Work Done by Spring and Potential Energy of Spring Questions in Gujarati

(C) સ્પ્રિંગને $F$ બળ દ્વારા ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ સૂત્ર $W = \frac{F^2}{2k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને સ્પ્રિંગને સમાન બળ $F$ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે કરવામાં આવેલું કાર્ય બળ અચળાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $W \propto \frac{1}{k}$.
આપેલ છે કે $k_1 > k_2$,તેથી $\frac{1}{k_1} < \frac{1}{k_2}$ થાય.
પરિણામે,$W_1 < W_2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બીજી સ્પ્રિંગના કિસ્સામાં વધુ કાર્ય થાય છે.

(A) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $k = 10\, N/m$,શરૂઆતનું ખેંચાણ $x_1 = 0.20\, m$,અને અંતિમ ખેંચાણ $x_2 = 0.25\, m$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = \frac{1}{2} \times 10 \times [(0.25)^2 - (0.20)^2]$.
$\Delta U = 5 \times (0.0625 - 0.0400)$.
$\Delta U = 5 \times 0.0225 = 0.1125\, J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો આશરે $0.1\, J$ છે.

(A) સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવાથી મળતી સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $x = S$ માટે,$U_1 = \frac{1}{2} k S^2 = 10 \, J$.
આપણે વધારાના $S$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય શોધવાનું છે,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ વિસ્તરણ $x_2 = S + S = 2S$ છે.
કરેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_2 - U_1$.
$U_2 = \frac{1}{2} k (2S)^2 = \frac{1}{2} k (4S^2) = 4 \times (\frac{1}{2} k S^2) = 4 \times 10 = 40 \, J$.
તેથી,$W = 40 \, J - 10 \, J = 30 \, J$.

(D) હૂકના નિયમ મુજબ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k = \frac{F}{x}$ છે.
અહીં $F = 10 \, N$ અને $x = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$ આપેલ છે.
તેથી,$k = \frac{10}{1 \times 10^{-3}} = 10^4 \, N/m$.
સ્પ્રિંગને $x = 40 \, mm = 40 \times 10^{-3} \, m$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k x^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} \times 10^4 \times (40 \times 10^{-3})^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 10^4 \times (1600 \times 10^{-6}) = \frac{1}{2} \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-3} = 0.5 \times 16 = 8 \, J$.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ સંકોચનના બિંદુએ પદાર્થની ગતિ ઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K.E. = P.E._{spring}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
આપેલ છે: $m = 0.1 \ kg$,$v = 10 \ m/s$,$k = 1000 \ N/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 0.1 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times x^2$
$0.1 \times 100 = 1000 \times x^2$
$10 = 1000 \times x^2$
$x^2 = \frac{10}{1000} = 0.01$
$x = \sqrt{0.01} = 0.1 \ m$.

(B) સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_1$ થી અંતિમ વિસ્તરણ $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$.
આપેલ છે:
ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $k = 800\, N/m$.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_1 = 5\, cm = 0.05\, m$.
અંતિમ વિસ્તરણ $x_2 = 15\, cm = 0.15\, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 800 \times ((0.15)^2 - (0.05)^2)$
$W = 400 \times (0.0225 - 0.0025)$
$W = 400 \times 0.0200$
$W = 8\, J$.

(C) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$x_1 = 2 \, cm$ માટે,ઉર્જા $U_1 = 100 \, J$ છે.
તેથી,$100 = \frac{1}{2} k (2)^2 \implies 100 = 2k \implies k = 50 \, J/cm^2$.
જ્યારે સ્પ્રિંગને વધુ $2 \, cm$ ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે નવું વિસ્તરણ $x_2 = 2 \, cm + 2 \, cm = 4 \, cm$ થાય છે.
નવી સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2} k x_2^2 = \frac{1}{2} (50) (4)^2 = 25 \times 16 = 400 \, J$ છે.
સંગ્રહિત ઉર્જામાં થયેલો વધારો $\Delta U = U_2 - U_1 = 400 \, J - 100 \, J = 300 \, J$ છે.

