Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $3e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0$.
चरों को अलग करने पर:
$(1 - e^x) \sec^2 y \, dy = -3e^x \tan y \, dx$.
दोनों पक्षों को $(1 - e^x) \tan y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = -3 \frac{e^x}{1 - e^x} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = -3 \int \frac{e^x}{1 - e^x} \, dx$.
माना $u = \tan y$,तब $du = \sec^2 y \, dy$. माना $v = 1 - e^x$,तब $dv = -e^x \, dx$.
समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{u} \, du = 3 \int \frac{1}{v} \, dv$.
$\ln|u| = 3 \ln|v| + \ln|c|$.
$\ln|\tan y| = \ln|c(1 - e^x)^3|$.
अतः,$\tan y = c(1 - e^x)^3$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + y^2}{1 + x^2}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{1}{1 + y^2} dy = \frac{1}{1 + x^2} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{1 + y^2} dy = \int \frac{1}{1 + x^2} dx$
यह हमें देता है:
$\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + C$
अचर $C = \tan^{-1} c$ लेने पर:
$\tan^{-1} y - \tan^{-1} x = \tan^{-1} c$
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{y - x}{1 + yx} \right) = \tan^{-1} c$
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$\frac{y - x}{1 + xy} = c$
अतः,हल है:
$y - x = c(1 + xy)$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos y \, dy = (x e^x \log x + e^x) \, dx$
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$\cos y \, dy = \left( e^x \log x + \frac{e^x}{x} \right) \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos y \, dy = \int (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) \, dx$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx} (e^x \log x) = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$ होता है।
अतः,$\int (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) \, dx = e^x \log x + c$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हल $\sin y = e^x \log x + c$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x - y} + x^2 e^{-y}$
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
$x$ और $y$ चरों को अलग करने पर: $e^y dy = (e^x + x^2) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y dy = \int (e^x + x^2) dx$
समाकलन करने पर: $e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{1 + x^2}{x} = 0$
चरों को अलग करने पर: $dy = - \left( \frac{1 + x^2}{x} \right) dx$
व्यंजक को सरल करने पर: $dy = - \left( \frac{1}{x} + x \right) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = - \int \left( \frac{1}{x} + x \right) dx$
$y = - (\log |x| + \frac{x^2}{2}) + c$
$y = - \log |x| - \frac{x^2}{2} + c$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y + \log |x| + \frac{x^2}{2} = c$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + x^2)\frac{dy}{dx} = x$
चरों को अलग करने पर:
$dy = \frac{x}{1 + x^2} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \frac{x}{1 + x^2} dx + c$
माना $u = 1 + x^2$,तब $du = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} du$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \int \frac{1}{2u} du + c$
$y = \frac{1}{2} \log_e|u| + c$
$y = \frac{1}{2} \log_e(1 + x^2) + c$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \sin^2 y = 0$ है।
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\sin^2 y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sin^2 y$ से विभाजित करने और $dx$ से गुणा करने पर: $\frac{dy}{\sin^2 y} = -dx$ प्राप्त होता है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\csc^2 y \, dy = -dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \csc^2 y \, dy = \int -dx$।
चूंकि $\int \csc^2 y \, dy = -\cot y$,इसलिए: $-\cot y = -x + C$।
$-1$ से गुणा करने पर: $\cot y = x - C$ प्राप्त होता है।
$-C = c$ रखने पर,हमें मिलता है: $x = \cot y + c$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(\sin x + \cos x)dy + (\cos x - \sin x)dx = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(\sin x + \cos x)dy = -(\cos x - \sin x)dx$ प्राप्त होता है।
अतः,$dy = -\frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dy = -\int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx$।
माना $u = \sin x + \cos x$,तो $du = (\cos x - \sin x)dx$ होगा।
इसलिए,$\int dy = -\int \frac{1}{u} du$।
$y = -\ln|\sin x + \cos x| + C$।
$y = \ln|\frac{c}{\sin x + \cos x}|$ (जहाँ $C = \ln c$)।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$e^y = \frac{c}{\sin x + \cos x}$।
अतः,$e^y(\sin x + \cos x) = c$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y^2)$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x) dx$
$\tan^{-1}(y) = x + \frac{x^2}{2} + c$
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$y = \tan\left(\frac{x^2}{2} + x + c\right)$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: ${x^2}\frac{{dy}}{{dx}} = 2$
चरण $1$: चरों को अलग करें।
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{2}{{{x^2}}}$
$dy = 2{x^{-2}}dx$
चरण $2$: दोनों पक्षों का समाकलन करें।
$\int dy = \int 2{x^{-2}}dx$
$y = 2 \left( \frac{{{x^{-2+1}}}}{{-2+1}} \right) + c$
$y = 2 \left( \frac{{{x^{-1}}}}{{-1}} \right) + c$
$y = -\frac{2}{x} + c$
अतः,व्यापक हल $y = c - \frac{2}{x}$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = x \log x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y = \int x \log x \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \log x$ और $dv = x \, dx$:
$du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$.
