Variable separable type differential equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3f^2(x) f'(x) = 2x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int 3f^2(x) f'(x) dx = \int 2x dx$.
$u = f(x)$ આદેશ લેતા,$du = f'(x) dx$,તેથી:
$\int 3u^2 du = x^2 + C$.
$u^3 = x^2 + C$,એટલે કે $f^3(x) = x^2 + C$.
$f(2) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 2$ અને $f(2) = 1$ મૂકતા:
$1^3 = 2^2 + C
1 = 4 + C
C = -3$.
આમ,વિધેય $f^3(x) = x^2 - 3$ છે.
$f(3)$ શોધવા માટે,$x = 3$ મૂકતા:
$f^3(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$.
તેથી,$f(3) = \sqrt[3]{6}$.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \cos(x + y) + \sin(x + y)$ આપેલ છે.
ધારો કે $u = x + y$,તેથી $\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{du}{dx} - 1 = \cos u + \sin u$.
$\frac{du}{dx} = 1 + \cos u + \sin u = 2 \cos^2(\frac{u}{2}) + 2 \sin(\frac{u}{2}) \cos(\frac{u}{2}) = 2 \cos^2(\frac{u}{2}) [1 + \tan(\frac{u}{2})]$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{\sec^2(\frac{u}{2})}{2(1 + \tan(\frac{u}{2}))} du = \int dx$.
ધારો કે $t = \tan(\frac{u}{2})$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{u}{2}) du$.
સંકલન કરતા: $\int \frac{dt}{1 + t} = \int dx$,જે $\ln(1 + t) = x + C$ આપે છે.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $u = x + y = 0$,અને $t = \tan(0) = 0$.
$x = 0, t = 0$ ને $\ln(1 + t) = x + C$ માં મૂકતા $C = 0$ મળે છે.
આમ,$\ln(1 + t) = x$,જેનો અર્થ છે $1 + t = e^x$,અથવા $t = e^x - 1$.
$t = \tan(\frac{x + y}{2})$ પાછું મૂકતા,$\tan(\frac{x + y}{2}) = e^x - 1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{x + y}{2} = \tan^{-1}(e^x - 1)$,જેનું સાદું રૂપ $y = 2 \tan^{-1}(e^x - 1) - x$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \ln y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x} + \frac{dy}{y \ln y} = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{x} + \int \frac{dy}{y \ln y} = C$.
ધારો કે $u = \ln y$,તેથી $du = \frac{1}{y} dy$. સંકલન કરતા: $\ln |x| + \ln |\ln y| = C$.
આને સાદું રૂપ આપતા: $\ln |x \ln y| = C$,અથવા $x \ln y = k$ જ્યાં $k = e^C$.
શરત $y(1) = e$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 \cdot \ln(e) = k \Rightarrow 1 \cdot 1 = k \Rightarrow k = 1$.
આમ,ઉકેલ $x \ln y = 1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x^2y \frac{dy}{dx} = \tan(x^2y^2) - 2xy^2$.
પદોને ગોઠવતા: $2x^2y \frac{dy}{dx} + 2xy^2 = \tan(x^2y^2)$.
અહીં ડાબી બાજુ એ $x^2y^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\frac{d}{dx}(x^2y^2) = 2x^2y \frac{dy}{dx} + 2xy^2$.
ધારો કે $z = x^2y^2$. તો સમીકરણ $\frac{dz}{dx} = \tan z$ બને છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \cot z \, dz = \int dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(\sin z) = x + C$.
$z = x^2y^2$ મૂકતા: $\ln(\sin(x^2y^2)) = x + C$.
આપેલ છે કે $y(1) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$,તેથી $x=1$ માટે $z = (1)^2 \cdot (\sqrt{\frac{\pi}{2}})^2 = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\ln(\sin(\frac{\pi}{2})) = 1 + C \Rightarrow \ln(1) = 1 + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$.
આમ,$\ln(\sin(x^2y^2)) = x - 1$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\sin(x^2y^2) = e^{x-1}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2(2x + y)}{1 + (2x + y)}$ છે.
ધારો કે $v = 2x + y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 2 + \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 2$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 2 = \frac{1 - 2v}{1 + v}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{1 - 2v}{1 + v} + 2 = \frac{1 - 2v + 2 + 2v}{1 + v} = \frac{3}{1 + v}$.