(D) $x$ અંતર સુધી ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}kx^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે,$x_1 = 2 \,mm$ માટે,$U_1 = 4 \,J$.
જ્યારે સ્પ્રિંગને $x_2 = 10 \,mm$ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સ્થિતિ ઉર્જા $U_2$ એ સ્થાનાંતરના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે $(U \propto x^2)$.
તેથી,$\frac{U_2}{U_1} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_2}{4} = \left(\frac{10}{2}\right)^2 = (5)^2 = 25$.
આમ,$U_2 = 4 \times 25 = 100 \,J$.

(C) સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક લંબાઈ $x_1$ થી અંતિમ લંબાઈ $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$.
આપેલ છે:
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 5 \times 10^3 \, N/m$.
પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $x_1 = 5 \, cm = 0.05 \, m$.
અંતિમ સ્થાનાંતર $x_2 = 5 \, cm + 5 \, cm = 10 \, cm = 0.10 \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times ((0.10)^2 - (0.05)^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 5000 \times (0.01 - 0.0025)$
$W = 2500 \times 0.0075$
$W = 18.75 \, J$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ સંકોચનના બિંદુએ પદાર્થની ગતિ ઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $m = 0.5\,kg$ એ દળ છે,$v = 1.5\,m/s$ એ વેગ છે,અને $k = 50\,N/m$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
પદાર્થની ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
મહત્તમ સંકોચન $x$ પર સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $P.E. = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
બંને ઉર્જાઓને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^2 = \frac{mv^2}{k}$
$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}} = v\sqrt{\frac{m}{k}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x = 1.5 \times \sqrt{\frac{0.5}{50}}$
$x = 1.5 \times \sqrt{0.01}$
$x = 1.5 \times 0.1 = 0.15\,m$.
આમ,મહત્તમ સંકોચન $0.15\,m$ છે.

(C) $x$ જેટલું સ્થાનાંતર ધરાવતી સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
અહીં સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિ ઊર્જા એ સ્થાનાંતરના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $U \propto x^2$.
શરૂઆતમાં,$x_1 = 1 \, cm$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U_1 = U$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને $x_2 = 4 \, cm$ જેટલી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવી સ્થિતિ ઊર્જા $U_2$ નીચે મુજબ મળે:
$U_2 = \frac{1}{2} k (x_2)^2 = \frac{1}{2} k (4 \, cm)^2 = 16 \times (\frac{1}{2} k (1 \, cm)^2) = 16 U$.
આમ,નવી સ્થિતિ ઊર્જા $16U$ થશે.

(B) સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય શોધવા માટે,આપણે બાહ્ય બળ $F_{ext} = -F = kx$ લગાવીએ છીએ.
થયેલું કાર્ય $W$ એ સ્થાનાંતર પર બળનું સંકલન છે:
$W = \int_{0}^{x_1} F_{ext} dx = \int_{0}^{x_1} kx dx$
$W = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1}$
$W = k \left( \frac{x_1^2}{2} - 0 \right)$
$W = \frac{1}{2} k x_1^2$
આમ,સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં થયેલું કાર્ય $\frac{1}{2} k x_1^2$ છે.

(D) સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવાથી તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}kx^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $U \propto x^2$.
આપેલ છે કે $x_1 = 0.02\, m$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U_1 = U$ છે.
$x_2 = 0.1\, m$ માટે,ધારો કે સ્થિતિ ઊર્જા $U_2$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_2}{U} = \left( \frac{0.1}{0.02} \right)^2 = (5)^2 = 25$.
તેથી,$U_2 = 25U$.

