Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Gujarati

(C) ધારો કે આધાર બિંદુ $O$ છે. લોલકને $A$ બિંદુએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,જ્યાં દોરી સમક્ષિતિજ છે. $O$ થી $A$ નું શિરોલંબ અંતર $0$ છે.
ગોળો $B$ સ્થાન પર જાય છે,જ્યાં દોરી શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આધાર બિંદુ $O$ થી $B$ નું શિરોલંબ અંતર $h' = l \cos 30^{\circ} = l \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી ગોળા દ્વારા કપાયેલું શિરોલંબ અંતર $h = l - h' = l - l \cos 30^{\circ} = l(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો વધારો એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલો હોય છે.
ગતિઊર્જામાં વધારો $= mgh = mgl(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો જોતા,ગણતરી $mgl \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} mgl$ મુજબ કરવામાં આવી છે,જે $B$ બિંદુની સંદર્ભ સપાટીથી ઊંચાઈના તફાવતને દર્શાવે છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિંદુ $P$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ બિંદુ $Q$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
બિંદુ $P$ પર કુલ ઉર્જા = $PE_P + KE_P = mg(5R) + 0 = 5mgR$.
બિંદુ $Q$ પર કુલ ઉર્જા = $PE_Q + KE_Q = mgR + \frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$5mgR = mgR + \frac{1}{2}mv^2$
$4mgR = \frac{1}{2}mv^2$
$8gR = v^2$
$v = \sqrt{8gR} = 2\sqrt{2gR}$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{air}} = \Delta KE$
આપેલ છે:
દળ $m = 10\, kg$,ઊંચાઈ $h = 20\, m$,અંતિમ વેગ $v = 10\, m/s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m/s$,$g = 10\, m/s^2$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{gravity}} = mgh = 10 \times 10 \times 20 = 2000\, J$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500\, J$.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં મૂકતા:
$2000 + W_{\text{air}} = 500$
$W_{\text{air}} = 500 - 2000 = -1500\, J$.
આમ,હવાના અવરોધ દ્વારા થયેલ કાર્ય $-1500\, J$ છે.

(C) કણનું સ્થાન $x = 3t - 4t^2 + t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t + 3t^2$.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 3 - 8(0) + 3(0)^2 = 3\, m/s$.
$t = 4$ સમયે,અંતિમ વેગ $v_2 = 3 - 8(4) + 3(4)^2 = 3 - 32 + 48 = 19\, m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m(v_2^2 - v_1^2)$.
આપેલ દળ $m = 3\, g = 3 \times 10^{-3}\, kg$.
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-3} \times (19^2 - 3^2) = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-3} \times (361 - 9) = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-3} \times 352$.
$W = 3 \times 10^{-3} \times 176 = 528 \times 10^{-3}\, J = 528\, mJ$.

(B) ટ્રેક ઘર્ષણરહિત હોવાથી,કણની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા તેની ગતિ દરમિયાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે જમીનના સ્તરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય છે.
બિંદુ $A$ પર,કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_A = 0$ અને સ્થિતિઊર્જા $U_A = mgh_A = 1 \times 10 \times 2 = 20 \; J$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સર્વોચ્ચ બિંદુ $P$ પર,કણ પાસે હજુ પણ સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક હોય છે. ધારો કે $P$ પર ગતિઊર્જા $K_P$ છે અને સ્થિતિઊર્જા $U_P = mgh_P = 1 \times 10 \times 1 = 10 \; J$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$K_A + U_A = K_P + U_P$
$0 + 20 = K_P + 10$
$K_P = 20 - 10 = 10 \; J$.

(A) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m = 0.04\; kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 90\; m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\; m/s$,અને અંતર $s = 60\; cm = 0.6\; m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ $a$ શોધી શકીએ છીએ:
$0^2 = (90)^2 + 2 \times a \times 0.6$
$0 = 8100 + 1.2a$
$a = -\frac{8100}{1.2} = -6750\; m/s^2$.
ઋણ નિશાની મંદન (retardation) સૂચવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સરેરાશ અવરોધક બળ $F = m \times |a|$ થાય.
$F = 0.04\; kg \times 6750\; m/s^2 = 270\; N$.
આમ,બ્લોક દ્વારા ગોળી પર લગાડવામાં આવતું સરેરાશ અવરોધક બળ $270\; N$ છે.

