Inelastic Collision Questions in Gujarati

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન તેના કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_A v_A + m_B v_B$
આપેલ છે: $m_A = 0.2 \, kg$,$m_B = 0.4 \, kg$,$v_A = 0.3 \, m/s$.
દડા વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,$A$ ની દિશાને ધન લઈએ. તેથી,$v_A = +0.3 \, m/s$ અને $v_B$ ઋણ હશે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = 0$ (કારણ કે બંને દડા સ્થિર થઈ જાય છે).
$m_A v_A + m_B v_B = 0$
$(0.2 \, kg)(0.3 \, m/s) + (0.4 \, kg)(v_B) = 0$
$0.06 + 0.4 v_B = 0$
$0.4 v_B = -0.06$
$v_B = -\frac{0.06}{0.4} = -0.15 \, m/s$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 5 \, m$ છે અને ઉછળ્યા પછીની ઊંચાઈ $h_2 = 1.8 \, m$ છે.
અથડામણ પહેલાં દડાનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ છે અને અથડામણ પછીનો વેગ $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ છે.
પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ વેગના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{2gh_2}}{\sqrt{2gh_1}} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e = \sqrt{\frac{1.8}{5}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
ઉછળ્યા પછીનો વેગ $v_2 = e v_1 = \frac{3}{5} v_1$ છે.
વેગમાં થતો ઘટાડો $\Delta v = v_1 - v_2 = v_1 - \frac{3}{5} v_1 = \frac{2}{5} v_1$ છે.
તેથી,દડો તેના વેગમાં જે પરિબળથી ઘટાડો કરે છે તે $\frac{\Delta v}{v_1} = \frac{2}{5}$ છે.

(A) $n$ ઉછાળા પછી દડા દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ $h_n$ નું સૂત્ર $h_n = h_0 \cdot e^{2n}$ છે,જ્યાં $h_0$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈ છે,$e$ એ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક છે અને $n$ એ ઉછાળાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_0 = 32 \ m$,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 0.5 = 1/2$,અને ઉછાળાની સંખ્યા $n = 2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$h_2 = 32 \times (1/2)^{2 \times 2}$
$h_2 = 32 \times (1/2)^4$
$h_2 = 32 \times (1/16)$
$h_2 = 2 \ m$.
તેથી,બીજા ઉછાળા પછી દડો $2 \ m$ ની ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી સાથે અથડાયા પછી ઉછળે છે,ત્યારે તેની નવી ઊંચાઈ $h'$ શોધવાનું સૂત્ર $h' = h \cdot e^2$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈ છે અને $e$ એ પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 1 \, m$
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 0.6$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$h' = 1 \times (0.6)^2$
$h' = 1 \times 0.36$
$h' = 0.36 \, m$
આમ,પદાર્થ $0.36 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી ઉછળશે.

(D) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રથમ અથડામણ પહેલાંનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
જમીન સાથેની પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગ $v_1 = ev_0 = e\sqrt{2gh}$ થાય છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{e^2(2gh)}{2g} = e^2h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,વેગ $v_2 = ev_1 = e^2\sqrt{2gh}$ થાય છે.
બીજી અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = \frac{e^4(2gh)}{2g} = e^4h$ છે.
સામાન્ય રીતે,$n$ અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_n = h e^{2n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ માટે,ઊંચાઈ $h_2 = h e^{2(2)} = e^4h$ થશે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 10\,m$ છે અને ઉછળ્યા પછીની ઊંચાઈ $h_2$ છે.
અથડામણ દરમિયાન પદાર્થ તેની $20\%$ ઉર્જા ગુમાવે છે,તેથી બાકી રહેલી ઉર્જા તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જાના $80\%$ છે.
આમ,$mgh_2 = 0.80 \times mgh_1$.
આ સમીકરણ પરથી $\frac{h_2}{h_1} = 0.8$ મળે છે.
જમીન પરથી ઉછળતા પદાર્થ માટે પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ $e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$e = \sqrt{0.8} \approx 0.894$.
તેથી,પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક આશરે $0.89$ છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
આપેલ છે: $u_1 = 3 \, ms^{-1}$,$u_2 = 0$,$v_1 = 2 \, ms^{-1}$,$v_2 = 5 \, ms^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$m_1(3) + m_2(0) = m_1(2) + m_2(5)$
$3m_1 = 2m_1 + 5m_2$
$3m_1 - 2m_1 = 5m_2$
$m_1 = 5m_2$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = 5$ થાય છે.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે દરેક પદાર્થનું દળ $m = 40\, kg$ છે.
પ્રથમ પદાર્થનો વેગ $v_1 = 10\, m/s$ અને બીજા પદાર્થનો વેગ $v_2 = -7\, m/s$ છે (કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
ધારો કે સંયુક્ત પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v$
કિંમતો મૂકતા: $(40 \times 10) + (40 \times -7) = (40 + 40)v$
$400 - 280 = 80v$
$120 = 80v$
$v = 120 / 80 = 1.5\, m/s$.
તેથી,સંયુક્ત પદાર્થનો વેગ $1.5\, m/s$ છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ.
અથડામણ પહેલાં તંત્રનું વેગમાન = $M u + m(0) = M u$
અથડામણ પછી તંત્રનું વેગમાન = $M v + m u$
શરૂઆતનું અને અંતિમ વેગમાન સરખાવતા:
$M u = M v + m u$
$v$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$M v = M u - m u$
$M v = (M - m) u$
$v = \frac{M - m}{M} u$

(A) $100\, m$ ની ઊંચાઈ $H$ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE_i = mgH$ છે.
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની $20\%$ ઉર્જા ગુમાવાય છે,જેનો અર્થ છે કે $80\%$ ઉર્જા જળવાઈ રહે છે.
અથડામણ પછી દડો જે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચે છે,ત્યાં તેની સ્થિતિ ઉર્જા $PE_f = mgh$ થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$PE_f = 0.80 \times PE_i$.
તેથી,$mgh = 0.80 \times mgH$.
બંને બાજુથી $mg$ દૂર કરતા,આપણને $h = 0.80 \times H$ મળે છે.
$H = 100\, m$ મૂકતા,$h = 0.80 \times 100 = 80\, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે દડાને $h = 20 \ m$ ની ઊંચાઈ પરથી $v$ વેગ સાથે શિરોલંબ નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવે છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુ $A$ પર કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E_i = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ છે.
ફ્લોર સાથેની અથડામણ દરમિયાન,દડો તેની $50\%$ ઊર્જા ગુમાવે છે. બાકી રહેલી ઊર્જા $E_f = 0.5 \times E_i = 0.5 \left( \frac{1}{2}mv^2 + mgh \right)$ છે.
અથડામણ પછી,દડો તે જ ઊંચાઈ $h$ સુધી પાછો ફરે છે. આ મહત્તમ ઊંચાઈએ,તેનો વેગ શૂન્ય છે,તેથી તેની કુલ ઊર્જા માત્ર સ્થિતિ ઊર્જા છે: $E_{final} = mgh$.
અથડામણ પછીની ઊર્જાને $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ઊર્જા સાથે સરખાવતા: $0.5 \left( \frac{1}{2}mv^2 + mgh \right) = mgh$.
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{4}v^2 + \frac{1}{2}gh = gh$.
$\frac{1}{4}v^2 = \frac{1}{2}gh$.
$v^2 = 2gh$.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$.

(A) જ્યારે કોઈ બોલને $h$ ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવે અને તે જમીન સાથે અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત અનુભવે,ત્યારે પ્રત્યાવસ્થાન ગુણાંક (coefficient of restitution) $e$ ને અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ સંઘાત પછી,બોલનો વેગ $v_1 = ev_0$ થાય છે,જ્યાં $v_0 = \sqrt{2gh}$ એ પ્રથમ સંઘાત પહેલાનો વેગ છે.
પ્રથમ સંઘાત પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(ev_0)^2}{2g} = e^2 h$ છે.
તે જ રીતે,બીજા સંઘાત પછી,પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_2 = e^2 h_1 = e^2 (e^2 h) = e^4 h$ છે.
આ પેટર્નને અનુસરીને,$n$ માં સંઘાત પછી,પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_n = h e^{2n}$ છે.
ત્રીજા સંઘાત $(n = 3)$ માટે,પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_3 = h e^{2(3)} = h e^6$ છે.

(A) ધારો કે દળ $A$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે અને સ્થિર રહેલા દળ $B$ સાથે અસ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અથડામણ પછી દળ $A$ એ લંબ દિશામાં $\frac{v}{\sqrt{3}}$ વેગથી ગતિ કરે છે. ધારો કે દળ $B$ એ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $V$ વેગથી ગતિ કરે છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગમાન (અથડામણ પહેલાં) $= mv$.
તંત્રનું અંતિમ સમક્ષિતિજ વેગમાન (અથડામણ પછી) $= m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) \cos(90^{\circ}) + mV \cos \theta = mV \cos \theta$.
સમક્ષિતિજ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = mV \cos \theta \implies v = V \cos \theta$ $...(i)$.
તંત્રનું પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગમાન (અથડામણ પહેલાં) $= 0$.
તંત્રનું અંતિમ શિરોલંબ વેગમાન (અથડામણ પછી) $= m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) - mV \sin \theta$.
શિરોલંબ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) - mV \sin \theta = 0 \implies \frac{v}{\sqrt{3}} = V \sin \theta$ $...(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$v^2 + \frac{v^2}{3} = V^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$.
$\frac{4v^2}{3} = V^2$.
$V = \frac{2}{\sqrt{3}}v$.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે ગોળાઓ વચ્ચેની સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક ગોળો શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે અથડામણ પછી બંને ગોળાઓ એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે.
જોકે,અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
આ કિસ્સામાં,અથડામણ પછી બંને ગોળાઓના વેગ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ રહેશે નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે. તેવી જ રીતે,ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ તંત્રની કુલ ઊર્જા (ઉષ્મા,ધ્વનિ વગેરે સહિત) સંરક્ષિત રહે છે. જોકે,તંત્રની ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે તેનો અમુક ભાગ ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જા જેવા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,જે રાશિનું સંરક્ષણ થતું નથી તે ગતિઊર્જા છે.

(B) કોઈપણ અથડામણમાં (સ્થિતિસ્થાપક અથવા અસ્થિતિસ્થાપક),તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રની કુલ ગતિ ઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી,કારણ કે તેનો અમુક ભાગ ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જા જેવા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં માત્ર વેગમાન જ સંરક્ષિત રહે છે.

(C) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,દડાની ગતિ ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે તેનો કેટલોક ભાગ ઉષ્મા અથવા ધ્વનિ જેવી ઉર્જાના અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
જો કે,દડા અને પૃથ્વીથી બનેલી સિસ્ટમ માટે,અથડામણ દરમિયાન સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં,સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,દડા અને પૃથ્વીનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ $u_1$ છે અને બીજા પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ $u_2 = 0$ છે.
સંઘાત પછી તેમની ઝડપ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m u_1 + m(0) = m v_1 + m v_2$,જેનું સાદું રૂપ $u_1 = v_1 + v_2$ થાય છે.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u_1}$.
$u_1 = v_1 + v_2$ ને $e$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $e = \frac{v_2 - v_1}{v_1 + v_2}$.
પદોને ગોઠવતા: $e(v_1 + v_2) = v_2 - v_1 \implies ev_1 + ev_2 = v_2 - v_1$.
$v_1$ અને $v_2$ ના પદોને અલગ કરતા: $v_1(1 + e) = v_2(1 - e)$.
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1 - e}{1 + e}$ મળે છે.

(D) રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએથી પડતા દડા માટે,પ્રથમ અથડામણ પહેલાનો વેગ $u = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,ઉછળવાનો વેગ $v_1 = e \cdot u = e\sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ કુદકા પછી પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(e\sqrt{2gh})^2}{2g} = e^2h$ છે.
તે જ રીતે,બીજા કુદકા પછી,પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ $h_2 = e^2 h_1 = e^2(e^2h) = e^4h$ છે.
આ પેટર્નને અનુસરીને,$n^{th}$ કુદકા પછી,પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ $h_n = e^{2n}h$ થશે.

(C) જ્યારે એક બોલને $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રથમ અથડામણ પહેલાં તેનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
જમીન સાથેની પ્રથમ અથડામણ પછી,તેનો વેગ $v_1' = e v_1 = e \sqrt{2gh}$ થાય છે,જ્યાં $e$ એ રેસ્ટીટ્યૂશન ગુણાંક છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{(v_1')^2}{2g} = \frac{e^2 (2gh)}{2g} = he^2$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,વેગ $v_2' = e v_1' = e(e \sqrt{2gh}) = e^2 \sqrt{2gh}$ થાય છે.
બીજી અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_2 = \frac{(v_2')^2}{2g} = \frac{(e^2 \sqrt{2gh})^2}{2g} = \frac{e^4 (2gh)}{2g} = he^4$ છે.
તેથી,બીજી અથડામણ પછી બોલ $he^4$ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરશે.

(C) ધારો કે સંઘાત પહેલાં પદાર્થનો વેગ $v_1$ છે અને સંઘાત પછી તરત જ વેગ $v_2$ છે।
સંઘાત પહેલાંની ગતિ ઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = mgh_1$ છે, જ્યાં $h_1 = 10 \ m$.
સંઘાત પછીની ગતિ ઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = mgh_2$ છે, જ્યાં $h_2 = 2.5 \ m$.
ગતિ ઊર્જામાં થતો પ્રતિશત વ્યય નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{પ્રતિશત વ્યય} = \frac{K_1 - K_2}{K_1} \times 100$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિશત વ્યય} = \frac{mgh_1 - mgh_2}{mgh_1} \times 100 = \frac{h_1 - h_2}{h_1} \times 100$
$\text{પ્રતિશત વ્યય} = \frac{10 - 2.5}{10} \times 100 = \frac{7.5}{10} \times 100 = 75\%$

(C) ધારો કે અથડામણ પછી બે ગોળાઓના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે。
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mu + m(0) = mv_1 + mv_2$, જેનું સાદું રૂપ $v_1 + v_2 = u$ થાય છે。
રેસ્ટીટ્યૂશન ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$。
અહીં $e = \frac{1}{2}$, $u_1 = u$, અને $u_2 = 0$ આપેલ છે, તેથી $\frac{1}{2} = \frac{v_2 - v_1}{u}$, જેનો અર્થ થાય છે કે $v_2 - v_1 = \frac{u}{2}$。
હવે, આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1) v_1 + v_2 = u$
$2) -v_1 + v_2 = \frac{u}{2}$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2v_2 = \frac{3u}{2} \implies v_2 = \frac{3u}{4}$。
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2v_1 = u - \frac{u}{2} = \frac{u}{2} \implies v_1 = \frac{u}{4}$。
તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{u/4}{3u/4} = \frac{1}{3}$ મળે છે。

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1 = v\hat{i}$ છે અને બીજા પદાર્થનો વેગ $\vec{u}_2 = 0$ છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_1 = \frac{v}{\sqrt{3}}\hat{j}$ છે.
ધારો કે બીજા પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_2 = v_{2x}\hat{i} + v_{2y}\hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$x$-અક્ષ પર: $mv = mv_{2x} \implies v_{2x} = v$.
$y$-અક્ષ પર: $0 = m(\frac{v}{\sqrt{3}}) + mv_{2y} \implies v_{2y} = -\frac{v}{\sqrt{3}}$.
બીજા પદાર્થની ઝડપનું મૂલ્ય $v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{v^2 + (-\frac{v}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{v^2 + \frac{v^2}{3}} = \sqrt{\frac{4v^2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}v$ થાય.

(B) દિવાલ $\hat{j}$ અક્ષને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે દિવાલ $y$-દિશામાં છે. દિવાલનો લંબ $x$-દિશા $(\hat{i})$ માં છે.
અથડામણ પહેલાં,વેગના ઘટકો $v_x = 2 \text{ m/s}$ અને $v_y = 2 \text{ m/s}$ છે.
અથડામણ દરમિયાન,દિવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક $(v_y)$ બદલાતો નથી કારણ કે દિવાલ લીસી છે.
તેથી,$v_y' = v_y = 2 \text{ m/s}$.
દિવાલને લંબ વેગનો ઘટક $(v_x)$ રેસ્ટીટ્યૂશન ગુણાંક $e$ મુજબ બદલાય છે:
$v_x' = -e \cdot v_x = -(1/2) \cdot 2 = -1 \text{ m/s}$.
તેથી,અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x'\hat{i} + v_y'\hat{j} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ થશે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_0$ છે અને પ્રથમ અથડામણ પહેલાનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ છે.
અથડામણ પહેલાની ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_0$ છે.
ઉછળાટ પછી,વેગ $v_1 = ev_0$ થાય છે.
ઉછળાટ પછીની ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(ev_0)^2 = e^2 K_i$ થાય છે.
ગતિ ઉર્જામાં થતો વ્યય $\Delta K = K_i - K_f = K_i(1 - e^2)$ છે.
પ્રતિશત વ્યય $= \frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = (1 - e^2) \times 100$ થાય.
અહીં $e = 0.5$ આપેલ હોવાથી,પ્રતિશત વ્યય $= (1 - (0.5)^2) \times 100 = (1 - 0.25) \times 100 = 0.75 \times 100 = 75\%$.

(C) ધારો કે સંઘાત પહેલાં પદાર્થનો વેગ $v_1$ છે અને સંઘાત પછી પદાર્થનો વેગ $v_2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણ અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા:
પડતી વખતે: $v_1^2 = 2gh_1$,જ્યાં $h_1 = 10 \ m$.
ઉછળતી વખતે: $v_2^2 = 2gh_2$,જ્યાં $h_2 = 2.5 \ m$.
વેગના વર્ગોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{2gh_1}{2gh_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{10}{2.5} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,સંઘાત પહેલાંના વેગ અને સંઘાત પછીના વેગનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ બોલનું દળ $m_1 = m$ અને બીજા બોલનું દળ $m_2 = 2m$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 1.5 \ m/s$ અને $u_2 = 0 \ m/s$ છે.
રેસ્ટીટ્યૂશન ગુણાંક $e = 0.6$ છે.
પ્રથમ બોલનો અંતિમ વેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 = \left( \frac{m - 0.6(2m)}{m + 2m} \right) (1.5) = \left( \frac{1 - 1.2}{3} \right) (1.5) = \left( \frac{-0.2}{3} \right) (1.5) = -0.1 \ m/s$.
બીજા બોલનો અંતિમ વેગ $e$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \Rightarrow 0.6 = \frac{v_2 - (-0.1)}{1.5 - 0} \Rightarrow 0.6 = \frac{v_2 + 0.1}{1.5}$.
$v_2 + 0.1 = 0.6 \times 1.5 = 0.9 \Rightarrow v_2 = 0.8 \ m/s$.
આમ,અથડામણ પછીના વેગ $-0.1 \ m/s$ અને $0.8 \ m/s$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ અથડામણ પહેલા બોલનો પ્રારંભિક વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે. $h$ ઉંચાઈ પરથી પડવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{2h/g}$ છે.
જમીન સાથેની પ્રથમ અથડામણ પછી,બોલનો વેગ $v_1 = ev$ થાય છે,જ્યાં $e$ એ પુનઃસ્થાપન ગુણાંક છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી પ્રાપ્ત થતી ઉંચાઈ $h_1 = v_1^2 / (2g) = (ev)^2 / (2g) = e^2 (v^2 / 2g) = e^2 h$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી મહત્તમ ઉંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = v_1 / g = ev / g = et$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,વેગ $v_2 = ev_1 = e^2v$ થાય છે.
બીજી અથડામણ પછી પ્રાપ્ત થતી ઉંચાઈ $h_2 = v_2^2 / (2g) = (e^2v)^2 / (2g) = e^4 (v^2 / 2g) = e^4 h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી મહત્તમ ઉંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = v_2 / g = e^2v / g = e^2t$ છે.
આ પેટર્ન મુજબ,$n$ અથડામણ પછી,પ્રાપ્ત થતી ઉંચાઈ $h_n = e^{2n}h$ છે.
$n$-મી અથડામણ પછી મહત્તમ ઉંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_n = e^nt$ છે.

(B) ધારો કે દડો $h_1$ ઊંચાઈએથી પડે છે અને ઉછળ્યા પછી $h_2$ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,જો અથડામણ પહેલાં અને પછી દડાનો વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ હોય,તો $e = \frac{v_2}{v_1}$ થાય.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{1.8}{5}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
વેગમાં થતો ઘટાડો (ગુમાવેલ વેગનો અંશ) $\frac{v_1 - v_2}{v_1} = 1 - \frac{v_2}{v_1}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ અથડામણ પહેલાં બોલનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
રેસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $e$ મુજબ,પ્રથમ અથડામણ પછીનો વેગ $v_1 = ev$ થાય છે.
બીજી અથડામણ પછીનો વેગ $v_2 = ev_1 = e(ev) = e^2v$ થાય છે.
આ પેટર્ન મુજબ,$n$ મી અથડામણ પછીનો વેગ $v_n = e^n v$ થશે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v_n = e^n \sqrt{2gh}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બોલ $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરે છે. પ્રથમ અથડામણ પહેલાંનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગ $v_1 = ev = e\sqrt{2gh}$ થાય છે. પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,વેગ $v_2 = ev_1 = e^2v$ થાય છે. પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^4h$ છે.
સામાન્ય રીતે,$n$ મી અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_n = e^{2n}h$ છે.
બોલ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $S$ એ પ્રારંભિક પતન અને ત્યારબાદના ઉપર અને નીચેના માર્ગોનો સરવાળો છે:
$S = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$S = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + ...)$
$S = h + 2e^2h(1 + e^2 + e^4 + ...)$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$ અને $r=e^2$:
$S = h + 2e^2h \left( \frac{1}{1 - e^2} \right)$
$S = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right)$
$S = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$

(A) ધારો કે પ્રથમ સંઘાત પહેલાં બોલનો વેગ $v_0$ છે અને પ્રથમ સંઘાત પછીનો વેગ $u_1$ છે. તેથી,$u_1 = e v_0$ થાય.
બીજા સંઘાત પછી,$u_2 = e u_1 = e^2 v_0$ થાય.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$n$ સંઘાત પછીનો વેગ $u_n = e^n v_0$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $h$ ઊંચાઈએથી પડતા પદાર્થનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
તેથી,$u_n = \sqrt{2gh_n}$ અને $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ થાય.
આ કિંમતોને $u_n = e^n v_0$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\sqrt{2gh_n} = e^n \sqrt{2gh_0}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sqrt{2gh_0}$ વડે ભાગતા,$e^n = \sqrt{\frac{h_n}{h_0}}$ મળે છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$(2 \ kg)(1.5 \ ms^{-1}) + (3 \ kg)(0) = (2 \ kg)(v_1) + (3 \ kg)(1 \ ms^{-1})$
$3 = 2v_1 + 3$
$2v_1 = 0 \implies v_1 = 0 \ ms^{-1}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE_i)$:
$KE_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (1.5)^2 + 0 = 2.25 \ J$
અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE_f)$:
$KE_f = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0)^2 + \frac{1}{2} \times 3 \times (1)^2 = 1.5 \ J$
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $(\Delta KE)$:
$\Delta KE = KE_i - KE_f = 2.25 \ J - 1.5 \ J = 0.75 \ J$

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
અથડામણ પહેલાનું વેગમાન $P_i = mv + (nm)(kv)$.
અથડામણ પછીનું વેગમાન $P_f = m(0) + (nm)V$,જ્યાં $V$ એ બીજા પદાર્થનો અંતિમ વેગ છે.
$P_i$ અને $P_f$ ને સરખાવતા:
$mv + nmkv = nmV$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$v + nkv = nV$
$V = \frac{v + nkv}{n} = \frac{(1 + nk)v}{n}$.

(B) પ્રારંભિક ગતિની દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m \times 9 + m \times 0 = 9m$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = mv \cos 30^\circ + mv \cos 30^\circ = 2mv \cos 30^\circ$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$9m = 2mv \cos 30^\circ$.
$9 = 2v \times (\frac{\sqrt{3}}{2})$.
$9 = v \sqrt{3}$.
$v = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \ m/s$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ હોવાથી,$v \approx 3 \times 1.732 = 5.196 \ m/s \approx 5.2 \ m/s$.

(C) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેના એક-પરિમાણીય સંઘાત માટે,અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \frac{m_1 - em_2}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{m_2(1 + e)}{m_1 + m_2}u_2$
$v_2 = \frac{m_1(1 + e)}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{m_2 - em_1}{m_1 + m_2}u_2$
અહીં $m_1 = m_2 = m$,$u_1 = u$,અને $u_2 = 0$ આપેલ છે:
$v_1 = \frac{m - em}{2m}u = \frac{1 - e}{2}u$
$v_2 = \frac{m(1 + e)}{2m}u = \frac{1 + e}{2}u$
અંતિમ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1 - e}{1 + e}$
$e = 1/2$ મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1 - 1/2}{1 + 1/2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 20 \ m$ છે.
દડો અથડામણ દરમિયાન તેની $20\%$ ઊર્જા ગુમાવે છે,તેથી અથડામણ પછી બાકી રહેલી ઊર્જા તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જાના $80\%$ હશે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U = mgh$ હોવાથી,પ્રથમ અથડામણ પછી પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ $h_2$ એ $h_1$ ના $80\%$ હશે.
$h_2 = 0.80 \times h_1 = 0.80 \times 20 \ m = 16 \ m$.
રેસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક $e$ માટેનું સૂત્ર $e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{\frac{16}{20}} = \sqrt{0.8}$.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા,$e \approx 0.89$ મળે છે.

(B) ધારો કે જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ છે,જ્યાં $h_1 = 5 \ m$ છે.
અથડામણ પછી,જમીન છોડતી વખતે દડાનો વેગ $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ છે,જ્યાં $h_2 = 1.8 \ m$ છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{1.8}{5}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ થાય છે.
ગુમાવેલ વેગનો અંશ $\frac{v_1 - v_2}{v_1} = 1 - \frac{v_2}{v_1} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $m_1 = m$,$m_2 = 2m$,$u_1 = 2 \, m/s$,$u_2 = 0$,અને $e = 0.5$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m(2) + 2m(0) = m v_1 + 2m v_2$
$2 = v_1 + 2v_2$ ... $(i)$
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
$0.5 = \frac{v_2 - v_1}{2 - 0}$
$1 = v_2 - v_1$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(v_1 + 2v_2) + (v_2 - v_1) = 2 + 1$
$3v_2 = 3 \Rightarrow v_2 = 1 \, m/s$
$v_2$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$1 = 1 - v_1 \Rightarrow v_1 = 0 \, m/s$
આમ,અથડામણ પછીના વેગ $0 \, m/s$ અને $1 \, m/s$ છે.

(B) બે કણોની કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$ છે.
અથડામણ દરમિયાન,એક કણ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જવા માટે $\varepsilon$ જેટલી ઉર્જાનું શોષણ કરે છે.
તેથી,કણોની કુલ અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$ એ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા કરતા $\varepsilon$ જેટલી ઓછી હોવી જોઈએ.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_i = K_f + \varepsilon$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 + \varepsilon$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 - \varepsilon = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$.

(B) $4m$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો અંતિમ વેગ $v'$ ધારો.
$m$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $= v$.
$4m$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $= 0$.
$m$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો અંતિમ વેગ $= 0$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv + 4m(0) = m(0) + 4mv'$
$mv = 4mv'$
$v' = v/4$
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $(e)$ એ છૂટા પડવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે:
$e = \frac{\text{છૂટા પડવાનો સાપેક્ષ વેગ}}{\text{નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ}}$
$e = \frac{v' - 0}{v - 0} = \frac{v/4}{v} = 0.25$

(A) ધારો કે અથડામણ પહેલા કરાના પથ્થરનો વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી વેગ $v$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,સપાટીને સમાંતર કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી. તેથી,સપાટીને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી:
$u \sin 30^{\circ} = v \sin 60^{\circ}$ $(1)$
સપાટીને લંબ ઘટક માટે,પુનઃસ્થાપન ગુણાંક $e$ ને અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$v \cos 60^{\circ} = e (u \cos 30^{\circ})$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v \cos 60^{\circ}}{v \sin 60^{\circ}} = \frac{e u \cos 30^{\circ}}{u \sin 30^{\circ}}$
$\cot 60^{\circ} = e \cot 30^{\circ}$
અહીં $\cot 60^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = e (\sqrt{3})$
$e = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

(C) પ્રથમ વખત નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
$h = 5\,m$ અને $g = 10\,m/s^2$ માટે,$t_0 = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1\,s$ મળે.
ત્યારબાદના ઉછાળા માટે લાગતો સમય $t_n = 2e^n t_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ સમય $T = t_0 + 2e t_0 + 2e^2 t_0 + \dots = t_0 [1 + 2(e + e^2 + e^3 + \dots)]$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = e$ અને $r = e$,આપણને $T = t_0 [1 + 2(\frac{e}{1-e})]$ મળે.
$t_0 = 1\,s$ અને $e = 1/2$ મૂકતા:
$T = 1 \times [1 + 2(\frac{1/2}{1 - 1/2})] = 1 \times [1 + 2(1)] = 3\,s$.

(B) ધારો કે અથડામણ પહેલા દડાનો વેગ $v$ છે. સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \sin(45^o)$ અને શિરોલંબ ઘટક $v_y = v \cos(45^o)$ છે.
અથડામણ પછી,સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x' = v_x = v \sin(45^o)$ રહે છે કારણ કે સપાટી લીસી છે.
શિરોલંબ ઘટક બદલાઈને $v_y' = e v_y = e v \cos(45^o)$ થાય છે,જ્યાં $e$ એ પુનઃસ્થાપન ગુણાંક છે $(0 \leq e \leq 1)$.
ધારો કે અથડામણ પછી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\tan(\theta) = \frac{v_x'}{v_y'} = \frac{v \sin(45^o)}{e v \cos(45^o)} = \frac{1}{e} \tan(45^o) = \frac{1}{e}$.
કારણ કે $e \leq 1$,તેથી $\frac{1}{e} \geq 1$ થાય.
તેથી,$\tan(\theta) \geq 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta \geq 45^o$.
આમ,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $45^o$ થી ઓછો હોઈ શકે નહીં. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$30^o$ એ $45^o$ થી ઓછો છે,તેથી તે શક્ય નથી.

(B) ગોળાનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} \ m/s$ છે.
દીવાલ $y$-અક્ષ ($\hat{j}$ સદિશ) ને સમાંતર હોવાથી,તે $x$-અક્ષને લંબ છે.
અથડામણ દરમિયાન,આઘાત માત્ર દીવાલને લંબ દિશામાં એટલે કે $x$-દિશામાં લાગે છે.
તેથી,દીવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક ($y$-ઘટક) બદલાતો નથી: $v_y = u_y = 2 \hat{j} \ m/s$.
$x$-ઘટક માટે,આપણે પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = -\frac{v_x}{u_x}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $u_x = 2 \ m/s$ અને $e = 1/2$ છે.
$v_x = -e \cdot u_x = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1 \ m/s$.
આમ,અથડામણ પછીનો વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = -1 \hat{i} + 2 \hat{j} \ m/s$ થશે.

(B) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$
આપેલ છે: $m_{1} = 1 \ kg$,$u_{1} = 21 \ m/s$,$m_{2} = 2 \ kg$,$u_{2} = -4 \ m/s$ (વિરુદ્ધ દિશા).
અથડામણ પછી: $v_{1} = 1 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$1(21) + 2(-4) = 1(1) + 2 v_{2}$
$21 - 8 = 1 + 2 v_{2}$
$13 = 1 + 2 v_{2}$
$12 = 2 v_{2} \Rightarrow v_{2} = 6 \ m/s$.
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$e = \frac{v_{2} - v_{1}}{u_{1} - u_{2}}$
$e = \frac{6 - 1}{21 - (-4)} = \frac{5}{25} = 0.2$.