(B) $x$ જેટલા અંતરે દબાયેલી અથવા ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$PE = \frac{1}{2} k x^2$
જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
અહીં સ્પ્રિંગને $a$ જેટલા અંતરે દબાવવામાં આવે છે,તેથી સૂત્રમાં $x = a$ મૂકતા:
$PE = \frac{1}{2} k a^2$
અહીં $\frac{1}{2}$ અને $k$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિ ઊર્જા એ સ્થાનાંતરના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે:
$PE \propto a^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
ધારો કે બ્લોકની પ્રારંભિક સ્થિતિ ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર $(U_g = 0)$ છે.
જ્યારે બ્લોક સ્પ્રિંગની ઉપર $h$ ઊંચાઈ પર હોય,ત્યારે તેની કુલ ઊર્જા $E_i = 0$ છે (કારણ કે તે સ્થિર છે અને સંદર્ભ સ્તર પર છે).
જ્યારે સ્પ્રિંગ મહત્તમ $x$ અંતર સુધી સંકોચાય છે,ત્યારે બ્લોક સૌથી નીચલા બિંદુએ ક્ષણવાર માટે સ્થિર થાય છે.
બ્લોકનું તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $(h + x)$ છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_g = -mg(h + x)$ છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $U_s = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો હોય છે:
$mg(h + x) = \frac{1}{2}kx^2$.

(C) જ્યારે $M$ દળનો બ્લોક $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતો હોય અને સ્પ્રિંગ સાથે અથડાય,ત્યારે મહત્તમ સંકોચન $L$ ના બિંદુએ તેની ગતિઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} K L^2$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{K}{M} L^2 \implies v = L \sqrt{\frac{K}{M}}$
બ્લોકનું વેગમાન $P$ એ $P = Mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = M \left( L \sqrt{\frac{K}{M}} \right) = \sqrt{M^2 \cdot \frac{K}{M}} L = \sqrt{MK} L$
આમ,બ્લોકનું મહત્તમ વેગમાન $\sqrt{MK} L$ છે.

(D) $l$ જેટલું અંતર ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k l^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આ સૂચવે છે કે $U \propto l^2$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_1 = V$ છે જ્યારે વિસ્તરણ $l_1 = 2 \, cm$ છે.
આપણે $l_2 = 10 \, cm$ ના વિસ્તરણ માટે સ્થિતિ ઉર્જા $U_2$ શોધવાની છે.
પ્રમાણસરતા $U \propto l^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2$
$\frac{U_2}{V} = \left( \frac{10}{2} \right)^2 = (5)^2 = 25$
તેથી,$U_2 = 25V$.

(B) ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T$ અને વિસ્તરણ $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = kx$ છે.
આના પરથી,આપણે વિસ્તરણને $x = \frac{T}{k}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હવે,$x$ ની આ કિંમતને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T}{k} \right)^2$
$U = \frac{1}{2} k \left( \frac{T^2}{k^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2k}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બળ અચળાંક $K$ ધરાવતી સ્પ્રિંગમાં $x$ જેટલા વિસ્તરણ વખતે સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}Kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l_1$ વિસ્તરણ વખતે,સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2}Kl_1^2$ છે.
$l_2$ વિસ્તરણ વખતે,સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2}Kl_2^2$ છે.
વિસ્તરણને $l_1$ થી $l_2$ સુધી વધારવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = U_2 - U_1$
$W = \frac{1}{2}Kl_2^2 - \frac{1}{2}Kl_1^2$
$W = \frac{1}{2}K(l_2^2 - l_1^2)$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4\, kg$,વિસ્તરણ $x_1 = 2\, cm = 0.02\, m$,અંતિમ વિસ્તરણ $x_2 = 5\, cm = 0.05\, m$,$g = 9.8\, m/s^2$.
પ્રથમ,હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ શોધો: $F = Kx_1 \implies mg = Kx_1$.
$K = \frac{mg}{x_1} = \frac{4 \times 9.8}{0.02} = \frac{39.2}{0.02} = 1960\, N/m$.
બાહ્ય બળ દ્વારા સ્પ્રિંગને $x_2$ જેટલી ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} K x_2^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = \frac{1}{2} \times 1960 \times (0.05)^2$.
$W = 980 \times 0.0025 = 2.45\, J$.

