यदि $f(x) = \cos x,0 \le x \le \frac{\pi }{2}$, तो मध्यमान प्रमेय की वास्तविक संख्या $ ‘c’$ है
यदि $f(x) = \cos x,0 \le x \le \frac{\pi }{2}$, तो मध्यमान प्रमेय की वास्तविक संख्या $ ‘c’$ है
- A
$\frac{\pi }{6}$
- B
$\frac{\pi }{4}$
- C
${\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{\pi }} \right)$
- D
${\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{\pi }} \right)$
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यदि $f ^{\prime} G \left(\frac{4}{3}\right)=0$, के साथ फलन $f(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-4, x \in[1,2]$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है, तो क्रमित युग्म $( a , b )$ बराबर है
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- [JEE MAIN 2021]
यदि $f$ तथा $g,\,[0,1]$ में अवकलनीय फलन हैं जो $f(0)=2=g(1)$, $g(0)=0$ और $f(1)=6$ को संतुष्ट करते हैं, तो किसी $c \in] 0,[1$ के लिए:
यदि $f$ तथा $g,\,[0,1]$ में अवकलनीय फलन हैं जो $f(0)=2=g(1)$, $g(0)=0$ और $f(1)=6$ को संतुष्ट करते हैं, तो किसी $c \in] 0,[1$ के लिए:
- [JEE MAIN 2014]
मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ अभिकलनीय फलन $(differentiable\,functon)$ इस प्रकार है कि किन्हीं $a < b$ के लिए $f(a)=0=f(b)$ और $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$ है। अंतराल $(interval$;' $( a , b )$ में $f( x )$ के मूलों $(roots)$ की न्यूनतम संख्या क्या है ?
मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ अभिकलनीय फलन $(differentiable\,functon)$ इस प्रकार है कि किन्हीं $a < b$ के लिए $f(a)=0=f(b)$ और $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$ है। अंतराल $(interval$;' $( a , b )$ में $f( x )$ के मूलों $(roots)$ की न्यूनतम संख्या क्या है ?
- [KVPY 2010]
माना कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ संतत फलन है जो की अंतराल $(-1,2)$ में दो बार अवकलनीय (twice differentiable) है। माना कि $f$ और $g$ के मान, बिन्दुओं $-1,0$ और $2$ पर निम्न सारणी में दर्शाए गए है -
$x=-1$
$x=0$
$x=2$
$f(x)$
$3$
$6$
$0$
$g(x)$
$0$
$1$
$-1$
यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)
$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं
$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है
$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है
$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है
माना कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ संतत फलन है जो की अंतराल $(-1,2)$ में दो बार अवकलनीय (twice differentiable) है। माना कि $f$ और $g$ के मान, बिन्दुओं $-1,0$ और $2$ पर निम्न सारणी में दर्शाए गए है -
| $x=-1$ | $x=0$ | $x=2$ | |
| $f(x)$ | $3$ | $6$ | $0$ |
| $g(x)$ | $0$ | $1$ | $-1$ |
यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)
$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं
$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है
$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है
$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है
- [IIT 2015]
फलन $f(x)=x^{2}+2 x-8, x \in[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
फलन $f(x)=x^{2}+2 x-8, x \in[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।