द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 पर विचार करे | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$। ध्यान दें कि $g'(x) = ax^2 + bx + c$ है।$g(0) = 0$ और $g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है। कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$। ध्यान दें कि $g'(x) = ax^2 + bx + c$ है।$g(0) = 0$ और $g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$ की गणना करें।चूंकि $2a + 3b + 6c = 0$ है,इसलिए $g(1) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $g(0) = 0$ और $g(1) = 0$ है,और $g(x)$ एक बहुपद है (जो हर जगह सतत और अवकलनीय है),इसलिए $[0, 1]$ अंतराल में $g(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।अतः,कथन-$2$ सत्य है।रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_0$ ऐसा मौजूद है कि $g'(c_0) = 0$ हो।चूंकि $g'(x) = ax^2 + bx + c$ है,इसका अर्थ है कि $ac_0^2 + bc_0 + c = 0$ है।इसलिए,द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

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