Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Gujarati

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કારને અટકાવવા માટે અચળ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
અંતિમ વેગ $0$ હોવાથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય $F \cdot S = \frac{1}{2} m u^2$ થાય.
તેથી,$S = \frac{m u^2}{2F}$.
અહીં $m$ અને $F$ અચળ હોવાથી,$S \propto u^2$ મળે.
આપેલ છે કે $u_1 = 10 \, m/s$ અને $S_1 = 20 \, m$.
$u_2 = 30 \, m/s$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{S_2}{S_1} = (\frac{u_2}{u_1})^2$ થાય.
$\frac{S_2}{20} = (\frac{30}{10})^2 = 3^2 = 9$.
$S_2 = 9 \times 20 = 180 \, m$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે તળિયે સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય છે. ટોચ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgR$ છે.
તળિયે ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mgR = \frac{1}{2}mv^2$
$gR = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2gR$
$v = \sqrt{2gR}$

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉપરના બિંદુએ રહેલી સ્થિતિ ઉર્જા નીચે પહોંચતા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
અહીં,$m$ એ વસ્તુનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$h$ એ ઊંચાઈ છે અને $v$ એ અંતિમ વેગ છે.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $gh = \frac{1}{2}v^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $v = \sqrt{2gh}$ થાય છે.
કારણ કે ત્રણેય વસ્તુઓ સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી પડે છે અને સમાન ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અનુભવે છે,તેથી તેમની અંતિમ ઝડપ તેમના દળથી સ્વતંત્ર રહેશે.
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2 : v_3 = \sqrt{2gh} : \sqrt{2gh} : \sqrt{2gh} = 1 : 1 : 1$ થશે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પર રહેલી સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
બંને પદાર્થો સમાન ઊંચાઈ $h$ થી શરૂ થતા હોવાથી,તેમની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $mgh$ છે.
તળિયે,આ ઉર્જા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
ઝડપ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{2gh}$ મળે છે.
કારણ કે $v$ માત્ર $g$ અને $h$ પર આધાર રાખે છે,તેથી બંને પદાર્થો સમાન ઝડપે જમીન પર પહોંચશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) જ્યારે લોલકનો ગોળો $60^\circ$ ના ખૂણેથી સૌથી નીચલા બિંદુ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $h$ એ કાપેલું શિરોલંબ અંતર છે.
શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = l(1 - \cos \theta)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $l = 2\, m$ અને $\theta = 60^\circ$ છે.
$h = 2(1 - \cos 60^\circ) = 2(1 - 0.5) = 1\, m$.
ઊર્જાને સરખાવતા: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{19.6} \approx 4.43\, m/s$.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા એ સૌથી નીચલા બિંદુ $A$ પરની ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
ધારો કે $m$ એ દડાનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,અને $h$ એ પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ છે.
$PE_{top} = KE_{bottom}$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં $h = 20 \,cm = 0.2 \,m$ અને $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે.
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \,m/s$.

(D) આપેલ છે: બુલેટનું દળ $m = 20\, g = 0.02\, kg$.
પ્રારંભિક વેગ $u = 250\, m/s$.
અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$ (કારણ કે તે અટકી જાય છે).
કાપેલું અંતર $s = 12\, cm = 0.12\, m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (250)^2 + 2 \times a \times 0.12$
$a = -\frac{62500}{0.24} = -260416.67\, m/s^2$.
સરેરાશ બળનું મૂલ્ય $F = m|a|$ છે.
$F = 0.02 \times 260416.67 = 5208.33\, N$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$F \approx 5.2 \times 10^3\, N$.

