यदि $[1, 3]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ के लिए रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो:

एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें,जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ और मान लीजिए $g(x) = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx.$
कथन $1:$ द्विघात समीकरण का अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
कथन $2:$ अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है।

अंतराल $[1, 2]$ में फलन $f(x)=(x-1)^3(x-2)^5$ के लिए रोले के प्रमेय का स्थिरांक $c$ क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा फलन दिए गए अंतराल में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है?

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ और $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = f'(x)$ है। यदि $P$ वक्र $y = g(x)$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर इस वक्र की स्पर्श रेखा,वक्र के बिंदुओं $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ और $(3, g(3))$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,तो बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

माना $f(x) = \begin{cases} \frac{x^p}{(\sin x)^q} & \text{यदि } 0 < x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ जहाँ $p, q \in \mathbb{R}$ है। तब,अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $f(x)$ के लिए लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय लागू होता है यदि: