अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_e x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) का निष्कर्ष जिस $c$ के मान के लिए सत्य है,वह है

$a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}=0$ को संतुष्ट करने वाले $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ के सभी वास्तविक मानों के लिए,समीकरण $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}=0$ का किस अंतराल में एक वास्तविक मूल है?

मान लीजिए कि $f(x)$,$[0, 2]$ में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 0$ और सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $|f'(x)| \leqslant \frac{1}{2}$ है,तो-

यदि फलन $f(x)=a x^3+b x^2+11 x-6$,$[1,3]$ में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f^{\prime}\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $a+b=$

यदि फलन $f(x)=x^{3}-ax^{2}+bx-4$ के लिए अंतराल $x \in [1, 2]$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है और $f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right)=0$ है,तो क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान क्या है?

$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है