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$y = (\log x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
$y = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx$.
$y = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + c$.
$y = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$.
यह परिणाम दिए गए विकल्पों से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$
दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (1 + x) + y(1 + x)$
$\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y)$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{1 + y} = (1 + x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{1 + y} dy = \int (1 + x) dx$
समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\log(1 + y) = x + \frac{x^2}{2} + c$
अतः,हल $\log(1 + y) = x + \frac{x^2}{2} + c$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $({x^2} - y{x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + {y^2} + x{y^2} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2(1 - y)\frac{dy}{dx} = -y^2(1 + x)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{1 - y}{y^2} dy = -\frac{1 + x}{x^2} dx$ प्राप्त होता है।
इसे $(\frac{1}{y^2} - \frac{1}{y}) dy = -(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (y^{-2} - y^{-1}) dy = -\int (x^{-2} + x^{-1}) dx$ प्राप्त होता है।
$-y^{-1} - \log|y| = -(-x^{-1} + \log|x|) + C$.
$-\frac{1}{y} - \log|y| = \frac{1}{x} - \log|x| + C$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\log|x| - \log|y| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + C$.
अतः,$\log \left( \frac{x}{y} \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + C$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sec y \frac{dy}{dx} = 1$
चरों को अलग करने पर:
$\sec y \, dy = \frac{1}{x} \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \sec y \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx$
हम जानते हैं कि $\int \sec y \, dy = \log |\sec y + \tan y|$ और $\int \frac{1}{x} \, dx = \log |x| + \log |c|$
अतः,$\log |\sec y + \tan y| = \log |cx|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sec y + \tan y = cx$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x\frac{dy}{dx} + y = y^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x\frac{dy}{dx} = y^2 - y$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y^2 - y} = \frac{dx}{x}$
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\left( \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y} \right) dy = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y} \right) dy = \int \frac{dx}{x}$
$\log|y-1| - \log|y| = \log|x| + \log|c|$
$\log\left| \frac{y-1}{y} \right| = \log|cxy|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\frac{y-1}{y} = cxy$
अतः,$y - 1 = cxy$ या $y = 1 + cxy$ सही हल है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
चरों को अलग करने पर,हमारे पास है: $dy = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = -\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$
हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \sin^{-1}x + c$
अतः,$y = -\sin^{-1}x + c$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: $y + \sin^{-1}x = c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $({e^y} + 1)\cos x \, dx + {e^y}\sin x \, dy = 0$ है।
चर $x$ और $y$ को अलग करने पर:
$\frac{{e^y}}{{e^y} + 1} \, dy + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \, dx = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{{e^y}}{{e^y} + 1} \, dy + \int \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \, dx = C$.
