Conservative and Non-Conservative forces and Potential Energy Questions in Gujarati

(D) જો કોઈ કણને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષી બળ,સ્થિત-વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ એ સંરક્ષી બળોના ઉદાહરણો છે કારણ કે તેમના દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર જ આધાર રાખે છે.
ઘર્ષણ બળ એ અસંરક્ષી બળ છે કારણ કે તેના દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે અને તે યાંત્રિક ઉર્જાનું ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.

(B) પદાર્થ સ્થાયી સંતુલનમાં હોય તે માટે,સંતુલન સ્થાને બળ $F$ શૂન્ય હોવું જોઈએ અને જો પદાર્થને થોડું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બળ એવી દિશામાં લાગવું જોઈએ કે જે તેને પાછું સંતુલન સ્થાન પર લાવે.
$x = x_1$ પર,બળ શૂન્ય છે. $x > x_1$ માટે (થોડું જમણી બાજુ),બળ $F$ ધન (અપાકર્ષી) છે,જે પદાર્થને $x_1$ થી દૂર ધકેલે છે. તેથી,$x_1$ એ અસ્થાયી સંતુલનનું બિંદુ છે.
$x = x_2$ પર,બળ શૂન્ય છે. $x > x_2$ માટે (થોડું જમણી બાજુ),બળ $F$ ઋણ (આકર્ષી) છે,જે પદાર્થને $x_2$ તરફ પાછો ખેંચે છે. $x < x_2$ માટે (થોડું ડાબી બાજુ),બળ $F$ ધન (અપાકર્ષી) છે,જે પદાર્થને $x_2$ તરફ પાછો ધકેલે છે. આમ,બળ પદાર્થને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો લાવવાનું કાર્ય કરે છે,તેથી $x_2$ એ સ્થાયી સંતુલનનું બિંદુ છે.

(C) બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યાં $U-x$ આલેખનો ઢાળ શૂન્ય હોય ત્યાં બળ શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\frac{dU}{dx} = 0$.
આપેલ આલેખમાં,વક્રનો ઢાળ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ $B$ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ $C$ પર શૂન્ય છે.
તેથી,કણ પર લાગતું બળ બિંદુ $B$ અને $C$ પર શૂન્ય છે.

(D) પરમાણુઓ વચ્ચેનું બળ $F = -\frac{dU}{dr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકર્ષણ બળ ઋણ હોય છે,તેથી $F = -\frac{dU}{dr} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dU}{dr} > 0$. આકર્ષણ બળનું મૂલ્ય $|F| = |\frac{dU}{dr}|$ છે,જે $U-r$ વક્રનો ઢાળ દર્શાવે છે.
બિંદુ $S$ પર,વક્રનો ઢાળ ધન છે અને તે તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે. આમ,બિંદુ $S$ પર આકર્ષણ મહત્તમ છે.
બિંદુ $T$ પર,વક્ર આડો (ક્ષિતિજ સમાંતર) થઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ $\frac{dU}{dr} = 0$ છે. આમ,બિંદુ $T$ પર આકર્ષણ બળ ન્યૂનતમ (શૂન્ય) છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આકર્ષણના બિંદુઓ અનુક્રમે $S$ અને $T$ છે.

(C) બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $0 < x < a$ માટે,$U(x)$ નો આલેખ ધન અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. ધારો કે ઢાળ $k$ $(k > 0)$ છે. તેથી,$U(x) = kx$. બળ $F = -\frac{d}{dx}(kx) = -k$ થશે. આ એક ઋણ અચળ મૂલ્ય છે.
$2$. $x > a$ માટે,$U(x)$ નો આલેખ આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $U(x)$ અચળ છે. તેથી,$\frac{dU}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F = 0$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $0 < x < a$ માટે ઋણ અચળ બળ અને $x > a$ માટે શૂન્ય બળ દર્શાવે છે તે આલેખ $C$ છે.

(A) સંરક્ષી બળ અને સ્થિતિ ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $F_{\text{cons}} = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $F_{\text{cons}} \cdot dx = -dU$.
સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_{\text{cons}} = \int F_{\text{cons}} \cdot dx = -\Delta U$ છે.
તેથી,$\Delta U = -W_{\text{cons}}$.
જો તંત્ર દ્વારા સંરક્ષી બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે,તો બાહ્ય કાર્ય ધન હોય છે,જેના પરિણામે તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે $(\Delta U > 0)$.

(A) સંરક્ષી બળ ક્ષેત્ર માટે,બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $U = ax^2 - bx$ આપેલ છે.
હવે,$U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(ax^2 - bx) = 2ax - b$.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = -(2ax - b) = -2ax + b$.