ચલને અલગ કરતા: $(1 + v) dv = 3 dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 + v) dv = \int 3 dx$.
$v + \frac{v^2}{2} = 3x + c_1 \Rightarrow 2v + v^2 = 6x + 2c_1$.
$v = 2x + y$ પાછું મૂકતા: $2(2x + y) + (2x + y)^2 = 6x + C$.
$4x + 2y + 4x^2 + 4xy + y^2 = 6x + C$.
$4x^2 + 4xy + y^2 - 2x + 2y + C = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y - x - 1}$ છે.
ધારો કે $y - x = t$,તેથી $\frac{dy}{dx} - 1 = \frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} + 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dt}{dx} + 1 = \frac{t}{t - 1}$.
$\frac{dt}{dx} = \frac{t}{t - 1} - 1 = \frac{t - (t - 1)}{t - 1} = \frac{1}{t - 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $(t - 1) dt = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (t - 1) dt = \int dx \Rightarrow \frac{t^2}{2} - t = x + C$.
$t = y - x$ મૂકતા: $\frac{(y - x)^2}{2} - (y - x) = x + C$.
$(y - x)^2 - 2(y - x) = 2x + 2C \Rightarrow (y - x)^2 - 2y + 2x = 2x + 2C \Rightarrow (y - x)^2 - 2y = K$.
$y(-5) = -5$ આપેલ હોવાથી,$(-5 - (-5))^2 - 2(-5) = K \Rightarrow 0 + 10 = K \Rightarrow K = 10$.
સમીકરણ $(y - x)^2 - 2y = 10$ મળે છે,જે $y^2 - 2xy + x^2 - 2y - 10 = 0$ છે.
વિવેચક $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$ છે. તેથી,આ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે છે.

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int\limits_0^x {t\,y(t)\,dt} = x^2y(x)$.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x\,y(x) = \frac{d}{dx}(x^2y(x))$
$x\,y(x) = x^2y'(x) + 2x\,y(x)$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2y'(x) + x\,y(x) = 0$.
$x$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x > 0$):
$x\,y'(x) + y(x) = 0$.
આ એક વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે:
$x\frac{dy}{dx} = -y$
$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln|y| = -\ln|x| + C$
$\ln|y| + \ln|x| = C$
$\ln|xy| = C$
$xy = k$,જ્યાં $k = e^C$.
વક્ર $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે:
$(2)(3) = k \implies k = 6$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $xy = 6$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $[f'(x)]^2 + 4f(x)f'(x) + f^2(x) = 0$.
ધારો કે $y = f(x)$,તો $f'(x) = \frac{dy}{dx}$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $(\frac{dy}{dx})^2 + 4y(\frac{dy}{dx}) + y^2 = 0$.
આ $\frac{dy}{dx}$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. દ્વિઘાત સૂત્ર $\frac{dy}{dx} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4y \pm \sqrt{(4y)^2 - 4(1)(y^2)}}{2(1)} = \frac{-4y \pm \sqrt{16y^2 - 4y^2}}{2} = \frac{-4y \pm \sqrt{12y^2}}{2} = \frac{-4y \pm 2\sqrt{3}y}{2} = (-2 \pm \sqrt{3})y$.
કિસ્સો $1$: $\frac{dy}{dx} = (-2 + \sqrt{3})y$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (-2 + \sqrt{3}) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y| = (-2 + \sqrt{3})x + k_1 \implies y = c_1 e^{(\sqrt{3} - 2)x}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{dy}{dx} = (-2 - \sqrt{3})y$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (-2 - \sqrt{3}) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y| = -(2 + \sqrt{3})x + k_2 \implies y = c_2 e^{-(2 + \sqrt{3})x}$.
આમ,બંને ઉકેલો માન્ય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = 1 + xy\frac{dy}{dx} + \frac{(xy)^2}{2!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \dots$ છે.
આ ઘાતાંકીય વિધેય $e^u$ ની ટેલર શ્રેણી છે,જ્યાં $u = xy\frac{dy}{dx}$.
તેથી,સમીકરણને $x = e^{xy\frac{dy}{dx}}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log_e x = xy\frac{dy}{dx}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$y \, dy = \frac{\log_e x}{x} \, dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y \, dy = \int \frac{\log_e x}{x} \, dx$.
ધારો કે $t = \log_e x$,તો $dt = \frac{1}{x} \, dx$.
તેથી,$\frac{y^2}{2} = \frac{(\log_e x)^2}{2} + C$.