माना $u = {e^y} + 1$,तो $du = {e^y} \, dy$। समाकलन करने पर $\int \frac{1}{u} \, du + \int \cot x \, dx = C$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln({e^y} + 1) + \ln(\sin x) = \ln c$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर,$\ln(({e^y} + 1)\sin x) = \ln c$ मिलता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$({e^y} + 1)\sin x = c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण ${x^2}dy = - 2xydx$ है।
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{y}dy = - \frac{2x}{x^2}dx$
दाहिनी ओर सरल करने पर:
$\frac{1}{y}dy = - \frac{2}{x}dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{y}dy = - 2 \int \frac{1}{x}dx$
$\log |y| = - 2 \log |x| + C$
लघुगणक के गुणधर्म $n \log a = \log a^n$ का उपयोग करने पर:
$\log |y| = \log |x|^{-2} + \log c$
$\log |y| = \log |c x^{-2}|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$y = c x^{-2}$
$x^2$ से गुणा करने पर:
${x^2}y = c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = ae^{bx} + c\cos mx$
चरों को अलग करने पर: $dy = (ae^{bx} + c\cos mx) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = \int (ae^{bx} + c\cos mx) dx$
समाकलन के नियमों $\int e^{bx} dx = \frac{e^{bx}}{b}$ और $\int \cos(mx) dx = \frac{\sin(mx)}{m}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{ae^{bx}}{b} + \frac{c\sin(mx)}{m} + k$,जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + \cos x)dy = (1 - \cos x)dx$
चरों को अलग करने पर:
$dy = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} dx$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$dy = \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx = \tan^2 \frac{x}{2} dx$
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$dy = (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) dx$
$y = 2\tan \frac{x}{2} - x + c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + x)y}{(y - 1)x}$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y - 1}{y} dy = \frac{1 + x}{x} dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1 - \frac{1}{y}) dy = (1 + \frac{1}{x}) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 - \frac{1}{y}) dy = \int (1 + \frac{1}{x}) dx$.
$y - \log|y| = x + \log|x| + c$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x - y + \log|x| + \log|y| = -c$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$x - y + \log|xy| = C$ (जहाँ $C = -c$ एक स्थिरांक है).
अतः,हल $\log(xy) + x - y = c$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin^{-1} \left( \frac{dy}{dx} \right) = x + y$ है।
दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \sin(x + y)$ प्राप्त होता है।
माना $v = x + y$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v$,या $\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dv}{1 + \sin v} = dx$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $(1 - \sin v)$ से गुणा करने पर,$\frac{1 - \sin v}{1 - \sin^2 v} dv = dx$,जो सरल होकर $\frac{1 - \sin v}{\cos^2 v} dv = dx$ हो जाता है।
इसे $(\sec^2 v - \sec v \tan v) dv = dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (\sec^2 v - \sec v \tan v) dv = \int dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\tan v - \sec v = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = x + y$ का मान वापस रखने पर,अंतिम हल $\tan(x + y) - \sec(x + y) = x + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = x^2 + \sin 3x$ है।
हल ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$y = \int (x^2 + \sin 3x) dx$।
मानक समाकलन सूत्रों $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ और $\int \sin(ax) dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + c$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{x^3}{3} - \frac{\cos 3x}{3} + c$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + x^2)\frac{dy}{dx} = 1$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$
