Linear differential equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $\int f(x) \, dx = x e^{-\log |x|} + f(x)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{-\log |x|} = e^{\log |x|^{-1}} = |x|^{-1} = \frac{1}{|x|}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\int f(x) \, dx = x \cdot \frac{1}{|x|} + f(x)$ મળે છે.
ધારો કે $x > 0$,તો $|x| = x$,તેથી $\int f(x) \, dx = 1 + f(x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f(x) = 0 + f'(x)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) = f(x)$.
આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{df}{dx} = f(x)$ છે,જેને $\frac{df}{f} = dx$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\log |f(x)| = x + C$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = e^{x+C} = c e^x$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \sec x(\sec x + \tan x)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \sec x \tan x$
$y$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ:
$y = \int (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sec^2 x dx = \tan x$ અને $\int \sec x \tan x dx = \sec x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \tan x + \sec x + c$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -1$ અને $Q(x) = 1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x}$ મળે છે,જે $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$y e^{-x} = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$ મળે છે.
આમ,$y = -1 + C e^x$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = -1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = -1$ મૂકતા:
$-1 = -1 + C e^0 \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$.
$C = 0$ ને સામાન્ય ઉકેલમાં મૂકતા,આપણને $y(x) = -1$ મળે છે.

(C) વિકલ સમીકરણ સુરેખ ત્યારે કહેવાય જ્યારે પરતંત્ર ચલ $y$ અને તેના વિકલિતો માત્ર પ્રથમ ઘાતમાં હોય અને તેમનો ગુણાકાર થયેલો ન હોય.
વિકલ્પ $A$ માં,$(\frac{d^2y}{dx^2})^2$ પદની ઘાત $2$ છે,તેથી તે સુરેખ નથી.
વિકલ્પ $B$ માં,$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ પદને કારણે સમીકરણ સુરેખ નથી કારણ કે વિકલિત વર્ગમૂળમાં છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \log x$ એ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \log x$ છે. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $D$ માં,$y\frac{dy}{dx}$ પદમાં પરતંત્ર ચલ અને તેના વિકલિતનો ગુણાકાર છે,તેથી તે સુરેખ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = x^m \cos x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \sec x = \int (x^m \cos x) \cdot \sec x dx + c$.
કારણ કે $\cos x \cdot \sec x = 1$,સમીકરણ સરળ બને છે:
$y \sec x = \int x^m dx + c$.
$x^m$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y \sec x = \frac{x^{m + 1}}{m + 1} + c$.
બંને બાજુ $(m + 1) \cos x$ વડે ગુણતા:
$(m + 1) y = x^{m + 1} \cos x + c(m + 1) \cos x$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$
પદોને $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ બનાવવા માટે ગોઠવતા:
$(1 + y^2)dx = (\tan^{-1} y - x)dy$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2} - \frac{x}{1 + y^2}$
બંને બાજુ $\frac{x}{1 + y^2}$ ઉમેરતા:
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1 + y^2}x = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1 + y^2}$ અને $Q = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + {x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 4{x^2}$ છે.
$(1 + {x^2})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{{dy}}{{dx}} + \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}y = \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}}$ મળે છે.
આ $\frac{{dy}}{{dx}} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}$ અને $Q = \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ દ્વારા મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y(1 + {x^2}) = \int \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}} (1 + {x^2}) dx + c$.
$y(1 + {x^2}) = \int 4{x^2} dx + c = \frac{{4{x^3}}}{3} + c$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા: $0(1+0) = 0 + c$,જે $c = 0$ આપે છે.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y(1 + {x^2}) = \frac{{4{x^3}}}{3}$,અથવા $3y(1 + {x^2}) = 4{x^3}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x^2$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીશું:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \times x = \int (x^2 \times x) dx + c$.
$xy = \int x^3 dx + c$.
$xy = \frac{x^4}{4} + c$.
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા,આપણને $4xy = x^4 + 4c$ મળે છે.
$4c$ એ એક સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,આપણે તેને $c$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,ઉકેલ $4xy = x^4 + c$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x^2 + 3x + 2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x + 3 + \frac{2}{x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x + 3 + \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે.
ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y(x) = \int (x + 3 + \frac{2}{x})x dx + c$.