(D) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m = 30 \, g = 30 \times 10^{-3} \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 120 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$ (કારણ કે તે અટકી જાય છે),અંતર $S = 12 \, cm = 0.12 \, m$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (120)^2 = 2 \times a \times 0.12$
$-14400 = 0.24 \times a$
$a = -\frac{14400}{0.24} = -60000 \, m/s^2$.
અવરોધક બળ $F = m \times |a| = (30 \times 10^{-3} \, kg) \times (60000 \, m/s^2) = 1800 \, N$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m(v_f^2 - v_i^2)$.
આપેલ છે કે $x = 3t - 4t^2 + t^3$,તેથી વેગ $v$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t + 3t^2$.
$t = 0 \,s$ સમયે,$v_i = 3 - 8(0) + 3(0)^2 = 3 \,m/s$.
$t = 4 \,s$ સમયે,$v_f = 3 - 8(4) + 3(4)^2 = 3 - 32 + 48 = 19 \,m/s$.
દળ $m = 3 \,g = 0.003 \,kg$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} \times 0.003 \times (19^2 - 3^2) = 0.0015 \times (361 - 9) = 0.0015 \times 352 = 0.528 \,J$.
$1 \,J = 1000 \,mJ$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $0.528 \times 1000 = 528 \,mJ$ થાય.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા ચોખ્ખા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = F_x \cdot s$,જ્યાં $F_x$ એ બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(F \cos \theta)$ છે અને $s$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: $s = 0.4\,m$,$W = 1\,J$.
$W = F_x \cdot s$
$1\,J = F_x \cdot 0.4\,m$
$F_x = \frac{1}{0.4} = 2.5\,N$.
તેથી,બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $2.5\,N$ છે.

(C) કણ પર લાગતા બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,$\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ થાય છે.
તેથી,થતું કાર્ય $W = 0$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = W$ છે.
જેથી $W = 0$ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે કણની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.

(B) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ $490\, J$ છે.
જે ઊંચાઈ $h$ પર ગતિઊર્જા તેના મૂળ મૂલ્ય કરતાં અડધી થાય છે,ત્યાં ગતિઊર્જા $(K_f)$ $\frac{490}{2} = 245\, J$ થશે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ સ્થિતિઊર્જા $(U)$ માં થયેલા વધારા જેટલો હોય છે.
ગતિઊર્જામાં ઘટાડો = $K_i - K_f = 490 - 245 = 245\, J$.
સ્થિતિઊર્જામાં વધારો $U = mgh$.
બંનેને સરખાવતા: $mgh = 245$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 9.8 \times h = 245$.
$19.6 \times h = 245$.
$h = \frac{245}{19.6} = 12.5\, m$.

(C) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે કોઈ પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે હવાના અવરોધને અવગણતા,તેટલા જ વેગ $v = u$ સાથે પાછો ફરે છે.
અહીં દળ $m = 2 \, kg$ અને પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \, m/s$ આપેલ છે.
તેથી,જમીન સાથે અથડાતા પહેલા તેનો વેગ $v = 2 \, m/s$ હશે.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K.E. = \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 1 \times 4 = 4 \, J$.

(B) ધારો કે દરેક પાટિયાની જાડાઈ $s$ છે. જો ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ $u_1 = 100 \ m/s$ હોય,તો તે $2s$ જેટલું અંતર કાપીને અટકી જાય છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v=0$ એ અંતિમ વેગ છે અને $a$ એ અચળ પ્રતિપ્રવેગ છે:
$0 = u_1^2 - 2a(2s) \implies 2a = \frac{u_1^2}{2s}$.
અહીં પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી,ગોળીએ કાપેલું કુલ અંતર $S$ એ પ્રારંભિક ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(S \propto u^2)$.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો $u_2 = 2u_1$ થાય. નવું કાપેલું અંતર $S_2$ નીચે મુજબ થશે:
$S_2 = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2 S_1 = (2)^2 (2s) = 4 \times 2s = 8s$.
દરેક પાટિયાની જાડાઈ $s$ હોવાથી,વીંધાયેલા પાટિયાઓની સંખ્યા $8s / s = 8$ થશે.

