Homogeneous differential equations Questions in Gujarati

(B) જો $f(tx, ty) = t^n f(x, y)$ હોય,તો વિધેય $f(x, y)$ ને $n$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય કહેવાય છે.
આપેલ છે કે $f(x, y) = \frac{1}{x + y}$.
$x$ ની જગ્યાએ $tx$ અને $y$ ની જગ્યાએ $ty$ મૂકતા:
$f(tx, ty) = \frac{1}{tx + ty} = \frac{1}{t(x + y)} = t^{-1} \cdot \frac{1}{x + y} = t^{-1} f(x, y)$.
આને $f(tx, ty) = t^n f(x, y)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = -1$ મળે છે.
તેથી,આ વિધેય $-1$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2} = 1 + \frac{y}{x} + \left( \frac{y}{x} \right)^2$.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v + v^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2$ મળે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{1 + v^2} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{1 + v^2} = \int \frac{dx}{x}$.
જેથી $\tan^{-1}(v) = \log |x| + c$ મળે.
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા,$\tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) = \log |x| + c$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y^2$ છે,જે એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે.
તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 3y^2}{2xy}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + 3(vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1 + 3v^2)}{2x^2v} = \frac{1 + 3v^2}{2v}$.
તેથી,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 3v^2}{2v} - v = \frac{1 + 3v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 + v^2}{2v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{2v}{1 + v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2v}{1 + v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
આથી $\ln(1 + v^2) = \ln|x| + \ln|p|$ મળે,જ્યાં $\ln|p|$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
તેથી,$1 + v^2 = px$,જેનો અર્થ છે $1 + \frac{y^2}{x^2} = px$.
$x^2$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + y^2 = px^3$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2)dx = 2xydy$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1 + v^2)}{2x^2v} = \frac{1 + v^2}{2v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 - v^2}{2v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1 - v^2| = \ln|x| + \ln|c|$.
$-\ln|1 - v^2| = \ln|cx| \implies \ln|1 - v^2|^{-1} = \ln|cx| \implies \frac{1}{1 - v^2} = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$\frac{1}{1 - (y/x)^2} = cx \implies \frac{x^2}{x^2 - y^2} = cx \implies x = c(x^2 - y^2)$.

(B) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$ છે.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$.
પદોને ગોઠવતા: $x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x} = \frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \left( \frac{1}{1 + v^2} - \frac{v}{1 + v^2} \right) dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv$.
$\ln|x| = \tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\ln|x| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + \ln|c|$.
$\ln|x| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + \ln|c|$.
$\ln|x| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} [\ln(x^2 + y^2) - \ln(x^2)] + \ln|c|$.
$\ln|x| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + \ln|x| + \ln|c|$.
$0 = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \ln((x^2 + y^2)^{1/2}) + \ln|c|$.
$\ln((x^2 + y^2)^{1/2}) = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln|c|$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $(x^2 + y^2)^{1/2} = c e^{\tan^{-1}(y/x)}$ અથવા $c(x^2 + y^2)^{1/2} = e^{\tan^{-1}(y/x)}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \, dy - y \, dx = \sqrt{x^2 + y^2} \, dx$
$dx$ વડે ભાગતા: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 + y^2}$
$x \frac{dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + \ln|c|$
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x + y)dx + xdy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$xdy = -(x + y)dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x} = -(1 + \frac{y}{x})$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = -(1 + v) = -1 - v$.
$x\frac{dv}{dx} = -1 - 2v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{1 + 2v} = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{1 + 2v} = -\int \frac{dx}{x}$.
$\frac{1}{2} \ln|1 + 2v| = -\ln|x| + C_1$.
$\ln|1 + 2v| = -2\ln|x| + 2C_1 = \ln|x^{-2}| + \ln|C|$.
$1 + 2v = \frac{C}{x^2}$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $1 + 2(\frac{y}{x}) = \frac{C}{x^2}$.
$\frac{x + 2y}{x} = \frac{C}{x^2} \implies x(x + 2y) = C \implies x^2 + 2xy = C$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x + y\frac{dy}{dx} = 2y$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$y\frac{dy}{dx} = 2y - x$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y}$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2vx - x}{vx} = \frac{2v - 1}{v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v - 1}{v} - v = \frac{2v - 1 - v^2}{v} = -\frac{(v - 1)^2}{v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v}{(v - 1)^2} dv = -\frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v}{(v - 1)^2} = \frac{v - 1 + 1}{(v - 1)^2} = \frac{1}{v - 1} + \frac{1}{(v - 1)^2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \left( \frac{1}{v - 1} + \frac{1}{(v - 1)^2} \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\log |v - 1| - \frac{1}{v - 1} = -\log |x| + c$.
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $v - 1 = \frac{y - x}{x}$.