(C) બળ $\vec{F}$ એ સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ સાથે સંબંધિત છે: $\vec{F} = -\nabla U = -\left( \hat{i} \frac{\partial U}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial U}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial U}{\partial z} \right)$.
આપેલ છે કે $U = K(x^2 + y^2 + z^2)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial U}{\partial x} = 2Kx$,$\frac{\partial U}{\partial y} = 2Ky$,અને $\frac{\partial U}{\partial z} = 2Kz$.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{F} = -(2Kx\hat{i} + 2Ky\hat{j} + 2Kz\hat{k})$.
તેથી,$\vec{F} = -2K(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષી બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
સંરક્ષી બળ માટે,પદાર્થને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય તે કયા માર્ગે કરવામાં આવ્યું છે તેના પર આધાર રાખતું નથી.
તે માત્ર પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ત્રણેય માર્ગો $(1, 2, 3)$ બિંદુ $A$ થી શરૂ થાય છે અને બિંદુ $B$ પર પૂર્ણ થાય છે.
કારણ કે ત્રણેય માર્ગો માટે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ સમાન છે,તેથી દરેક માર્ગ પર થયેલું કાર્ય સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,${W_1} = {W_2} = {W_3}$.

(C) બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતરાલ $0 < x < a$ માટે,સ્થિતિઊર્જા $U(x)$ એ ધન ઢાળ ધરાવતું સુરેખ વિધેય છે,એટલે કે $U(x) = kx$ જ્યાં $k > 0$. તેથી,$F = -\frac{d}{dx}(kx) = -k$,જે એક અચળ ઋણ મૂલ્ય છે.
$x > a$ માટે,સ્થિતિઊર્જા $U(x)$ અચળ છે,તેથી $\frac{dU}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F = 0$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $0 < x < a$ માટે અચળ ઋણ બળ અને $x > a$ માટે શૂન્ય બળ દર્શાવે છે તે આલેખ $C$ છે.

(C) સિસ્ટમની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ માં થતો ફેરફાર સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\Delta U = -W_{cons}$.
જો સંરક્ષી બળ દ્વારા સિસ્ટમ પર કાર્ય કરવામાં આવે,તો બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $W_{cons} > 0$.
પરિણામે,$\Delta U = -W_{cons} < 0$,જે સૂચવે છે કે સિસ્ટમની સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,જ્યારે સંરક્ષી બળ દ્વારા સિસ્ટમ પર કાર્ય કરવામાં આવે ત્યારે સિસ્ટમની સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(A) સંતુલન માટે,ચોખ્ખું બળ $F$ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $2x^2 - 4x + x - 2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0 \Rightarrow (x - 2)(2x + 1) = 0$.
સંતુલન સ્થાનો $x = 2$ અને $x = -1/2$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ અને બળ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -dU/dx$ છે,તેથી $dU/dx = -F = -(2x^2 - 3x - 2)$.
સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $d^2U/dx^2 = -dF/dx = -(4x - 3)$ તપાસીએ છીએ.
$x = 2$ માટે: $d^2U/dx^2 = -(4(2) - 3) = -5 < 0$. દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$x = 2$ એ અસ્થાયી સંતુલનનું સ્થાન છે.
$x = -1/2$ માટે: $d^2U/dx^2 = -(4(-1/2) - 3) = -(-2 - 3) = 5 > 0$. દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$x = -1/2$ એ સ્થાયી સંતુલનનું સ્થાન છે.

(A) કણ ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે,તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$ અને પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = U(0) = 0^2 - 3(0) = 0 \ J$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઊર્જા $E = K + U$ અચળ રહે છે.
$E_i = K_i + U_i = 0 + 0 = 0 \ J$.
$x = 2$ આગળ,સ્થિતિઊર્જા $U_f = U(2) = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2 \ J$ છે.
$E_i = E_f$ હોવાથી,આપણને મળે છે $0 = K_f + U_f$.
$0 = K_f - 2 \ J$.
તેથી,$K_f = 2 \ J$.

(B) સંરક્ષી બળ $\vec{F}$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ અને સ્થિતિઊર્જા $V$ માં થતા ફેરફાર વચ્ચેનો સંબંધ $W = -\Delta V$ છે.
અહીં કાર્ય ધન છે $(W > 0)$,તેથી $-\Delta V > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\Delta V < 0$.
કારણ કે $\Delta V = V_{final} - V_{initial} < 0$ છે,તેથી $V_{final} < V_{initial}$ થાય.
આમ,જ્યારે સંરક્ષી બળ પદાર્થ પર ધન કાર્ય કરે છે ત્યારે પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા ઘટે છે.