$2$ વડે ગુણતા,$y^2 = (\log_e x)^2 + 2C$ મળે.
આમ,$y = \pm \sqrt{(\log_e x)^2 + 2C}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} + (\sin x)z = \sin x$.
પદોને ગોઠવતા: $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} = \sin x - (\sin x)z = -\sin x(z - 1)$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dz}{z - 1} = \frac{-\sin x}{2 + \cos x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dz}{z - 1} = \int \frac{-\sin x}{2 + \cos x} dx$.
ધારો કે $u = 2 + \cos x$,તો $du = -\sin x dx$.
તેથી,$\ln|z - 1| = \ln|2 + \cos x| + C$.
શરત $z(\frac{\pi}{2}) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|3 - 1| = \ln|2 + \cos(\frac{\pi}{2})| + C \implies \ln 2 = \ln 2 + C \implies C = 0$.
આમ,$z - 1 = 2 + \cos x \implies z = 3 + \cos x$.
હવે,$z(\frac{\pi}{3})$ શોધતા: $z(\frac{\pi}{3}) = 3 + \cos(\frac{\pi}{3}) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy + y dx - \sqrt{1 - x^2 y^2} dx = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $x dy + y dx = \sqrt{1 - x^2 y^2} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = x dy + y dx$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $d(xy) = \sqrt{1 - (xy)^2} dx$.
બંને બાજુ $\sqrt{1 - (xy)^2}$ વડે ભાગતા: $\frac{d(xy)}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(xy)}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = \int dx$.
પરિણામ મળે છે: $\sin^{-1}(xy) = x + c$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા: $xy = \sin(x + c)$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\left( {1 + {e^{2y}}} \right){e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}dx = \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {{e^y} + {{\left( {{e^y} - 1} \right)}^2}} \right)dy$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{1 + {x^2}}}dx = \frac{{{e^y} + {e^{2y}} - 2{e^y} + 1}}{{1 + {e^{2y}}}}dy = \frac{{{e^{2y}} - {e^y} + 1}}{{1 + {e^{2y}}}}dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{1 + {x^2}}}dx = \int \frac{{{e^{2y}} - {e^y} + 1}}{{1 + {e^{2y}}}}dy$
ધારો કે $u = \tan^{-1}x$,તો $du = \frac{1}{1+x^2}dx$. ડાબી બાજુ $\int e^u du = e^u = e^{\tan^{-1}x}$ થાય.
જમણી બાજુ માટે: $\int \frac{e^{2y}+1-e^y}{1+e^{2y}} dy = \int (1 - \frac{e^y}{1+e^{2y}}) dy = y - \int \frac{e^y}{1+(e^y)^2} dy$.
ધારો કે $v = e^y$,તો $dv = e^y dy$. સંકલન $y - \tan^{-1}(e^y) + C$ થાય.
બંને બાજુ સરખાવતા: $e^{\tan^{-1}x} = y - \tan^{-1}(e^y) + C$.
ગોઠવતા: $\tan^{-1}(e^y) = y - e^{\tan^{-1}x} + C$.
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા: $e^y = \tan(y - e^{\tan^{-1}x} + C)$.
નેચરલ લોગ લેતા: $y = \ln(\tan(y - e^{\tan^{-1}x} + C))$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{2y}(1 + \ln x)dx + \csc y(2 + \cot y)dy = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\csc y(2 + \cot y)dy = -e^{2y}(1 + \ln x)dx$.
$e^{2y}$ વડે ભાગતા: $e^{-2y}(\csc y(2 + \cot y))dy = -(1 + \ln x)dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-2y}(2\csc y + \csc y \cot y)dy = -\int (1 + \ln x)dx$.
ધારો કે $f(y) = e^{-2y} \csc y$. તો $f'(y) = e^{-2y}(-\csc y \cot y) + (-2)e^{-2y} \csc y = -e^{-2y}(\csc y \cot y + 2 \csc y)$.
આમ,ડાબી બાજુનું સંકલન $-e^{-2y} \csc y$ થાય છે.
જમણી બાજુનું સંકલન $-\int (1 + \ln x)dx = -(x \ln x) + C$ થાય છે.
તેથી,$-e^{-2y} \csc y = -x \ln x + C$,જેનું સાદું રૂપ $x \ln x + C = e^{-2y} \csc y = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ થાય છે.
