यदि समीकरण $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x = 0$ का एक धनात्मक मूल $x = \alpha$ है,तो समीकरण $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ के धनात्मक मूल के बारे में क्या कहा जा सकता है?

मान लीजिए $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$,जहाँ $x \in [0,4]$ है। यदि लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू किया जा सकता है,तो $c$ के मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-2, 2)$ पर दो बार अवकलनीय सम फलन हैं,इस प्रकार कि $f(\frac{1}{4}) = 0, f(\frac{1}{2}) = 0, f(1) = 1$ और $g(\frac{3}{4}) = 0, g(1) = 2$ है। तब,$(-2, 2)$ में $f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) = 0$ के हलों की न्यूनतम संख्या क्या है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: यदि $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$,जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं,तो बहुपद $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ का अंतराल $(0,1)$ में एक शून्य है।
कथन $II$: यदि $f:[a, b] \rightarrow R$,$[a, b]$ पर सतत है और $f$,$(a, b)$ में अवकलनीय है,जहाँ $a>0$ और यदि $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ है,तो एक ऐसा $c \in(a, b)$ मौजूद है कि $c f^{\prime}(c)=f(c)$ हो।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

समय $t$ पर एक चलती कार की स्थिति $f(t) = at^{2} + bt + c, t > 0$ द्वारा दी गई है,जहाँ $a, b$ और $c$ $1$ से बड़ी वास्तविक संख्याएँ हैं। तो समय अंतराल $[t_{1}, t_{2}]$ के दौरान कार की औसत गति किस बिंदु पर प्राप्त होती है?

यदि $f(x) = x^\alpha \log x$ और $f(0) = 0$ है,तो $\alpha$ का वह मान जिसके लिए $[0, 1]$ में रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है,है