$dy = \frac{1}{1 + x^2} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \frac{1}{1 + x^2} dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \tan^{-1}x + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \tan^{-1}x + c$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = y(e^x + 1)$
चर $y$ और $x$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{y} = (e^x + 1) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y} = \int (e^x + 1) dx$
समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\log |y| = e^x + x + c$
अतः,हल $\log y = e^x + x + c$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}} = 0$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$
इससे प्राप्त होता है: $\sin^{-1}(y) = -\sin^{-1}(x) + C$
अचर $C = \sin^{-1}(c)$ लेने पर: $\sin^{-1}(y) + \sin^{-1}(x) = \sin^{-1}(c)$
सर्वसमिका $\sin^{-1}(x) + \sin^{-1}(y) = \sin^{-1}(x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin^{-1}(x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}) = \sin^{-1}(c)$
दोनों पक्षों का साइन लेने पर: $x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2} = c$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{1 + \cos 2y}{1 - \cos 2x} = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = - \frac{1 + \cos 2y}{1 - \cos 2x}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2y = 2 \cos^2 y$ और $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{dy}{dx} = - \frac{2 \cos^2 y}{2 \sin^2 x} = - \frac{\cos^2 y}{\sin^2 x}$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{\cos^2 y} = - \frac{dx}{\sin^2 x}$,जो $\sec^2 y \, dy = - \csc^2 x \, dx$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2 y \, dy = - \int \csc^2 x \, dx$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $\tan y = -(-\cot x) + c$,जो सरल होकर $\tan y = \cot x + c$ हो जाता है।
अतः,हल $\tan y - \cot x = c$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + x^2)\frac{dy}{dx} = x(1 + y^2)$
चर $x$ और $y$ को अलग करने पर:
$\frac{1}{1 + y^2} dy = \frac{x}{1 + x^2} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{1 + y^2} dy = \int \frac{x}{1 + x^2} dx$
मान लीजिए $u = 1 + x^2$,तब $du = 2x dx$,अर्थात $x dx = \frac{1}{2} du$:
$\tan^{-1}y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du$
$\tan^{-1}y = \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + c_1$
सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$2\tan^{-1}y = \log(1 + x^2) + 2c_1$
मान लीजिए $c = 2c_1$:
$2\tan^{-1}y = \log(1 + x^2) + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $({e^x} + 1)y \, dy = (y + 1){e^x} \, dx$
चरों को अलग करने पर: $\frac{y}{y + 1} \, dy = \frac{{e^x}}{{e^x} + 1} \, dx$
बाएँ पक्ष को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\left( 1 - \frac{1}{y + 1} \right) \, dy = \frac{{e^x}}{{e^x} + 1} \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left( 1 - \frac{1}{y + 1} \right) \, dy = \int \frac{{e^x}}{{e^x} + 1} \, dx$
समाकलन करने पर: $y - \ln|y + 1| = \ln|{e^x} + 1| + C$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y = \ln|y + 1| + \ln|{e^x} + 1| + \ln|c|$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $y = \ln|c(y + 1)({e^x} + 1)|$
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: ${e^y} = c(y + 1)({e^x} + 1)$.

(B) दिया गया समीकरण: $(1 - x^2)dy + xydx = xy^2dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(1 - x^2)dy = xy^2dx - xydx = xy(y - 1)dx$
चरों को अलग करने पर: $\frac{1}{y(y - 1)}dy = \frac{x}{1 - x^2}dx$
बाईं ओर आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $(\frac{1}{y - 1} - \frac{1}{y})dy = \frac{x}{1 - x^2}dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{y - 1} - \frac{1}{y})dy = \int \frac{x}{1 - x^2}dx$