(C) આપેલ સ્થિતિ ઊર્જાના આલેખ પરથી:
$x = 2\, m$ પર,સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = 6\, J$ છે.
$x = 5\, m$ પર,સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = 2\, J$ છે.
પદાર્થને $x = 2\, m$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_i = 0$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$0 + 6 = K_f + 2$
$K_f = 6 - 2 = 4\, J$
અહીં $K_f = \frac{1}{2} m v^2$ છે,જ્યાં $m = 2\, kg$:
$4 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$
$4 = v^2$
$v = 2\, m/s$.

(B) બળ $\vec{F}(x, y) = x^2 \hat{i} + y^2 \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ બળ સંરક્ષી બળ હોય તે માટે,તે બળનો કર્લ (curl) શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\nabla \times \vec{F} = 0$.
અહીં,$\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y^2) = 0$ અને $\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2) = 0$.
કારણ કે $\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = 0$,તેથી બળ $\vec{F}$ એ સંરક્ષી બળ છે.
સંરક્ષી બળ દ્વારા કોઈપણ બંધ માર્ગ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
તેથી,બંધ માર્ગ $OABC$ પર બળ $\vec{F}$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે.

(D) બે અણુઓ વચ્ચેનું બળ $F$ એ સ્થિતિઊર્જા $U$ સાથે $F = -\frac{dU}{dx}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે.
આનો અર્થ એ છે કે બળ એ $U-x$ આલેખના ઢાળનું ઋણ મૂલ્ય છે.
બિંદુ $A$ $(x = 0.6 \mathring{A})$ પર,ઢાળ $\frac{dU}{dx}$ ઋણ છે,તેથી $F = -(\text{ઋણ}) = \text{ધન}$,જે અપાકર્ષી બળ દર્શાવે છે.
બિંદુ $B$ $(x = 1.2 \mathring{A})$ પર,વક્ર ન્યૂનતમ છે,તેથી ઢાળ $\frac{dU}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે બળ $F = 0$ છે.
બિંદુ $C$ $(x = 1.8 \mathring{A})$ પર,ઢાળ $\frac{dU}{dx}$ ધન છે,તેથી $F = -(\text{ધન}) = \text{ઋણ}$,જે આકર્ષી બળ દર્શાવે છે.
તેથી,$A, B, C$ પરના બળો અનુક્રમે અપાકર્ષી,શૂન્ય અને આકર્ષી છે.

(B) બળ $\vec{F}$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j})$ છે.
આપેલ છે કે $U(x,y) = \cos(x + y)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial U}{\partial x} = -\sin(x + y)$
$\frac{\partial U}{\partial y} = -\sin(x + y)$
તેથી,બળના ઘટકો:
$F_x = -(-\sin(x + y)) = \sin(x + y)$
$F_y = -(-\sin(x + y)) = \sin(x + y)$
બિંદુ $(0, \frac{\pi}{4})$ પર:
$F_x = \sin(0 + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$F_y = \sin(0 + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,બળ સદિશ $\vec{F} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j})$ થશે.

(C) સંરક્ષી ક્ષેત્ર માટે, બળ $F$ એ સ્થિતિઊર્જા $U$ ના સ્થાનની સાપેક્ષે ઋણ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$F = -\frac{dU}{dx}$
આપેલ છે કે $U = ax^2 - bx$, તેથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(ax^2 - bx) = 2ax - b$
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = -(2ax - b)$
$F = b - 2ax$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બળ $F$ એ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સંતુલન ત્યાં હોય છે જ્યાં $F = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dU}{dx} = 0$. આ તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં $U-x$ આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે,જે બિંદુઓ $B$ અને $D$ છે.
બિંદુ $B$ આગળ,સ્થિતિઊર્જા લઘુત્તમ છે,તેથી $\frac{d^2U}{dx^2} > 0$,જે સ્થાયી સંતુલન સૂચવે છે.
બિંદુ $D$ આગળ,સ્થિતિઊર્જા મહત્તમ છે,તેથી $\frac{d^2U}{dx^2} < 0$,જે અસ્થાયી સંતુલન સૂચવે છે.
બિંદુ $C$ આગળ,ઢાળ $\frac{dU}{dx}$ તેના મહત્તમ ધન મૂલ્ય પર છે.
તેથી,વિધાન 'સ્થાન $D$ એ સ્થાયી સંતુલન છે' તે ખોટું છે.

(D) કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $V(x)$ નો સરવાળો છે,જે $E = K + V(x)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$E = \frac{1}{2}mv^2 + V(x)$ થાય.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dV(x)}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $ma = -\frac{dV(x)}{dx}$ થાય.
પ્રવેગ $a = -\frac{1}{m} \frac{dV(x)}{dx}$ મળે.
પ્રવેગ શૂન્ય થવા માટે,$\frac{dV(x)}{dx} = 0$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જાનું સ્થાનની સાપેક્ષ વિકલન શૂન્ય હોય ત્યાં કણનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.