(A) પદાર્થનું દળ,$m = 0.5\; kg$.
પદાર્થનો વેગ $v = a x^{3/2}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a = 5\; m^{-1/2} s^{-1}$ છે.
$x = 0$ આગળ પ્રારંભિક વેગ $u = 5(0)^{3/2} = 0\; m/s$.
$x = 2\; m$ આગળ અંતિમ વેગ $v = 5(2)^{3/2} = 5 \times 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\; m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 0.5 \times [(10\sqrt{2})^2 - 0^2]$
$W = 0.25 \times [100 \times 2]$
$W = 0.25 \times 200 = 50\; J$.

(C) વાહનનું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $s$ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં બ્રેકિંગ ફોર્સ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $F \cdot s = \frac{1}{2}mv^2$
અહીં બ્રેકિંગ ફોર્સ $F$ અને દળ $m$ અચળ હોવાથી,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એ વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $s \propto v^2$
જો પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v$ હોય અને સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $s_1 = d$ હોય,તો નવા વેગ $v_2 = 3v$ માટે નવું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $s_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{s_2}{s_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{3v}{v}\right)^2 = 3^2 = 9$
તેથી,$s_2 = 9d$.

(N/A) $\text{સુરેખ ગતિ માટે: જો કોઈ પદાર્થ પ્રારંભિક વેગ } u \text{ અને અચળ પ્રવેગ } a \text{ સાથે ગતિ કરતો હોય, તો } s \text{ જેટલા સ્થાનાંતર પછી તે } v \text{ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ, } v^{2} - u^{2} = 2as \text{.}$
$\text{સમીકરણની બંને બાજુએ } \frac{m}{2} \text{ વડે ગુણતા:}$
$\frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2} = mas$
$\text{કારણ કે } F = ma, \text{ તેથી:}$
$K_{f} - K_{i} = Fs = W$
$\text{ત્રિ-પરિમાણીય ગતિ માટે:}$
$v^{2} - u^{2} = 2\vec{a} \cdot \vec{d}$
$\text{જ્યાં } v \text{ અંતિમ વેગ છે, } u \text{ પ્રારંભિક વેગ છે, } \vec{a} \text{ અચળ પ્રવેગ છે અને } \vec{d} \text{ સ્થાનાંતર છે.}$
$\text{બંને બાજુએ } \frac{m}{2} \text{ વડે ગુણતા:}$
$\frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2} = m\vec{a} \cdot \vec{d}$
$= \vec{F} \cdot \vec{d} = W$
$\text{ડાબી બાજુ પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર } (\Delta K) \text{ દર્શાવે છે, જ્યારે જમણી બાજુ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય } (W) \text{ દર્શાવે છે.}$
$\text{તેથી, } \Delta K = W \text{. આ સંબંધને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.}$

(A) બાહ્ય બળ દ્વારા પદાર્થ પર થયેલ કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,જો પદાર્થ પર કાર્ય કરવામાં આવે,તો ઉર્જા પદાર્થમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે,જેના પરિણામે તેની ગતિ ઉર્જામાં વધારો થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે કોઈ પદાર્થ બાહ્ય બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,ત્યારે તે ઉર્જા ગુમાવે છે,જેના પરિણામે તેની ગતિ ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,પદાર્થ પર થયેલ કાર્ય તેની ઉર્જામાં વધારો કરે છે અને પદાર્થ દ્વારા થયેલ કાર્ય તેની ઉર્જામાં ઘટાડો કરે છે.

(N/A) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $X$-અક્ષ પર ચલ બળ $F(x)$ ની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે $K$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) = \frac{1}{2}m \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dt} = mv \cdot a$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dK}{dt} = Fv$
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી:
$\frac{dK}{dt} = F \frac{dx}{dt}$
બંને બાજુ $dt$ વડે ગુણતા:
$dK = F dx$
પ્રારંભિક સ્થાન $x_i$ (જ્યાં ગતિઊર્જા $K_i$ છે) થી અંતિમ સ્થાન $x_f$ (જ્યાં ગતિઊર્જા $K_f$ છે) સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{K_i}^{K_f} dK = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$
$K_f - K_i = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$
ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$ હોવાથી:
$W = K_f - K_i = \Delta K$
આ ચલ બળ માટેનું કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય છે. તે દર્શાવે છે કે પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.