(C) સપાટી લીસી હોવાથી,ગતિ દરમિયાન યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 100 \, m$ અને અંતિમ ઊંચાઈ $h_2 = 20 \, m$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$PE_{initial} + KE_{initial} = PE_{final} + KE_{final}$
$mgh_1 + 0 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(h_1 - h_2) = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$
કિંમતો મૂકતા $(g = 10 \, m/s^2)$:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times (100 - 20)}$
$v = \sqrt{20 \times 80}$
$v = \sqrt{1600}$
$v = 40 \, m/s$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ $(F)$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ વાહનની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K.E.$
કારણ કે વાહનોને સ્થિર કરવામાં આવે છે,તેથી કાર્ય $W = F \times s$,જ્યાં $s$ એ સ્થિર થવા માટેનું અંતર છે.
તેથી,$F \times s = K.E.$
$s = \frac{K.E.}{F}$
લોરી અને કાર બંને સમાન પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K.E.)$ ધરાવે છે અને બંને પર સમાન પ્રતિરોધક બળ $(F)$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી બંને વાહનો માટે સ્થિર થવા માટેનું અંતર $(s)$ સમાન હશે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, કણ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે, $W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
કાર્ય ધન હોવા માટે, અંતિમ ગતિઊર્જા પ્રારંભિક ગતિઊર્જા કરતા વધારે હોવી જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે અંતિમ વેગ $v_f$ એ પ્રારંભિક વેગ $v_i$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
વેગ-સમયના આલેખને જોતા:
$1$. $AB$ વિસ્તારમાં, વેગ સમય સાથે વધે છે, તેથી $v_f > v_i$. આમ, કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન છે.
$2$. $BC$ વિસ્તારમાં, વેગ અચળ છે, તેથી $v_f = v_i$. આમ, કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય છે.
$3$. $CD$ વિસ્તારમાં, વેગ ઘટે છે, તેથી $v_f < v_i$. આમ, કરવામાં આવેલું કાર્ય ઋણ છે.
$4$. $DE$ વિસ્તારમાં, વેગ અચળ છે, તેથી $v_f = v_i$. આમ, કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય છે.
તેથી, કણ પર લાગતા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $A$ થી $B$ સુધીના ગાળામાં ધન છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર થયેલ કાર્ય $(W)$ એ તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
તેથી,$W = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2$.
અહીં,$m$ એ કણનું દળ છે,જે અચળ છે.
આમ,$W \propto v^2$.
આ સંબંધ $W$-અક્ષ પર ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
તેથી,$W$ અને $v$ વચ્ચેનો આલેખ પરવલયાકાર હશે,જે વિકલ્પ $(D)$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા કુલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે. તેથી,$K = W$.
અચળ પ્રવેગ $a$ અને અચળ બળ $F$ હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,$x$ અંતર કાપવા માટે થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$W = F \cdot x$
અહીં $F = m \cdot a$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$K = (m \cdot a) \cdot x$
આ દર્શાવે છે કે $K \propto x$.
તેથી,ગતિઊર્જા $K$ અને અંતર $x$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા હશે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બ્લોકની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું આ કાર્ય ઉષ્મીય ઊર્જા તરીકે વ્યય પામે છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 100\, g = 0.1\, kg$
પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 10\, m/s$
અંતિમ વેગ $v_2 = 5\, m/s$
ઉષ્મીય ઊર્જા $\Delta Q = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
$\Delta Q = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (10^2 - 5^2)$
$\Delta Q = 0.05 \times (100 - 25)$
$\Delta Q = 0.05 \times 75 = 3.75\, J$.

(A) પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જા $(ME)$ એ તેની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ અને ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નો સરવાળો છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,હવાના અવરોધ જેવા બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
જેમ પદાર્થ નીચે પડે છે,તેમ તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટે છે જ્યારે તેની ગતિ ઊર્જા તેટલા જ પ્રમાણમાં વધે છે.
તેથી,પતન દરમિયાન દરેક ક્ષણે કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.

(D) ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ શક્ય નથી,પરંતુ તેને એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે અલગ કરેલી સિસ્ટમ (isolated system) માટે,કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં તમામ પ્રકારની ઊર્જા (ગતિ ઊર્જા,સ્થિતિ ઊર્જા,ઉષ્મીય ઊર્જા,વગેરે) નો સરવાળો સંરક્ષિત રહે છે.
વિકલ્પ $D$ આ મૂળભૂત સિદ્ધાંતનું યોગ્ય વર્ણન કરે છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિપ્રવેગી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = F \times d = \Delta K$
કારણ કે બંને વાહનોની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન છે અને બંને સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર બંને માટે સમાન છે $(\Delta K = K)$.
આપેલ છે કે બંને વાહનો પર લાગતું પ્રતિપ્રવેગી બળ $(F)$ પણ સમાન છે,તેથી:
$d = \frac{K}{F}$
કાર અને ટ્રક બંને માટે $K$ અને $F$ સમાન હોવાથી,સ્થિર થતા પહેલા બંને દ્વારા કાપેલું અંતર $(d)$ સમાન હશે.