શરત $y(1) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ અને $y=\frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$1 \cdot \ln(1) + C = \frac{e^{-2(\pi/2)}}{\sin(\pi/2)} \Rightarrow 0 + C = \frac{e^{-\pi}}{1} \Rightarrow C = e^{-\pi}$.
તેથી,ઉકેલ $x \ln x + e^{-\pi} = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}$.
ચલને અલગ કરતા: $3y \, dy = 2x \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int 3y \, dy = \int 2x \, dx$.
આથી મળે: $\frac{3y^2}{2} = x^2 + C_1$,અથવા $3y^2 = 2x^2 + C$.
પદોને ગોઠવતા: $2x^2 - 3y^2 = -C$,જે $Ax^2 - By^2 = K$ સ્વરૂપમાં છે.
વક્ર બિંદુ $(\sqrt{2}, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આ કિંમતો મૂકતા: $2(\sqrt{2})^2 - 3(1)^2 = K \implies 2(2) - 3 = K \implies K = 1$.
વક્રનું સમીકરણ $2x^2 - 3y^2 = 1$ છે.
આ સમીકરણ અતિવલય (hyperbola) દર્શાવે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x dy + y dx = d(xy)$.
આપેલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{d(xy)}{dx}$.
તેથી,$\frac{d(xy)}{dx} = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
$\ln|f(xy)| = \frac{x^2}{2} + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $f(xy) = e^{\frac{x^2}{2} + C} = k e^{x^2/2}$,જ્યાં $k = e^C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $xdx + ydy = \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(x^2 + y^2) = 2xdx + 2ydy$,જેનો અર્થ છે કે $xdx + ydy = \frac{1}{2} d(x^2 + y^2)$.
વધુમાં,આપણે જાણીએ છીએ કે $d(\tan^{-1}(y/x)) = \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot d(y/x) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{xdy - ydx}{x^2} = \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} d(x^2 + y^2) = d(\tan^{-1}(y/x))$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2}(x^2 + y^2) = \tan^{-1}(y/x) + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d}{dy} \left( \int_x^y dt \right) = x$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dy} \int_x^y dt = 1 - \frac{dx}{dy}$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - \frac{dx}{dy} = x$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = 1 - x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{1 - x} = dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{1 - x} = \int dy$.
$-\ln|1 - x| = y + C_1$,જેને $y = -\ln|1 - x| + C$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$
ચલને અલગ કરતા:
$\sec^2 x \tan y \, dx = -\sec^2 y \tan x \, dy$
બંને બાજુ $\tan x \tan y$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx = -\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
$\ln |\tan x| = -\ln |\tan y| + C$
$\ln |\tan x| + \ln |\tan y| = C$
$\ln |\tan x \tan y| = C$
$\tan x \tan y = e^C = K$
શરત $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\frac{\pi}{4}) \tan(\frac{\pi}{3}) = K$
$1 \times \sqrt{3} = K \implies K = \sqrt{3}$
તેથી,ઉકેલ $\tan x \tan y = \sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)y}{(y-1)x}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{y-1}{y} dy = \frac{1+x}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (1 - \frac{1}{y}) dy = \int (1 + \frac{1}{x}) dx$
$y - \log|y| = x + \log|x| + c$
પદોને ગોઠવતા:
$y - x - c = \log|x| + \log|y|$
$y - x - c = \log|xy|$
$\log|xy| + x - y = -c$
કારણ કે $-c$ પણ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે,તેથી આપણે તેને $C$ તરીકે લખી શકીએ:
$\log|xy| + x - y = C$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x+1)}{x(y+1)}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{y+1}{y} dy = \frac{x+1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (1 + \frac{1}{y}) dy = \int (1 + \frac{1}{x}) dx$
$y + \ln|y| = x + \ln|x| + C$
પદોને ગોઠવતા:
$y - x = \ln|x| - \ln|y| + C$
$y - x = \ln|\frac{x}{y}| + C$
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
વક્ર બિંદુ $\left( 2, \frac{7}{2} \right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $C$ શોધવા માટે આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{7}{2} = 2 + \frac{1}{2} + C$
$\frac{7}{2} = \frac{5}{2} + C$
$C = 1$
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x + \frac{1}{x} + 1$ છે.