(N/A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W_{net} = \Delta K = K_f - K_i$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
મહત્વ:
$(1)$ જો પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K$ શૂન્ય હોય,તો પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે તેની ગતિઊર્જા અને ઝડપ અચળ રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં કણની ઝડપ અચળ હોય છે અને કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
$(2)$ જો સ્થાનાંતર એ ચોખ્ખા બળ (અથવા તેના ઘટક) ની દિશામાં હોય,તો થયેલું કાર્ય ધન હોય છે,જેનાથી પદાર્થની ગતિઊર્જામાં વધારો થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,મુક્ત પતન કરતો પદાર્થ.
$(3)$ જો સ્થાનાંતર એ ચોખ્ખા બળ (અથવા તેના ઘટક) ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,તો થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે,જેનાથી પદાર્થની ગતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
સ્વરૂપ:
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય એ અદિશ સંબંધ છે કારણ કે કાર્ય $(W)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ બંને અદિશ રાશિઓ છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$W = \Delta K = K_f - K_i$.
જો થયેલું કાર્ય $(W)$ ધન હોય,તો $\Delta K > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $K_f - K_i > 0$ અથવા $K_f > K_i$.
તેથી,પદાર્થની ગતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(N/A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો કોઈ તંત્ર પર માત્ર સંરક્ષી બળો (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) કાર્ય કરતા હોય,તો કુલ યાંત્રિક ઉર્જા (ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નો સરવાળો) અચળ રહે છે.
સાબિતી:
ધારો કે $m$ દળનો પદાર્થ જમીનથી $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત પતન કરે છે.
$1$. $h$ ઊંચાઈએ (બિંદુ $A$): વેગ $v = 0$. ગતિ ઉર્જા $K = 0$. સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgh$. કુલ ઉર્જા $E = K + U = mgh$.
$2$. $A$ થી $x$ અંતર નીચે (બિંદુ $B$): પદાર્થે $x$ અંતર કાપ્યું છે,તેથી તેની ઊંચાઈ $h - x$ છે. $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = 0 + 2gx = 2gx$. ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = mgx$. સ્થિતિ ઉર્જા $U = mg(h - x)$. કુલ ઉર્જા $E = K + U = mgx + mgh - mgx = mgh$.
$3$. જમીન પર (બિંદુ $C$): પદાર્થે $h$ અંતર કાપ્યું છે. $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = 0 + 2gh = 2gh$. ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = mgh$. સ્થિતિ ઉર્જા $U = 0$. કુલ ઉર્જા $E = K + U = mgh + 0 = mgh$.
આમ,દરેક બિંદુએ કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $mgh$ રહે છે,તેથી સિદ્ધાંત સાબિત થાય છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $H$ ઊંચાઈના પહાડની ટોચ પરથી $m$ દળના દડાને મુક્ત પતન કરાવતા ઉદ્ભવતી યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ નીચે મુજબ છે.
ઊંચાઈઓ $H$,$h$ અને $0$ (જમીન પર) માટે દડાની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાઓ $E_H$,$E_h$ અને $E_0$ ના મૂલ્યો આ મુજબ મળે:
$H$ ઊંચાઈએ કુલ યાંત્રિક ઊર્જા,
$E_H = mgH + \frac{1}{2}mv^2$
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ $v = 0$ હોવાથી,
$\therefore E_H = mgH$
$h$ ઊંચાઈએ કુલ ઊર્જા,
$E_h = \text{સ્થિતિઊર્જા} + \text{ગતિઊર્જા}$
$E_h = mgh + \frac{1}{2}mv_h^2$ (જ્યાં $h$ ઊંચાઈએ દડાનો વેગ $v_h$ છે)
જમીન પર કુલ ઊર્જા,
$E_0 = \frac{1}{2}mv_f^2$
જ્યાં $v_f$ એ જમીન પર અથડાતી વખતે દડાનો અંતિમ વેગ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ $E_H = E_0$:
$mgH = \frac{1}{2}mv_f^2$
$\therefore v_f = \sqrt{2gH}$
તે જ રીતે,$H$ ઊંચાઈ અને $h$ ઊંચાઈ વચ્ચે યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણ પરથી,
$E_H = E_h$
$mgH = mgh + \frac{1}{2}mv_h^2$

(N/A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો કોઈ તંત્ર પર માત્ર સંરક્ષી બળો જ કાર્ય કરતા હોય, તો તે તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે, કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નો સરવાળો છે.
$E = K + U = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ છે કે ગતિ ઉર્જામાં થતો કોઈપણ ફેરફાર એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોય છે:
$\Delta K + \Delta U = 0$ અથવા $\Delta K = -\Delta U$.