$xy = \int (x^2 + 3x + 2) dx + c$.
$xy = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^2}{1 + x^3}y = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{3x^2}{1 + x^3}$ અને $Q = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^2}{1 + x^3} dx} = e^{\ln(1 + x^3)} = 1 + x^3$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y(1 + x^3) = \int \frac{\sin^2 x}{1 + x^3} \cdot (1 + x^3) dx + c$
$y(1 + x^3) = \int \sin^2 x dx + c$
નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y(1 + x^3) = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx + c$
$y(1 + x^3) = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx + c$
$y(1 + x^3) = \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2x}{2}) + c$
$y(1 + x^3) = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c$.

(B) વિકલ સમીકરણ સુરેખ ત્યારે કહેવાય જ્યારે પરતંત્ર ચલ $y$ અને તેનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ માત્ર પ્રથમ ઘાતમાં હોય અને તેમનો ગુણાકાર ન થયેલો હોય.
વિકલ્પ $(b)$ એ $x^2\frac{dy}{dx} + y = e^x$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x^2}y = \frac{e^x}{x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ ના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x^2}$ અને $Q = \frac{e^x}{x^2}$ છે.
તેથી,આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $x\frac{dy}{dx} + 3y = x$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ભાગતા તે પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં ફેરવાય છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y = 1$.
અહીં,$P = \frac{3}{x}$ અને $Q = 1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ ની ગણતરી કરતા:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln|x|} = e^{\ln|x^3|} = x^3$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot x^3 = \int 1 \cdot x^3 dx + c$.
$y x^3 = \frac{x^4}{4} + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = \cos x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^x = \int \cos x \cdot e^x dx + c$.
$\int e^x \cos x dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ધારો કે $I = \int e^x \cos x dx$.
$I = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$.
ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^x \cos x + (e^x \sin x - \int e^x \cos x dx) = e^x \cos x + e^x \sin x - I$.
$2I = e^x(\cos x + \sin x) \implies I = \frac{1}{2} e^x(\cos x + \sin x)$.
આમ,$y e^x = \frac{1}{2} e^x(\cos x + \sin x) + c$.
$e^x$ વડે ભાગતા,$y = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x) + ce^{-x}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cot x$ અને $Q = 2 \cos x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \sin x = \int (2 \cos x \sin x) dx + c$.
નિત્યસમ $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$y \sin x = \int \sin 2x dx + c$.
$\sin 2x$ નું સંકલન કરતા,$y \sin x = -\frac{\cos 2x}{2} + c$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2y \sin x = -\cos 2x + 2c$.
પદોને ગોઠવતા,$2y \sin x + \cos 2x = C$ (જ્યાં $C = 2c$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} - y = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} = y$ મળે.
આને $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$ તરીકે લખી શકાય.
સાદું રૂપ આપતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + 2y^2$,અથવા $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$ મળે.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = 2y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ એ $e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ દ્વારા મળે છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dy + A$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + A$ મળે.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y dy + A$.
$x \cdot \frac{1}{y} = y^2 + A$.
$y$ વડે ગુણતા,$x = y^3 + Ay$ મળે,જેને $y^3 - x = -Ay$ તરીકે લખી શકાય. $A$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક હોવાથી,ઉકેલને $y^3 - x = Ay$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ છે.
આ બર્નુલીનું સમીકરણ છે જે $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n = 2$ છે.
બંને બાજુ $y^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \tan x = - \sec x$ ..... $(i)$
ધારો કે $v = y^{-1} = \frac{1}{y}$. તેથી $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-\frac{dv}{dx} - v \tan x = - \sec x$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dv}{dx} + v \tan x = \sec x$
આને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ સાથે સરખાવતા,$P(x) = \tan x$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ છે:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$ છે.
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નું સૂત્ર $e^{\int P \, dx}$ છે.
$I.F. = e^{\int \tan x \, dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = a$ અને $Q = e^{mx}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int a dx} = e^{ax}$ દ્વારા મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot e^{ax} = \int e^{mx} \cdot e^{ax} dx + C$.
$y \cdot e^{ax} = \int e^{(a+m)x} dx + C$.
$y \cdot e^{ax} = \frac{e^{(a+m)x}}{a+m} + C$.
