Variable separable type differential equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$ છે.
બંને બાજુ $\cos x \cos y$ વડે ભાગતા: $\frac{\sin x}{\cos x} \, dx + \frac{\sin y}{\cos y} \, dy = 0$.
આથી,$\tan x \, dx + \tan y \, dy = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \tan x \, dx + \int \tan y \, dy = C_1$.
$-\ln |\cos x| - \ln |\cos y| = C_1$,જેને $\ln |\cos x \cos y| = -C_1 = C$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\cos x \cos y = e^C = K$.
વક્ર બિંદુ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
$x = 0$ અને $y = \frac{\pi}{4}$ મુકતા: $\cos(0) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = K \Rightarrow 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = K \Rightarrow K = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $\cos x \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos y = \frac{1}{\sqrt{2} \cos x} = \frac{\sec x}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+e^{x}) dy+(1+y^{2}) e^{x} dx=0$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{1+y^{2}} + \frac{e^{x} dx}{1+e^{x}} = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1+y^{2}} + \int \frac{e^{x} dx}{1+e^{x}} = C$.
ધારો કે $1+e^{x} = t$,તો $e^{x} dx = dt$.
તેથી,$\tan^{-1} y + \int \frac{dt}{t} = C$.
$\tan^{-1} y + \ln|1+e^{x}| = C$.
$x=0$ માટે $y=1$ આપેલ છે,તેથી $\tan^{-1}(1) + \ln|1+e^{0}| = C$.
$\frac{\pi}{4} + \ln(2) = C$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $\tan^{-1} y + \ln(1+e^{x}) = \frac{\pi}{4} + \ln(2)$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-y)(dx+dy)=dx-dy$
પદોને ગોઠવતા:
$(x-y)dx + (x-y)dy = dx - dy$
$(x-y+1)dy = (1-x+y)dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-(x-y)}{1+(x-y)}$ ............$(1)$
ધારો કે $x-y=t$. તેથી $1-\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 1-\frac{dt}{dx}$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$1-\frac{dt}{dx} = \frac{1-t}{1+t}$
$\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{1-t}{1+t} = \frac{1+t-1+t}{1+t} = \frac{2t}{1+t}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{1+t}{2t} dt = dx$
$\frac{1}{2} (\frac{1}{t} + 1) dt = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{1}{2} (\log |t| + t) = x + C$
$\log |t| + t = 2x + 2C$
$\log |x-y| + x - y = 2x + C_1$
$\log |x-y| = x + y + C_1$
આપેલ છે કે $x=0$ ત્યારે $y=-1$:
$\log |0 - (-1)| = 0 + (-1) + C_1$
$\log 1 = -1 + C_1$
$0 = -1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 1$
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $\log |x-y| = x + y + 1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+1) \frac{dy}{dx} = 2e^{-y} - 1$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{2e^{-y} - 1} = \frac{dx}{x+1}$
અંશ અને છેદને $e^y$ વડે ગુણતા:
$\frac{e^y dy}{2 - e^y} = \frac{dx}{x+1}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{e^y dy}{2 - e^y} = \int \frac{dx}{x+1}$
ધારો કે $t = 2 - e^y$,તો $dt = -e^y dy$,તેથી $e^y dy = -dt$:
$-\int \frac{dt}{t} = \log |x+1| + C$
$-\log |2 - e^y| = \log |x+1| + C$
શરત $x = 0$ ત્યારે $y = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\log |2 - e^0| = \log |0+1| + C$
$-\log |1| = \log |1| + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$
તેથી,$-\log |2 - e^y| = \log |x+1|$
$\log |2 - e^y|^{-1} = \log |x+1|$
$\frac{1}{2 - e^y} = x+1$
$2 - e^y = \frac{1}{x+1}$
$e^y = 2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2x+2-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$
$y = \log \left| \frac{2x+1}{x+1} \right|, (x \neq -1)$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y+1} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
આથી મળે: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \Rightarrow \ln 2 = -\ln 2 + C \Rightarrow C = 2\ln 2 = \ln 4$.
તેથી,$\ln(y+1) = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$,જેનો અર્થ છે $y+1 = \frac{4}{2+\sin x}$,અથવા $y(x) = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
$x = \pi$ માટે,$a = y(\pi) = \frac{4}{2+\sin \pi} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 1$.
હવે,$x = \pi$ આગળ $b = \frac{dy}{dx}$ શોધીએ: $\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} (y+1) = \frac{-\cos x}{2+\sin x} \left(\frac{4}{2+\sin x}\right) = \frac{-4\cos x}{(2+\sin x)^2}$.
$x = \pi$ આગળ,$b = \frac{-4\cos \pi}{(2+\sin \pi)^2} = \frac{-4(-1)}{(2+0)^2} = \frac{4}{4} = 1$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (1, 1)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{3} dy + xy dx = x^{2} dy + 2y dx$
પદોને ગોઠવતા: $(x^{3} - x^{2}) dy = (2y - xy) dx$
$(x^{3} - x^{2}) dy = y(2 - x) dx$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{2 - x}{x^{2}(x - 1)} dx$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2 - x}{x^{2}(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x - 1}$
$2 - x = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^{2}$
$x = 0$ માટે,$2 = -B \Rightarrow B = -2$. $x = 1$ માટે,$1 = C$. $x^{2}$ ના સહગુણકો સરખાવતા,$0 = A + C \Rightarrow A = -1$.
સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \left( -\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x - 1} \right) dx$
$\ln y = -\ln x + \frac{2}{x} + \ln(x - 1) + C_{1}$
$y(2) = e$ આપેલ છે: $\ln e = -\ln 2 + \frac{2}{2} + \ln(2 - 1) + C_{1} \Rightarrow 1 = -\ln 2 + 1 + 0 + C_{1} \Rightarrow C_{1} = \ln 2$.
તેથી,$\ln y = \ln \left( \frac{2(x - 1)}{x} \right) + \frac{2}{x}$.