(N/A) પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $(E)$ એ તેની ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે.
$m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ જ્યારે $H$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે કોઈપણ ઊંચાઈ $h$ (જ્યાં $0 \le h \le H$) પર તેનો વેગ $v$ એ ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2g(H-h)$ દ્વારા મળે છે. પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે,તેથી $u = 0$,એટલે કે $v^2 = 2g(H-h)$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2g(H-h)) = mg(H-h)$ થાય.
ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિઊર્જા $U = mgh$ થાય.
કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = K + U = mg(H-h) + mgh = mgH - mgh + mgh = mgH$ થાય.
આમ,કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સમીકરણ $E = mgH$ છે.

(A) ધારો કે કુલ ઊર્જા $E = mgh$ છે. જમીનથી $y$ ઊંચાઈએ,સ્થિતિઊર્જા $U = mgy$ અને ગતિઊર્જા $K = mg(h-y)$ થાય.
$(1)$ માટે,$U = K \implies mgy = mg(h-y) \implies y = h-y \implies 2y = h \implies y = \frac{h}{2}$. તેથી,$(1) \rightarrow (c)$.
$(2)$ માટે,$U = 2K \implies mgy = 2mg(h-y) \implies y = 2h - 2y \implies 3y = 2h \implies y = \frac{2h}{3}$. તેથી,$(2) \rightarrow (a)$.
આમ,સાચી જોડ $(1)-(c)$ અને $(2)-(a)$ છે.

(A) ધારો કે $h$ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા કરતાં અડધી થાય છે.
પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા $K_0 = \frac{1}{2} m v_0^2$.
$h$ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા $K = \frac{K_0}{2} = \frac{1}{4} m v_0^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિ-ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે:
$K_0 - K = mgh$
$\frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{4} m v_0^2 = mgh$
$\frac{1}{4} m v_0^2 = mgh$
$h = \frac{v_0^2}{4g}$
અહીં $v_0 = 7 \, m/s$ અને $g = 9.8 \, m/s^2$ આપેલ છે:
$h = \frac{7^2}{4 \times 9.8} = \frac{49}{39.2} = 1.25 \, m$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થતું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{net} = \Delta K = K_f - K_i$
અહીં પદાર્થ અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે,તેથી તેની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ રહે છે.
આથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ થાય.
તેથી,પદાર્થ પર થતું કુલ કાર્ય $0 \ J$ છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે $(W = \Delta K)$.
જો પદાર્થ પર ધન યાંત્રિક કાર્ય કરવામાં આવે,તો તેની ગતિઊર્જા વધે છે.
જો પદાર્થ પર ઋણ યાંત્રિક કાર્ય કરવામાં આવે,તો તેની ગતિઊર્જા ઘટે છે.
સામાન્ય રીતે,જ્યારે પદાર્થ પર કાર્ય કરવામાં આવે ત્યારે તેની ગતિઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે: $\Delta K = W$.
જ્યારે પદાર્થોને સ્થિર કરવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધક બળ $F$ દ્વારા $d$ અંતર કાપતા થતું કાર્ય $W = F \cdot d$ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો માટે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $0$ છે,તેથી $\Delta K = K - 0 = K$.
આમ,$K = F \cdot d$,જે સૂચવે છે કે $d = K / F$.
કારણ કે ગતિઊર્જા $K$ અને અવરોધક બળ $F$ બંને પદાર્થો માટે સમાન છે,તેથી સ્થિર થતા પહેલા તેમના દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર $d$ સમાન હશે.

