यदि एक बहुपद समीकरण a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ है। चूँकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह बंद अंतराल $[\alpha, \beta]$ पर सतत है और खुले अंतराल $

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कम से कम एक मूल

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(C) माना $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ है। चूँकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह बंद अंतराल $[\alpha, \beta]$ पर सतत है और खुले अंतराल $(\alpha, \beta)$ पर अवकलनीय है। यह दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$f(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $f(\alpha) = 0$ और $f(\beta) = 0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो। बहुपद का अवकलज $f'(x) = na_nx^{n-1} + (n - 1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1$ है। अतः,समीकरण $f'(x) = 0$ के अंतराल $(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक मूल होता है।

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मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है,इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

यदि $x \in [0, 4]$ के लिए $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ है,तो लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करने वाला $c \in (0, 4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1)$ जहाँ $a < x_1 < b$ के लिए,यदि $f(x) = 1/x$ है,तो $x_1 = ?$

यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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