જ્યારે $x = -2$ હોય ત્યારે કોટિ (ordinate) શોધવા માટે:
$y = -2 + \frac{1}{-2} + 1$
$y = -2 - 0.5 + 1 = -1.5 = -\frac{3}{2}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{(2 + \sin x)}{(1 + y)} \frac{dy}{dx} = \cos x$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{1 + y} = \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1 + y} = \int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx.$
આનાથી $\ln(1 + y) = \ln(2 + \sin x) + \ln C$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$1 + y = C(2 + \sin x).$
આપેલ છે કે $y(0) = 2,$ તેથી $x = 0$ અને $y = 2$ મૂકતા,$1 + 2 = C(2 + \sin 0) \Rightarrow 3 = 2C \Rightarrow C = \frac{3}{2}.$
હવે,$y\left( \frac{\pi}{2} \right)$ શોધવા માટે $x = \frac{\pi}{2}$ અને $C = \frac{3}{2}$ ને સમીકરણ $1 + y = \frac{3}{2}(2 + \sin x)$ માં મૂકતા:
$1 + y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{2}(2 + \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{2}(2 + 1) = \frac{3}{2}(3) = \frac{9}{2}.$
તેથી,$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}.$

(B) ધારો કે $u = x - y$. તેથી $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = u^2$ મૂકતા,આપણને $1 - \frac{du}{dx} = u^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{du}{dx} = 1 - u^2$.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{du}{1 - u^2} = dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{du}{1 - u^2} = \int dx$,જે $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| = x + C$ આપે છે.
$u = x - y$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x + C$ મળે છે.
શરત $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 1, y = 1$,તેથી $u = 1 - 1 = 0$.
$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + 0}{1 - 0} \right| = 1 + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$.
આમ,$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x - 1$,જેનું સાદું રૂપ $\log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = 2(x - 1)$ થાય છે.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,$- \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = -2(x - 1)$,જે $- \log_e \left| \frac{1 - x + y}{1 + x - y} \right| = 2(x - 1)$ ને સમાન છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-y^{2}} = 0$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
આનાથી મળે છે: $\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + C$,અથવા $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = C$.
આપેલ છે કે $y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = C$.
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,સમીકરણ $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ છે.
નિત્યસમ $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^{-1} y = \cos^{-1} x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$.
હવે,$y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ શોધવા માટે,$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$y = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{2-y}$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2-y) dy = (x+1) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (2-y) dy = \int (x+1) dx$
સંકલન કરતા:
$2y - \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + x + C_1$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$4y - y^2 = x^2 + 2x + 2C_1$
પદોને ગોઠવતા વ્યાપક ઉકેલ મળે છે:
$x^2 + y^2 + 2x - 4y + C = 0$,જ્યાં $C = 2C_1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{1+u^2} = \tan^{-1} u + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y^2} = -4x dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y^{-2} dy = -4 \int x dx$ મળે.
આથી $-\frac{1}{y} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + C$,જેનું સાદું રૂપ $-\frac{1}{y} = -2x^2 + C$ થાય છે.
$-1$ વડે ગુણતા,$\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ મળે.
આપેલ છે કે $x = 0$ ત્યારે $y = 1$,તેથી $\frac{1}{1} = 2(0)^2 - C$,જેનો અર્થ છે કે $1 = -C$,એટલે કે $C = -1$.
$C = -1$ ની કિંમત $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ માં મૂકતા,$\frac{1}{y} = 2x^2 - (-1) = 2x^2 + 1$ મળે છે.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{1}{2x^2 + 1}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy = (2x^2 + 1) dx$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ હોવાથી),આપણને $dy = (2x + \frac{1}{x}) dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int dy = \int (2x + \frac{1}{x}) dx$.
તેથી,$y = x^2 + \log |x| + C$ મળે છે.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 1$ મુકતા:
$1 = (1)^2 + \log |1| + C$.
$1 = 1 + 0 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
$C = 0$ ની કિંમત સામાન્ય ઉકેલમાં મુકતા,આપણને માંગેલ વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + \log |x|$ મળે છે.

(A) વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $y^2 dy = 2x dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y^2 dy = \int 2x dx$.
આનાથી $\frac{y^3}{3} = x^2 + C$ મળે છે.
વક્ર બિંદુ $(-2, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = -2$ અને $y = 3$ મૂકીએ છીએ:
$\frac{3^3}{3} = (-2)^2 + C$
$\frac{27}{3} = 4 + C$
$9 = 4 + C$
$C = 5$.