(N/A) માત્ર ફુગ્ગાની યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી કારણ કે તેના પર બાહ્ય ઉત્પ્લાવક બળ કાર્ય કરે છે. ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ફુગ્ગાની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા (ગતિ ઊર્જા + સ્થિતિ ઊર્જા) માં વધારા માટે જવાબદાર છે.
ધારો કે $m$ એ ફુગ્ગાનું દળ છે,$V$ તેનું કદ છે,$\rho_{He}$ હિલિયમની ઘનતા છે,અને $\rho_{air}$ હવાની ઘનતા છે.
ફુગ્ગા પર લાગતું ચોખ્ખું ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = V(\rho_{air} - \rho_{He})g - mg = ma$ છે.
જ્યારે ફુગ્ગો $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_b = V \rho_{air} g h$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta E = \Delta K + \Delta U = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{net} = [V(\rho_{air} - \rho_{He})g - mg]h = \frac{1}{2}mv^2$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $V \rho_{air} g h = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(V \rho_{air} g h)$ એ ફુગ્ગાની કુલ યાંત્રિક ઊર્જામાં થયેલા વધારા જેટલું જ છે.

(N/A) સાચું વિધાન આ મુજબ છે: 'તંત્ર (System) યાંત્રિક ઉર્જા ધરાવી શકે છે પરંતુ કાર્ય (Work) ધરાવી શકતું નથી.'
સમજૂતી:
$1$. ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય (State function) છે,જેનો અર્થ છે કે તે તંત્રની અવસ્થાનો ગુણધર્મ છે. તેથી,તંત્ર આંતરિક ઉર્જા અથવા યાંત્રિક ઉર્જા ધરાવી શકે છે.
$2$. કાર્ય એ પથ વિધેય (Path function) છે,અવસ્થા વિધેય નથી. તે તંત્રની સીમા પર બળ દ્વારા અંતર કાપતી વખતે થતા ઉર્જાના સ્થાનાંતરને દર્શાવે છે. તંત્ર કાર્ય 'ધરાવતું' નથી; તે કાર્ય કરે છે અથવા તેના પર કાર્ય થાય છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ $F$ દ્વારા દડા પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રાપ્ત કરેલી સ્થિતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
મશીન દ્વારા થયેલું કાર્ય,$W = F \times S$,જ્યાં $S = 0.2 \, m$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રાપ્ત કરેલી સ્થિતિઊર્જા,$U = mgh$,જ્યાં $m = 0.15 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$ અને $h = 20 \, m$ છે.
થયેલા કાર્યને સ્થિતિઊર્જા સાથે સરખાવતા: $F \times S = mgh$.
$F \times 0.2 = 0.15 \times 10 \times 20$.
$F \times 0.2 = 30$.
$F = \frac{30}{0.2} = 150 \, N$.