$\log |\frac{y - x}{x}| + \log |x| = \frac{1}{\frac{y - x}{x}} + c$.
$\log |y - x| = \frac{x}{y - x} + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$.
હવે,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$,જેનું સાદું રૂપ $(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v}) dv = -\frac{dx}{x}$ થાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
આથી $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$ મળે છે.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln(\frac{y}{x}) = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$,જેનું સાદું રૂપ $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$ થાય છે.
તેથી $\ln|y| = \frac{x^2}{2y^2} + C$,એટલે કે $y = e^{\frac{x^2}{2y^2} + C} = k e^{\frac{x^2}{2y^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 = k^2 e^{\frac{x^2}{y^2}}$. જો $a = k^2$ લઈએ,તો $ay^2 = e^{x^2/y^2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y - x}$ છે.
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x}{2vx - x} = \frac{1}{2v - 1}$.
$\frac{dv}{dx}$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2v - 1} - v = \frac{1 - 2v^2 + v}{2v - 1} = -\frac{(2v + 1)(v - 1)}{2v - 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v - 1}{(2v + 1)(v - 1)} dv = -\frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{4/3}{2v + 1} + \frac{1/3}{v - 1} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{2}{3}\ln|2v + 1| + \frac{1}{3}\ln|v - 1| = -\ln|x| + C$.
$3$ વડે ગુણતા: $2\ln|2v + 1| + \ln|v - 1| = -3\ln|x| + C'$.
$\ln|(2v + 1)^2(v - 1)| = \ln|x^{-3}| + C'$.
$(2v + 1)^2(v - 1) = \frac{c}{x^3}$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $(\frac{2y + x}{x})^2(\frac{y - x}{x}) = \frac{c}{x^3}$.
$(2y + x)^2(y - x) = c$. તેથી $(x - y)(x + 2y)^2 = c$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \log \frac{y}{x} + 1 \right)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v (\log v + 1)$
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$
ધારો કે $u = \log v$,તેથી $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x}$
$\log |u| = \log |x| + \log |c|$
$\log |\log v| = \log |xc|$
$\log v = xc$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\log \left( \frac{y}{x} \right) = cx$.

(A) આપેલ સમઘાત વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y + x}$ છે.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx - x}{vx + x} = \frac{v - 1}{v + 1}$.
ગોઠવણી કરતા: $x\frac{dv}{dx} = \frac{v - 1}{v + 1} - v = \frac{v - 1 - v^2 - v}{v + 1} = -\frac{v^2 + 1}{v + 1}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{v + 1}{v^2 + 1} dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\log_e x = -\left[ \frac{1}{2} \int \frac{2v}{v^2 + 1} dv + \int \frac{1}{v^2 + 1} dv \right] + c$.
$\log_e x = -\frac{1}{2} \log_e(v^2 + 1) - \tan^{-1}v + c$.
$-2$ વડે ગુણતા: $-2\log_e x = \log_e(v^2 + 1) + 2\tan^{-1}v + c$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-2\log_e x = \log_e\left(\frac{y^2}{x^2} + 1\right) + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + c$.
$-2\log_e x = \log_e\left(\frac{y^2 + x^2}{x^2}\right) + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + c$.
$-2\log_e x = \log_e(x^2 + y^2) - 2\log_e x + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + c$.
આમ,$\log_e(x^2 + y^2) + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + c = 0$ મળે.

(A) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ છે.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$.
પદોને ગોઠવતા: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ $-1/2$ વડે ગુણતા: $-\frac{1}{2} \frac{-2 - 2v}{1 - 2v - v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C_1$.
$-2$ વડે ગુણતા: $\ln|1 - 2v - v^2| = -2 \ln|x| + C_2 = \ln|x^{-2}| + C_2$.
તેથી,$1 - 2v - v^2 = \frac{C}{x^2}$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{C}{x^2}$.
$x^2$ વડે ગુણતા: $x^2 - 2xy - y^2 = C$,જેને $y^2 + 2xy - x^2 = c$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x - y + 1)dx + (2y - x + 1)dy = 0$.
તેને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x - y + 1}{2y - x + 1} = \frac{2x - y + 1}{x - 2y - 1}$ મળે છે.
ધારો કે $x = X + h$ અને $y = Y + k$. આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{2X - Y + 2h - k + 1}{X - 2Y + h - 2k - 1}$ મળે છે.
સમીકરણને સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$2h - k + 1 = 0$ અને $h - 2k - 1 = 0$ લેતા,ઉકેલ $h = -1$ અને $k = -1$ મળે છે.
આમ,$\frac{dY}{dX} = \frac{2X - Y}{X - 2Y}$.
$Y = vX$ લેતા,$\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ થાય.