(A) સ્થિતિઊર્જા $U = ax + by$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F}$ એ સ્થિતિઊર્જાના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ જેટલું હોય છે: $\overrightarrow{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j} \right)$.
આંશિક વિકલન કરતા: $\frac{\partial U}{\partial x} = a$ અને $\frac{\partial U}{\partial y} = b$.
તેથી,$\overrightarrow{F} = -a \hat{i} - b \hat{j}$.
બળનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(-a)^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_{acc} = \frac{|\overrightarrow{F}|}{m} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{m}$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સંરક્ષી બળ $\overrightarrow{F}$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $U = K(x + y)$,તેથી આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial U}{\partial x} = K$ અને $\frac{\partial U}{\partial y} = K$.
આમ,બળ $\overrightarrow{F} = -(K \hat{i} + K \hat{j})$ મળે છે.
$(1, 1)$ થી $(2, 3)$ સુધીનું સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{S} = (2 - 1) \hat{i} + (3 - 1) \hat{j} = \hat{i} + 2 \hat{j}$ છે.
સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S}$ છે.
$W = -(K \hat{i} + K \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j}) = -(K \times 1 + K \times 2) = -(K + 2K) = -3K$.

(A) બળ $F = 2x^2 - 3x - 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સંતુલન ત્યારે થાય છે જ્યારે $F = 0$ હોય.
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
$2x^2 - 4x + x - 2 = 0$
$2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$
$(2x + 1)(x - 2) = 0$
આમ,સંતુલન સ્થાનો $x = -1/2$ અને $x = 2$ છે.
સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે,આપણે બળનું વિકલન તપાસીએ છીએ: $dF/dx = 4x - 3$.
સ્થિર સંતુલન માટે,સંતુલન બિંદુ પર $dF/dx < 0$ હોવું જોઈએ.
$x = -1/2$ પર: $dF/dx = 4(-1/2) - 3 = -2 - 3 = -5 < 0$. આ સ્થિર સંતુલન છે.
$x = 2$ પર: $dF/dx = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5 > 0$. આ અસ્થિર સંતુલન છે.
તેથી,$x = -1/2$ એ સ્થિર સંતુલનનું સ્થાન છે.

(A) બળ $\vec{F}$ એ સ્થિતિઊર્જા $U$ ના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ સાથે સંબંધિત છે: $\vec{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k} \right)$.
આપેલ છે કે $U = \frac{1}{2}(x^2 - z^2)$,આપણે આંશિક વિકલન કરીએ:
$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}z^2 \right) = -\frac{1}{2}(2x) = -x$.
$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = 0$ (કારણ કે અહીં $y$ પર કોઈ આધાર નથી).
$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}z^2 \right) = -\frac{1}{2}(-2z) = z$.
આમ,બળ સદિશ $\vec{F} = F_x\hat{i} + F_y\hat{j} + F_z\hat{k} = -x\hat{i} + z\hat{k}$ થશે.

(D) કોઈ બળને સંરક્ષી ત્યારે કહેવાય છે જો બે બિંદુઓ વચ્ચે કણના સ્થાનાંતર દરમિયાન તેના દ્વારા અથવા તેની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય.
ઘર્ષણ બળ એ અસંરક્ષી બળ છે કારણ કે ઘર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવતું કાર્ય માર્ગની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
વધુમાં,ઘર્ષણ જેવા અસંરક્ષી બળની વિરુદ્ધ કરવામાં આવતું કાર્ય ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે અને તેને સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે પાછું મેળવી શકાતું નથી.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને ખોટા છે.

(N/A) જો કોઈ કણને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે બળ દ્વારા અથવા તેની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે.
$1$. જ્યારે કોઈ બાહ્ય બળ સંરક્ષી બળ (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્પ્રિંગ બળ) ની વિરુદ્ધ પદાર્થને ખસેડવા માટે કાર્ય કરે છે,ત્યારે આ કાર્ય સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
$2$. જ્યારે બાહ્ય બળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ આ સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જાને ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરીને ગતિ કરે છે.
$3$. આ સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા (ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો) અચળ રહે છે.
કારણ કે કરવામાં આવેલું કાર્ય ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે અને માર્ગ પર નહીં,તેથી આ બળોને સંરક્ષી બળો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,સ્પ્રિંગ બળ અને સ્થિત વિદ્યુત બળનો સમાવેશ થાય છે.