$x = 4$ માટે: $\ln y = \ln \left( \frac{2(3)}{4} \right) + \frac{2}{4} = \ln \left( \frac{3}{2} \right) + \frac{1}{2} = \ln \left( \frac{3}{2} \right) + \ln \sqrt{e}$.
$y = \frac{3}{2} \sqrt{e}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+e^{-x})(1+y^{2}) \frac{dy}{dx} = y^{2}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{1+y^{2}}{y^{2}} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$
$\Rightarrow (y^{-2}+1) dy = \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (y^{-2}+1) dy = \int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$
$-y^{-1} + y = \ln(e^{x}+1) + C$
$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) + C$.
વક્ર બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$1 - \frac{1}{1} = \ln(e^{0}+1) + C$
$0 = \ln(2) + C \Rightarrow C = -\ln(2)$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) - \ln(2)$
$y - \frac{1}{y} = \ln\left(\frac{e^{x}+1}{2}\right)$
$y$ વડે ગુણતા:
$y^{2} - 1 = y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$
$y^{2} = 1 + y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + 3 = \frac{y+3x}{\log_{e}(y+3x)}$.
ધારો કે $z = y + 3x$. તેથી $\frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dx} + 3$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{dz}{dx} = \frac{z}{\log_{e}z}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{\log_{e}z}{z} dz = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{\log_{e}z}{z} dz = \int dx$.
ધારો કે $u = \log_{e}z$,તો $du = \frac{1}{z} dz$. સંકલન $\int u du = x + C$ બને છે.
તેથી,$\frac{u^{2}}{2} = x + C$.
$u = \log_{e}(y+3x)$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = x + C$.
ગોઠવતા $x - \frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = C$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})} + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow \sqrt{1+x^{2}} \sqrt{1+y^{2}} = -xy \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} dy = -\int \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} dx$
ધારો કે $1+y^{2} = v^{2} \Rightarrow y dy = v dv$ અને $1+x^{2} = u^{2} \Rightarrow x dx = u du \Rightarrow dx = \frac{u du}{x} = \frac{u du}{\sqrt{u^{2}-1}}$
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{v dv}{v} = -\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}-1}} \cdot \frac{u du}{\sqrt{u^{2}-1}}$
$\Rightarrow \int dv = -\int \frac{u^{2}}{u^{2}-1} du$
$\Rightarrow v = -\int \left( 1 + \frac{1}{u^{2}-1} \right) du$
$\Rightarrow v = -u - \frac{1}{2} \log_{e} \left| \frac{u-1}{u+1} \right| + C$
$\Rightarrow v = -u + \frac{1}{2} \log_{e} \left| \frac{u+1}{u-1} \right| + C$
$u = \sqrt{1+x^{2}}$ અને $v = \sqrt{1+y^{2}}$ પાછા મૂકતા:
$\sqrt{1+y^{2}} = -\sqrt{1+x^{2}} + \frac{1}{2} \log_{e} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}-1} \right) + C$
$\Rightarrow \sqrt{1+y^{2}} + \sqrt{1+x^{2}} = \frac{1}{2} \log_{e} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}-1} \right) + C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = xy - 1 + x - y$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = x(y + 1) - 1(y + 1) = (x - 1)(y + 1)$.
આ ચલ વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{y + 1} = (x - 1) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y + 1} = \int (x - 1) dx$.
$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|0 + 1| = \frac{0^2}{2} - 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x$,જેનો અર્થ છે $y + 1 = e^{\frac{x^2}{2} - x}$.
તેથી,$y(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x} - 1$.
$y(1)$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા: $y(1) = e^{\frac{1^2}{2} - 1} - 1 = e^{\frac{1}{2} - 1} - 1 = e^{-\frac{1}{2}} - 1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x} \cdot 2^{y} - 2^{x}}{2^{y}}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = 2^{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = \int 2^{x} dx$.
ધારો કે $u = 2^{y}-1$,તો $du = 2^{y} \ln(2) dy$,તેથી $\int \frac{du}{u \ln(2)} = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.
આનું સાદું રૂપ: $\frac{1}{\ln(2)} \ln(2^{y}-1) = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.
$\ln(2)$ વડે ગુણતા: $\ln(2^{y}-1) = 2^{x} + C'$.
$y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(2^{1}-1) = 2^{0} + C' \Rightarrow \ln(1) = 1 + C' \Rightarrow 0 = 1 + C' \Rightarrow C' = -1$.
તેથી,$\ln(2^{y}-1) = 2^{x} - 1$.
$x=1$ માટે: $\ln(2^{y}-1) = 2^{1} - 1 = 1$.
$2^{y}-1 = e^{1} \Rightarrow 2^{y} = e+1$.
બંને બાજુ $\log_{2}$ લેતા: $y = \log_{2}(e+1)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^x(y + 2^y)}{2^x(1 + 2^y \ln 2)}$.
અંશ અને છેદમાંથી $2^x$ દૂર કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y + 2^y}{1 + 2^y \ln 2}$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = \int dx$.
ધારો કે $u = y + 2^y$,તો $du = (1 + 2^y \ln 2) dy$. તેથી,$\int \frac{1}{u} du = x + C$.
$\ln|y + 2^y| = x + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મુકતા: $\ln|0 + 2^0| = 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$x = \ln(y + 2^y)$.
$y = 1$ માટે,$x = \ln(1 + 2^1) = \ln(3)$.
કારણ કે $e \approx 2.718$ અને $e^2 \approx 7.389$,અને $e < 3 < e^2$,તેથી $1 < \ln(3) < 2$.
આમ,$x \in (1, 2)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} dx + \frac{y}{x} dy = 0$ છે.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -x e^{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -\int x e^{x} dx$.
ડાબી બાજુ માટે,$u = 1-y^{2}$ લેતા,$-\sqrt{1-y^{2}}$ મળે.