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2 - v}{1 - 2v} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2 - v}{1 - 2v} - v = \frac{2(v^2 - v + 1)}{1 - 2v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dX}{X} = \frac{1 - 2v}{2(v^2 - v + 1)} dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dX}{X} = -\frac{1}{2} \int \frac{2v - 1}{v^2 - v + 1} dv$.
$\ln|X| = -\frac{1}{2} \ln|v^2 - v + 1| + \ln|c_1| \implies X^2(v^2 - v + 1) = c$.
$v = \frac{Y}{X}$ મૂકતા,$Y^2 - XY + X^2 = c$ મળે છે.
$X = x + 1$ અને $Y = y + 1$ મૂકતા: $(y + 1)^2 - (y + 1)(x + 1) + (x + 1)^2 = c$.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 - xy + x + y = c'$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2)dy = xy dx$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$x^2 dy + y^2 dy = xy dx$ મળે.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$dy = v dx + x dv$.
$(x^2 + v^2 x^2)(v dx + x dv) = x(vx) dx$.
$x^2(1 + v^2)(v dx + x dv) = vx^2 dx$.
$(1 + v^2)(v dx + x dv) = v dx$.
$v dx + x dv + v^3 dx + v^2 x dv = v dx$.
$x dv(1 + v^2) = -v^3 dx$.
$\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$-\frac{1}{2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.
$y(x_0) = e$ માટે,$-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
$x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \sqrt{3}e$.

(C) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સંકલિત વક્રનો ઢાળ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(1, 0)$ પર ઢાળ શોધવા માટે,આપણે આપેલ વિકલ સમીકરણમાં $x = 1$ અને $y = 0$ મૂકીએ છીએ.
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, 0)} = \frac{1^2 + 0^2}{1^2 - 0^2} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$.
તેથી,$(1, 0)$ બિંદુએ ઢાળ $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2vx^2} = \frac{1 + v^2}{2v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 - v^2}{2v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1 - v^2| = \ln|x| + \ln|c|$.
$-\ln|1 - \frac{y^2}{x^2}| = \ln|xc| \implies \ln|\frac{x^2}{x^2 - y^2}| = \ln|xc|$.
$\frac{x^2}{x^2 - y^2} = xc \implies x = c(x^2 - y^2)$.
વક્ર $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = c(2^2 - 1^2) = c(3) \implies c = \frac{2}{3}$.
આમ,$x = \frac{2}{3}(x^2 - y^2)$,જેનું સાદું રૂપ $3x = 2(x^2 - y^2)$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
આ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$.
ધારો કે $u = \log v$,તો $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન કરતા $\int \frac{du}{u} = \log x + C$.
$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log v = cx$.
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\log(\frac{y}{x}) = cx$.
આમ,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x e^{cx}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: ${y^2}\,dx + ({x^2} - xy + {y^2})\,dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{{dx}}{{dy}} = -\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{y^2}}}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $x = vy$,તેથી $\frac{{dx}}{{dy}} = v + y\frac{{dv}}{{dy}}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + y\frac{{dv}}{{dy}} = -\left( {\frac{{{v^2}{y^2} - vy^2 + {y^2}}}{{{y^2}}}} \right)$
$v + y\frac{{dv}}{{dy}} = -({v^2} - v + 1)$
$y\frac{{dv}}{{dy}} = -{v^2} + v - 1 - v = -({v^2} + 1)$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{{dv}}{{{v^2} + 1}} = -\frac{{dy}}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{{dv}}{{{v^2} + 1}} = -\int \frac{{dy}}{y}$
${\tan ^{ - 1}}(v) = -\log |y| + C$
$v = \frac{x}{y}$ પાછા મૂકતા: ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) + \log |y| = C$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) + \log y + c = 0$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left( \frac{y}{x} \right)$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^2(v)$.
આથી $x\frac{dv}{dx} = -\cos^2(v)$,અથવા $\sec^2(v) dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sec^2(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\tan(v) = -\log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan\left( \frac{y}{x} \right) = -\log|x| + C$.
વક્ર $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\tan\left( \frac{\pi/4}{1} \right) = -\log(1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C = 1$.
આમ,$\tan\left( \frac{y}{x} \right) = -\log(x) + 1 = \log(e) - \log(x) = \log\left( \frac{e}{x} \right)$.
તેથી,$y = x\tan^{-1}\left[ \log\left( \frac{e}{x} \right) \right]$.

(C) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
શરત મુજબ છાપ અને કાંટ બંને મળે છે,તેથી આપણે $HHH$ અને $TTT$ ને બાકાત રાખીશું.
આમ,નવો નિદર્શાવકાશ $S' = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}$ થશે,તેથી $n(S') = 6$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે જેમાં બરાબર એક છાપ મળે છે. $E$ ના પરિણામો $\{HTT, THT, TTH\}$ છે,તેથી $n(E) = 3$.