(C) જો કોઈ કણને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે.
ક્ષેત્ર બળો,જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ,સંરક્ષી છે કારણ કે તેમના દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર જ આધાર રાખે છે.
સંપર્ક બળો,જેમ કે ઘર્ષણ અને હવાનો અવરોધ,અસંરક્ષી છે કારણ કે તેમના દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે અને તે ઘણીવાર યાંત્રિક ઉર્જાને ગરમીમાં રૂપાંતરિત કરે છે.
તેથી,ક્ષેત્ર બળો સામાન્ય રીતે સંરક્ષી હોય છે અને સંપર્ક બળો સામાન્ય રીતે અસંરક્ષી હોય છે.

(N/A) સંરક્ષી બળ: જો કોઈ પદાર્થ પર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય માર્ગ પર આધારિત ન હોય અને માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર જ આધાર રાખતું હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે. આવા ક્ષેત્રને સંરક્ષી ક્ષેત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,સ્થિત-વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ.
અસંરક્ષી બળ: જો કોઈ પદાર્થ પર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય માર્ગ પર આધારિત હોય,તો તે બળને અસંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે. આવા બળ દ્વારા બંધ માર્ગ પર પદાર્થને ગતિ કરાવવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી. આવા ક્ષેત્રને અસંરક્ષી ક્ષેત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ઘર્ષણ બળ અને શ્યાનતા બળ.

(N/A) સંરક્ષી બળ $F$ માટે,સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર $\Delta x$ દરમિયાન બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = F \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થતું કાર્ય એ ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,$\Delta K = W$.
તેથી,$\Delta K = F \Delta x$.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $\Delta K + \Delta V = 0$.
સમીકરણમાં $\Delta K = F \Delta x$ મૂકતા,આપણને $F \Delta x + \Delta V = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણી પાસે $F \Delta x = -\Delta V$ છે.
તેથી,$F = -\frac{\Delta V}{\Delta x}$.
લિમિટ $\Delta x \to 0$ લેતા,આ $F = -\frac{dV}{dx}$ બને છે.
આમ,સંરક્ષી બળ માટે,બળ એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં સ્થિતિ ઉર્જાનું ઋણ વિકલન છે.

(N/A) ધારો કે એક પદાર્થ સંરક્ષી બળ $F$ ની અસર હેઠળ સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર $dx$ અનુભવે છે.
આ સંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $dW = F dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $dW = dK$.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંરક્ષી બળ માટે કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = K + V$ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $dE = 0$.
તેથી,$dK + dV = 0$,જે સૂચવે છે કે $dK = -dV$.
$dW = dK$ અને $dW = F dx$ ને સરખાવતા,આપણને $F dx = -dV$ મળે છે.
આમ,$F = -\frac{dV}{dx}$.
આમ,સંરક્ષી બળ માટે,બળ એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં સ્થિતિઊર્જાના ઋણ વિકલન જેટલું હોય છે.

(N/A) સંરક્ષી બળ એવું બળ છે કે જેમાં બે બિંદુઓ વચ્ચે કણના સ્થાનાંતર દરમિયાન થયેલું કુલ કાર્ય તેના માર્ગ પર આધારિત હોતું નથી. તેના ઉદાહરણો છે: $1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$2$. સ્થિત-વિદ્યુત બળ,$3$. સ્પ્રિંગ બળ (સ્થિતિસ્થાપક બળ).
અસંરક્ષી બળ એવું બળ છે કે જેમાં થયેલું કાર્ય તેના માર્ગ પર આધાર રાખે છે. તેના ઉદાહરણો છે: $1$. ઘર્ષણ બળ,$2$. શ્યાનતા બળ (Viscous force),$3$. હવાનો અવરોધ.

(A) સંરક્ષી બળ $F(x)$ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $V(x)$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ઋણ ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = -\Delta V$
નાના સ્થાનાંતર $dx$ દરમિયાન બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $dW = F dx$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$F dx = -dV$
$F = -\frac{dV}{dx}$
આમ,સ્થિતિ ઉર્જાનું સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં ઋણ વિકલન લેવાથી સંરક્ષી બળ મળે છે.

(N/A) જ્યારે તંત્ર પર બિન-સંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા હવાનો અવરોધ) કાર્ય કરે છે,ત્યારે કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. તેના બદલે,આ બિન-સંરક્ષી બળો દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $(W_{nc})$ એ તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $W_{nc} = \Delta E = \Delta K + \Delta U$,જ્યાં $\Delta K$ એ ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta U$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તેને આ રીતે લખી શકાય: $E_f - E_i = W_{nc}$,જ્યાં $E_f$ એ અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા છે અને $E_i$ એ પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા છે.
આ સૂચવે છે કે બિન-સંરક્ષી બળો દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તંત્રની યાંત્રિક ઉર્જામાં ફેરફાર લાવે છે,જે ઘણીવાર ઉષ્મા અથવા અવાજ તરીકે વ્યય પામે છે.