(D) જમીન સાથે અથડાતી વખતે પથ્થરની ઝડપ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ભેખડની ટોચ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અને જમીન પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
ધારો કે પથ્થરનું દળ $m$ છે,ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે,ભેખડની ઊંચાઈ $h$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે.
ટોચ પરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$.
જમીન પરની અંતિમ ઉર્જા: $E_f = \frac{1}{2}mv_f^2$,જ્યાં $v_f$ એ અંતિમ ઝડપ છે.
$E_i = E_f$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv_f^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$v_f = \sqrt{v^2 + 2gh}$ મળે છે.
અંતિમ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે અંતિમ ઝડપ $v_f$ માત્ર પ્રારંભિક ઝડપ $v$,ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રક્ષિપ્ત કોણ કે દિશા પર આધારિત નથી. તેથી,પથ્થરને ગમે તે દિશામાં ફેંકવામાં આવે,જમીન સાથે અથડાતી વખતે તેની ઝડપ સમાન જ રહેશે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા = $mgr$.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા = $\frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા: $mgr = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = 2rg$.
તેથી,$v = \sqrt {2rg}$.

(B) ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ શક્ય નથી; તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે કોઈ પદાર્થ ચોક્કસ ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે અને દરેક ક્ષણે તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે કણ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે $(W_{net} = \Delta K)$.
આ પ્રમેય ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે અને તે તમામ પ્રકારના બળો માટે લાગુ પડે છે,પછી તે આંતરિક,બાહ્ય,સંરક્ષી કે અસંરક્ષી હોય.
તેથી,કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય તમામ પ્રકારના બળોની હાજરીમાં માન્ય છે.

(C) ધારો કે નીચેના દળને આપવામાં આવતો વેગ $v_0$ છે. સળિયો દૃઢ હોવાથી,સળિયાનો કોણીય વેગ $\omega = \frac{v_0}{L}$ થશે.
મધ્યબિંદુએ રહેલા દળનો વેગ $v_{mid} = \omega \cdot \frac{L}{2} = \frac{v_0}{2}$ થશે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સળિયો જ્યારે શિરોલંબ સ્થિતિમાંથી સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં જાય ત્યારે ગતિઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્થિતિઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{8}mv_0^2 = \frac{5}{8}mv_0^2$.
અંતિમ ગતિઉર્જા $K_f = 0$ (સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં).
સ્થિતિઉર્જામાં વધારો $U_f - U_i = mg\left(\frac{L}{2}\right) + mgL = \frac{3}{2}mgL$.
ગતિઉર્જામાં થતો ઘટાડો = સ્થિતિઉર્જામાં થતો વધારો:
$\frac{5}{8}mv_0^2 = \frac{3}{2}mgL$.
$v_0^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{5} gL = \frac{12}{5}gL$.
$v_0 = \sqrt{\frac{12Lg}{5}}$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ પદાર્થની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
અહીં,હવાના અવરોધ સામે કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W_{air})$ એ ગતિ ઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું છે.
ગોળીનું દળ,$m = 10 \; g = 0.01 \; kg$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 1000 \; m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 500 \; m/s$.
હવાના અવરોધ સામે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m (u^2 - v^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 0.01 \times [(1000)^2 - (500)^2]$.
$W = 0.005 \times [1,000,000 - 250,000]$.
$W = 0.005 \times 750,000$.
$W = 3750 \; J$.