માટે જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.

(C) ધારો કે $T$ એ કાંટો (tail) અને $H$ એ છાપ (head) દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ બે ઉછાળમાં છાપ મળતી નથી,તેથી પ્રથમ બે ઉછાળના પરિણામો $(T, T)$ છે.
પ્રયોગ ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી છાપ ન મળે અથવા સિક્કો $5$ વખત ઉછાળવામાં ન આવે.
સિક્કો $5$ વખત ઉછાળવામાં આવે તે માટે,$3^{rd}$ અને $4^{th}$ ઉછાળમાં છાપ ન મળવી જોઈએ.
$3^{rd}$ ઉછાળમાં કાંટો મળવાની સંભાવના $P(T_3) = \frac{1}{2}$ છે.
$4^{th}$ ઉછાળમાં કાંટો મળવાની સંભાવના $P(T_4) = \frac{1}{2}$ છે.
આ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,પ્રથમ બે ઉછાળ કાંટા હોય તો સિક્કો $5$ વખત ઉછાળવામાં આવે તેની સંભાવના $P(T_3) \times P(T_4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ અંકોનો સરવાળો $7$ થી વધુ હોય તેવી ઘટના છે.
ધારો કે $B$ એ પ્રથમ પાસા પર $4$ આવે તેવી ઘટના છે.
પ્રથમ પાસા પર $4$ આવે તેવા કુલ પરિણામો $S = \{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)\}$ છે.
ઘટના $B$ માં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 6$ છે.
જેમાં સરવાળો $7$ થી વધુ હોય તેવા પરિણામો $(4, 4), (4, 5), (4, 6)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 3$ છે.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા = $3 + 6 + 7 = 16$.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે.
ધારો કે $B$ એ બીજો દડો વાદળી હોવાની ઘટના છે.
પ્રથમ દડો પાછો મૂકવામાં આવતો નથી,તેથી આ ઘટનાઓ પરસ્પર આધારિત છે.
પ્રથમ દડો સફેદ હોવાની સંભાવના $P(A) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ છે.
એક સફેદ દડો કાઢ્યા પછી,થેલીમાં બાકી રહેલા દડાની સંખ્યા $15$ છે.
વાદળી દડાની સંખ્યા $7$ જ રહે છે.
પ્રથમ દડો સફેદ હોય તે શરતે બીજો દડો વાદળી હોવાની સંભાવના $P(B|A) = \frac{7}{15}$ છે.
તેથી,પ્રથમ દડો સફેદ અને બીજો દડો વાદળી હોવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{6}{16} \times \frac{7}{15} = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{1}{8} \times \frac{7}{5} = \frac{7}{40}$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર મળે છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $6$ થાય છે.
સરવાળો $6$ હોય તેવા પરિણામોનો ગણ $B = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$ છે.
આમ,$B$ માં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 5$ છે.
ઘટના $A \cap B$ એવા પરિણામો દર્શાવે છે જ્યાં સરવાળો $6$ હોય અને સંખ્યા $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે.
ગણ $B$ માં જોતા,$4$ ધરાવતા પરિણામો $(2, 4)$ અને $(4, 2)$ છે.
તેથી,$A \cap B = \{(2, 4), (4, 2)\}$,જેનો અર્થ છે કે $n(A \cap B) = 2$.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{5}$ દ્વારા મળે છે.

(A) ધારો કે $P(\overline{B}) = x$. તો $P(B) = 1 - x$.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{5}(1 - x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{7}{10} = \frac{1}{5} + (1 - x) - \frac{1}{5}(1 - x)$.
$\frac{7}{10} = \frac{1}{5} + (1 - x)(1 - \frac{1}{5})$.
$\frac{7}{10} - \frac{2}{10} = (1 - x)(\frac{4}{5})$.
$\frac{5}{10} = (1 - x)(\frac{4}{5})$.
$\frac{1}{2} = (1 - x)(\frac{4}{5})$.
$1 - x = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{8}$.
$P(\overline{B}) = x$ હોવાથી,$x = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,$v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v$ મળે છે.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા,$x \frac{dv}{dx} = 1$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$dv = \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$v = \ln|x| + C$ મળે છે.
$y = vx$ હોવાથી,$\frac{y}{x} = \ln|x| + C$,એટલે કે $y = x \ln|x| + Cx$.
શરત $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1 = 1 \cdot \ln(1) + C(1) \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,ઉકેલ $y = x \ln x + x$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x\frac{dy}{dx} = y - x\tan \left( \frac{y}{x} \right)$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left( \frac{y}{x} \right)$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \tan v$.