બંને બાજુ $e^{ax}$ વડે ભાગતા,$y = \frac{e^{mx}}{a+m} + C e^{-ax}$ મળે છે.
$(a+m)$ વડે ગુણતા,$(a+m)y = e^{mx} + C(a+m)e^{-ax}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધવાનું સૂત્ર $I.F. = e^{\int P \, dx}$ છે.
$P = \tan x$ મૂકતા,$I.F. = e^{\int \tan x \, dx}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \tan x \, dx = \ln|\sec x|$,તેથી $I.F. = e^{\ln(\sec x)}$ થાય.
ગુણધર્મ $e^{\ln(f(x))} = f(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$I.F. = \sec x$ મળે.
આમ,$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ છે.
બંને બાજુ $x \log x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
ધારો કે $\log x = t$,તો $\frac{1}{x} dx = dt$.
તેથી,$I.F. = e^{\int \frac{1}{t} dt} = e^{\log t} = t = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx$.
ધારો કે $\log x = u$,તો $\frac{1}{x} dx = du$.
$y \log x = \int 2u du = u^2 + c$.
$u = \log x$ મૂકતા,આપણને $y \log x = (\log x)^2 + c$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (2 \cot x)y = 3x^2 \csc^2 x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \cot x$ અને $Q = 3x^2 \csc^2 x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \cot x dx} = e^{2 \ln|\sin x|} = e^{\ln(\sin^2 x)} = \sin^2 x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \sin^2 x = \int (3x^2 \csc^2 x) \cdot \sin^2 x dx$.
કારણ કે $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$,તેથી પદ સાદું રૂપ પામતા:
$y \sin^2 x = \int 3x^2 dx$.
$3x^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા $x^3$ મળે છે.
આમ,$y \sin^2 x = x^3 + c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y + x^2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log_e x} = e^{\log_e (x^{-1})} = \frac{1}{x}$ મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + a$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \cdot \frac{1}{x} = \int x \cdot \frac{1}{x} dx + a$.
$\frac{y}{x} = \int 1 dx + a$.
$\frac{y}{x} = x + a$.
તેથી,$y = x^2 + ax$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x^3 - 3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધવાનું સૂત્ર $I.F. = e^{\int P dx}$ છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા,$I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{1}{x} dx = \log_e x$,તેથી $I.F. = e^{\log_e x}$ થાય.
$e^{\log_e x} = x$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,સંકલ્યકારક અવયવ $x$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ મળે છે: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
વ્યાપક ઉકેલ આ મુજબ છે: $y \times (I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + c$
કિંમતો મૂકતા: $y \sec x = \int (\sec x \times \sec x) dx + c$
$y \sec x = \int \sec^2 x dx + c$
$y \sec x = \tan x + c$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ છે,જે $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \tan x$ અને $Q = \sin x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln |\sec^2 x|} = \sec^2 x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx + c$.
કારણ કે $\sin x \cdot \sec^2 x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \tan x \sec x$,તેથી:
$y \sec^2 x = \int \tan x \sec x dx + c$.
$\int \tan x \sec x dx$ નું સંકલન કરતા,આપણને $\sec x$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ $y \sec^2 x = \sec x + c$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $P = \sec^2 x$ અને $Q = \tan x \sec^2 x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P \, dx} = e^{\int \sec^2 x \, dx} = e^{\tan x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y e^{\tan x} = \int (\tan x \sec^2 x) e^{\tan x} \, dx + c$.
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x \, dx$.
સંકલન $\int u e^u \, du$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u = e^u(u - 1)$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + c$.
બંને બાજુ $e^{\tan x}$ વડે ભાગતા:
$y = \tan x - 1 + c e^{-\tan x}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 - x^2)\frac{dy}{dx} - xy = 1$ છે.
બંને બાજુ $(1 - x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1 - x^2}y = \frac{1}{1 - x^2}$ મળે છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{x}{1 - x^2}$ અને $Q = \frac{1}{1 - x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નું સૂત્ર $e^{\int P dx}$ છે.
$I.F. = e^{\int -\frac{x}{1 - x^2} dx}$.
ધારો કે $u = 1 - x^2$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$I.F. = e^{\int \frac{1}{2u} du} = e^{\frac{1}{2}\log|u|} = e^{\log|u|^{1/2}} = \sqrt{1 - x^2}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x^2 - 1$ છે.
બંને બાજુ $(x^2 + 1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1}y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{x^2 + 1}$ અને $Q = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I.F. = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx}$.
ધારો કે $u = x^2 + 1$,તો $du = 2x dx$ થાય.
$I.F. = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\ln(u)} = u = x^2 + 1$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $x^2 + 1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ એ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{3}$ અને $Q = 1$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot e^{x/3} = \int 1 \cdot e^{x/3} dx + c$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા:
$y \cdot e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$.
બંને બાજુ $e^{x/3}$ વડે ભાગતા:
$y = 3 + c e^{-x/3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ છે.
આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
આપણે ચલને અલગ કરીને આનો ઉકેલ મેળવી શકીએ છીએ:
$\frac{dy}{y} = -p(x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{y} = -\int p(x) dx$.
$\ln|y| = -\int p(x) dx + C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$|y| = e^{-\int p(x) dx + C_1} = e^{C_1} e^{-\int p(x) dx}$.
ધારો કે $e^{C_1} = c$,તો ઉકેલ $y = c e^{-\int p(x) dx}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = e^{-x}$ છે.
પ્રથમ,સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધો:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \times e^x = \int (e^{-x} \times e^x) dx + c$
$y e^x = \int 1 dx + c$
$y e^x = x + c$.
શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 \times e^0 = 0 + c \implies c = 0$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y e^x = x$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x e^{-x}$ થાય છે.

(C) $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપના રેખીય વિકલ સમીકરણ માટે,જ્યાં $P(x)$ અને $Q(x)$ ફક્ત $x$ ના વિધેયો છે,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$IF = e^{\int P(x) \, dx}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ સ્વરૂપમાં છે,જેને બર્નુલીનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને સુરેખ બનાવવા માટે,બંને બાજુને $y^n$ વડે ભાગતા:
$y^{-n} \frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x)$
હવે,આપણે $v = y^{1-n} = \frac{1}{y^{n-1}}$ આદેશ લઈએ છીએ.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = (1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx} = y^{-n} \frac{dy}{dx}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$
$(1-n)$ વડે ગુણતા:
$\frac{dv}{dx} + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x)$
આ $v$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,જરૂરી આદેશ $v = \frac{1}{y^{n-1}}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = 1$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$.
વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot e^x = \int 1 \cdot e^x dx + c$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા:
$y \cdot e^x = e^x + c$.
બંને બાજુ $e^x$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{e^x}{e^x} + \frac{c}{e^x} = 1 + c{e^{-x}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $dy = \cos x(2 - y \csc x)dx$
$dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - y \cot x$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cot x$ અને $Q = 2 \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \sin x = \int (2 \cos x \cdot \sin x) dx + c = \int \sin(2x) dx + c$.
$y \sin x = \sin^2 x + c$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$ ત્યારે $y = 2$ આપેલ છે:
$2 \sin(\frac{\pi}{2}) = \sin^2(\frac{\pi}{2}) + c \implies 2(1) = (1)^2 + c \implies c = 1$.
આમ,$y \sin x = \sin^2 x + 1$.
$\sin x$ વડે ભાગતા,આપણને $y = \sin x + \csc x$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x x^{-\frac{1}{2} \log x}$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{\log x}{x} \right) y = e^x x^{-\frac{1}{2} \log x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\log x}{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. તેથી,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$.
તેથી,$I.F. = e^{\frac{1}{2} (\log x)^2} = (e^{\frac{1}{2} \log x})^{\log x} = (e^{\log \sqrt{x}})^{\log x} = (\sqrt{x})^{\log x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \sin x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot x = \int x \sin x dx + c$ મળે છે.
$\int x \sin x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = x$ અને $dv = \sin x dx$. તેથી $du = dx$ અને $v = -\cos x$.
$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x$.
આમ,$xy = -x \cos x + \sin x + c$.