(N/A) $(1)$ જો કોઈ કણ બે બિંદુઓ વચ્ચે ગતિ કરે ત્યારે તેના પર થતું કાર્ય માત્ર તેના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે,અને લીધેલા માર્ગ પર નહીં,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવાય છે.
$(2)$ જો કોઈ કણ કોઈપણ બંધ માર્ગ (closed path) પર ગતિ કરે ત્યારે તેના પર થતું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવાય છે.
$(3)$ જો કોઈ બળ $F$ ને અદિશ સ્થિતિ ઉર્જા વિધેય $U$ ના ઋણ પ્રચલન (negative gradient) તરીકે દર્શાવી શકાય,એટલે કે $F = -\nabla U$,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવાય છે.

(N/A) $(1)$ સંરક્ષી બળો પથ પર આધારિત નથી. સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય માત્ર પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,તે કયા માર્ગે ગયું તેના પર નહીં.
$(2)$ બંધ માર્ગ પર સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે. ગાણિતિક રીતે,$\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$.
$(3)$ સંરક્ષી બળો માટે સ્થિતિઊર્જા વિધેય $V$ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેથી $\vec{F} = -\nabla V$ થાય. આ યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણ માટે પરવાનગી આપે છે,જ્યાં $K + V = \text{અચળ}$.
$(4)$ બધા બળો સંરક્ષી હોતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે,ઘર્ષણ એ અસંરક્ષી બળ છે. અસંરક્ષી બળોની હાજરીમાં,કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી અને ઊર્જા ઉષ્મા $(Q)$ તરીકે વ્યય પામે છે. સુધારેલો નિયમ $K + V + Q = \text{અચળ}$ છે.
$(5)$ સ્થિતિઊર્જા માટે સંદર્ભ બિંદુ મનસ્વી છે. આપણે અનુકૂળતા મુજબ શૂન્ય સ્તર પસંદ કરીએ છીએ (દા.ત.,સ્પ્રિંગ માટે $x=0$,ગુરુત્વાકર્ષણ માટે પૃથ્વીની સપાટી,અથવા સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ માટે અનંત અંતર). માત્ર સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta V)$ ભૌતિક રીતે મહત્વપૂર્ણ છે.

(A) સ્પ્રિંગ બળ હૂકના નિયમ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
જો કોઈ બળ દ્વારા કણને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવામાં કરવામાં આવેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગ બળ માટે,સ્થિતિ $x_1$ થી $x_2$ સુધી ખસેડવામાં કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -\frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$ છે.
કારણ કે કરવામાં આવેલું કાર્ય ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિઓ ($x_1$ અને $x_2$) પર આધાર રાખે છે અને લીધેલા માર્ગ પર નહીં,તેથી સ્પ્રિંગ બળ એ સંરક્ષી બળ છે.

(N/A) $1$. સંરક્ષી બળો માટે: યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કોઈ તંત્ર પર માત્ર સંરક્ષી બળો (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્થિત-વિદ્યુત બળો) કાર્ય કરતા હોય,તો કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(E = K + U)$ અચળ રહે છે. ગાણિતિક રીતે,$\Delta E = \Delta K + \Delta U = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E_{initial} = E_{final}$.
$2$. બિન-સંરક્ષી બળો માટે: જ્યારે કોઈ તંત્ર પર બિન-સંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા હવાનો અવરોધ) કાર્ય કરે છે,ત્યારે કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. તેના બદલે,બિન-સંરક્ષી બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_{nc})$ એ કુલ યાંત્રિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{nc} = \Delta E = (K_f + U_f) - (K_i + U_i)$. આ કાર્ય સામાન્ય રીતે ઉષ્મા ઉર્જા તરીકે વ્યય પામે છે.

(B) જો કોઈ પદાર્થને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે બળ દ્વારા અથવા બળની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો કોઈ કણને કોઈપણ બંધ માર્ગ પર ગતિ કરાવવા માટે બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય,તો તે બળ સંરક્ષી છે.
સંરક્ષી બળોના ગુણધર્મો:
$1$. કરવામાં આવેલું કાર્ય અનુસરવામાં આવેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર છે.
$2$. બંધ ગાળામાં કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
$3$. બળ એ સ્થિતિ ઉર્જા વિધેયનું ઋણ ગ્રેડિયન્ટ છે,એટલે કે $F = -\nabla U$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત વિદ્યુત બળ તેના ઉદાહરણો છે.