(B) ધારો કે સાંકળ શરૂઆતમાં પિનની બંને બાજુએ સમાન રીતે લટકેલી છે,જેમાં દરેક બાજુ $l$ લંબાઈ છે. દરેક અડધા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પિનથી $l/2$ અંતરે નીચે છે.
તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિઉર્જા $U_i = 2 \times [(\frac{m}{2})g(-\frac{l}{2})] = -\frac{mgl}{2}$ છે.
જ્યારે સાંકળ પિનને છોડે છે,ત્યારે સમગ્ર $2l$ લંબાઈ શિરોલંબ લટકે છે. સાંકળનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પિનથી $l$ અંતરે નીચે છે.
તંત્રની અંતિમ સ્થિતિઉર્જા $U_f = mg(-l) = -mgl$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઉર્જામાં ઘટાડો એ ગતિઉર્જામાં વધારા બરાબર હોય છે:
$|U_f - U_i| = K_f - K_i$
$|-\frac{mgl}{2} - (-mgl)| = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
$\frac{mgl}{2} = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = gl$
$v = \sqrt{gl}$

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અવરોધક બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ ગોળીની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2)$
અહીં,$m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,$u = 800 \ m/s$,$v = 100 \ m/s$,અને સ્થાનાંતર $s = 1 \ m$ છે.
$F \cdot s = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \cdot (100^2 - 800^2)$
$F \cdot 1 = 0.005 \cdot (10000 - 640000)$
$F = 0.005 \cdot (-630000)$
$F = -3150 \ N$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ અવરોધક છે. તેથી,સરેરાશ અવરોધક બળનું મૂલ્ય $3150 \ N$ છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બોલ પર લાગતા તમામ બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને સ્પ્રિંગ બળ) દ્વારા થતું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બોલ સ્પ્રિંગની ઉપર $h$ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે અને સ્પ્રિંગને $d$ જેટલી સંકોચ્યા પછી ક્ષણિક સ્થિર થાય છે. તેથી,બોલની પ્રારંભિક અને અંતિમ ગતિઊર્જા $0$ છે.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0 - 0 = 0$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W_g = mg(h + d)$.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W_s = -\frac{1}{2}kd^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W_{total} = W_g + W_s = \Delta K$.
તેથી,$mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2 = 0$.

(D) આપેલ સંબંધ: $t = \sqrt{x} + 3 \implies \sqrt{x} = t - 3 \implies x = (t - 3)^2$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - 3)^2 = 2(t - 3)$.
$t = 0 \text{ s}$ સમયે, $v_i = 2(0 - 3) = -6 \text{ m/s}$.
$t = 6 \text{ s}$ સમયે, $v_f = 2(6 - 3) = 6 \text{ m/s}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થતું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K$ જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2}m(6^2 - (-6)^2) = \frac{1}{2}m(36 - 36) = 0 \text{ J}$.

(B) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિંદુ $A$ પાસેની સ્થિતિ-ઊર્જા બિંદુ $B$ પાસે ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 50 \ gm = 50 \times 10^{-3} \ kg = 0.05 \ kg$
લંબાઈ $l = h = 1.5 \ m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
$B$ પાસે ગતિ-ઊર્જા = $A$ પાસે સ્થિતિ-ઊર્જા
$K.E. = mgh$
$K.E. = 0.05 \times 10 \times 1.5$
$K.E. = 0.5 \times 1.5 = 0.75 \ J$
$K.E. = 7.5 \times 10^{-1} \ J$

(C) ધારો કે $F$ એ લાકડા દ્વારા લાગતું સરેરાશ અવરોધક બળ છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,છરી પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
લાકડામાં પ્રવેશતી વખતે છરી પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને અવરોધક બળ ($F$ ઉપરની તરફ) છે.
છરી દ્વારા મુક્ત થયાના બિંદુથી અંતિમ સ્થિતિ સુધી કાપેલું કુલ અંતર $(h + d)$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $mg(h + d)$
અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $-Fd$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ:
$W_{\text{total}} = \Delta K$
$mg(h + d) - Fd = 0 - 0$
$mg(h + d) = Fd$
$F = \frac{mg(h + d)}{d}$
$F = mg(1 + \frac{h}{d})$

