ln|y| - \ln|1 - ay| + \ln|c|$
$\ln|a + x| = \ln|\frac{cy}{1 - ay}|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$a + x = \frac{cy}{1 - ay}$
$(x + a)(1 - ay) = cy$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\log \left( \frac{dy}{dx} \right) = ax + by$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\frac{dy}{dx} = e^{ax + by}$
ઘાતાંકના નિયમ $e^{m+n} = e^m \cdot e^n$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dy}{dx} = e^{ax} \cdot e^{by}$
ચલ $x$ અને $y$ ને અલગ કરતા: $e^{-by} \, dy = e^{ax} \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-by} \, dy = \int e^{ax} \, dx$
સંકલન કરતા આપણને મળે છે: $\frac{e^{-by}}{-b} = \frac{e^{ax}}{a} + c$
આમ,ઉકેલ $\frac{e^{-by}}{-b} = \frac{e^{ax}}{a} + c$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \left( \frac{y}{x} \right)^{1/3}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{y^{1/3}} = \frac{dx}{x^{1/3}}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int y^{-1/3} dy = \int x^{-1/3} dx$.
સંકલન માટે ઘાતનો નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ વાપરતા:
$\frac{y^{2/3}}{2/3} = \frac{x^{2/3}}{2/3} + c$.
$\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $y^{2/3} = x^{2/3} + c'$,જ્યાં $c'$ એ અચળાંક છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે: $y^{2/3} - x^{2/3} = c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2y - 1) \, dx = (2x + 3) \, dy$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{2x + 3} = \frac{dy}{2y - 1}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{2x + 3} = \int \frac{dy}{2y - 1}$
$\frac{1}{2} \ln|2x + 3| = \frac{1}{2} \ln|2y - 1| + C'$
$2$ વડે ગુણતા: $\ln|2x + 3| = \ln|2y - 1| + 2C'$
$\ln|2x + 3| - \ln|2y - 1| = \ln c$ (જ્યાં $\ln c = 2C'$)
$\ln \left| \frac{2x + 3}{2y - 1} \right| = \ln c$
તેથી,$\frac{2x + 3}{2y - 1} = c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cot y \, dx = x \, dy$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{\cot y}$
કારણ કે $\frac{1}{\cot y} = \tan y$,તેથી:
$\frac{dx}{x} = \tan y \, dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dx}{x} = \int \tan y \, dy$
$\ln |x| = \ln |\sec y| + \ln |c|$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln |x| = \ln |c \sec y|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$x = c \sec y$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log(x^2) + x}{\sin y + y \cos y}$.
ચલને અલગ કરતા:
$(\sin y + y \cos y) dy = (x \log(x^2) + x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log(x^2) + x) dx$.
ડાબી બાજુ માટે,$\int y \cos y dy$ પર ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int \sin y dy + (y \sin y - \int \sin y dy) = y \sin y$.
જમણી બાજુ માટે,નોંધો કે $\log(x^2) = 2 \log x$:
$\int (2x \log x + x) dx = 2 \int x \log x dx + \int x dx$.
$\int x \log x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$2 [\frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx] + \frac{x^2}{2} = 2 [\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}] + \frac{x^2}{2} = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} = x^2 \log x$.
આમ,ઉકેલ $y \sin y = x^2 \log x + c$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left( \frac{2 + \sin x}{1 + y} \right) \frac{dy}{dx} = - \cos x$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{1 + y} = - \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{1 + y} = - \int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$.
ધારો કે $u = 2 + \sin x$,તો $du = \cos x dx$.
તેથી,$\ln|1 + y| = - \ln|2 + \sin x| + C$.
આને $\ln|1 + y| + \ln|2 + \sin x| = C$,અથવા $\ln|(1 + y)(2 + \sin x)| = C$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,$(1 + y)(2 + \sin x) = K$ (જ્યાં $K = e^C$).
આપેલ $y(0) = 1$ માટે,આપણે $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકીએ:
$(1 + 1)(2 + \sin 0) = K \implies 2(2 + 0) = K \implies K = 4$.
તેથી,$(1 + y)(2 + \sin x) = 4$.
$y\left( \frac{\pi}{2} \right)$ શોધવા માટે,$x = \frac{\pi}{2}$ મૂકો:
$(1 + y)(2 + \sin \frac{\pi}{2}) = 4
(1 + y)(2 + 1) = 4
3(1 + y) = 4
1 + y = \frac{4}{3}
y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: ${e^{dy/dx}} = (x + 1)$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\frac{dy}{dx} = \log(x + 1)$.