(A) સંરક્ષી બળ $F(x)$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U(x)$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $W = -\Delta U$.
અતિ સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર $dx$ માટે,થયેલું કાર્ય $dW = F(x) dx$ છે.
આમ,$F(x) dx = -dU$,જે સૂચવે છે કે $F(x) = -\frac{dU}{dx}$.
તેથી,સ્થાનની સાપેક્ષે સ્થિતિ ઊર્જાના વિકલિતનું ઋણ મૂલ્ય એ બળ આપે છે.

(N/A) કોઈપણ બળને સંરક્ષી બળ ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે:
$(1)$ બળ દ્વારા થતું કાર્ય ગતિપથથી સ્વતંત્ર હોય,એટલે કે તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે.
$(2)$ કોઈ બંધગાળા (closed loop) પર બળ દ્વારા થતું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય.

(B) ના,અસંરક્ષી બળો વડે થતું કાર્ય હંમેશાં ઋણ હોતું નથી.
$1$. જો પદાર્થ પર બળ લગાડવામાં આવે પરંતુ તે સ્થાનાંતરિત ન થાય,તો ઘર્ષણબળ વડે થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
$2$. જો પદાર્થની ગતિ ઘર્ષણને કારણે થતી હોય (દા.ત.,ગતિ કરતા પાટિયા પર મૂકેલો બ્લોક),તો પદાર્થ પર ઘર્ષણબળ વડે થતું કાર્ય ધન હોઈ શકે છે.
$3$. સામાન્ય રીતે,જ્યારે ઘર્ષણબળ સપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે ત્યારે તે ઋણ કાર્ય કરે છે,પરંતુ આ તમામ અસંરક્ષી બળો માટેનો સાર્વત્રિક નિયમ નથી.

(N/A) ના,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થશે નહીં.
પતન દરમિયાન,પદાર્થ હવાનો અવરોધક બળ (ડ્રેગ) અનુભવે છે,જે એક બિન-સંરક્ષી બળ છે.
આ અવરોધક બળની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય કેટલીક યાંત્રિક ઉર્જાને ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે.
પરિણામે,ગતિ ઉર્જા $(KE)$ માં થતો વધારો એ સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ માં થતા ઘટાડા કરતા ઓછો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સમય સાથે ઘટે છે.

(N/A) ના,બંધ ગાળામાં પદાર્થને ગતિ કરાવવા માટે થયેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોતું નથી.
કાર્ય ત્યારે જ શૂન્ય હોય છે જ્યારે પદાર્થ પર લાગતા બળો સંરક્ષી બળો (conservative forces) હોય.
સંરક્ષી બળ એવું બળ છે કે જેમાં બે બિંદુઓ વચ્ચે કણના સ્થાનાંતર દરમિયાન થયેલું કુલ કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
સંરક્ષી બળોના ઉદાહરણોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળનો સમાવેશ થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,ઘર્ષણ અથવા હવાના અવરોધ જેવા અસંરક્ષી બળો ઉર્જાનો વ્યય કરે છે,જેનો અર્થ છે કે બંધ ગાળામાં થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી.

(B) સંરક્ષી બળ એવું બળ છે કે જેમાં બે બિંદુઓ વચ્ચે કણનું સ્થાનાંતર કરવા માટે કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય પથ પર આધારિત નથી. તેના ઉદાહરણોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળનો સમાવેશ થાય છે.
અસંરક્ષી બળ એવું બળ છે કે જેમાં કરવામાં આવેલું કાર્ય પથ પર આધાર રાખે છે. તેના ઉદાહરણોમાં ઘર્ષણ બળ અને હવાનો અવરોધનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,$(1)$ સંરક્ષી બળ એ $(b)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સાથે જોડાય છે,અને $(2)$ અસંરક્ષી બળ એ $(a)$ ઘર્ષણ બળ સાથે જોડાય છે.
સાચી જોડ $(1-b), (2-a)$ છે.

(A) બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dr}$ છે.
આપેલ છે $U = \frac{a}{r^2} - \frac{b}{r}$,તેથી $F = -\frac{d}{dr}(\frac{a}{r^2} - \frac{b}{r}) = -(-\frac{2a}{r^3} + \frac{b}{r^2}) = \frac{2a}{r^3} - \frac{b}{r^2}$.
મહત્તમ બળ શોધવા માટે,આપણે $F$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dF}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{2a}{r^3} - \frac{b}{r^2}) = -\frac{6a}{r^4} + \frac{2b}{r^3} = 0$.
આનાથી આપણને $r = \frac{3a}{b}$ મળે છે.
$a = 2$ અને $b = 4$ મૂકતા,$r = \frac{3(2)}{4} = 1.5 = \frac{3}{2}$ મળે.
હવે,$r = \frac{3}{2}$ ની કિંમત $F$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{2(2)}{(3/2)^3} - \frac{4}{(3/2)^2} = \frac{4}{27/8} - \frac{4}{9/4} = \frac{32}{27} - \frac{16}{9} = \frac{32 - 48}{27} = -\frac{16}{27} \ N$.