સાદું રૂપ આપતા: $x\frac{dv}{dx} = -\tan v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\tan v} = -\frac{dx}{x}$,એટલે કે $\cot v \, dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cot v \, dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |c|$.
$\ln |\sin v| + \ln |x| = \ln |c|$.
$\ln |x \sin v| = \ln |c|$.
$x \sin v = c$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા: $x \sin \left( \frac{y}{x} \right) = c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sin^2\left( \frac{y}{x} \right)$ છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \sin^2 v$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x \frac{dv}{dx} = -\sin^2 v$,અથવા $-\csc^2 v \, dv = \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\int \csc^2 v \, dv = \int \frac{dx}{x}$.
આથી $\cot v = \log_e x + C$,એટલે કે $\cot\left( \frac{y}{x} \right) = \log_e x + C$.
વક્ર બિંદુ $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\cot\left( \frac{\pi/4}{1} \right) = \log_e 1 + C$.
$\cot(\pi/4) = 1$ અને $\log_e 1 = 0$ હોવાથી,$C = 1$ મળે છે.
તેથી,$\cot\left( \frac{y}{x} \right) = \log_e x + 1 = \log_e x + \log_e e = \log_e(ex)$.
આમ,$\frac{y}{x} = \cot^{-1}(\log_e ex)$,જેનો અર્થ છે કે $y = x \cot^{-1}(\log_e ex)$.

(D) વિધેય $f(x, y)$ એ $n$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય કહેવાય જો $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ થાય.
$(A)$ $f(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x - \lambda y}{(\lambda x)^2 + (\lambda y)^2} = \frac{\lambda(x - y)}{\lambda^2(x^2 + y^2)} = \lambda^{-1} f(x, y)$. આ $-1$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$(B)$ $f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x)^{1/3} (\lambda y)^{-2/3} \tan^{-1} \frac{\lambda x}{\lambda y} = \lambda^{1/3 - 2/3} x^{1/3} y^{-2/3} \tan^{-1} \frac{x}{y} = \lambda^{-1/3} f(x, y)$. આ $-1/3$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$(C)$ $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda x (\ln \sqrt{\lambda^2(x^2 + y^2)} - \ln(\lambda y)) + \lambda y e^{\frac{\lambda x}{\lambda y}} = \lambda x (\ln \lambda + \ln \sqrt{x^2 + y^2} - \ln \lambda - \ln y) + \lambda y e^{x/y} = \lambda f(x, y)$. આ $1$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$(D)$ $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda x [\ln \frac{2\lambda^2 x^2 + \lambda^2 y^2}{\lambda x} - \ln(\lambda x + \lambda y)] + (\lambda y)^2 \tan \frac{\lambda x + 2\lambda y}{3\lambda x - \lambda y} = \lambda x [\ln \frac{\lambda^2(2x^2 + y^2)}{\lambda x} - \ln(\lambda(x + y))] + \lambda^2 y^2 \tan \frac{x + 2y}{3x - y} = \lambda x [\ln \lambda + \ln \frac{2x^2 + y^2}{x(x + y)}] + \lambda^2 y^2 \tan \frac{x + 2y}{3x - y}$. અહીં $\ln \lambda$ પદ સામાન્ય નીકળતું ન હોવાથી,આ વિધેય સમપરિમાણીય નથી.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v$.
સાદુરૂપ આપતા: $x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\cos^2 v} = -\frac{dx}{x}$,એટલે કે $\sec^2 v \, dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$.
આથી: $\tan v = -\ln |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan \left( \frac{y}{x} \right) = -\ln x + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, \frac{\pi}{4})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\tan \left( \frac{\pi/4}{1} \right) = -\ln(1) + C$.
$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ અને $\ln(1) = 0$ હોવાથી,$1 = 0 + C$,તેથી $C = 1$.
આમ,$\tan \left( \frac{y}{x} \right) = 1 - \ln x = \ln e - \ln x = \ln \left( \frac{e}{x} \right)$.
તેથી,$y = x \tan^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} \right)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x^4y \frac{dy}{dx} + y^4 = 4x^6$.
$y = u^m$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = m u^{m-1} \frac{du}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $2x^4(u^m)(m u^{m-1} \frac{du}{dx}) + (u^m)^4 = 4x^6$.
સાદું રૂપ આપતા: $2m x^4 u^{2m-1} \frac{du}{dx} + u^{4m} = 4x^6$.
સમીકરણ સમપરિમાણીય બને તે માટે,દરેક પદમાં $x$ અને $u$ ના ઘાતાંકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ.
$u^{4m}$ અને $x^6$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા,$4m = 6$ મળે,તેથી $m = 3/2$.
પ્રથમ પદ $x^4 u^{2m-1}$ માટે ચકાસતા,$2m-1 = 2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $m = 3/2$ મળે છે.
