फलन f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b,[1, 3] अंतराल | vedclass

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Question

(A) $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए,$f(1) = f(3)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5

Vedclass · Accepted Answer

$a = 11, b = -6$

Vedclass · Answer

(A) $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए,$f(1) = f(3)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5$ प्राप्त करें।इसके बाद,$f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$ प्राप्त करें।$f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर,$a + b - 5 = 3a + b - 27$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों से $b$ घटाने पर: $a - 5 = 3a - 27$।पदों को व्यवस्थित करने पर: $27 - 5 = 3a - a$,जिससे $22 = 2a$ प्राप्त होता है,अतः $a = 11$।रोले के प्रमेय के लिए यह भी आवश्यक है कि किसी $c \in (1, 3)$ के लिए $f'(c) = 0$ हो।$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$।$f'(c) = 0$ रखने पर: $3c^2 - 12c + 11 = 0$।मूल $c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ हैं।चूँकि $2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.423$ जो $(1, 3)$ में है,इसलिए $a = 11$ के लिए शर्त संतुष्ट होती है।विकल्प $A$ में $a = 11$ और $b = -6$ दिया गया है।

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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फलन $f(x) = \sin(2 \pi x)$ के लिए अंतराल $x \in [-1, 1]$ पर रोले के प्रमेय के निष्कर्ष को संतुष्ट करने वाले $C$ के मानों की संख्या है:

यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

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