(C) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $U = \frac{F^2}{2K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ ખેંચાણ બળ છે અને $K$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે સ્થિતિસ્થાપક ઊર્જા સમાન છે,તેથી $U_1 = U_2$.
તેથી,$\frac{F_1^2}{2K_1} = \frac{F_2^2}{2K_2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{F_1^2}{F_2^2} = \frac{K_1}{K_2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{F_1}{F_2} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ મળે છે.
આમ,$F_1:F_2$ નો ગુણોત્તર $\sqrt{K_1}:\sqrt{K_2}$ છે.

(A) $F$ બળ દ્વારા ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{F^2}{2K}$ છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
બંને સ્પ્રિંગ માટે બળ $F$ સમાન હોવાથી,$U \propto \frac{1}{K}$ થાય.
તેથી,બે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{K_2}{K_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો $K_1 = 1500 \, N/m$ અને $K_2 = 3000 \, N/m$ મૂકતા,આપણને $\frac{U_1}{U_2} = \frac{3000}{1500} = 2$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} K x^2$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T$ અને વિસ્તરણ $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = K x$ છે.
આના પરથી,આપણે વિસ્તરણને $x = \frac{T}{K}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$x$ ની આ કિંમતને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} K \left( \frac{T}{K} \right)^2$
$U = \frac{1}{2} K \left( \frac{T^2}{K^2} \right)$
$U = \frac{T^2}{2K}$.

(C) ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2}kh^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $h$ એ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ છે.
જ્યારે પદાર્થ સંતુલન સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
તેથી,$mg = kh$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{mg}{h}$.
$k$ ની આ કિંમતને સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P.E. = \frac{1}{2} \left( \frac{mg}{h} \right) h^2$.
$P.E. = \frac{1}{2} mgh$.

(C) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
શરૂઆતમાં,$x_1 = 2 \ cm$ માટે,ઊર્જા $U_1 = 100 \ J = \frac{1}{2}k(2)^2$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને ફરીથી $2 \ cm$ ખેંચવામાં આવે,ત્યારે કુલ સ્થાનાંતર $x_2 = 2 \ cm + 2 \ cm = 4 \ cm$ થાય છે.
$x_2$ અંતરે સંગ્રહિત કુલ ઊર્જા $U_2 = \frac{1}{2}k(4)^2 = \frac{1}{2}k(16)$ છે.
અહીં $U_1 = \frac{1}{2}k(4) = 100 \ J$ હોવાથી,$\frac{1}{2}k = 25 \ J/cm^2$ મળે.
તેથી,$U_2 = 25 \times 16 = 400 \ J$ થાય.
સંગ્રહિત વધારાની ઊર્જા $\Delta U = U_2 - U_1 = 400 \ J - 100 \ J = 300 \ J$ છે.

(D) $x$ લંબાઈ સુધી ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2}Kx^2$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને વધારાની $y$ લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ લંબાઈ $(x + y)$ થાય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2}K(x + y)^2$ છે.
બીજા ખેંચાણ દરમિયાન થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$W = U_2 - U_1$
$W = \frac{1}{2}K(x + y)^2 - \frac{1}{2}Kx^2$
$W = \frac{1}{2}K(x^2 + 2xy + y^2) - \frac{1}{2}Kx^2$
$W = \frac{1}{2}K(x^2 + 2xy + y^2 - x^2)$
$W = \frac{1}{2}K(2xy + y^2)$
$W = \frac{1}{2}Ky(2x + y)$.

(B) સ્પ્રિંગને $x$ જેટલી લંબાઈ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક ખેંચાણ $x_1$ થી અંતિમ ખેંચાણ $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે ($10 \ cm$ થી $20 \ cm$): $W_1 = \frac{1}{2} k (20^2 - 10^2) = \frac{1}{2} k (400 - 100) = 150 k$.
બીજા કિસ્સા માટે ($20 \ cm$ થી $30 \ cm$): $W_2 = \frac{1}{2} k (30^2 - 20^2) = \frac{1}{2} k (900 - 400) = 250 k$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$W_1 < W_2$. તેથી,$10 \ cm$ થી $20 \ cm$ સુધી સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $20 \ cm$ થી $30 \ cm$ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય કરતા ઓછું છે.

(D) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
સૂત્રમાં $x$ નો વર્ગ હોવાથી,કોઈપણ શૂન્યતર સ્થાનાંતર $(x \neq 0)$ માટે સ્થિતિ ઊર્જા $U$ હંમેશા ધન હોય છે.
સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં આવે $(x > 0)$ કે સંકોચવામાં આવે $(x < 0)$,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય વધતા $x^2$ નું મૂલ્ય વધે છે.
તેથી,જ્યારે સ્પ્રિંગને તેની મૂળ લંબાઈથી ખેંચવામાં આવે અથવા સંકોચવામાં આવે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા હંમેશા વધે છે.

(D) જ્યારે $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને $F$ બળ વડે ખેંચવામાં આવે ત્યારે થતું કાર્ય $W = \frac{F^2}{2k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને સ્પ્રિંગ માટે બળ $F$ સમાન હોવાથી,થતું કાર્ય બળ અચળાંક $k$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(W \propto \frac{1}{k})$.
આપેલ છે કે $k_1 < k_2$,તેથી $\frac{1}{k_1} > \frac{1}{k_2}$ થાય.
આથી,$W_1 = \frac{F^2}{2k_1} > W_2 = \frac{F^2}{2k_2}$.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે કારણ કે $S_1$ પર થયેલું કાર્ય $S_2$ પર થયેલા કાર્ય કરતા વધારે છે.
વિધાન-$2$ $(k_1 < k_2)$ પણ સાચું છે અને તે જ કારણ છે કે $W_1 > W_2$ થાય છે.
તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ સંકોચન સમયે પદાર્થની ગતિઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $m = 0.5 \ kg$,$v = 1.5 \ m/s$,$k = 50 \ N/m$,અને $x$ એ મહત્તમ સંકોચન છે.
ગતિઉર્જા = સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઉર્જા
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2$
$mv^2 = kx^2$
$0.5 \times (1.5)^2 = 50 \times x^2$
$0.5 \times 2.25 = 50 \times x^2$
$1.125 = 50 \times x^2$
$x^2 = \frac{1.125}{50} = 0.0225$
$x = \sqrt{0.0225} = 0.15 \ m$
તેથી,સ્પ્રિંગનું મહત્તમ સંકોચન $0.15 \ m$ થશે.

(C) બોલ $h$ ઊંચાઈએથી પડે છે અને સ્પ્રિંગને $x$ જેટલી દબાવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોલની ગુરુત્વીય સ્થિતિઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
બોલનું કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $(h + x)$ છે.
તેથી,સ્થિતિઉર્જામાં થતો ઘટાડો $mg(h + x)$ છે.
સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઉર્જામાં થતો વધારો $\frac{1}{2}kx^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $mg(h + x) = \frac{1}{2}kx^2$.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{2mg(h + x)}{x^2}$.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં થતું મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ છે. મહત્તમ વિસ્તરણના બિંદુએ બ્લોકનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બ્લોકની ગુરુત્વીય સ્થિતિઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિઉર્જામાં ઘટાડો = $Mgx$
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} k x^2$
બંનેને સરખાવતા: $Mgx = \frac{1}{2} k x^2$
$x$ માટે ઉકેલતા ($x \neq 0$ હોવાથી): $x = \frac{2Mg}{k}$