$\log|y - 1| - \log|y| = -\frac{1}{2}\log|1 - x^2| + \log|c|$
$2$ से गुणा करने पर: $2\log|\frac{y - 1}{y}| = -\log|1 - x^2| + 2\log|c|$
$2\log|\frac{y - 1}{y}| + \log|1 - x^2| = \log|c^2|$
$\log|(\frac{y - 1}{y})^2(1 - x^2)| = \log|c^2|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\frac{(y - 1)^2}{y^2}(1 - x^2) = c^2$
अतः,हल $(y - 1)^2(1 - x^2) = c^2y^2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{a + x} \frac{dy}{dx} + x = 0$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $dy = -\frac{x}{\sqrt{a + x}} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = -\int \frac{x}{\sqrt{a + x}} dx$
समाकलन को हल करने के लिए,अंश को पुनः लिखें: $\int \frac{x}{\sqrt{a + x}} dx = \int \frac{x + a - a}{\sqrt{a + x}} dx = \int (\sqrt{a + x} - \frac{a}{\sqrt{a + x}}) dx$
अतः,$y = -[\int (a + x)^{1/2} dx - a \int (a + x)^{-1/2} dx] + c$
$y = -[\frac{2}{3}(a + x)^{3/2} - 2a(a + x)^{1/2}] + c$
$y = -\frac{2}{3}(a + x)^{3/2} + 2a(a + x)^{1/2} + c$
$3$ से गुणा करने पर: $3y = -2(a + x)^{3/2} + 6a(a + x)^{1/2} + 3c$
$-2\sqrt{a + x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $3y = -2\sqrt{a + x} [(a + x) - 3a] + 3c$
$3y = -2\sqrt{a + x} (x - 2a) + 3c$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3y + 2\sqrt{a + x}(x - 2a) = 3c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \cos y \frac{dy}{dx} = - \sin x \sin y$
चर $x$ और $y$ को अलग करने पर:
$\frac{\cos y}{\sin y} dy = - \frac{\sin x}{\cos x} dx$
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\cot y \, dy = - \tan x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cot y \, dy = - \int \tan x \, dx$
मानक समाकलन $\int \cot y \, dy = \log |\sin y|$ और $\int \tan x \, dx = \log |\sec x| = - \log |\cos x|$ का उपयोग करने पर:
$\log |\sin y| = - (- \log |\cos x|) + \log |c|$
$\log |\sin y| = \log |\cos x| + \log |c|$
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log |\sin y| = \log |c \cos x|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\sin y = c \cos x$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x(e^{2y} - 1)dy + (x^2 - 1)e^y dx = 0$ है।
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x(e^{2y} - 1)dy = -(x^2 - 1)e^y dx$
$\frac{e^{2y} - 1}{e^y} dy = \frac{1 - x^2}{x} dx$
$(e^y - e^{-y}) dy = (\frac{1}{x} - x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (e^y - e^{-y}) dy = \int (\frac{1}{x} - x) dx$
$e^y - (-e^{-y}) = \log |x| - \frac{x^2}{2} + c$
$e^y + e^{-y} = \log |x| - \frac{x^2}{2} + c$.

(B) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v + \sin v$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $1 + \cos v = 2\cos^2(v/2)$ और $\sin v = 2\sin(v/2)\cos(v/2)$.
$\frac{dv}{dx} = 2\cos^2(v/2) + 2\sin(v/2)\cos(v/2) = 2\cos^2(v/2) [1 + \tan(v/2)]$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{\sec^2(v/2) dv}{2[1 + \tan(v/2)]} = dx$.
माना $u = 1 + \tan(v/2)$,तब $du = \frac{1}{2}\sec^2(v/2) dv$.
समाकलन करने पर: $\int \frac{du}{u} = \int dx$.
$\log|u| = x + c$.
$u = 1 + \tan(v/2)$ और $v = x + y$ वापस रखने पर: $\log \left[ 1 + \tan \left( \frac{x + y}{2} \right) \right] = x + c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 - x^2)(1 - y)dx = xy(1 + y)dy$
चरों को अलग करने पर: $\frac{1 - x^2}{x} dx = \frac{y(1 + y)}{1 - y} dy$
$\left( \frac{1}{x} - x \right) dx = \frac{y + y^2}{1 - y} dy$
दाहिनी ओर बहुपद विभाजन करने पर: $\frac{y^2 + y}{-(y - 1)} = -\left( y + 1 + \frac{2}{y - 1} \right) = -y - 1 - \frac{2}{y - 1}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{1}{x} - x \right) dx = \int \left( -y - 1 - \frac{2}{y - 1} \right) dy$
$\log |x| - \frac{x^2}{2} = -\frac{y^2}{2} - y - 2 \log |y - 1| + c$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\log |x| + 2 \log |y - 1| = \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} - y + c$
लॉग के नियमों का उपयोग करने पर: $\log |x(y - 1)^2| = \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} - y + c$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x - y^2x)dx = (y - x^2y)dy$ है।
दोनों पक्षों का गुणनखंड करने पर,$x(1 - y^2)dx = y(1 - x^2)dy$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{x}{1 - x^2}dx = \frac{y}{1 - y^2}dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{x}{1 - x^2}dx = \int \frac{y}{1 - y^2}dy$ प्राप्त होता है।
माना $u = 1 - x^2$,तब $du = -2xdx$,अतः $xdx = -\frac{1}{2}du$। इसी प्रकार,$ydy = -\frac{1}{2}dv$ जहाँ $v = 1 - y^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u}du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{v}dv + C$ प्राप्त होता है।
$-\frac{1}{2} \ln|1 - x^2| = -\frac{1}{2} \ln|1 - y^2| + \ln c$।
$-2$ से गुणा करने पर,$\ln|1 - x^2| = \ln|1 - y^2| - 2\ln c$ प्राप्त होता है।
$\ln|1 - x^2| - \ln|1 - y^2| = \ln(c^{-2})$।
$\ln|\frac{1 - x^2}{1 - y^2}| = \ln(c^{-2})$।
$\frac{1 - x^2}{1 - y^2} = \frac{1}{c^2}$।
अतः,$(1 - y^2) = c^2(1 - x^2)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(\text{cosec } x \log y) dy + (x^2 y) dx = 0$
चरों को अलग करने पर: $\frac{\log y}{y} dy = -x^2 \sin x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\log y}{y} dy = -\int x^2 \sin x dx$
माना $u = \log y$,तब $du = \frac{1}{y} dy$. बायां पक्ष $\int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log y)^2}{2}$ हो जाता है।
दाएं पक्ष के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \sin x dx = x^2(-\cos x) - \int 2x(-\cos x) dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x$.
अतः,$-\int x^2 \sin x dx = x^2 \cos x - 2(x \sin x + \cos x) = x^2 \cos x - 2x \sin x - 2 \cos x$.
दोनों पक्षों को बराबर करने पर: $\frac{(\log y)^2}{2} = x^2 \cos x - 2x \sin x - 2 \cos x + c$.
व्यवस्थित करने पर: $\frac{(\log y)^2}{2} + (2 - x^2) \cos x + 2x \sin x = c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(\sin^2 x + \sin 2x)}{y(2\log y + 1)}$
चरों को अलग करने पर: $(2y \log y + y) dy = e^x(\sin^2 x + \sin 2x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (2y \log y + y) dy = \int e^x(\sin^2 x + \sin 2x) dx$
बाएँ पक्ष के लिए: $u = \log y$ लेने पर,$du = \frac{1}{y} dy$। यह समाकलन $\int y(2 \log y + 1) dy$ है। $\int 2y \log y dy$ पर खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,हमें $y^2 \log y - \int y^2 \cdot \frac{1}{y} dy = y^2 \log y - \frac{y^2}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$\int (2y \log y + y) dy = y^2 \log y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^2}{2} = y^2 \log y$।
दाएँ पक्ष के लिए: $\int e^x(\sin^2 x + \sin 2x) dx$। ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(e^x \sin^2 x) = e^x \sin^2 x + e^x(2 \sin x \cos x) = e^x(\sin^2 x + \sin 2x)$।
अतः,समाकलन $e^x \sin^2 x + c$ है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $y^2 \log y = e^x \sin^2 x + c$,जिसे $y^2 \log y - e^x \sin^2 x + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $xy \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + y^2)(1 + x + x^2)}{(1 + x^2)}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y}{1 + y^2} dy = \frac{1 + x + x^2}{x(1 + x^2)} dx$
दाहिनी ओर का सरलीकरण करने पर:
$\frac{y}{1 + y^2} dy = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{1 + x^2} \right) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{y}{1 + y^2} dy = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{1 + x^2} \right) dx$
$\frac{1}{2} \log(1 + y^2) = \log x + \tan^{-1} x + c$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $(x\sqrt{1 + y^2})dx + (y\sqrt{1 + x^2})dy = 0$
चरों को अलग करने पर:
