निम्नलिखित में से किस अंतराल में फलन $f(x) = x^2 - 4$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?

द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ पर विचार करें,जहाँ $2a+3b+6c=0$ और मान लीजिए $g(x)=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx$.
कथन-$I$ : दिए गए द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ का $(0,1)$ में कम से कम एक मूल है।
कथन-$II$ : $[0,1]$ पर $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
तो

यदि फलन $f(x) = 2x^2 + 3x + 5$ संवृत अंतराल $[1, a]$ पर $x = 3$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ को संतुष्ट करता है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है,$(a, b)$ में अवकलनीय है और $f(a)=0=f(b)$ है। तो

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $(1,6)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$ और $f''(x) \geq 4$ सभी $x \in (1,6)$ के लिए है,तो:

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ और $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = f'(x)$ है। यदि $P$ वक्र $y = g(x)$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर इस वक्र की स्पर्श रेखा,वक्र के बिंदुओं $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ और $(3, g(3))$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,तो बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।