(D) ધારો કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{v - 0}{t_1} = \frac{v}{t_1}$ થાય.
કોઈપણ સમય $t$ પર,પદાર્થનો વેગ $v_t = u + at = 0 + \left( \frac{v}{t_1} \right) t = \frac{v}{t_1} t$ થાય.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_t^2 - 0$.
$v_t$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} m \left( \frac{v}{t_1} t \right)^2 = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$, સ્થાનાંતર $x = \frac{t^3}{3}$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3}) = t^2$.
$t = 0 \ s$ સમયે, પ્રારંભિક વેગ $u = (0)^2 = 0 \ m/s$.
$t = 1 \ s$ સમયે, અંતિમ વેગ $v = (1)^2 = 1 \ m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times (1)^2 - \frac{1}{2} \times 1 \times (0)^2$.
$W = 0.5 - 0 = 0.5 \ J$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા જ બળો વડે થતું કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
આપેલ વેગનું વિધેય $v = a\sqrt{x}$ છે.
$x = 0$ આગળ,પ્રારંભિક વેગ $v_i = a\sqrt{0} = 0$.
$x = d$ આગળ,અંતિમ વેગ $v_f = a\sqrt{d}$.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} m (a\sqrt{d})^2 - \frac{1}{2} m (0)^2$.
$W = \frac{1}{2} m a^2 d - 0$.
$W = \frac{1}{2} m a^2 d$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કરેલું કાર્ય (જરૂરી ઊર્જા) એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$v_1 = 10 \ m/s$ થી $v_2 = 20 \ m/s$ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા:
$E_1 = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} m (20^2 - 10^2) = \frac{1}{2} m (400 - 100) = \frac{1}{2} m (300)$.
બીજા કિસ્સામાં,સ્થિર સ્થિતિ $(v_0 = 0 \ m/s)$ થી $v_1 = 10 \ m/s$ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા:
$E_2 = \frac{1}{2} m (v_1^2 - v_0^2) = \frac{1}{2} m (10^2 - 0^2) = \frac{1}{2} m (100)$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2} m (300)}{\frac{1}{2} m (100)} = 3$.
આમ,જરૂરી ઊર્જા $3$ ગણી છે.

(D) પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (4)^2 = 8m \ J$ છે.
ધારો કે $h$ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા તેની પ્રારંભિક કિંમત કરતા અડધી એટલે કે $K_f = 4m \ J$ થાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે: $\Delta K = \Delta U$.
$K_i - K_f = mgh$.
$8m - 4m = mgh$.
$4m = mgh$.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$4 = 10h$.
તેથી,$h = 0.4 \ m$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 8 \ kg$,સ્થાન $x = \frac{1}{2} t^2$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} t^2) = t \ m/s$.
$t = 0 \ s$ સમયે,વેગ $v_i = 0 \ m/s$.
$t = 2 \ s$ સમયે,વેગ $v_f = 2 \ m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થતું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K$ જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 8 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 8 \times (0)^2$.
$W = 4 \times 4 - 0 = 16 \ J$.

(B) ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg = 0.2 \times 5 \times 10 = 10 \ N$ છે.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f = 25 \ N - 10 \ N = 15 \ N$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થે મેળવેલી ગતિઊર્જા એ પરિણામી બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
ગતિઊર્જા = $F_{net} \times d = 15 \ N \times 10 \ m = 150 \ J$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા થતું કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2$.
આપેલ છે કે $v = k\sqrt{s}$,તેથી $v^2 = k^2 s$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2v \frac{dv}{dt} = k^2 \frac{ds}{dt}$.
અહીં $\frac{ds}{dt} = v$ હોવાથી,$2v \frac{dv}{dt} = k^2 v$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dt} = \frac{k^2}{2}$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા ($t=0$ સમયે સ્થિર હોવાથી): $v = \int_0^t \frac{k^2}{2} dt = \frac{k^2}{2} t$.
હવે,કાર્યના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $W = \frac{1}{2} m \left( \frac{k^2}{2} t \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{k^4}{4} t^2 \right) = \frac{1}{8} m k^4 t^2$.

