किस अन्तराल के लिए फलन $\frac{{{x^2} - 3x}}{{x - 1}}$ रोले प्रमेय की सभी शर्तों को सन्तुष्ट करता है

माना $\mathrm{g}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ एक परिवर्तनीय तथा दो बार अवकलनीय फलन है और $\mathrm{g}^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{g}^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ है यदि एक वास्तविक मान फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2}[\mathrm{~g}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(2-\mathrm{x})]$, द्वारा परिभाषित है, तो :

फलन $f(x)$ मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तो को अंतराल $ [0, 2] $ में सन्तुष्ट करता है। यदि $ f (0) = 0 $ और अंतराल $ [0, 2] $ में  $x $ के सभी मानों के लिये $|f'(x)|\, \le \frac{1}{2}$, तब

यदि फलन $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + 11x - 6$ रोले प्रमेय की शतोर्ं को अन्तराल $[1, 3]$ के लिए सन्तुष्ट करता है तथा $f'\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 0$, तब $a$ और $b$ के मान क्रमश: हैं

उन बिंदुओं, जहाँ वक्र $\mathrm{y}=\mathrm{x}^5-20 \mathrm{x}^3+50 \mathrm{x}+2$, $\mathrm{x}$-अक्ष को काटता है, की संख्या है____________

फलन $f(x) = {(x - 3)^2}$ मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तो को $ [3, 4] $ में सन्तुष्ट करता है। यदि $y = {(x - 3)^2}$ पर एक बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखा $ (3, 0) $ और $(4, 1)$  को मिलाने वाली जीवा के समान्तर हो, तो वह बिन्दु है