यदि a + b + c = 0 है,तो अंतराल (0, 1) में समी | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ है। हमें दिया गया है कि $a + b + c = 0$ है। $f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d

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कम से कम एक मूल

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(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ है। हमें दिया गया है कि $a + b + c = 0$ है। $f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d$ का मान ज्ञात करें। $f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d$ का मान ज्ञात करें। चूंकि $a + b + c = 0$ है,इसलिए $f(1) = 0 + d = d$ है। अतः,$f(0) = f(1) = d$ है। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है। रोल के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है। इसलिए,समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।

यदि $a + b + c = 0$ है,तो अंतराल $(0, 1)$ में समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के कितने मूल हैं?

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यदि फलन $f(x) = \log x$ के लिए अंतराल $[1, e]$ पर $LMVT$ लागू किया जा सकता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[2, 4]$ में फलन $f(x) = x^{2}$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में $C$ का मान है:

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