$(x\sqrt{1 + y^2})dx = -(y\sqrt{1 + x^2})dy$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1 + x^2}\sqrt{1 + y^2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}dx = -\frac{y}{\sqrt{1 + y^2}}dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}}dy$
माना $u = 1 + x^2$,तब $du = 2xdx$,अर्थात $xdx = \frac{1}{2}du$। इसी प्रकार $y$ के लिए:
$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{2} \int v^{-1/2} dv$
$\sqrt{u} = -\sqrt{v} + C$
$u$ और $v$ के मान वापस रखने पर:
$\sqrt{1 + x^2} = -\sqrt{1 + y^2} + C$
$\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + y^2} = C$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: ${e^{2x - 3y}}dx + {e^{2y - 3x}}dy = 0$
घातांक के नियमों का उपयोग करके पदों को फिर से लिखने पर:
${e^{2x}} \cdot {e^{-3y}}dx + {e^{2y}} \cdot {e^{-3x}}dy = 0$
चरों को अलग करने के लिए पूरे समीकरण को ${e^{3x}} \cdot {e^{3y}}$ से गुणा करने पर:
${e^{2x}} \cdot {e^{-3y}} \cdot {e^{3x}} \cdot {e^{3y}}dx + {e^{2y}} \cdot {e^{-3x}} \cdot {e^{3x}} \cdot {e^{3y}}dy = 0$
घातांकों को सरल करने पर:
${e^{5x}}dx + {e^{5y}}dy = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int {e^{5x}}dx + \int {e^{5y}}dy = \int 0$
$\frac{1}{5}{e^{5x}} + \frac{1}{5}{e^{5y}} = C_1$
अचर को सरल बनाने के लिए $5$ से गुणा करने पर:
${e^{5x}} + {e^{5y}} = 5C_1 = c$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + x^2)(1 + y)dy + (1 + x)(1 + y^2)dx = 0$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{1 + y}{1 + y^2}dy = -\frac{1 + x}{1 + x^2}dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1 + y}{1 + y^2}dy = -\int \frac{1 + x}{1 + x^2}dx$
समाकलन को अलग करने पर:
$\int \left( \frac{1}{1 + y^2} + \frac{y}{1 + y^2} \right)dy = -\int \left( \frac{1}{1 + x^2} + \frac{x}{1 + x^2} \right)dx$
समाकलन करने पर:
$\tan^{-1}y + \frac{1}{2}\log(1 + y^2) = -(\tan^{-1}x + \frac{1}{2}\log(1 + x^2)) + C$
पदों को व्यवस्थित करने पर अंतिम हल प्राप्त होता है:
$\tan^{-1}x + \frac{1}{2}\log(1 + x^2) + \tan^{-1}y + \frac{1}{2}\log(1 + y^2) = C$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x + y)^2$ है।
माना $v = x + y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dv}{dx} - 1 = v^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dv}{dx} = v^2 + 1$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dv}{v^2 + 1} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dv}{v^2 + 1} = \int dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\tan^{-1}(v) = x + c$ है,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।
$v = x + y$ वापस रखने पर,हमें $\tan^{-1}(x + y) = x + c$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$x + y = \tan(x + c)$ प्राप्त होता है,जिसे $x + y - \tan(x + c) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos y \log(\sec x + \tan x) dx = \cos x \log(\sec y + \tan y) dy$ है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{\log(\sec x + \tan x)}{\cos x} dx = \frac{\log(\sec y + \tan y)}{\cos y} dy$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{\cos x} = \sec x$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\sec x \log(\sec x + \tan x) dx = \sec y \log(\sec y + \tan y) dy$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec x \log(\sec x + \tan x) dx = \int \sec y \log(\sec y + \tan y) dy$।
माना $u = \log(\sec x + \tan x)$,तो $du = \sec x dx$।
इसी प्रकार,दाईं ओर के लिए,माना $v = \log(\sec y + \tan y)$,तो $dv = \sec y dy$।
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int u du = \int v dv$।
इससे $\frac{u^2}{2} = \frac{v^2}{2} + C_1$,या $u^2 - v^2 = C$ प्राप्त होता है।
मान वापस रखने पर: $[\log(\sec x + \tan x)]^2 - [\log(\sec y + \tan y)]^2 = C$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प सही नहीं है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ है।
इसे हल करने के लिए,हम चर पृथक्करण विधि का उपयोग करते हैं।
चर $y$ और $x$ को अलग करने पर:
$dy = \frac{1}{x} dx$.