$C = 5$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{y^3}{3} = x^2 + 5$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \tan^2 \frac{x}{2}$.
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ હોવાથી:
$\frac{dy}{dx} = \sec^2 \frac{x}{2} - 1$.
ચલને અલગ કરતા:
$dy = (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int dy = \int (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) dx$.
$y = 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$.
આમ,માંગેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{\sqrt{4 - y^2}} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{\sqrt{2^2 - y^2}} = \int dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin^{-1}(\frac{y}{2}) = x + C$.
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા:
$\frac{y}{2} = \sin(x + C)$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ છે:
$y = 2 \sin(x + C)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + y = 1$ $(y \neq 1)$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = 1 - y$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{1 - y} = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{1 - y} = \int dx$
$-\log|1 - y| = x + C_1$
$\log|1 - y| = -x - C_1$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$|1 - y| = e^{-x - C_1} = e^{-C_1} \cdot e^{-x}$
$1 - y = \pm e^{-C_1} e^{-x}$
ધારો કે $A = \mp e^{-C_1}$,તો:
$1 - y = Ae^{-x}$
$y = 1 - Ae^{-x}$
અહીં $A$ એ સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,વ્યાપક ઉકેલ $y = 1 + Ce^{-x}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec^{2} x \tan y \, dx + \sec^{2} y \tan x \, dy = 0$ છે.
બંને બાજુ $\tan x \tan y$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy = C_1$.
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^{2} x \, dx$.
ધારો કે $v = \tan y$,તેથી $dv = \sec^{2} y \, dy$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{u} \, du + \int \frac{1}{v} \, dv = C_1$.
$\ln|u| + \ln|v| = C_1$.
$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = C_1$.
$\ln|\tan x \tan y| = C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$\tan x \tan y = e^{C_1} = C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(e^{x}+e^{-x}) dy = (e^{x}-e^{-x}) dx$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $dy = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int dy = \int \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} dx + C$.
ધારો કે $t = e^{x}+e^{-x}$,તેથી $dt = (e^{x}-e^{-x}) dx$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $y = \int \frac{1}{t} dt + C$.
સંકલન કરતા: $y = \log|t| + C$ મળે.
$t = e^{x}+e^{-x}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ: $y = \log(e^{x}+e^{-x}) + C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1+y^2)$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{1+y^2} = (1+x^2) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{1+y^2} = \int (1+x^2) dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{dy}{1+y^2} = \tan^{-1} y$ અને $\int (1+x^2) dx = x + \frac{x^3}{3} + C$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ છે: $\tan^{-1} y = x + \frac{x^3}{3} + C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ છે: $y \log y \, dx - x \, dy = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $y \log y \, dx = x \, dy$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{y \log y} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y \log y} = \int \frac{dx}{x}$
ધારો કે $t = \log y$,તેથી $dt = \frac{1}{y} \, dy$
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા: $\int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x}$
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે: $\log |t| = \log |x| + \log |C|$
$\log |\log y| = \log |Cx|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log y = Cx$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ છે: $y = e^{Cx}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^{5} \frac{dy}{dx} = -y^{5}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y^{5}} = -\frac{dx}{x^{5}}$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{x^{5}} + \frac{dy}{y^{5}} = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int x^{-5} dx + \int y^{-5} dy = k$ (જ્યાં $k$ એ સ્વૈર અચળાંક છે)
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x^{-4}}{-4} + \frac{y^{-4}}{-4} = k$
$-4$ વડે ગુણતા: $x^{-4} + y^{-4} = -4k$
ધારો કે $C = -4k$,તેથી વ્યાપક ઉકેલ: $x^{-4} + y^{-4} = C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y = \int \sin^{-1} x \, dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \sin^{-1} x$ અને $dv = dx$ લેતા. તેથી $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ અને $v = x$ મળે.
$y = x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
ધારો કે $t = 1 - x^2$,તો $dt = -2x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$.
$y = x \sin^{-1} x - \int \frac{-1/2}{\sqrt{t}} dt$
$y = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$
$y = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C$
$y = x \sin^{-1} x + \sqrt{t} + C$
$y = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{x} \tan y \, dx + (1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $(1 - e^{x}) \sec^{2} y \, dy = -e^{x} \tan y \, dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy = \frac{-e^{x}}{1 - e^{x}} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy = \int \frac{-e^{x}}{1 - e^{x}} \, dx$.