(A) યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ જેવા બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
$100 \ m$ ની ઊંચાઈ $h_1$ પર પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા $E_i = mgh_1 + 0 = 20 \times 10 \times 100 = 20,000 \ J$ છે.
$20 \ m$ ની ઊંચાઈ $h_f$ પર અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા $E_f = mgh_f + \frac{1}{2}mv^2 = 20 \times 10 \times 20 + \frac{1}{2} \times 20 \times v^2 = 4,000 + 10v^2$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ ઊર્જાને સરખાવતા: $20,000 = 4,000 + 10v^2$.
$10v^2 = 16,000$.
$v^2 = 1,600$.
$v = 40 \ m/s$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થતું કાર્ય તેની ગતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_0$ છે. પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ છે.
જ્યારે વેગ અડધો $(v = v_0/2)$ થાય,ત્યારે ગતિ-ઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}m(v_0/2)^2 = \frac{1}{8}mv_0^2$ થાય છે.
$d = 6 \ cm$ અંતર માટે અવરોધક બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય:
$W = K_f - K_i = \frac{1}{8}mv_0^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{3}{8}mv_0^2$.
કારણ કે $W = F \cdot d$,તેથી $F \cdot 6 = -\frac{3}{8}mv_0^2$,જે આપણને $F = -\frac{1}{16}mv_0^2$ આપે છે.
હવે,ધારો કે ગોળી સ્થિર થાય તે પહેલાં વધારાનું $d_1$ અંતર કાપે છે. આ તબક્કા માટે પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા $\frac{1}{8}mv_0^2$ છે અને અંતિમ ગતિ-ઊર્જા $0$ છે.
ફરીથી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$F \cdot d_1 = 0 - \frac{1}{8}mv_0^2$.
$F = -\frac{1}{16}mv_0^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$(-\frac{1}{16}mv_0^2) \cdot d_1 = -\frac{1}{8}mv_0^2$.
$d_1$ માટે ઉકેલતા,આપણને $d_1 = \frac{1/8}{1/16} = 2 \ cm$ મળે છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)$
પ્રારંભિક વેગ સદિશ: $\vec{v}_1 = 4 \hat{i} + 16 \hat{k} \; m s^{-1}$.
પ્રારંભિક ઝડપનો વર્ગ: $v_1^2 = |\vec{v}_1|^2 = 4^2 + 16^2 = 16 + 256 = 272 \; m^2 s^{-2}$.
અંતિમ વેગ સદિશ: $\vec{v}_2 = 8 \hat{i} + 20 \hat{j} \; m s^{-1}$.
અંતિમ ઝડપનો વર્ગ: $v_2^2 = |\vec{v}_2|^2 = 8^2 + 20^2 = 64 + 400 = 464 \; m^2 s^{-2}$.
આપેલ દળ $m = 0.01 \; kg$.
કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (464 - 272)$
$W = 0.005 \times 192$
$W = 0.96 \; J$.

(C) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 490 \, J$ છે.
જરૂરી ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિઊર્જા $K_f$ એ પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા જેટલી થાય છે,તેથી $K_f = \frac{490}{2} = 245 \, J$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ સ્થિતિઊર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો હોય છે:
$K_i - K_f = mgh$.
$490 - 245 = 2 \times 9.8 \times h$.
$245 = 19.6 \times h$.
$h = \frac{245}{19.6} = 12.5 \, m$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અવરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય કારની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$F \cdot s = \frac{1}{2}mv^2$
અહીં $F$ અને $v$ અચળ હોવાથી,$s \propto m$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ અને અંતિમ દળ $m_2 = m + 0.5m = 1.5m$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $s_1 = s$ અને અંતિમ અંતર $s_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $s_2 / s_1 = m_2 / m_1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s_2 / s = 1.5m / m$
$s_2 = 1.5s$.
આમ,કાર $1.5s$ અંતરે સ્થિર થશે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $U$ આપેલ છે.
પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $U = \frac{1}{2}mv^2$.
દળ $m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{2U}{v^2}$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિંદુ $A$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ બિંદુ $B$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$PE_A + KE_A = PE_B + KE_B$
ગોળો બિંદુ $A$ થી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $KE_A = 0$.
$mgh_1 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2$
$gh_1 = gh_2 + \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2g(h_1 - h_2)$
અહીં $g = 9.8 \, m/s^2$,$h_1 = 5 \, m$,અને $h_2 = 2 \, m$ આપેલ છે:
$v^2 = 2 \times 9.8 \times (5 - 2)$
$v^2 = 2 \times 9.8 \times 3$
$v^2 = 58.8$
$v = \sqrt{58.8} \approx 7.67 \, m/s$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વેગ $7.6 \, m/s$ છે.