वक्र $y = {x^3}$ पर अन्तराल $ [-2, 2]$  के बीच स्थित उन बिन्दुओं के भुज, जिन पर खींची गई स्पर्शियों की प्रवणतायें अन्तराल $ [-2, 2]$  के लिए मध्यमान प्रमेय (Mean value theorem)  द्वारा ज्ञात की जा सकती हैं, हैं

फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।:

$(i)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$

$(ii)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$

$(iii)$ $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$

फलन $f(x) = {x^2} - 4$ के लिये रोले प्रमेय किस अन्तराल में सत्य है

माना $\mathrm{g}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ एक परिवर्तनीय तथा दो बार अवकलनीय फलन है और $\mathrm{g}^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{g}^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ है यदि एक वास्तविक मान फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2}[\mathrm{~g}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(2-\mathrm{x})]$, द्वारा परिभाषित है, तो :

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ अभिकलनीय फलन $(differentiable\,functon)$ इस प्रकार है कि किन्हीं $a < b$ के लिए $f(a)=0=f(b)$ और $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$ है। अंतराल $(interval$;' $( a , b )$ में $f( x )$ के मूलों $(roots)$ की न्यूनतम संख्या क्या है ?

यदि $f(x) = \cos x,0 \le x \le \frac{\pi }{2}$, तो मध्यमान प्रमेय की वास्तविक संख्या $ ‘c’$  है