(C) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
અહીં લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ સમાન હોવાથી,આપણે $F = kx$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{F}{k}$.
આ કિંમતને ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $U = \frac{1}{2} k (\frac{F}{k})^2 = \frac{F^2}{2k}$.
અહીં $F$ અચળ હોવાથી,$U \propto \frac{1}{k}$ થાય.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{k_2}{k_1}$ થશે.
આપેલ છે કે $k_1 = 1500 \ N/m$ અને $k_2 = 3000 \ N/m$,તેથી $\frac{U_1}{U_2} = \frac{3000}{1500} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) આપેલ છે: મૂળ લંબાઈ $L_0 = 10 \ cm$,વિસ્તરણ $x_1 = 2 \ cm = 0.02 \ m$,દળ $m = 20 \ g = 0.02 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગનું બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $k x_1 = mg$.
$k(0.02) = 0.02 \times 10 \implies k = 10 \ N/m$.
સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $14 \ cm$ થાય છે,તેથી નવું વિસ્તરણ $x_2 = 14 \ cm - 10 \ cm = 4 \ cm = 0.04 \ m$ થાય.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x_2^2$ દ્વારા મળે છે.
$U = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.04)^2 = 5 \times 0.0016 = 0.008 \ J = 8 \times 10^{-3} \ J$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બ્લોક જ્યારે $h$ જેટલી ઊભી ઊંચાઈ નીચે ઉતરે છે ત્યારે ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ સંકોચન $x$ સમયે સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
બ્લોકની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો $\Delta U_g = mgh$ છે.
સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો $\Delta U_s = \frac{1}{2} Kx^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા:
$mgh = \frac{1}{2} Kx^2$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^2 = \frac{2mgh}{K}$
$x = \sqrt{\frac{2mgh}{K}}$

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટુકડાની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા મહત્તમ સંકોચનના બિંદુએ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે સ્પ્રિંગ સાથે અથડાય તે પહેલાં ટુકડાનો વેગ $v$ છે.
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} k L^2$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{k L^2}{M} \implies v = L \sqrt{\frac{k}{M}}$
ટુકડાનું વેગમાન $p = Mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = M \left( L \sqrt{\frac{k}{M}} \right) = L \sqrt{M^2 \cdot \frac{k}{M}} = L \sqrt{Mk} = \sqrt{Mk} \, L$
આમ,ટુકડાનું મહત્તમ વેગમાન $\sqrt{Mk} \, L$ છે.

(A) $s$ અંતર સુધી ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U_1 = \frac{1}{2}ks^2 = 10 \ J$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને વધારાના $s$ અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે કુલ સ્થાનાંતર $x = s + s = 2s$ થાય છે.
આ નવા સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઊર્જા $U_2 = \frac{1}{2}k(2s)^2 = \frac{1}{2}k(4s^2) = 4 \times (\frac{1}{2}ks^2)$ થશે.
$U_1 = 10 \ J$ કિંમત મૂકતા,$U_2 = 4 \times 10 \ J = 40 \ J$ મળે.
સ્પ્રિંગને $s$ થી $2s$ સુધી ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_2 - U_1 = 40 \ J - 10 \ J = 30 \ J$.

(B) સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું તણાવ (બળ) હૂકના નિયમ મુજબ $T = kx$ છે,જ્યાં $x$ એ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ છે.
આથી,વિસ્તરણ $x = \frac{T}{k}$ થાય.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
હવે $x$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2}k \left( \frac{T}{k} \right)^2 = \frac{1}{2}k \left( \frac{T^2}{k^2} \right) = \frac{T^2}{2k}$.