જમણી બાજુ માટે,ખંડશઃ સંકલન કરતા,$-(x e^{x} - e^{x}) + C = -e^{x}(x-1) + C$.
તેથી,$-\sqrt{1-y^{2}} = -e^{x}(x-1) + C$,એટલે કે $\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1) + C$.
$y(1) = -1$ મૂકતા,$0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1-y^{2} = e^{2x}(x-1)^{2}$.
$x=3$ માટે,$1-y^{2} = e^{6}(2)^{2} = 4e^{6}$.
તેથી,$y^{2} = 1 - 4e^{6}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$.
ધારો કે $\cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)=\theta$,જ્યાં $\theta \in[0, \pi]$.
તેથી $\cos \theta = e^{-x}$. નિત્યસમ $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + e^{-x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$.
આમ,$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}}$.
આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^{2x} - 1} dy$.
કારણ કે $\sqrt{e^{2x} - 1} = \sqrt{(e^x - 1)(e^x + 1)}$,આપણને મળે $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} \sqrt{e^x + 1} dy$.
$\sqrt{e^x + 1}$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{\sqrt{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} dy$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dx}{\sqrt{2} \sqrt{e^x(e^x - 1)}} = dy$ થાય.
ધારો કે $e^x = t$,તો $e^x dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$.
તેથી,$\int \frac{dt}{\sqrt{2} t \sqrt{t(t-1)}} = \int dy$.
ધારો કે $t = \frac{1}{z}$,તો $dt = -\frac{1}{z^2} dz$.
કિંમત મૂકતા: $\int \frac{-dz/z^2}{\sqrt{2} (1/z) \sqrt{1/z^2 - 1/z}} = \int dy \Rightarrow -\int \frac{dz}{\sqrt{2} \sqrt{1-z}} = y + C$.
સંકલન કરતા: $\sqrt{2} \sqrt{1-z} = y + C \Rightarrow \sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + C$.
$x=0, y=-1$ માટે: $\sqrt{2} \sqrt{1 - 1} = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + 1$.
$x$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ $(\alpha, 0)$ માટે,$y=0$ મૂકતા: $\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-\alpha}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2(1 - e^{-\alpha}) = 1 \Rightarrow 1 - e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$e^{\alpha} = 2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x \ln x}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{2 dx}{x \ln x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{2}{x \ln x} dx$.
ધારો કે $u = \ln x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન કરતા: $\ln |y| = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \ln |u| + C = 2 \ln |\ln x| + C$.
તેથી,$\ln |y| = \ln |(\ln x)^2| + C$,જેનો અર્થ છે કે $y = k(\ln x)^2$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
વક્ર બિંદુ $(2, (\ln 2)^2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=(\ln 2)^2$ મૂકતા:
$(\ln 2)^2 = k(\ln 2)^2 \Rightarrow k = 1$.
આમ,વિધેય $f(x) = (\ln x)^2$ છે.
$f(e)$ શોધવા માટે,$x=e$ મૂકતા: $f(e) = (\ln e)^2 = (1)^2 = 1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log _{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ ને $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ તરીકે લખી શકાય.
ચલને અલગ કરતા,$e^{-4 y} d y=e^{3 x} d x$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x$,જે $-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}+C$ આપે છે.
શરત $y(0)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા: $-\frac{1}{4} e^{0}=\frac{1}{3} e^{0}+C \Rightarrow -\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+C \Rightarrow C=-\frac{7}{12}$.
આમ,$-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}-\frac{7}{12}$.
$-12$ વડે ગુણતા,$3 e^{-4 y} = 7 - 4 e^{3 x}$,તેથી $e^{-4 y} = \frac{7 - 4 e^{3 x}}{3}$.
વ્યસ્ત લેતા,$e^{4 y} = \frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}$,તેથી $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}\right)$.
$x = -\frac{2}{3} \log _{e} 2$ માટે,$e^{3 x} = e^{3 \left(-\frac{2}{3} \log _{e} 2\right)} = e^{-2 \log _{e} 2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
આ કિંમત $4y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4(1/4)}\right) = \log _{e} \left(\frac{3}{6}\right) = \log _{e} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log _{e} 2$.
તેથી,$y = -\frac{1}{4} \log _{e} 2$. આને $y = \alpha \log _{e} 2$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -\frac{1}{4}$ મળે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec y \frac{dy}{dx} - (\sin(x+y) + \sin(x-y)) = 0$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sec y \frac{dy}{dx} - 2 \sin x \cos y = 0$.
$\sec y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$.
$\cos y$ વડે ભાગતા ($y \in [0, \frac{\pi}{2})$ માટે $\cos y \neq 0$):
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \sec^2 y dy = \int 2 \sin x dx$.
$\tan y = -2 \cos x + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\tan(0) = -2 \cos(0) + C \Rightarrow 0 = -2(1) + C \Rightarrow C = 2$.
તેથી,$\tan y = 2 - 2 \cos x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$\tan y = 2 - 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 - 0 = 2$.
$\tan y = 2$ હોવાથી,$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + 2^2 = 5$.
વિકલનના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$5 \frac{dy}{dx} = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(1) = 2$.
આમ,$5y'(\frac{\pi}{2}) = 2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $dy = e^{\alpha x + y} dx$.
ચલને અલગ કરતા:
$e^{-y} dy = e^{\alpha x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int e^{-y} dy = \int e^{\alpha x} dx$
$-e^{-y} = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} + C \quad \dots(i)$
શરત $y(0) = \log_{e}(\frac{1}{2}) = -\log_{e} 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-e^{-(-\log_{e} 2)} = \frac{e^{\alpha(0)}}{\alpha} + C$
$-e^{\log_{e} 2} = \frac{1}{\alpha} + C$
$-2 = \frac{1}{\alpha} + C \quad \dots(ii)$
શરત $y(\log_{e} 2) = \log_{e} 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-e^{-\log_{e} 2} = \frac{e^{\alpha \log_{e} 2}}{\alpha} + C$
$-\frac{1}{2} = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} + C \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(-\frac{1}{2}) - (-2) = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} - \frac{1}{\alpha}$
$\frac{3}{2} = \frac{2^{\alpha} - 1}{\alpha}$
જો $\alpha = 2$ લઈએ તો:
$\frac{2^{2} - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$.
