अंतराल [frac{pi}{6}, frac{5pi}{6}] में फलन f( | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = \log(\sin x)$ है।लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,अंतराल $(a, b)$ में एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) दिया गया फलन $f(x) = \log(\sin x)$ है।लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,अंतराल $(a, b)$ में एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{5\pi}{6}$ है।$f(a) = \log(\sin \frac{\pi}{6}) = \log(\frac{1}{2})$ और $f(b) = \log(\sin \frac{5\pi}{6}) = \log(\frac{1}{2})$ है।अतः,$f'(c) = \frac{\log(1/2) - \log(1/2)}{\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}} = 0$ होगा।अब,$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ होता है।इसलिए,$\cot c = 0$ होगा।अंतराल $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ में $c$ का मान $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

अंतराल $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ में फलन $f(x) = \log(\sin x)$ के लिए लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार $c$ का मान क्या होगा?

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