આમ,$m$ ની કિંમત $3/2$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ છે. $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{m} = -\frac{dx}{dy}$ છે.
$P(x, y)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $Y - y = -\frac{dx}{dy} (X - x)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$Y = 0$ મૂકો:
$-y = -\frac{dx}{dy} (X - x) \implies X - x = y \frac{dy}{dx} \implies X = x + y \frac{dy}{dx}$.
$P$ નો યામ $x$ છે. અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $X = x + y \frac{dy}{dx}$ છે.
$P$ નો ત્રિજ્યા સદિશ $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે,તેથી તેનો વર્ગ $x^2 + y^2$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,યામ અને $x$-અંતઃખંડનો ગુણાકાર ત્રિજ્યા સદિશના વર્ગના બમણા જેટલો છે:
$x \left( x + y \frac{dy}{dx} \right) = 2(x^2 + y^2)$.
$x^2 + xy \frac{dy}{dx} = 2x^2 + 2y^2 \implies xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$.
આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$x(vx) (v + x \frac{dv}{dx}) = x^2 + 2(vx)^2 \implies x^2 v (v + x \frac{dv}{dx}) = x^2(1 + 2v^2)$.
$v^2 + vx \frac{dv}{dx} = 1 + 2v^2 \implies vx \frac{dv}{dx} = 1 + v^2$.
$\frac{v}{1 + v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln x + C \implies \ln(1 + v^2) = \ln x^2 + 2C \implies 1 + v^2 = k x^2$,જ્યાં $k = e^{2C}$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $1 + \frac{y^2}{x^2} = k x^2 \implies x^2 + y^2 = k x^4$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 0^2 = k(1)^4 \implies k = 1$.
આમ,સમીકરણ $x^2 + y^2 = x^4$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2y^2 - 1)dy + 2xy^3dx = 0$ છે.
$y = z^{\alpha}$ આદેશ લેતા,$dy = \alpha z^{\alpha - 1} dz$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(x^2(z^{\alpha})^2 - 1)(\alpha z^{\alpha - 1} dz) + 2x(z^{\alpha})^3 dx = 0$
$(x^2 z^{2\alpha} - 1)(\alpha z^{\alpha - 1} dz) + 2x z^{3\alpha} dx = 0$
$\alpha x^2 z^{3\alpha - 1} dz - \alpha z^{\alpha - 1} dz + 2x z^{3\alpha} dx = 0$
સમીકરણ સમપરિમાણ હોવા માટે,દરેક પદમાં $x$ અને $z$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો સમાન હોવો જોઈએ.
ઘાતાંકો આ મુજબ છે:
પદ $1$: $x^2 z^{3\alpha - 1} \rightarrow 2 + (3\alpha - 1) = 3\alpha + 1$
પદ $2$: $z^{\alpha - 1} \rightarrow 0 + (\alpha - 1) = \alpha - 1$
પદ $3$: $x z^{3\alpha} \rightarrow 1 + 3\alpha = 3\alpha + 1$
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $3\alpha + 1 = \alpha - 1$
$2\alpha = -2 \Rightarrow \alpha = -1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y \ln \left( \frac{y}{x} \right)$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x(v + x \frac{dv}{dx}) = vx \ln(v)$.
$x$ વડે ભાગતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v \ln(v)$.
ગોઠવતા: $x \frac{dv}{dx} = v \ln(v) - v = v(\ln(v) - 1)$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v(\ln(v) - 1)} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v(\ln(v) - 1)} = \int \frac{dx}{x}$.
ધારો કે $u = \ln(v) - 1$,તેથી $du = \frac{1}{v} dv$.
તેથી,$\int \frac{du}{u} = \ln|x| + C$.
$\ln|\ln(v) - 1| = \ln|x| + C$.
$\ln(v) - 1 = Cx$ (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).
$\ln(\frac{y}{x}) = 1 + Cx$.
$\frac{y}{x} = e^{1 + Cx}$.
$y = xe^{1 + Cx}$.

(D) પગલું $1$: વિકલ્પ $A$ ચકાસો. વિધેય $f(x, y)$ એ $n$ ઘાતનું સમપરિમાણીય કહેવાય જો $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ હોય. $f(x, y) = e^{y/x} + \tan(y/x)$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = e^{(\lambda y)/(\lambda x)} + \tan((\lambda y)/(\lambda x)) = e^{y/x} + \tan(y/x) = \lambda^0 f(x, y)$. આમ,તે $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય છે. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $B$ ચકાસો. વિકલ સમીકરણ $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ સમપરિમાણીય છે જો $M(x, y)$ અને $N(x, y)$ બંને સમાન ઘાતના સમપરિમાણીય વિધેયો હોય. અહીં,$M(x, y) = x \ln(y/x)$ એ $1$ ઘાતનું સમપરિમાણીય છે. $N(x, y) = \frac{y^2}{x} \sin^{-1}(y/x)$ એ $1$ ઘાતનું સમપરિમાણીય છે. બંને $1$ ઘાતના હોવાથી,સમીકરણ સમપરિમાણીય છે. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
પગલું $3$: વિકલ્પ $C$ ચકાસો. $f(x, y) = x^2 + \sin x \cos y$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x)^2 + \sin(\lambda x) \cos(\lambda y) = \lambda^2 x^2 + \sin(\lambda x) \cos(\lambda y)$. આને કોઈ પણ $n$ માટે $\lambda^n f(x, y)$ સ્વરૂપમાં લખી શકાતું નથી. તેથી,તે સમપરિમાણીય નથી. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
પગલું $4$: $A, B,$ અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) વિધેય $f(x, y)$ ને $n$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય કહેવાય જો $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ થાય.
$A) f(x, y) = x \sin y + y \sin x$
$f(\lambda x, \lambda y) = \lambda x \sin(\lambda y) + \lambda y \sin(\lambda x) = \lambda(x \sin(\lambda y) + y \sin(\lambda x))$.
આ $\lambda^n f(x, y)$ બરાબર ન હોવાથી,તે સમપરિમાણીય નથી.
$B) f(x, y) = x e^{y/x} + y e^{x/y}$
$f(\lambda x, \lambda y) = \lambda x e^{\lambda y / \lambda x} + \lambda y e^{\lambda x / \lambda y} = \lambda(x e^{y/x} + y e^{x/y}) = \lambda^1 f(x, y)$.
આ $1$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$C) f(x, y) = x^2 - xy$
$f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x)^2 - (\lambda x)(\lambda y) = \lambda^2 x^2 - \lambda^2 xy = \lambda^2(x^2 - xy) = \lambda^2 f(x, y)$.
આ $2$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સમપરિમાણીય વિધેયો છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v$.
આનું સાદું રૂપ $x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$ થાય છે.
ચલને અલગ કરતા: $\sec^2 v \, dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{dx}{x} \implies \tan v = -\ln |x| + C$.
વક્ર બિંદુ $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $v = \frac{\pi}{4}$ થાય.
$\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\ln(1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C = 1$.
આમ,$\tan v = 1 - \ln x = \ln e - \ln x = \ln \left( \frac{e}{x} \right)$.
તેથી,$v = \tan^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} \right)$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,આપણને $y = x \tan^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} \right)$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - xy)dy = (xy + y^2)dx$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - xy}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x(vx) + (vx)^2}{x^2 - x(vx)} = \frac{v + v^2}{1 - v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - v} - v = \frac{v + v^2 - v + v^2}{1 - v} = \frac{2v^2}{1 - v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 - v}{v^2} dv = \frac{2}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$.
$-v^{-1} - \ln|v| = 2\ln|x| + C$.
$v = y/x$ મૂકતા: $-\frac{x}{y} - \ln|y/x| = 2\ln|x| + C$.
$-\frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = 2\ln|x| + C$.
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + \ln|x| + C = \ln|xy| + C$.
આમ,$xy = e^{-x/y - C} = Ce^{-x/y}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \cos \left( \frac{y}{x} \right) (y dx + x dy) = y \sin \left( \frac{y}{x} \right) (x dy - y dx)$
બંને બાજુને $xy \cos \left( \frac{y}{x} \right)$ વડે ભાગતા:
$\frac{y dx + x dy}{y} = \tan \left( \frac{y}{x} \right) \frac{x dy - y dx}{x}$
$\frac{y dx + x dy}{xy} = \tan \left( \frac{y}{x} \right) \left( \frac{x dy - y dx}{x^2} \right)$
અહીં $d(xy) = y dx + x dy$ અને $d\left( \frac{y}{x} \right) = \frac{x dy - y dx}{x^2}$ છે.
તેથી,$\frac{d(xy)}{xy} = \tan \left( \frac{y}{x} \right) d\left( \frac{y}{x} \right)$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{d(xy)}{xy} = \int \tan \left( \frac{y}{x} \right) d\left( \frac{y}{x} \right)$
$\ln |xy| = \ln \left| \sec \left( \frac{y}{x} \right) \right| + \ln |c|$
$xy = c \sec \left( \frac{y}{x} \right)$
આમ,$xy \cos \left( \frac{y}{x} \right) = c$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.
$dx$ વડે ભાગતા: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 - y^2}$.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 - v^2x^2}$.
$vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1 - v^2}$.
$x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1 - v^2} \implies \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x} \implies \sin^{-1}(v) = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
$y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 1, y = 0$ લેતા: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln x \implies \frac{y}{x} = \sin(\ln x) \implies y = x \sin(\ln x)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = ux$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 x^2 - x^2}{2x(ux)} = \frac{u^2 - 1}{2u}$.