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$.
$2x^{2}$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -\frac{3}{2} \left(\frac{y}{x}\right)^{2}$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
કિંમતો મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} - v = -\frac{3}{2} v^{2}$.
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{3}{2} v^{2}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{dv}{v^{2}} = -\frac{3}{2} \frac{dx}{x}$.
સંકલન કરતા: $-\frac{1}{v} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.
શરત $y(e) = \frac{e}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{e}{e/3} = -\frac{3}{2} \ln(e) + C \implies -3 = -\frac{3}{2} + C \implies C = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| - \frac{3}{2}$.
$x = 1$ માટે: $-\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \ln(1) - \frac{3}{2} \implies -\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \implies y = \frac{2}{3}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2^x \cdot 2^{-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = -\frac{2^x(2^y - 1)}{2^y(2^x - 1)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\frac{2^x}{2^x - 1} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\int \frac{2^x}{2^x - 1} dx$.
$u = 2^y - 1$ આદેશ લેતા,$du = 2^y \ln 2 \, dy$,તેથી $\frac{1}{\ln 2} \ln|2^y - 1| = -\frac{1}{\ln 2} \ln|2^x - 1| + C$.
$\ln 2$ વડે ગુણતા: $\ln|2^y - 1| + \ln|2^x - 1| = C_1$,જ્યાં $C_1 = C \ln 2$.
આથી $(2^y - 1)(2^x - 1) = K$,જ્યાં $K = e^{C_1}$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$(2^1 - 1)(2^1 - 1) = K \implies (1)(1) = K \implies K = 1$.
તેથી,$(2^y - 1)(2^x - 1) = 1$.
$x = 2$ માટે,$(2^y - 1)(2^2 - 1) = 1 \implies (2^y - 1)(3) = 1$.
$2^y - 1 = \frac{1}{3} \implies 2^y = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ $\log_2$ લેતા: $y = \log_2(\frac{4}{3}) = \log_2 4 - \log_2 3 = 2 - \log_2 3$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{2e^x}{1 + e^{2x}} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{1 + y^2} = -\int \frac{2e^x}{1 + (e^x)^2} dx$.
ધારો કે $u = e^x$,તો $du = e^x dx$. સંકલન કરતા:
$\tan^{-1}(y) = -2 \tan^{-1}(e^x) + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$\tan^{-1}(0) = -2 \tan^{-1}(e^0) + C \implies 0 = -2(\frac{\pi}{4}) + C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
આમ,ઉકેલ $\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^x)$ છે.
$y'(0)$ શોધવા માટે,મૂળ વિકલ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$(1 + e^0) y'(0) + 2(1 + 0^2)e^0 = 0 \implies 2y'(0) + 2 = 0 \implies y'(0) = -1$.
હવે,$y(\log_e \sqrt{3})$ શોધીએ:
$\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^{\log_e \sqrt{3}}) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} - 2(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
તેથી,$y = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી $(y(\log_e \sqrt{3}))^2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.
અંતે,$6(y'(0) + (y(\log_e \sqrt{3}))^2) = 6(-1 + \frac{1}{3}) = 6(-\frac{2}{3}) = -4$.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -k \frac{y}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = -k \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln |y| = -k \ln |x| + C$ મળે છે,જેને $y = C x^{-k}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે વક્ર $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = C(1)^{-k} \Rightarrow C = 2$.
આપેલ છે કે વક્ર $(8, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 = 2(8)^{-k} \Rightarrow 8^k = 2 \Rightarrow (2^3)^k = 2^1 \Rightarrow 3k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = 2 x^{-1/3}$ છે.
આપણે $\left| y \left(\frac{1}{8}\right) \right|$ શોધવાની જરૂર છે.
સમીકરણમાં $x = \frac{1}{8}$ મૂકતા,$y = 2 \left(\frac{1}{8}\right)^{-1/3} = 2 \left( (2^{-3})^{-1/3} \right) = 2 \times 2^1 = 4$.
તેથી,$\left| y \left(\frac{1}{8}\right) \right| = 4$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$.
તેને આ રીતે લખતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-x}{y(5x+y^{2})}$.
ધારો કે $v = y^{2}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{2y} \frac{dv}{dx} = \frac{v-x}{y(5x+v)} \implies \frac{dv}{dx} = 2 \frac{v-x}{5x+v}$.
ધારો કે $v = kx$,તેથી $\frac{dv}{dx} = k + x \frac{dk}{dx}$.
$k + x \frac{dk}{dx} = 2 \frac{kx-x}{5x+kx} = 2 \frac{k-1}{5+k}$.
$x \frac{dk}{dx} = \frac{2k-2}{k+5} - k = \frac{2k-2-k^{2}-5k}{k+5} = -\frac{k^{2}+3k+2}{k+5} = -\frac{(k+1)(k+2)}{k+5}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{k+5}{(k+1)(k+2)} dk = -\int \frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{k+5}{(k+1)(k+2)} = \frac{4}{k+1} - \frac{3}{k+2}$.
સંકલન કરતા: $4 \ln|k+1| - 3 \ln|k+2| = -\ln|x| + \ln|C|$.
$\ln|\frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}}| = \ln|\frac{C}{x}| \implies \frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}} = \frac{C}{x}$.
$k = \frac{v}{x} = \frac{y^{2}}{x}$ મૂકતા: $\frac{(\frac{y^{2}}{x}+1)^{4}}{(\frac{y^{2}}{x}+2)^{3}} = \frac{C}{x} \implies \frac{(y^{2}+x)^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{x^{3}}{(y^{2}+2x)^{3}} = \frac{C}{x}$.