ડાબી બાજુ માટે,ધારો કે $\tan y = u$,તો $\sec^{2} y \, dy = du$. તેથી,$\int \frac{du}{u} = \ln|u| = \ln|\tan y|$.
જમણી બાજુ માટે,ધારો કે $1 - e^{x} = t$,તો $-e^{x} \, dx = dt$. તેથી,$\int \frac{dt}{t} = \ln|t| = \ln|1 - e^{x}|$.
આ બંનેને જોડતા: $\ln|\tan y| = \ln|1 - e^{x}| + \ln|C|$.
લઘુગણકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|\tan y| = \ln|C(1 - e^{x})|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,આપણને વ્યાપક ઉકેલ મળે છે: $\tan y = C(1 - e^{x})$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$(x^{3}+x^{2}+x+1) \frac{dy}{dx} = 2x^{2}+x$
છેદનું અવયવીકરણ કરતા: $(x^{2}(x+1) + 1(x+1)) \frac{dy}{dx} = 2x^{2}+x$
$(x+1)(x^{2}+1) \frac{dy}{dx} = 2x^{2}+x$
$dy = \frac{2x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)} dx$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$
$2x^{2}+x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1)$
$x = -1$ લેતા: $2(-1)^{2} + (-1) = A((-1)^{2}+1) \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$
$x^{2}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B = 2 \Rightarrow \frac{1}{2} + B = 2 \Rightarrow B = \frac{3}{2}$
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $A+C = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$
સંકલન કરતા: $\int dy = \int \frac{1/2}{x+1} dx + \int \frac{3/2x - 1/2}{x^{2}+1} dx$
$y = \frac{1}{2} \log|x+1| + \frac{3}{4} \log(x^{2}+1) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C$
$y = \frac{1}{4} [2 \log|x+1| + 3 \log(x^{2}+1)] - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C$
$y = \frac{1}{4} \log[(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{3}] - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C$
આપેલ છે કે $y=1$ જ્યારે $x=0$: $1 = \frac{1}{4} \log(1) - 0 + C \Rightarrow C = 1$
આમ,$y = \frac{1}{4} \log[(x+1)^{2}(x^{2}+1)^{3}] - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + 1$

(C) $x(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow dy = \frac{dx}{x(x-1)(x+1)}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int dy = \int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} dx \quad \dots(1)$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$
$1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$
$x=0$ માટે,$1 = A(-1)(1) \Rightarrow A = -1$
$x=1$ માટે,$1 = B(1)(2) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$
$x=-1$ માટે,$1 = C(-1)(-2) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા:
$y = -\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx$
$y = -\log |x| + \frac{1}{2} \log |x-1| + \frac{1}{2} \log |x+1| + C_1$
$y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{(x-1)(x+1)}{x^2} \right| + C_1 = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2-1}{x^2} \right| + C_1$
આપેલ છે કે $y=0$ જ્યારે $x=2$:
$0 = \frac{1}{2} \log \left| \frac{4-1}{4} \right| + C_1 \Rightarrow 0 = \frac{1}{2} \log \left( \frac{3}{4} \right) + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2} \log \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{4}{3} \right)$
આમ,$y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2-1}{x^2} \right| + \frac{1}{2} \log \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{1}{2} \log \left| \frac{4(x^2-1)}{3x^2} \right|$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = a$.
બંને બાજુ $\cos^{-1}$ લેતા: $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1}(a)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int dy = \int \cos^{-1}(a) dx$.
આથી મળે છે: $y = x \cos^{-1}(a) + C$ $(1)$.
આપેલ શરત મુજબ જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $y = 1$: $1 = 0 \cdot \cos^{-1}(a) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1$.
સમીકરણ $(1)$ માં $C = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $y = x \cos^{-1}(a) + 1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y \tan x$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = \tan x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \int \tan x \, dx$.
આનાથી $\ln |y| = \ln |\sec x| + C$ મળે છે,જેને $\ln |y| = \ln |C \sec x|$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,$y = C \sec x$ એ વ્યાપક ઉકેલ છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $y = 1$,તેથી આ કિંમતો મૂકતા: $1 = C \sec(0)$.
કારણ કે $\sec(0) = 1$,તેથી $1 = C \times 1$,એટલે કે $C = 1$.