ચલને અલગ કરતા: $dy = \log(x + 1) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y = \int \log(x + 1) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(x + 1)$ અને $dv = dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x+1} dx$ અને $v = x + 1$ મળે.
$y = (x + 1)\log(x + 1) - \int \frac{x+1}{x+1} dx$.
$y = (x + 1)\log(x + 1) - \int 1 dx$.
$y = (x + 1)\log(x + 1) - x + C$.
આપેલ પ્રારંભિક શરત $y(0) = 3$ માટે,$x = 0$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3 = (0 + 1)\log(0 + 1) - 0 + C$.
$3 = 1 \cdot \log(1) + C$.
$\log(1) = 0$ હોવાથી,$C = 3$ મળે.
તેથી,ઉકેલ $y = (x + 1)\log |x + 1| - x + 3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} \tan y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} \tan y = 2 \sin x \cos y$.
$\tan y$ ને $\frac{\sin y}{\cos y}$ તરીકે લખતા:
$\frac{dy}{dx} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = 2 \sin x \cos y$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \sin x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \int \sin x dx$.
ધારો કે $u = \cos y$,તો $du = -\sin y dy$,તેથી $\int -u^{-2} du = u^{-1} = \frac{1}{\cos y} = \sec y$.
આમ,$\sec y = -2 \cos x + c$,જે $\sec y + 2 \cos x = c$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y\,dx + (x + x^2y)dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y\,dx + x\,dy + x^2y\,dy = 0$
$(y\,dx + x\,dy) = -x^2y\,dy$
બંને બાજુ $x^2y^2$ વડે ભાગતા ($x, y \neq 0$ ધારીને):
$\frac{y\,dx + x\,dy}{x^2y^2} = -\frac{dy}{y}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = y\,dx + x\,dy$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{d(xy)}{(xy)^2} = -\frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (xy)^{-2} d(xy) = -\int \frac{1}{y} dy$
$-\frac{1}{xy} = -\log|y| + c$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{1}{xy} + \log|y| = c$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x - y^3)dx + 3xy^2dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x dx - y^3 dx + 3xy^2 dy = 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = y^3$,તો $dt = 3y^2 dy$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x dx - t dx + x dt = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,$\frac{x dx - t dx + x dt}{x^2} = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dx}{x} + \frac{x dt - t dx}{x^2} = 0$ થાય છે.
આ $d(\log x) + d(\frac{t}{x}) = 0$ ને સમાન છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\log x + \frac{t}{x} = k$ મળે છે.
$t = y^3$ પાછું મૂકતા,ઉકેલ $\log x + \frac{y^3}{x} = k$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \, dy + y \, dx - \sqrt{1 - x^2 y^2} \, dx = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x \, dy + y \, dx = \sqrt{1 - x^2 y^2} \, dx$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = x \, dy + y \, dx$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $d(xy) = \sqrt{1 - (xy)^2} \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુને $\sqrt{1 - (xy)^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d(xy)}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int \frac{d(xy)}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = \int dx$ મળે છે.
આથી,$\sin^{-1}(xy) = x + c$ મળે છે.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,આપણને $xy = \sin(x + c)$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \, dx - x \, dy + x y^2 \, dx = 0$.
આખા સમીકરણને $y^2$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$\frac{y \, dx - x \, dy}{y^2} + x \, dx = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{y \, dx - x \, dy}{y^2} = d\left( \frac{x}{y} \right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$d\left( \frac{x}{y} \right) + x \, dx = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int d\left( \frac{x}{y} \right) = - \int x \, dx$.
$\frac{x}{y} = - \frac{x^2}{2} + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
બંને બાજુ $2y$ વડે ગુણતા:
$2x = -x^2 y + 2cy$.
પદોને ગોઠવતા:
$2x + x^2 y = (2c)y$.
ધારો કે $\lambda = 2c$,તો ઉકેલ $2x + x^2 y = \lambda y$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $ydx - xdy = xy\,dx$
બંને બાજુ $xy$ વડે ભાગતા ($x, y \neq 0$ ધારીને):
$\frac{ydx - xdy}{xy} = dx$
$\frac{1}{x}dx - \frac{1}{y}dy = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{x}dx - \int \frac{1}{y}dy = \int dx$
$\ln|x| - \ln|y| = x + C$
$\ln|\frac{x}{y}| = x + C$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$\frac{x}{y} = e^{x+C} = e^C \cdot e^x$
ધારો કે $e^C = \frac{1}{c}$ (જ્યાં $c$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે):
$\frac{x}{y} = \frac{1}{c} e^x$
$cx = y e^x$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $y e^x = cx$ છે.

(A) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = \frac{2dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$ મળે.