$(y^{2}+x)^{4} = C|y^{2}+2x|^{3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(x+1) dx = x^2 dy$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{x+1}{x^2} dx = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \int \frac{dy}{y}$.
આથી: $\ln|x| - \frac{1}{x} = \ln|y| + C$.
શરત $y(1)=e$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ અને $y=e$ મૂકતા: $\ln(1) - \frac{1}{1} = \ln(e) + C$.
$0 - 1 = 1 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -2$.
તેથી,ઉકેલ $\ln|y| = \ln|x| - \frac{1}{x} + 2$ છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $y = e^{\ln x - \frac{1}{x} + 2} = x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.
હવે,લક્ષની કિંમત મેળવીએ: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$. જ્યારે $x \rightarrow 0^{+}$,ત્યારે $t \rightarrow \infty$.
લક્ષ $\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t+2}}{t} = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^2}{t e^t} = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2 y^2) dx = y dx + x dy$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = y dx + x dy$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(1-(xy)^2) dx = d(xy)$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$dx = \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+u}{1-u} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+xy}{1-xy} \right| + C$ મળે.
$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા $1 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2}{1-2} \right| + C$,તેથી $1 = \frac{1}{2} \ln 3 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1 - \frac{1}{2} \ln 3$.
હવે,$x=2$ અને $y=\alpha$ માટે,$2 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right| + 1 - \frac{1}{2} \ln 3$.
$1 + \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$,જેનું સાદું રૂપ $2 + \ln 3 = \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$ થાય છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$3e^2 = \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = 3e^2 \implies 1+2\alpha = 3e^2 - 6e^2\alpha \implies \alpha(2+6e^2) = 3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2-1}{2(3e^2+1)}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = -3e^2 \implies 1+2\alpha = -3e^2 + 6e^2\alpha \implies \alpha(2-6e^2) = -3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2+1}{2(3e^2-1)}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણો $\frac{dx}{dt} = -ax$ અને $\frac{dy}{dt} = -by$ છે.
$\frac{dx}{dt} = -ax$ ને ચલ અલગ કરીને ઉકેલતા,$\int \frac{dx}{x} = -\int a dt$ મળે,જે $\ln|x| = -at + C_1$ આપે છે.
$x(0)=2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\ln 2 = C_1$ મળે,તેથી $x(t) = 2e^{-at}$.
તે જ રીતે,$y(0)=1$ સાથે $\frac{dy}{dt} = -by$ ને ઉકેલતા,$y(t) = e^{-bt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $3y(1) = 2x(1)$,તેથી:
$3e^{-b} = 2(2e^{-a}) \implies 3e^{-b} = 4e^{-a} \implies e^{a-b} = \frac{4}{3}$.
આપણે $t$ શોધવાનું છે જેથી $x(t) = y(t)$ થાય:
$2e^{-at} = e^{-bt} \implies 2 = e^{(a-b)t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln 2 = (a-b)t$.
કારણ કે $e^{a-b} = \frac{4}{3}$,તેથી $a-b = \ln(\frac{4}{3})$.
આમ,$\ln 2 = t \ln(\frac{4}{3}) \implies t = \frac{\ln 2}{\ln(\frac{4}{3})} = \log_{\frac{4}{3}} 2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x+3y-2)dx+(4x+6y-7)dy=0$.
ધારો કે $t = 2x+3y$. તેથી $dt = 2dx + 3dy$,એટલે કે $dy = \frac{dt-2dx}{3}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(t-2)dx + (2t-7)\left(\frac{dt-2dx}{3}\right) = 0$.
$3$ વડે ગુણતા: $3(t-2)dx + (2t-7)dt - 2(2t-7)dx = 0$.
$(-t+8)dx + (2t-7)dt = 0 \implies dx = \frac{2t-7}{8-t}dt$.
સંકલન કરતા: $x = \int \frac{2t-7}{8-t}dt = \int (-2 + \frac{9}{8-t})dt = -2t - 9\ln|8-t| + C$.
$t = 2x+3y$ મૂકતા: $x = -2(2x+3y) - 9\ln|8-2x-3y| + C \implies 5x+6y+9\ln|2x+3y-8| = C$.
$y(0)=3$ નો ઉપયોગ કરતા: $0 + 6 + 9\ln|9-8| = C \implies C = 6$.
સમીકરણ $x+2y+3\ln|2x+3y-8|=2$ ના સ્વરૂપમાં લાવતા,$\alpha=1, \beta=2, \gamma=8$ મળે છે.
તેથી $\alpha+2\beta+3\gamma = 1 + 2(2) + 3(8) = 29$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2-4) dy = (y^2-3y) dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y(y-3)} = \int \frac{dx}{x^2-4}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{3} \int (\frac{1}{y-3} - \frac{1}{y}) dy = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.
સંકલન કરતા: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.
$y(4) = \frac{3}{2}$ આપેલ છે,તેથી $x=4$ અને $y=\frac{3}{2}$ મૂકતા:
$\frac{1}{3} \ln |\frac{3/2-3}{3/2}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{4-2}{4+2}| + C \Rightarrow \frac{1}{3} \ln |-1| = \frac{1}{4} \ln |\frac{1}{3}| + C \Rightarrow 0 = -\frac{1}{4} \ln 3 + C \Rightarrow C = \frac{1}{4} \ln 3$.
હવે,$x=10$ માટે: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{10-2}{10+2}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{8}{12}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{2}{3} \times 3| = \frac{1}{4} \ln 2$.
તેથી,$\ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{3}{4} \ln 2 = \ln (2^{3/4}) = \ln (8^{1/4})$.
$y(4) = 1.5$ હોવાથી અને ઢાળ ક્યારેય શૂન્ય ન હોવાથી,$y$ એ $(0, 3)$ માં રહેશે,તેથી $\frac{y-3}{y} = -8^{1/4}$.
$y-3 = -y \cdot 8^{1/4} \Rightarrow y(1+8^{1/4}) = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{1+8^{1/4}}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)(1+\ln x) dx + x dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{1+\ln x}{x} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$.
આનું સાદું રૂપ $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \tan^{-1} y = C$ થાય છે.
વક્ર $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા: $\ln(1) + \frac{(\ln 1)^2}{2} + \tan^{-1}(1) = C$,જે $0 + 0 + \frac{\pi}{4} = C$ આપે છે,તેથી $C = \frac{\pi}{4}$.
વક્રનું સમીકરણ $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$ છે.
$x=e$ માટે,$\ln(e) + \frac{(\ln e)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે $1 + \frac{1}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$\tan^{-1} y = \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}$,તેથી $y = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan(3/2)}{1 + \tan(\pi/4)\tan(3/2)} = \frac{1 - \tan(3/2)}{1 + \tan(3/2)}$.
આને $y(e) = \frac{\alpha - \tan(3/2)}{\beta + \tan(3/2)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta = 1 + 2(1) = 3$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ છે.
ધારો કે $t = x+y$,તેથી $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,એટલે કે $\frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} - 1$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{d t}{d x} - 1 = 2xt^3 - xt - 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d t}{d x} = x(2t^3 - t)$ થાય છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{d t}{2t^3 - t} = x dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{t(2t^2 - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{2t}{2t^2 - 1}$.
સંકલન કરતા: $\int (\frac{2t}{2t^2 - 1} - \frac{1}{t}) dt = \int x dx$.
$\frac{1}{2} \ln|2t^2 - 1| - \ln|t| = \frac{x^2}{2} + C$.
$x=0, y=1$ માટે $t=1$,તેથી $C=0$.
$\ln|\frac{\sqrt{2t^2 - 1}}{t}| = \frac{x^2}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = e^{x^2}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે $x^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = \sqrt{e}$.
$2t^2 - 1 = t^2 \sqrt{e} \implies t^2(2 - \sqrt{e}) = 1 \implies t^2 = \frac{1}{2 - \sqrt{e}}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)dy = (2x^2+2x+3)dx$.
ચલને અલગ કરતા: $dy = \frac{2x^2+2x+3}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}dx$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^4+2x^3+3x^2+2x+2 = (x^2+1)(x^2+2x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{2x^2+2x+3}{(x^2+1)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+2x+2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y = \int \frac{1}{x^2+1}dx + \int \frac{1}{(x+1)^2+1}dx$.
$y = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x+1) + C$.
આપેલ છે કે $y(-1) = -\frac{\pi}{4}$: $-\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(-1) + \tan^{-1}(0) + C$.
$-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y(x) = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x+1)$.
$y(0)$ માટે: $y(0) = \tan^{-1}(0) + \tan^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(e^y+1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ છે.
આને $d((e^y+1) \sin x) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $(e^y+1) \sin x = C$ મળે છે.
ઉકેલ બિંદુ $(\frac{\pi}{2}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$(e^0+1) \sin(\frac{\pi}{2}) = C \Rightarrow (1+1)(1) = C \Rightarrow C = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $(e^y+1) \sin x = 2$ છે.
હવે,આપણે $e^{y(\frac{\pi}{6})}$ ની કિંમત શોધવાની છે. સમીકરણમાં $x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$(e^y+1) \sin(\frac{\pi}{6}) = 2$.
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $(e^y+1) \cdot \frac{1}{2} = 2$.
$e^y+1 = 4$.
$e^y = 3$.
તેથી,$e^{y(\frac{\pi}{6})}$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) e^{\tan x} dx + \cos^2 x(1+e^{2 \tan x}) dy = 0$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{e^{\tan x}}{\cos^2 x(1+e^{2 \tan x})} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.
$\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ હોવાથી:
$\frac{\sec^2 x e^{\tan x}}{1+(e^{\tan x})^2} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sec^2 x e^{\tan x}}{1+(e^{\tan x})^2} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$.
ધારો કે $u = e^{\tan x}$,તો $du = e^{\tan x} \sec^2 x dx$. તેથી:
$\tan^{-1}(e^{\tan x}) + \tan^{-1}(y) = C$.
$y(0) = 1$ આપેલ છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મુકતા:
$\tan^{-1}(e^{\tan 0}) + \tan^{-1}(1) = C \implies \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$\tan^{-1}(e^{\tan x}) + \tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(A) + \cot^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\tan^{-1}(y) = \cot^{-1}(e^{\tan x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{e^{\tan x}})$.
આમ,$y = \frac{1}{e^{\tan x}}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{e^{\tan(\pi/4)}} = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx + xy(x dy + y dx) = 0$ છે.
$xy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{y} - \frac{dx}{x} + (x dy + y dx) = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} - \int \frac{dx}{x} + \int d(xy) = \int 0$.
આથી $\ln|y| - \ln|x| + xy = C$ મળે,જે $\ln|\frac{y}{x}| + xy = C$ છે.
$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$\ln|\frac{2}{1}| + (1)(2) = C \implies C = \ln 2 + 2$.
સામાન્ય ઉકેલમાં $C$ ની કિંમત મૂકતા:
$\ln|\frac{y}{x}| + xy = \ln 2 + 2$.
પદોને ગોઠવતા: $\ln|\frac{y}{x}| - \ln 2 = 2 - xy$.
$\ln|\frac{y}{2x}| = -(xy - 2)$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $|\frac{y}{2x}| = e^{-(xy - 2)}$.
$|y| = 2|x| e^{-(xy - 2)}$.
$e^{xy-2}$ વડે ગુણતા: $|y| e^{xy-2} = 2|x|$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\alpha |x| = |y| e^{xy-\beta}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 2$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 2 = 4$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2 y - 5) \frac{dy}{dx} = -3$.