$C = 1$ ને વ્યાપક ઉકેલમાં મૂકતા,આપણને વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \sec x$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $xy \frac{dy}{dx} = (x+2)(y+2)$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left( \frac{y}{y+2} \right) dy = \left( \frac{x+2}{x} \right) dx$
$\Rightarrow \left( 1 - \frac{2}{y+2} \right) dy = \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \left( 1 - \frac{2}{y+2} \right) dy = \int \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx$
$y - 2 \log |y+2| = x + 2 \log |x| + C$
$y - x - C = 2 \log |x| + 2 \log |y+2|$
$y - x - C = \log \left[ x^2 (y+2)^2 \right] \quad \dots(1)$
વક્ર બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$-1 - 1 - C = \log \left[ (1)^2 (-1+2)^2 \right]$
$-2 - C = \log(1) = 0 \Rightarrow C = -2$
સમીકરણ $(1)$ માં $C = -2$ મૂકતા:
$y - x + 2 = \log \left[ x^2 (y+2)^2 \right]$.

(A) ધારો કે કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ અને $y$-યામનો ગુણાકાર $x$-યામ જેટલો છે:
$y \frac{dy}{dx} = x$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y \, dy = x \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int x \, dx$
$\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$
$y^{2} - x^{2} = 2C$
ધારો કે $2C = K$,તેથી $y^{2} - x^{2} = K$.
વક્ર બિંદુ $(0, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = -2$ મૂકતા:
$(-2)^{2} - (0)^{2} = K$
$4 = K$
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y^{2} - x^{2} = 4$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$.
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{e^y} = e^x dx$,જે $e^{-y} dy = e^x dx$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$.
આથી મળે છે: $-e^{-y} = e^x + k$,જ્યાં $k$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
પદોને ગોઠવતા: $e^x + e^{-y} = -k$.
ધારો કે $C = -k$,તેથી વ્યાપક ઉકેલ: $e^x + e^{-y} = C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(x+y \frac{dy}{dx}\right)=1$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $y \frac{dy}{dx} = 1 - x$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{y}$.
ચલને અલગ કરતા: $y \, dy = (1-x) \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int y \, dy = \int (1-x) \, dx$.
$\frac{y^2}{2} = x - \frac{x^2}{2} + C_1$.
$2$ વડે ગુણતા: $y^2 = 2x - x^2 + 2C_1$.
ફરીથી ગોઠવતા: $x^2 + y^2 - 2x = C$ (જ્યાં $C = 2C_1$).
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x^2 + y^2 - 2x = C$ છે.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log \left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ છે.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે તેને $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આને $\frac{d y}{d x}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{d y}{e^{4 y}}=e^{3 x} d x$ મળે છે,જે $e^{-4 y} d y=e^{3 x} d x$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x$ મળે છે.
આનાથી $\frac{e^{-4 y}}{-4}=\frac{e^{3 x}}{3}+C$ મળે છે.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને $-3 e^{-4 y}=4 e^{3 x}+12 C$ મળે છે,અથવા $4 e^{3 x}+3 e^{-4 y}+K=0$,જ્યાં $K=12 C$.
આપેલ છે કે $x=0$ ત્યારે $y=0$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $4 e^{0}+3 e^{0}+K=0 \implies 4+3+K=0 \implies K=-7$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $4 e^{3 x}+3 e^{-4 y}-7=0$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}} = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
આથી,$\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + C$ મળે છે.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = C$ છે.

આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1} = 0$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y^{2}+y+1} = -\frac{dx}{x^{2}+x+1}$
$\Rightarrow \frac{dy}{y^{2}+y+1} + \frac{dx}{x^{2}+x+1} = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{(y+\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} + \int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = C$
સૂત્ર $\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = C$
$\Rightarrow \tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) + \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{3}C}{2} = K$ (જ્યાં $K$ અચળાંક છે)
બંને બાજુ $\tan$ લેતા અને $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{\frac{2y+1}{\sqrt{3}} + \frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 - (\frac{2y+1}{\sqrt{3}})(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})} = \tan K = A'$
$\Rightarrow \frac{2x+2y+2}{\sqrt{3}} = A'(1 - \frac{4xy+2x+2y+1}{3})$
$\Rightarrow \frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}} = A'(\frac{3-4xy-2x-2y-1}{3}) = A'(\frac{2-2x-2y-4xy}{3})$
$\Rightarrow x+y+1 = A(1-x-y-2xy)$,જ્યાં $A$ એક નવો અચળાંક છે.