(D) જ્યારે સ્પ્રિંગને $x$ જેટલી ખેંચવામાં આવે ત્યારે તેની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_1 = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને કુલ $(x + y)$ જેટલી ખેંચવામાં આવે ત્યારે તેની અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_2 = \frac{1}{2}k(x + y)^2$ છે.
બીજા ખેંચાણ દરમિયાન થતું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = U_2 - U_1$
$W = \frac{1}{2}k(x + y)^2 - \frac{1}{2}kx^2$
$W = \frac{1}{2}k(x^2 + 2xy + y^2 - x^2)$
$W = \frac{1}{2}k(2xy + y^2)$
$W = \frac{1}{2}ky(2x + y)$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બ્લોક દ્વારા ગુમાવાતી ગતિઉર્જા એ સ્પ્રિંગ દ્વારા મેળવાયેલી સ્થિતિઉર્જા જેટલી હોય છે.
ધારો કે સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ સંકોચન $d$ છે.
બ્લોકની ગતિઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m = \frac{W}{g}$ એ બ્લોકનું દળ છે.
મહત્તમ સંકોચન સમયે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઉર્જા $U = \frac{1}{2}kd^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kd^2$.
$m = \frac{W}{g}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \left( \frac{W}{g} \right) v^2 = \frac{1}{2}kd^2$.
$d$ માટે ઉકેલતા:
$d^2 = \frac{Wv^2}{kg}$.
તેથી,$d = v\sqrt{\frac{W}{kg}}$.

(B) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k = 100 \ N/m$ છે.
સ્પ્રિંગનું સ્થાનાંતર $x = 5 \ cm = 0.05 \ m$ છે.
સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $W = \frac{1}{2} k x^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.05)^2$
$W = 50 \times 0.0025$
$W = 0.125 \ J$.

(B) સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિઉર્જા સ્વરૂપે સંગ્રહિત થાય છે,જે $U = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક લંબાઈ $x_1$ થી અંતિમ લંબાઈ $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \frac{1}{2} k x_2^2 - \frac{1}{2} k x_1^2 = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$.
આપેલ છે: $k = 800 \ N/m$,$x_1 = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$x_2 = 15 \ cm = 0.15 \ m$.
$W = \frac{1}{2} \times 800 \times ((0.15)^2 - (0.05)^2)$
$W = 400 \times (0.0225 - 0.0025)$
$W = 400 \times 0.02 = 8 \ J$.

(C) $x$ જેટલા અંતર સુધી ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગની સ્થિતિ-ઊર્જા $U_1 = \frac{1}{2}kx^2 = 10 \ J$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને વધારાના $x$ જેટલા અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે કુલ સ્થાનાંતર $x + x = 2x$ થાય છે.
નવી સ્થિતિ-ઊર્જા $U_2 = \frac{1}{2}k(2x)^2 = \frac{1}{2}k(4x^2) = 4 \times (\frac{1}{2}kx^2) = 4 \times 10 = 40 \ J$ મળે.
વધારાના અંતર સુધી ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_2 - U_1 = 40 \ J - 10 \ J = 30 \ J$.

(B) સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $x_1$ થી અંતિમ સ્થાનાંતર $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે થતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = 5 \times 10^3 \ N/m$,$x_1 = 5 \ cm = 0.05 \ m$,અને $x_2 = 5 \ cm + 5 \ cm = 10 \ cm = 0.10 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times [(0.10)^2 - (0.05)^2]$
$W = \frac{1}{2} \times 5000 \times [0.01 - 0.0025]$
$W = 2500 \times 0.0075$
$W = 18.75 \ J$.