ચલને અલગ કરતા: $(2 y - 5) dy = -3 dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (2 y - 5) dy = \int -3 dx$.
$y^2 - 5 y = -3 x + C$.
વક્ર બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 1$ મુકતા: $(1)^2 - 5(1) = -3(0) + C \Rightarrow C = -4$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y^2 - 5 y + 3 x + 4 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $y^2 - 5 y = -3 x - 4$.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $(y - \frac{5}{2})^2 = -3 x - 4 + \frac{25}{4} = -3 x + \frac{9}{4} = -3(x - \frac{3}{4})$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$ છે.
રેખા $2 x + 3 y = k$ માટે વિકલ્પો તપાસતા: $2(\frac{3}{4}) + 3(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{15}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
આમ,શિરોબિંદુ $2 x + 3 y = 9$ રેખા પર આવેલું છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \sqrt{x^2-1} dy = y \sqrt{y^2-1} dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y \sqrt{y^2-1}} = \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\sec^{-1} y = \sec^{-1} x + C$.
શરત $y(2) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sec^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \sec^{-1} (2) + C$.
$\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + C \implies C = -\frac{\pi}{6}$.
આમ,$\sec^{-1} y = \sec^{-1} x - \frac{\pi}{6}$,જે $y(x) = \sec \left(\sec^{-1} x - \frac{\pi}{6}\right)$ આપે છે. તેથી,$STATEMENT-1$ સાચું છે.
હવે,$\cos^{-1} \left(\frac{1}{y}\right) = \cos^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) - \frac{\pi}{6}$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા: $\frac{1}{y} = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{x} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{x}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin \left(\cos^{-1} \frac{1}{x}\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2x} + \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}$.
આને $STATEMENT-2$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $STATEMENT-2$ ખોટું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x \sqrt{1-(f'(t))^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq 1$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sqrt{1-(f'(x))^2} = f(x)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1-(f'(x))^2 = f^2(x)$
$(f'(x))^2 = 1 - f^2(x)$
$f'(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$
ધારો કે $y = f(x)$,તો $\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1 - y^2}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \pm dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\sin^{-1}(y) = \pm x + C$
$f(0) = 0$ હોવાથી,$\sin^{-1}(0) = 0 + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,$y = \pm \sin(x)$. $f$ એ અ-ઋણ વિધેય હોવાથી,$f(x) = \sin(x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે,$\sin(x) < x$.
તેથી,$\sin\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ અને $\sin\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$.
આમ,$f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ અને $f\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $8 \sqrt{x}(\sqrt{9+\sqrt{x}}) dy = \frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}} dx$.
પદોને ગોઠવતા: $dy = \frac{dx}{8 \sqrt{x} \sqrt{9+\sqrt{x}} \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}}$.
ધારો કે $u = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$.
તો $du = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{dx}{4\sqrt{x}\sqrt{9+\sqrt{x}}}$.
આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{du}{\sqrt{u}}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y = \int \frac{1}{2\sqrt{u}} du = \sqrt{u} + C$.
$u$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $y = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}} + C$.
$y(0) = \sqrt{7}$ આપેલ હોવાથી,$\sqrt{4+\sqrt{9+0}} + C = \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{4+3} + C = \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{7} + C = \sqrt{7} \Rightarrow C = 0$.
આમ,$y = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}$.
$x=256$ માટે,$y(256) = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{256}}} = \sqrt{4+\sqrt{9+16}} = \sqrt{4+\sqrt{25}} = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) = f(x)$.
આ એક પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} = y$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln |y| = x + C$,જેનો અર્થ થાય છે $y = Ae^x$.
આપેલ સમીકરણ પરથી,$f(0) = \int_0^0 f(t) \, dt = 0$.
$y = Ae^x$ માં $x = 0$ અને $y = 0$ મુકતા,આપણને $0 = Ae^0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $A = 0$.
તેથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x) = 0$ થાય છે.
આમ,$f(\ln 5) = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (5y+2)(5y-2) = 25y^2 - 4$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{25y^2 - 4} = dx$ મળે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(5y-2)(5y+2)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5y-2} - \frac{1}{5y+2} \right)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{4} \left( \frac{1}{5y-2} - \frac{1}{5y+2} \right) dy = \int dx$.
$\frac{1}{20} \ln \left| \frac{5y-2}{5y+2} \right| = x + C$.
$f(0) = 0$ હોવાથી,$x=0, y=0$ લેતા: $\frac{1}{20} \ln |\frac{-2}{2}| = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\ln \left| \frac{5y-2}{5y+2} \right| = 20x$.
$\frac{5y-2}{5y+2} = -e^{20x}$ (કારણ કે $x=0$ પર કિંમત $-1$ છે).
$y$ માટે ઉકેલતા: $5y-2 = -5ye^{20x} - 2e^{20x} \Rightarrow 5y(1+e^{20x}) = 2(1-e^{20x})$.
$y = \frac{2}{5} \frac{1-e^{20x}}{1+e^{20x}}$.
જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $e^{20x} \rightarrow 0$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \frac{2}{5} \times \frac{1-0}{1+0} = \frac{2}{5} = 0.40$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy = (y^2 - 4y) dx$ જ્યાં $x > 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y^2 - 4y} = \int \frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\int \frac{1}{4} (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = \int \frac{dx}{x}$.
$4$ વડે ગુણતા: $\int (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = 4 \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y-4| - \ln|y| = 4 \ln x + \ln c$.
આનું સાદું રૂપ: $\ln|\frac{y-4}{y}| = \ln(cx^4)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y-4}{y} = cx^4$.
$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1, y=2$ મૂકતા: $\frac{2-4}{2} = c(1)^4 \Rightarrow c = -1$.
તેથી,$\frac{y-4}{y} = -x^4 \Rightarrow y-4 = -yx^4 \Rightarrow y(1+x^4) = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{1+x^4}$.
આપણે $10y(\sqrt{2})$ શોધવાનું છે.