આનાથી $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\ln|y| = \ln|x^2| + C$ થાય છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,આપણને $y = c x^2$ મળે છે.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકીએ છીએ:
$1 = c(1)^2$,જેનો અર્થ છે કે $c = 1$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y = x^2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy}{x^2 + 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{-2x}{x^2 + 1} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$.
આથી: $\ln|y| = -\ln(x^2 + 1) + C$.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| + \ln(x^2 + 1) = C$,જે $\ln|y(x^2 + 1)| = C$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$y(x^2 + 1) = e^C = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1^2 + 1) = k \implies 2(2) = k \implies k = 4$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y(x^2 + 1) = 4$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1 + y^2)dx - xydy = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1 + y^2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{1 + y^2}$.
ધારો કે $u = 1 + y^2$,તો $du = 2y dy$,તેથી $y dy = \frac{du}{2}$.
આમ,$\ln|x| = \frac{1}{2} \ln(1 + y^2) + C$.
આને $\ln|x| = \ln(\sqrt{1 + y^2}) + \ln c$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $C = \ln c$.
તેથી,$|x| = c\sqrt{1 + y^2}$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 0$ મૂકતા: $1 = c\sqrt{1 + 0^2} \implies c = 1$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $|x| = \sqrt{1 + y^2}$ છે,જે $x^2 = 1 + y^2$ અથવા $x^2 - y^2 = 1$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = x + \frac{1}{x^2}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$\int dy = \int (x + x^{-2}) dx$
$y = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + c$
વક્ર $(3, 9)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 3$ અને $y = 9$ મૂકતા:
$9 = \frac{3^2}{2} - \frac{1}{3} + c$
$9 = \frac{9}{2} - \frac{1}{3} + c$
$9 = \frac{27 - 2}{6} + c$
$9 = \frac{25}{6} + c$
$c = 9 - \frac{25}{6} = \frac{54 - 25}{6} = \frac{29}{6}$
$c$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + \frac{29}{6}$
આખા સમીકરણને $6x$ વડે ગુણતા:
$6xy = 3x^3 - 6 + 29x$
$6xy = 3x^3 + 29x - 6$.

(A) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y - 1} = \frac{dx}{x(x + 1)}$ મળે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y - 1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) dx$.
$\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$.
$\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$.
$y - 1 = k \cdot \frac{x}{x + 1}$,જ્યાં $k = e^C$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 - 1 = k \cdot \frac{1}{1 + 1} \implies -1 = \frac{k}{2} \implies k = -2$.
આમ,$y - 1 = -2 \cdot \frac{x}{x + 1}$.
$(y - 1)(x + 1) = -2x$.
$(y - 1)(x + 1) + 2x = 0$.

(C) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ એ કોટિ $(y)$ ના બમણાનો વ્યસ્ત છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$2y \, dy = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int 2y \, dy = \int dx$
$y^2 = x + C$
વક્ર $(4, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 4$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3^2 = 4 + C$
$9 = 4 + C$
$C = 5$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y^2 = x + 5$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dt} = x + 1$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x + 1} = dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{x + 1} = \int dt$.
તેથી: $\ln(x + 1) = t + C$.
જ્યારે $t = 0$ હોય,ત્યારે અંતર $x = 0$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $\ln(0 + 1) = 0 + C \implies \ln(1) = C \implies C = 0$.
આમ,સમય માટેનું સમીકરણ: $t = \ln(x + 1)$.
$x = 99 \ m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય:
$t = \ln(99 + 1) = \ln(100)$.
કારણ કે $\ln(100) = \log_e(10^2) = 2 \log_e 10$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \, dy - y \, dx = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x \, dy = y \, dx$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$.
આનાથી $\ln |y| = \ln |x| + \ln |c|$ મળે છે,જ્યાં $\ln |c|$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\ln |y| = \ln |cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$y = cx$.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(C) કણનો વેગ $\frac{dx}{dt} = \cos^2(\pi x)$ આપેલ છે.
સ્થાન $x$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ શોધવા માટે,આપણે ચલને અલગ કરીએ:
$dt = \frac{dx}{\cos^2(\pi x)} = \sec^2(\pi x) dx$.
બંને બાજુ ઉગમબિંદુ $(x=0, t=0)$ થી સમય $t$ પરના સ્થાન $x$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^t dt = \int_0^x \sec^2(\pi u) du$.
$t = \left[ \frac{\tan(\pi u)}{\pi} \right]_0^x = \frac{\tan(\pi x)}{\pi}$.
જેમ $x \to \frac{1}{2}$,તેમ $\tan(\pi x) \to \tan(\frac{\pi}{2}) \to \infty$.