(D) યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ઊંચાઈએ રહેલી સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ સંકોચન સમયે સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = \frac{1}{2} kx^2$
આપેલ છે:
દળ $m = 40 \ g = 0.04 \ kg$
ઊંચાઈ $h = 4.9 \ m$
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 400 \ N/m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$0.04 \times 9.8 \times 4.9 = \frac{1}{2} \times 400 \times x^2$
$1.9208 = 200 \times x^2$
$x^2 = \frac{1.9208}{200} = 0.009604$
$x = \sqrt{0.009604} = 0.098 \ m$
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $x = 0.098 \times 100 = 9.8 \ cm$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કણ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ સ્પ્રિંગ દ્વારા મેળવેલી સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$mg(h + x) = \frac{1}{2} kx^2$
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $m = 0.1 \; kg$,$h_1 = 0.24 \; m$,$x_1 = 0.01 \; m$.
$mg(0.24 + 0.01) = \frac{1}{2} k(0.01)^2$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $h_2 = h$,$x_2 = 0.04 \; m$.
$mg(h + 0.04) = \frac{1}{2} k(0.04)^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{h + 0.04}{0.24 + 0.01} = \frac{(0.04)^2}{(0.01)^2}$
$\frac{h + 0.04}{0.25} = \frac{0.0016}{0.0001} = 16$
$h + 0.04 = 16 \times 0.25 = 4$
$h = 4 - 0.04 = 3.96 \; m$

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે સ્પ્રિંગ તેની પ્રાકૃતિક લંબાઈ પ્રાપ્ત કરે છે ત્યારે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા બ્લોકની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્પ્રિંગનું પ્રારંભિક સંકોચન,$x = \frac{{\ell _0}}{2}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા,$U_i = \frac{1}{2}k x^2 = \frac{1}{2}k \left( \frac{{\ell _0}}{2} \right)^2 = \frac{1}{8}k \ell_0^2$.
બ્લોકની અંતિમ ગતિ ઉર્જા,$K_f = \frac{1}{2}mv^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$U_i = K_f$.
$\frac{1}{8}k \ell_0^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
$v^2 = \frac{k \ell_0^2}{4m}$.
$v = \frac{{\ell _0}}{2}\sqrt {\frac{k}{m}}$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંચાઈ અને સંકોચન $x$ પર કણની સ્થિતિ ઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mg(h + x) = \frac{1}{2} K x^2$
કિસ્સો $I$: $m = 0.1 \ kg$,$h_1 = 0.24 \ m$,$x_1 = 0.01 \ m$
$mg(0.24 + 0.01) = \frac{1}{2} K (0.01)^2$
$mg(0.25) = \frac{1}{2} K (0.0001) \quad ... (1)$
કિસ્સો $II$: $m = 0.1 \ kg$,$h_2 = h$,$x_2 = 0.04 \ m$
$mg(h + 0.04) = \frac{1}{2} K (0.04)^2$
$mg(h + 0.04) = \frac{1}{2} K (0.0016) \quad ... (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{h + 0.04}{0.25} = \frac{0.0016}{0.0001} = 16$
$h + 0.04 = 16 \times 0.25$
$h + 0.04 = 4$
$h = 4 - 0.04 = 3.96 \ m$

(A) ધારો કે $m$ દળના બ્લોકની ઝડપ $v$ છે અને $M$ દળના બ્લોકની ઝડપ $V$ છે.
ઘર્ષણરહિત સપાટી હોવાથી,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અને રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા = અંતિમ ગતિઊર્જા
$\frac{1}{2} K x^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} M V^2 \quad \dots(1)$
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ (પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે):
$m v = M V \implies v = \frac{M V}{m} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $v$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$K x^2 = m \left( \frac{M V}{m} \right)^2 + M V^2$
$K x^2 = \frac{M^2 V^2}{m} + M V^2 = M V^2 \left( \frac{M}{m} + 1 \right) = M V^2 \left( \frac{M+m}{m} \right)$
$V^2 = \frac{K x^2 m}{M(M+m)}$
$V = \sqrt{\frac{Km}{M(M+m)}} \cdot x$

(D) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U \propto x^2$.
પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $x_1 = 2 \ cm$ અને પ્રારંભિક ઊર્જા $U_1 = U$ આપેલ છે.
નવું સ્થાનાંતર $x_2 = 10 \ cm$ છે.
ગુણોત્તરની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_2}{U} = \left( \frac{10 \ cm}{2 \ cm} \right)^2 = (5)^2 = 25$.
તેથી,નવી સ્થિતિઊર્જા $U_2 = 25 U$ થશે.