$x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-(1 + u^2)}{2u}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{2u}{1 + u^2} \, du = - \int \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(1 + u^2) = -\ln|x| + \ln|C|$.
$\ln(1 + u^2) = \ln\left(\frac{C}{x}\right) \Rightarrow 1 + u^2 = \frac{C}{x}$.
$u = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 1^2 = C(1) \Rightarrow C = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2x$ છે,જેને $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ છે.
ધારો કે $z = y^2$. તો $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dz}{dx}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2y} \frac{dz}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)} \implies \frac{dz}{dx} = \frac{y^4}{xy^2 - x^2} = \frac{z^2}{xz - x^2}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dz}{dx} = \frac{(z/x)^2}{(z/x) - 1}$ મળે છે. આ $z$ અને $x$ ના સંદર્ભમાં એક સુરેખ (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
$\frac{dz}{dx} = \frac{z^2}{xz - x^2}$ ને ઉકેલવા માટે,$z = vx$ લો,તો $\frac{dz}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 x^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v}{v - 1}$.
$\int \frac{v - 1}{v} dv = \int \frac{1}{x} dx \implies v - \ln|v| = \ln|x| + C$.
$\frac{z}{x} - \ln|\frac{z}{x}| = \ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x} = \ln|y^2| + C$.
આ $y^2 e^{-y^2/x} = C$ સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ છે.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + v^2 x^2} = \frac{v}{1 + v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|\frac{y}{x}| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
$y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$.
સમીકરણ $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$ છે.
$y = e$ માટે: $-\frac{x^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2} \implies -\frac{x^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x^2}{2e^2} = -\frac{3}{2} \implies x^2 = 3e^2 \implies x = \sqrt{3}e$.

(NONE) $52$ પત્તાના ડેકમાં $4$ રાજા,$4$ રાણી અને $4$ ગુલામ હોય છે.
$P(E) = P(\text{રાજા અથવા રાણી}) = \frac{4+4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$.
$P(F) = P(\text{રાણી અથવા ગુલામ}) = \frac{4+4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$.
ઘટના $E \cap F$ એ પત્તું રાણી હોવાનું દર્શાવે છે (કારણ કે રાણી બંને સમૂહમાં સામાન્ય છે).
$P(E \cap F) = P(\text{રાણી}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
હવે,સ્વતંત્રતા માટે તપાસો: $P(E) \times P(F) = \frac{2}{13} \times \frac{2}{13} = \frac{4}{169}$.
કારણ કે $P(E \cap F) = \frac{1}{13} = \frac{13}{169}$,અને $\frac{4}{169} \neq \frac{13}{169}$,તેથી $P(E \cap F) \neq P(E) \times P(F)$.
તેથી,ઘટનાઓ $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર નથી.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y}{x-y}$ ............$(1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{x+2y}{x-y}$.
હવે $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda(x+2y)}{\lambda(x-y)} = \lambda^0 \cdot F(x, y)$.
તેથી,$F(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે. આમ,આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,
$\frac{dy}{dx} = \frac{1+2(y/x)}{1-(y/x)} = g(y/x)$ .............$(2)$
અહીં $R.H.S.$ એ $y/x$ નું વિધેય હોવાથી તે શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લો ...........$(3)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ ...........$(4)$
$(3)$ અને $(4)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{1-v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{1-v} - v = \frac{v^2+v+1}{1-v}$
$\frac{v-1}{v^2+v+1} dv = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{v-1}{v^2+v+1} dv = -\int \frac{dx}{x}$
$\frac{1}{2} \log|v^2+v+1| - \sqrt{3} \tan^{-1}\left(\frac{2v+1}{\sqrt{3}}\right) = -\log|x| + C_1$
$v = y/x$ મૂકતા:
$\log|x^2+xy+y^2| = 2\sqrt{3} \tan^{-1}\left(\frac{2y+x}{\sqrt{3}x}\right) + C$.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{d y}{d x}=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ ............$(1)$
આ $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ સ્વરૂપનું વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં $F(x, y) = \frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
$x$ ને $\lambda x$ અને $y$ ને $\lambda y$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) + \lambda x}{\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)} = \frac{\lambda [y \cos (y/x) + x]}{\lambda [x \cos (y/x)]} = \lambda^0 F(x, y)$.
જેથી $F(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે,તેથી આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
તેને ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લેતા,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \cos v + x}{x \cos v} = \frac{v \cos v + 1}{\cos v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + 1}{\cos v} - v = \frac{1}{\cos v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\cos v \, dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\sin v = \log |x| + C$.
$v = y/x$ મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$ મળે છે.