તેથી,જેમ $x \to \frac{1}{2}$,તેમ $t \to \infty$.
આનો અર્થ એ છે કે કણને $x = \frac{1}{2}$ બિંદુ સુધી પહોંચવામાં અનંત સમય લાગે છે,એટલે કે તે આ બિંદુએ ક્યારેય પહોંચશે નહીં.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y - x\frac{dy}{dx} = a(y^2 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એક તરફ લેતા:
$y - ay^2 = x\frac{dy}{dx} + a\frac{dy}{dx}$
$y(1 - ay) = (x + a)\frac{dy}{dx}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{y(1 - ay)} = \frac{dx}{x + a}$
ડાબી બાજુ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{y(1 - ay)} = \frac{1}{y} + \frac{a}{1 - ay}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (\frac{1}{y} + \frac{a}{1 - ay}) dy = \int \frac{1}{x + a} dx$
$\ln|y| - \ln|1 - ay| = \ln|x + a| + \ln|c|$
$\ln|\frac{y}{1 - ay}| = \ln|c(x + a)|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$\frac{y}{1 - ay} = c(x + a)$
$y = c(x + a)(1 - ay)$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{a + x} \frac{dy}{dx} + xy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{\sqrt{a + x}}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = -\frac{x}{\sqrt{a + x}} dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{x}{\sqrt{x + a}} dx$.
ધારો કે $u = x + a$,તો $x = u - a$ અને $dx = du$.
$\ln y = -\int \frac{u - a}{\sqrt{u}} du = -\int (u^{1/2} - a u^{-1/2}) du$.
$\ln y = -(\frac{2}{3} u^{3/2} - 2a u^{1/2}) + C$.
$\ln y = -\frac{2}{3} (x + a)^{3/2} + 2a(x + a)^{1/2} + \ln A$.
$\ln y = -\frac{2}{3} (x + a)^{1/2} (x + a) + 2a(x + a)^{1/2} + \ln A$.
$\ln y = \sqrt{x + a} [-\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}a + 2a] + \ln A$.
$\ln y = \sqrt{x + a} [\frac{-2x - 2a + 6a}{3}] + \ln A = \frac{2}{3} \sqrt{x + a} (2a - x) + \ln A$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$y = A e^{\frac{2}{3}(2a - x)\sqrt{x + a}}$ મળે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: ${x^4}\frac{{dy}}{{dx}} + {x^3}y + \text{cosec}(xy) = 0$
$dx$ વડે ગુણતા: ${x^4}dy + {x^3}y\,dx + \text{cosec}(xy)\,dx = 0$
પદોને ગોઠવતા: ${x^3}(x\,dy + y\,dx) + \text{cosec}(xy)\,dx = 0$
ગુણાકારના વિકલનને ઓળખતા: ${x^3}d(xy) + \text{cosec}(xy)\,dx = 0$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{d(xy)}{\text{cosec}(xy)} + \frac{dx}{x^3} = 0$
આનું સાદું રૂપ: $\sin(xy)\,d(xy) + x^{-3}\,dx = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin(xy)\,d(xy) + \int x^{-3}\,dx = \int 0$
સંકલનનું પરિણામ: $-\cos(xy) + \frac{x^{-2}}{-2} = C_1$
$-2$ વડે ગુણતા: $2\cos(xy) + x^{-2} = c$ (જ્યાં $c = -2C_1$).

(A) વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y - 1} = \frac{dx}{x(x + 1)}$ મળે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) dx$.
$\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$.
$\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$,જેનો અર્થ છે કે $y - 1 = k \cdot \frac{x}{x + 1}$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 0$ મૂકતા: $0 - 1 = k \cdot \frac{1}{1 + 1} \Rightarrow -1 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = -2$.
આમ,$y - 1 = -2 \cdot \frac{x}{x + 1} \Rightarrow (y - 1)(x + 1) = -2x$.
તેથી,$(y - 1)(x + 1) + 2x = 0$.

(C) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ એ $2y$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$
ચલને અલગ કરતાં:
$2y \, dy = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતાં:
$\int 2y \, dy = \int dx$
$y^2 = x + C$
વક્ર $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 4$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$(3)^2 = 4 + C$
$9 = 4 + C$
$C = 5$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y^2 = x + 5$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 3$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y + 3} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx$,જે $\ln|y + 3| = x + C$ આપે છે.
કારણ કે $y + 3 > 0$,તેથી $y + 3 = e^{x + C} = e^C \cdot e^x$ થાય.