$y(\sqrt{2}) = \frac{4}{1+(\sqrt{2})^4} = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$10y(\sqrt{2}) = 10 \times \frac{4}{5} = 8$.

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.
$x=0$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1=2f'(0)$,તેથી $f'(0)=\frac{1}{2}$.
મૂળ સમીકરણમાં $y=0$ લેતા,આપણને $f(x)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)$ મળે છે.
$f(0)=1$ અને $f'(0)=\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $f(x)=\frac{1}{2}f(x)+f'(x)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $f'(x)=\frac{f(x)}{2}$ થાય છે.
આ એક વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\ln|f(x)|=\frac{x}{2}+C$ મળે છે.
$f(0)=1$ હોવાથી,$\ln(1)=0+C$,તેથી $C=0$.
આમ,$\ln f(x)=\frac{x}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)=e^{x/2}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{100} \log_{e} f(n) = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{100(101)}{2} = \frac{5050}{2} = 2525$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2(3+y) e^{2x} dx = (7+e^{2x}) dy$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3+y) e^{2x}}{7+e^{2x}}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{3+y} = \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{3+y} = \int \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$.
ધારો કે $u = 7+e^{2x}$,તો $du = 2e^{2x} dx$.
તેથી,$\ln|3+y| = \ln|7+e^{2x}| + C$.
આને $3+y = C(7+e^{2x})$ તરીકે લખી શકાય.
વક્ર બિંદુ $(0,5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=5$ મૂકતા: $3+5 = C(7+e^0) \Rightarrow 8 = 8C \Rightarrow C=1$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $3+y = 7+e^{2x}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = e^{2x} + 4$ થાય છે.
હવે,બિંદુ $(\log_e 2, k)$ માટે,$x = \log_e 2$ મૂકતા: $k = e^{2 \log_e 2} + 4 = e^{\log_e 4} + 4 = 4 + 4 = 8$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y dy = (x dy - y dx) \sin(x/y)$.
$y^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{y} = \frac{x dy - y dx}{y^2} \sin(x/y)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(x/y) = \frac{y dx - x dy}{y^2}$,તેથી $\frac{x dy - y dx}{y^2} = -d(x/y)$.
આમ,$\frac{dy}{y} = -\sin(x/y) d(x/y)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y} dy = -\int \sin(x/y) d(x/y)$.
$\ln y = \cos(x/y) + C$.
શરત $x(1) = \pi/2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1) = \cos(\frac{\pi/2}{1}) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\ln y = \cos(x/y)$.
$y = 2$ માટે,$\ln 2 = \cos(x/2)$.
આપણે $\cos(x(2))$ શોધવાનું છે. $\cos(x) = 2 \cos^2(x/2) - 1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(x(2)) = 2(\ln 2)^2 - 1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $x dy = y dx$
બંને બાજુ $xy$ વડે ભાગતા ($x, y \neq 0$ ધારીને): $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
આથી મળે છે: $\ln|y| = \ln|x| + C$
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,અચળાંક $C$ ને $\ln|c|$ તરીકે લખી શકાય: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|y| = \ln|cx|$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = cx$
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓની શ્રેણી દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અને $y$-યામનો ગુણાકાર $x$-યામ જેટલો છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} \cdot y = x$
ચલને અલગ કરતા:
$y \, dy = x \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int x \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$
વક્ર બિંદુ $(0, -2)$ માંથી પસાર થાય છે. $x = 0$ અને $y = -2$ મૂકતા:
$\frac{(-2)^2}{2} = \frac{0^2}{2} + C$
$\frac{4}{2} = 0 + C \Rightarrow C = 2$
$C = 2$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + 2$
$2$ વડે ગુણતા:
$y^2 = x^2 + 4$
$y^2 - x^2 = 4$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = a$ છે.
બંને બાજુ $\cos^{-1}$ લેતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1} a$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int dy = \int \cos^{-1} a \, dx$ મળે.
આથી $y = x \cos^{-1} a + c$ .... $(1)$.
આપેલ પ્રારંભિક શરત $y(0) = 2$ મુજબ,સમીકરણ $(1)$ માં $x = 0$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = 0 \cdot \cos^{-1} a + c \Rightarrow c = 2$.
$c = 2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $y = x \cos^{-1} a + 2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$y - 2 = x \cos^{-1} a$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y - 2}{x} = \cos^{-1} a$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા,આપણને $\cos \left(\frac{y - 2}{x}\right) = a$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{2+\sin x}{1+y}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{1+y} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+y} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
આથી મળે: $\ln|1+y| = -\ln|2+\sin x| + C$.
શરત $y(0)=2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|1+2| = -\ln|2+\sin 0| + C \implies \ln 3 = -\ln 2 + C \implies C = \ln 3 + \ln 2 = \ln 6$.
તેથી,$\ln(1+y) = -\ln(2+\sin x) + \ln 6 = \ln\left(\frac{6}{2+\sin x}\right)$.
માટે,$1+y = \frac{6}{2+\sin x} \implies y = \frac{6}{2+\sin x} - 1$.
હવે,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ શોધો: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{6}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{6}{2+1} - 1 = \frac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$.

(A) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $v = x+y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dv}{dx} - 1 = v^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dv}{dx} = 1 + v^2$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dv}{1+v^2} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int \frac{dv}{1+v^2} = \int dx$ મળે છે.
આથી $\tan^{-1}(v) = x + c$ મળે છે.
$v = x+y$ પાછું મૂકતા,આપણને $\tan^{-1}(x+y) = x + c$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = 0.5$.
બંને બાજુ ઇન્વર્સ કોસાઇન લેતા: $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1}(0.5)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{3}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int dy = \int \frac{\pi}{3} dx$.
આથી $y = \frac{\pi}{3}x + C$ મળે છે.
શરત $x = 0$ આગળ $y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 = \frac{\pi}{3}(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{\pi}{3}x + 1$ છે.