પદોને ગોઠવતા,$xy + x \cos x = \sin x + c$,જેનું સાદું રૂપ $x(y + \cos x) = \sin x + c$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x + \log y)dy + y\,dx = 0$
પદોને ગોઠવતા: $y\,dx + x\,dy + \log y\,dy = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $d(xy) + \log y\,dy = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int d(xy) + \int \log y\,dy = \int 0\,dc$
$xy + (y\log y - y) = c$
આમ,ઉકેલ $xy + y\log y - y = c$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y + 1}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = x + y + 1$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} - x = y + 1$ મળે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -1$ અને $Q(y) = y + 1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{-y} = \int (y + 1) e^{-y} dy + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int (y + 1) e^{-y} dy = -(y + 2)e^{-y} + c$ મળે.
તેથી,$x e^{-y} = -(y + 2)e^{-y} + c$.
બંને બાજુ $e^y$ વડે ગુણતા,$x = -(y + 2) + ce^y$,એટલે કે $x = ce^y - y - 2$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2xy = y$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + (2x - 1)y = 0$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2x - 1$ અને $Q = 0$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int (2x - 1) dx} = e^{x^2 - x}$ દ્વારા મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \times e^{x^2 - x} = \int (0 \times e^{x^2 - x}) dx + c$.
$y \times e^{x^2 - x} = 0 + c$.
$y = c e^{-(x^2 - x)} = c e^{x - x^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x(1 - x^2)dy + (2x^2y - y - ax^3)dx = 0$.
આખા સમીકરણને $x(1 - x^2)dx$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x^2y - y - ax^3}{x(1 - x^2)} = 0$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{(2x^2 - 1)y - ax^3}{x(1 - x^2)} = 0$.
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x^2 - 1}{x(1 - x^2)}y = \frac{ax^3}{x(1 - x^2)}$.
આ સમીકરણની સરખામણી $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સાથે કરતા,આપણને $P = \frac{2x^2 - 1}{x(1 - x^2)}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$
બંને બાજુ $\cos x \, dx$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = -y^2 \sec x$
$y^2$ વડે ભાગતા:
$y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \tan x = -\sec x \quad \dots(1)$
ધારો કે $v = y^{-1} = \frac{1}{y}$. તેથી $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,અથવા $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$-\frac{dv}{dx} - v \tan x = -\sec x$
$\frac{dv}{dx} + v \tan x = \sec x$
આ $\frac{dv}{dx} + Pv = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P \, dx} = e^{\int \tan x \, dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $v \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ છે.
$v \sec x = \int \sec x \cdot \sec x \, dx + c$
$v \sec x = \int \sec^2 x \, dx + c$
$v \sec x = \tan x + c$
$v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{1}{y} \sec x = \tan x + c$
$\sec x = y(\tan x + c)$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.
$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y^2}$ અને $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
$x e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$.
ધારો કે $t = -\frac{1}{y}$,તો $dt = \frac{1}{y^2} dy$ અને $\frac{1}{y} = -t$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$x e^{-\frac{1}{y}} = \int (-t) e^t dt + C = - (t e^t - e^t) + C = (1 - t) e^t + C$.
$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} + C$.
$y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 \cdot e^{-1} = (1 + 1) e^{-1} + C \Rightarrow e^{-1} = 2e^{-1} + C \Rightarrow C = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$ મળે છે.
આમ,$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} - \frac{1}{e}$.
$e^{-\frac{1}{y}}$ વડે ભાગતા,$x = 1 + \frac{1}{y} - \frac{e^{\frac{1}{y}}}{e}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ છે.
$(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q(x) = 2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y \cdot \log x = \int 2 \log x dx = 2(x \log x - x) + C$.
$y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 1$ મૂકતા $0 \cdot \log(1) = 2(1 \log 1 - 1) + C \Rightarrow 0 = 2(0 - 1) + C \Rightarrow C = 2$ મળે છે.
તેથી,$y \log x = 2x \log x - 2x + 2$.
$x = e$ માટે,$y \log e = 2e \log e - 2e + 2$.
$\log e = 1$ હોવાથી,$y(1) = 2e - 2e + 2$,જેનું સાદું રૂપ $y = 2$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ છે.
$(1 + t)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dt} - \frac{t}{1 + t}y = \frac{1}{1 + t}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(t) = -\frac{t}{1 + t}$ અને $Q(t) = \frac{1}{1 + t}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int -\frac{t}{1 + t} dt} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1 + t}) dt} = e^{-t + \ln(1 + t)} = (1 + t)e^{-t}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ છે.