ધારો કે $e^C = A$,તેથી $y + 3 = A e^x$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 + 3 = A e^0 \Rightarrow A = 5$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y + 3 = 5 e^x$ અથવા $y = 5 e^x - 3$ છે.
$y(\ln 2)$ શોધવા માટે,$x = \ln 2$ મૂકતા:
$y(\ln 2) = 5 e^{\ln 2} - 3$.
કારણ કે $e^{\ln 2} = 2$,તેથી $y(\ln 2) = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$.

(NONE) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(1 + xy)dx = xdy$.
પદોને ગોઠવતા: $ydx + xy^2 dx = xdy$.
$xy^2 dx = xdy - ydx$.
બંને બાજુ $xy^2$ વડે ભાગતા: $dx = \frac{xdy - ydx}{xy^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{xdy - ydx}{y^2}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $dx = \frac{1}{x} d(\frac{x}{y})$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{xdy - ydx}{y^2} = x dx$.
આ $d(\frac{x}{y}) = x dx$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{x}{y} = \frac{x^2}{2} + C$.
વક્ર $(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=-1$ મૂકતા: $\frac{1}{-1} = \frac{1^2}{2} + C$.
$-1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{x}{y} = \frac{x^2 - 3}{2} \Rightarrow y = \frac{2x}{x^2 - 3}$.
હવે,$f(-\frac{1}{2})$ શોધતા: $f(-\frac{1}{2}) = \frac{2(-\frac{1}{2})}{(-\frac{1}{2})^2 - 3} = \frac{-1}{\frac{1}{4} - 3} = \frac{-1}{-\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{d}{dx} [(2 + \sin x)(y + 1)] = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $(2 + \sin x)(y + 1) = C$,જ્યાં $C$ એ અચળાંક છે.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(2 + \sin 0)(1 + 1) = C \Rightarrow (2 + 0)(2) = C \Rightarrow C = 4$.
આમ,સમીકરણ: $(2 + \sin x)(y + 1) = 4$ બને છે.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y + 1 = \frac{4}{2 + \sin x} \Rightarrow y = \frac{4}{2 + \sin x} - 1$.
હવે,$y(\frac{\pi}{2})$ શોધતા:
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{2 + \sin(\frac{\pi}{2})} - 1 = \frac{4}{2 + 1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$
બંને બાજુ $\tan x \tan y$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = \int 0 \, dx$
આદેશ $u = \tan x$ $(du = \sec^2 x \, dx)$ અને $v = \tan y$ $(dv = \sec^2 y \, dy)$ લેતા:
$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = \ln|c|$
લઘુગણકના નિયમ $\ln A + \ln B = \ln(AB)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln|\tan x \tan y| = \ln|c|$
$\tan x \tan y = c$
$\tan y = \frac{1}{\cot y}$ હોવાથી,તેને આ રીતે લખી શકાય:
$\tan x = c \cot y$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$ છે.
જમણી બાજુના પદોને અવયવ પાડતા: $\frac{dy}{dx} = (1 + x) + y(1 + x) = (1 + x)(1 + y)$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{1 + y} = (1 + x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 + x) dx$.
આથી $\log_e(1 + y) = x + \frac{x^2}{2} + C$ મળે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $1 + y = e^{x + x^2/2 + C} = k e^{x + x^2/2}$,જ્યાં $k = e^C$.
તેથી,$y = k e^{x + x^2/2} - 1$.
શરત $y(-1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $0 = k e^{-1 + 1/2} - 1 \implies 0 = k e^{-1/2} - 1 \implies k = e^{1/2}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $y = e^{1/2} e^{x + x^2/2} - 1 = e^{(1 + 2x + x^2)/2} - 1 = e^{(1 + x)^2/2} - 1$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y^2 + xy^2$ છે.
જમણી બાજુ અવયવ પાડતા,$\frac{dy}{dx} = (1 + x) + y^2(1 + x) = (1 + x)(1 + y^2)$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x) dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x) dx$.
આથી $\tan^{-1} y = x + \frac{x^2}{2} + c$ મળે.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા: $\tan^{-1}(0) = 0 + \frac{0^2}{2} + c$,જેથી $c = 0$ મળે.
તેથી,$\tan^{-1} y = x + \frac{x^2}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $y = \tan \left( x + \frac{x^2}{2} \right)$.

(C) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે.
$(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x, y)$ ને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ સાથે જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$\frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{y}{x} \right)$.
આ ચલ વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$.
$\ln|y| = 2 \ln|x| + C$,જેને $\ln|y| = \ln|x^2| + \ln|c|$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,$y = cx^2$,જે પરવલય દર્શાવે છે.