(D) ધારો કે અથડામણ પહેલાં ગોળાનો વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી $v = 0.1 \ m/s$ છે. લંબ સાથે પાછા ફરવાનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
દીવાલ લીસી હોવાથી,દીવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી: $u \sin \theta = v \sin 60^{\circ}$.
દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક પ્રત્યાવસ્થાન ગુણાંક $e$ મુજબ બદલાય છે: $v \cos 60^{\circ} = e (u \cos \theta)$.
આપેલ છે $e = 1/3$,$v = 0.1$,અને $\theta = 60^{\circ}$:
$u \sin \theta = 0.1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.05\sqrt{3}$.
$u \cos \theta = \frac{0.1 \times 0.5}{1/3} = 0.15$.
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m ((u \sin \theta)^2 + (u \cos \theta)^2) = \frac{1}{2} m (0.0075 + 0.0225) = \frac{1}{2} m (0.03)$.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (0.01)$.
ગતિ ઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m (0.02)$.
ટકાવારી ઘટાડો $= \frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{0.02}{0.03} \times 100 = 66 \frac{2}{3}\%$.

(D) ધારો કે દડાનો વેગ $\vec{v}_b = -4 \hat{j} \ m/s$ છે અને કાર્ટનો વેગ $\vec{v}_c = 4 \hat{i} \ m/s$ છે. કાર્ટનો ઢાળ $45^\circ$ છે.
કાર્ટના ફ્રેમમાં,દડાનો વેગ $\vec{v}_{b/c} = \vec{v}_b - \vec{v}_c = -4 \hat{i} - 4 \hat{j} \ m/s$ થાય.
ઢળતી સપાટીને લંબ દિશા શિરોલંબ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. સપાટીથી દૂર જતો એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$ છે.
વિશાળ પદાર્થ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,કાર્ટની ફ્રેમમાં દડાનો લંબ ઘટક ઉલટાઈ જાય છે,જ્યારે સપાટીને સમાંતર ઘટક બદલાતો નથી.
અથડામણ પહેલાં કાર્ટની ફ્રેમમાં દડાનો વેગ $\vec{v}_{b/c} = -4 \hat{i} - 4 \hat{j}$ છે.
લંબ દિશામાં વેગનો ઘટક $v_n = \vec{v}_{b/c} \cdot \hat{n} = (-4 \hat{i} - 4 \hat{j}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = -\frac{4}{\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{2}} = -4\sqrt{2} \ m/s$ છે.
અથડામણ પછી,લંબ ઘટક $v'_n = -v_n = 4\sqrt{2} \ m/s$ થાય છે.
અથડામણ પછી કાર્ટની ફ્રેમમાં દડાનો વેગ $\vec{v}'_{b/c} = \vec{v}_{b/c} - 2v_n \hat{n} = (-4 \hat{i} - 4 \hat{j}) - 2(-4\sqrt{2})(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = (-4 + 4\sqrt{2}) \hat{i} + (-4 + 4\sqrt{2}) \hat{j}$ થાય.
ગ્રાઉન્ડ ફ્રેમમાં પાછા ફરતા: $\vec{v}'_b = \vec{v}'_{b/c} + \vec{v}_c = 4\sqrt{2} \hat{i} + (4\sqrt{2} - 4) \hat{j}$ મળે.
આમ,ઉછળતા દડાનો વેગ $4 \sqrt{5} \ m/s$ મળે છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h$ છે. જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાની ઝડપ $v$ એ સમીકરણ $v^2 = 2gh$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v = \sqrt{2gh}$.
અથડામણ પછી,નવી ઝડપ $v'$ એ $v$ ના $80\%$ છે,તેથી $v' = 0.8v = 0.8\sqrt{2gh}$.
જ્યારે દડો તેની નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $h'$ પર પહોંચે છે,ત્યારે તે બિંદુએ તેનો અંતિમ વેગ $0$ હોય છે. સમીકરણ $v_f^2 - v_i^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (v')^2 = 2(-g)h'$
$(0.8\sqrt{2gh})^2 = 2gh'$
$0.64 \times 2gh = 2gh'$
$h' = 0.64h$.

(A) સપાટી લીસી હોવાથી,સપાટીને સમાંતર કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી. તેથી,સપાટીને સમાંતર વેગનો ઘટક અચળ રહે છે.
$v \sin \beta = u \sin \alpha$ --- $(1)$
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ લંબ દિશામાં અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$e = \frac{\text{લંબ દિશામાં અલગ થવાનો વેગ}}{\text{લંબ દિશામાં નજીક આવવાનો વેગ}} = \frac{v \cos \beta}{u \cos \alpha}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{v}{u} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$e = \left( \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \right) \left( \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} \right)$
$e = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$
$e = \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$