अब,दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \frac{1}{x} dx$.
$y$ के सापेक्ष $1$ का समाकलन $y$ होता है,और $x$ के सापेक्ष $\frac{1}{x}$ का समाकलन $\log|x|$ होता है।
समाकलन स्थिरांक $c$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \log|x| + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\log \left( \frac{dy}{dx} \right) = x + y$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,हम लिख सकते हैं: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$
घातांक के नियम का उपयोग करने पर: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$
अब,चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{e^y} = e^x \, dx$
जो इस प्रकार है: $e^{-y} \, dy = e^x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} \, dy = \int e^x \, dx$
$-e^{-y} = e^x + C$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $e^x + e^{-y} = -C$
चूंकि $-C$ एक स्वेच्छ अचर है,हम इसे $c$ के रूप में लिख सकते हैं: $e^x + e^{-y} = c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cot x \cot y$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{\cot y} = \cot x \, dx$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\tan y \, dy = \cot x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \tan y \, dy = \int \cot x \, dx$
मानक समाकलन सूत्रों $\int \tan y \, dy = \ln|\sec y|$ और $\int \cot x \, dx = \ln|\sin x|$ का उपयोग करने पर:
$\ln|\sec y| = \ln|\sin x| + C$
माना कि अचर $C = \ln|c|$ है:
$\ln|\sec y| = \ln|\sin x| + \ln|c|$
गुणधर्म $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\ln|\sec y| = \ln|c \sin x|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\sec y = c \sin x$
इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:
$\sin x = \frac{1}{c} \sec y$
चूंकि $\frac{1}{c}$ भी एक स्वेच्छ अचर है,इसलिए हम इसे $c$ के रूप में लिख सकते हैं:
$\sin x = c \sec y$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - y - 2}{x^2 + 2x - 3}$.
द्विघात पदों का गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{(y - 2)(y + 1)}{(x + 3)(x - 1)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{(y - 2)(y + 1)} = \frac{dx}{(x + 3)(x - 1)}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{(y - 2)(y + 1)} = \int \frac{dx}{(x + 3)(x - 1)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 1} \right) dy = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 3} \right) dx$.
समाकलन करने पर: $\frac{1}{3} \log \left| \frac{y - 2}{y + 1} \right| = \frac{1}{4} \log \left| \frac{x - 1}{x + 3} \right| + C_1$.
दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर: $4 \log \left| \frac{y - 2}{y + 1} \right| = 3 \log \left| \frac{x - 1}{x + 3} \right| + c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y dx + (1 + x^2) \tan^{-1} x dy = 0$
चरों को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y dx = -(1 + x^2) \tan^{-1} x dy$
$\frac{dx}{(1 + x^2) \tan^{-1} x} = -\frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dx}{(1 + x^2) \tan^{-1} x} = -\int \frac{dy}{y}$
माना $u = \tan^{-1} x$,तब $du = \frac{1}{1 + x^2} dx$. समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{du}{u} = -\int \frac{dy}{y}$
$\ln|u| = -\ln|y| + \ln|c|$
$\ln|\tan^{-1} x| + \ln|y| = \ln|c|$
$\ln|y \tan^{-1} x| = \ln|c|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$y \tan^{-1} x = c$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2}$
चर पृथक्करण विधि का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं: $y^2 dy = x^2 dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y^2 dy = \int x^2 dx$
यह प्राप्त होता है: $\frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + C_1$
$3$ से गुणा करने पर: $y^3 = x^3 + 3C_1$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^3 - y^3 = -3C_1$
माना $-3C_1 = c$,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है: $x^3 - y^3 = c$
अतः,सही विकल्प $A$ है.