$y(1 + t)e^{-t} = \int \frac{1}{1 + t} \cdot (1 + t)e^{-t} dt + C = \int e^{-t} dt + C = -e^{-t} + C$.
$y(0) = -1$ આપેલ હોવાથી,$t = 0$ મૂકતા: $-1(1 + 0)e^{0} = -e^{0} + C \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y(1 + t)e^{-t} = -e^{-t}$,જેનું સાદું રૂપ $y = -\frac{1}{1 + t}$ થાય છે.
$t = 1$ માટે,$y(1) = -\frac{1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $ydx - xdy + \log x dx = 0$.
$x dx$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે: $\frac{y}{x} - \frac{dy}{dx} + \frac{\log x}{x} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{\log x}{x}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{\log x}{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \cdot \frac{1}{x} = \int \frac{\log x}{x} \cdot \frac{1}{x} dx + c = \int \frac{\log x}{x^2} dx + c$.
$\int \frac{\log x}{x^2} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $u = \log x$ અને $dv = x^{-2} dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$ અને $v = -\frac{1}{x}$ મળે.
$\int \frac{\log x}{x^2} dx = (\log x)(-\frac{1}{x}) - \int (-\frac{1}{x})(\frac{1}{x}) dx = -\frac{\log x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x}$.
આમ,$\frac{y}{x} = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + c$.
$x$ વડે ગુણતા,$y = -\log x - 1 + cx$ મળે,એટલે કે $y = cx - (1 + \log x)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{1 - x^2}$ અને $Q = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નું સૂત્ર $I.F. = e^{\int P dx}$ છે.
$I.F. = e^{\int \frac{2x}{1 - x^2} dx}$.
ધારો કે $u = 1 - x^2$,તેથી $du = -2x dx$,એટલે કે $2x dx = -du$.
$I.F. = e^{\int \frac{-du}{u}} = e^{-\ln|u|} = e^{-\ln|1 - x^2|} = e^{\ln|(1 - x^2)^{-1}|}$.
$I.F. = (1 - x^2)^{-1}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y' - y \tan x = -2 \sin x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\tan x$ અને $Q = -2 \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P \, dx} = e^{-\int \tan x \, dx} = e^{-\ln |\sec x|} = e^{\ln |\cos x|} = \cos x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cos x = \int (-2 \sin x \cos x) \, dx + c$.
$y \cos x = -\int \sin 2x \, dx + c$.
$y \cos x = \frac{\cos 2x}{2} + c$.
$\sec x$ વડે ગુણતા,$y = \frac{\cos 2x}{2 \cos x} + c \sec x$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1 + y^2) + (x - e^{\tan^{-1}y}) \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dx}{dy}$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$(1 + y^2) \frac{dx}{dy} + x = e^{\tan^{-1}y}$.
$(1 + y^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1}y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + k$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{\tan^{-1}y} = \int \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2} \cdot e^{\tan^{-1}y} dy + k$.
ધારો કે $u = \tan^{-1}y$,તો $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1}y} = \int e^{2u} du + k = \frac{e^{2u}}{2} + k = \frac{e^{2\tan^{-1}y}}{2} + k$.
$2$ વડે ગુણતા:
$2xe^{\tan^{-1}y} = e^{2\tan^{-1}y} + k$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y\phi'(x) = \phi(x)\phi'(x)$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \phi'(x)$ અને $Q = \phi(x)\phi'(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \phi'(x) dx} = e^{\phi(x)}$ થાય.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot e^{\phi(x)} = \int \phi(x)\phi'(x) e^{\phi(x)} dx + c$.
ધારો કે $t = \phi(x)$,તો $dt = \phi'(x) dx$ થાય.
સંકલન $\int t e^t dt = t e^t - e^t + c$ બને છે.
કિંમત પાછી મૂકતા,$y \cdot e^{\phi(x)} = \phi(x)e^{\phi(x)} - e^{\phi(x)} + c$.
બંને બાજુ $e^{\phi(x)}$ વડે ભાગતા,$y = \phi(x) - 1 + c e^{-\phi(x)}$ મળે છે.