(A) કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E_{\text{mech}} = K.E. + U = 8 \, J$ છે.
$(A)$ $x = x_{3}$ પર,આલેખ પરથી,$U = 4 \, J$ છે. તેથી,$K.E. = E_{\text{mech}} - U = 8 - 4 = 4 \, J$ થાય. વિધાનમાં $K.E. = 10 \, J$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
$(B)$ $x = x_{2}$ પર,આલેખ પરથી,$U = 0 \, J$ છે. તેથી,$K.E. = 8 - 0 = 8 \, J$ થાય. $U$ ન્યૂનતમ હોવાથી,$K.E.$ મહત્તમ છે અને કણ સૌથી ઝડપી ગતિ કરે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(C)$ $x < x_{1}$ પર,આલેખ પરથી,$U = 8 \, J$ છે. તેથી,$K.E. = 8 - 8 = 0 \, J$ થાય. કણ સ્થિર છે,જે સૌથી ધીમી ગતિ છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(D)$ $x > x_{4}$ પર,આલેખ પરથી,$U = 6 \, J$ (અચળ) છે. તેથી,$K.E. = 8 - 6 = 2 \, J$ (અચળ) થાય. આ વિધાન પણ સાચું છે.

(A) કણ પર લાગતું બળ $F = -\alpha x^3 - \beta x^4$ છે.
$F = -\frac{dU}{dx}$ હોવાથી,$\frac{dU}{dx} = \alpha x^3 + \beta x^4$ મળે.
$x = 0$ આગળ,$\frac{dU}{dx} = 0$ થાય છે,જે દર્શાવે છે કે કણ સંતુલનમાં છે.
સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે,આપણે $x = 0$ આગળ સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ના વિકલનો તપાસીએ:
$\frac{d^2U}{dx^2} = 3\alpha x^2 + 4\beta x^3$,જે $x = 0$ આગળ $0$ થાય છે.
$\frac{d^3U}{dx^3} = 6\alpha x + 12\beta x^2$,જે $x = 0$ આગળ $0$ થાય છે.
$\frac{d^4U}{dx^4} = 6\alpha + 24\beta x$,જે $x = 0$ આગળ $6\alpha$ થાય છે.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$x = 0$ આગળ પ્રથમ શૂન્યતર વિકલન બેકી ક્રમનું ($4$ થું વિકલન) અને ધન છે. આ દર્શાવે છે કે $U$ નું મૂલ્ય $x = 0$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
તેથી,કણ સ્થાયી સંતુલનમાં છે.

(A) યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
$x = +\infty$ પર, સ્થિતિઊર્જા $U_i = V(\infty) = \frac{K}{e^{\infty} + e^{-\infty}} = 0$ થાય.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = K$ છે.
$x = 0$ પર, સ્થિતિઊર્જા $U_f = V(0) = \frac{K}{e^0 + e^0} = \frac{K}{1 + 1} = \frac{K}{2}$ થાય.
ધારો કે $x = 0$ આગળ કણની ઝડપ $v$ છે. તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ થાય.
ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $K + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{K}{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = K - \frac{K}{2} = \frac{K}{2}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $mv^2 = K \Rightarrow v^2 = \frac{K}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{K}{m}}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સંતુલન માટે,બળ $F$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$F = 2x^2 - 3x - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2 - 4x + x - 2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0 \Rightarrow (2x + 1)(x - 2) = 0$.
આમ,સંતુલન સ્થાનો $x = 2$ અને $x = -1/2$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ અને બળ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -dU/dx$ છે,તેથી $dU/dx = -F$.
સ્થાયી સંતુલન માટેની શરત એ છે કે સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ન્યૂનતમ હોય,જેનો અર્થ છે કે $d^2U/dx^2 > 0$.
કારણ કે $dU/dx = -F$,આપણને $d^2U/dx^2 = -dF/dx$ મળે છે.
વિકલન કરતા: $dF/dx = d/dx(2x^2 - 3x - 2) = 4x - 3$.
તેથી,$d^2U/dx^2 = -(4x - 3) = 3 - 4x$.
$x = -1/2$ માટે: $d^2U/dx^2 = 3 - 4(-1/2) = 3 + 2 = 5 > 0$. દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$x = -1/2$ એ સ્થાયી સંતુલનનું સ્થાન છે.
$x = 2$ માટે: $d^2U/dx^2 = 3 - 4(2) = 3 - 8 = -5 < 0$. દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$x = 2$ એ અસ્થાયી સંતુલનનું સ્થાન છે.