रोल का प्रमेय $[-1, 1]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = |x|$ के लिए लागू नहीं होता है क्योंकि

मान लीजिए $f:(a, b) \rightarrow R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$ एक अवकलनीय फलन $g(x)$ के लिए है। यदि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में ठीक पाँच भिन्न मूल हैं,तो $g(x) g'(x) = 0$ के कम से कम:

मान लीजिए कि $f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है। यदि $f(1) = -2$ और $x \in [1, 6]$ के लिए $f'(x) \ge 2$ है,तो

यदि $f(x) = 2x - x^2$ के लिए,अंतराल $[0, 1]$ में लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) संतुष्ट होता है,तो $c \in [0, 1]$ का मान ज्ञात कीजिए।

समय $t$ पर एक चलती कार की स्थिति $f(t) = at^{2} + bt + c, t > 0$ द्वारा दी गई है,जहाँ $a, b$ और $c$ $1$ से बड़ी वास्तविक संख्याएँ हैं। तो समय अंतराल $[t_{1}, t_{2}]$ के दौरान कार की औसत गति किस बिंदु पर प्राप्त होती है?

यदि फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ के लिए अंतराल $x \in [1, 3]$ पर $L.M.V.T.$ लागू होता है,तो $c$ का मान क्या है?