(D) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિંદુ $A$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ બિંદુ $B$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$E_A = E_B$
$PE_A + KE_A = PE_B + KE_B$
આપેલ છે કે કણ $A$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી $KE_A = 0$.
$mgh_A + 0 = mgh_B + \frac{1}{2}mv^2$
$gh_A = gh_B + \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2g(h_A - h_B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $g = 10 \ m/s^2$,$h_A = 10 \ m$,$h_B = 5 \ m$.
$v^2 = 2 \times 10 \times (10 - 5)$
$v^2 = 20 \times 5 = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \ m/s$
તેથી,$x$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(A) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 3\, m$ અને કુલ દળ $M = 3\, kg$ છે. રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = M/L = 3/3 = 1\, kg/m$ છે.
શરૂઆતમાં,સાંકળનો $2\, m$ ભાગ ટેબલ પર છે અને $1\, m$ ભાગ લટકે છે. લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $0.5\, m$ નીચે છે. ટેબલની સપાટીને સંદર્ભ સ્તર $(U = 0)$ તરીકે લેતા,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -(m_{hanging})g(h_{cm}) = -(1\, kg)(10\, m/s^2)(0.5\, m) = -5\, J$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$ છે.
અંતમાં,જ્યારે સાંકળ સંપૂર્ણપણે સરકી જાય છે,ત્યારે $3\, m$ લંબાઈની આખી સાંકળ ઊભી લટકે છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $1.5\, m$ નીચે છે. અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -(M)g(h_{cm}) = -(3\, kg)(10\, m/s^2)(1.5\, m) = -45\, J$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
$0 + (-5\, J) = K_f + (-45\, J)$.
$K_f = 45 - 5 = 40\, J$.
આમ,$k$ નું મૂલ્ય $40$ છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{total} = \Delta K$
$W_{gravity} + W_{air\ friction} = K_f - K_i$
પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે,એટલે કે $K_i = 0$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{gravity} = mgh$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (0.8 \sqrt{gh})^2$ છે.
$K_f = \frac{1}{2} m (0.64 gh) = 0.32 mgh$.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા:
$mgh + W_{air\ friction} = 0.32 mgh - 0$
$W_{air\ friction} = 0.32 mgh - mgh = -0.68 mgh$.
આમ,હવાના ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $-0.68 mgh$ છે.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $m$ છે, લોલકની લંબાઈ $l = 0.5 \, m$ છે, અને સૌથી નીચલા બિંદુએ પ્રારંભિક ઝડપ $u = 3 \, m/s$ છે।
સૌથી નીચલા બિંદુ $(A)$ અને જ્યાં દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે તે બિંદુ $(B)$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$A$ પાસે કુલ ઉર્જા = $B$ પાસે કુલ ઉર્જા
$\frac{1}{2} mu^2 = \frac{1}{2} mv^2 + mgh$
જ્યાં $h$ એ ગોળા દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી શિરોલંબ ઊંચાઈ છે, જે $h = l(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m(3)^2 = \frac{1}{2} mv^2 + mg(0.5)(1 - \cos 60^{\circ})$
$9 = v^2 + 2(10)(0.5)(1 - 0.5)$
$9 = v^2 + 10(0.5)$
$9 = v^2 + 5$
$v^2 = 4$
$v = 2 \, m/s$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
અહીં, બ્લોક પર કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W_g)$ = ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $(\Delta K)$
$W_g = K_B - K_A$
બ્લોકને બિંદુ $A$ પરથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી, તેનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે, તેથી $K_A = 0$.
બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી બ્લોકનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y_0$ છે.
તેથી, ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_g = m g y_0$ થાય.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં મૂકતા:
$m g y_0 = K_B - 0$
$K_B = m g y_0$

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K.E. = K_f - K_i$.
અહીં દળ $m = 500 \,g = 0.5 \,kg$ અને વેગ $v = b x^{5/2}$ આપેલ છે.
$x_i = 0$ આગળ,$v_i = b(0)^{5/2} = 0$,તેથી $K_i = 0$.
$x_f = 4 \,m$ આગળ,$v_f = b(4)^{5/2} = 0.25 \times (2^2)^{5/2} = 0.25 \times 2^5 = 0.25 \times 32 = 8 \,m/s$.
થયેલું કાર્ય $W = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (8)^2$.
$W = 0.25 \times 64 = 16 \,J$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
અહીં દળ $m = 0.5\, kg$ અને વેગ $v = (3x^2 + 4)\, m/s$ આપેલ છે.
પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 0\, m$ પર,વેગ $v_i = 3(0)^2 + 4 = 4\, m/s$ થાય.
અંતિમ સ્થાન $x_f = 2\, m$ પર,વેગ $v_f = 3(2)^2 + 4 = 3(4) + 4 = 16\, m/s$ થાય.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (16^2 - 4^2)$.
$W = 0.25 \times (256 - 16) = 0.25 \times 240$.
$W = 60\, J$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બ્લોકની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{net}} = K_f - K_i$
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = E = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જ્યારે ઝડપ અડધી થાય છે,ત્યારે અંતિમ ઝડપ $v' = \frac{v}{2}$ થાય છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{E}{4}$ થાય છે.
સ્પ્રિંગને $x = 25\,cm = 0.25\,m = \frac{1}{4}\,m$ અંતર સુધી દબાવવા માટે સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = -\frac{1}{2}Kx^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$-\frac{1}{2}Kx^2 = K_f - K_i$
$-\frac{1}{2}K(\frac{1}{4})^2 = \frac{E}{4} - E$
$-\frac{1}{2}K(\frac{1}{16}) = -\frac{3E}{4}$
$\frac{K}{32} = \frac{3E}{4}$
$K = \frac{3E \times 32}{4} = 24E$
આને $nE$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 24$ મળે છે.

(A) ધારો કે જ્યારે કણ અર્ધગોળાથી અલગ થાય છે ત્યારે તેની ઝડપ $v$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,કોઈ ઘર્ષણ નથી અને યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
કણ અર્ધગોળાની ટોચ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે (સમક્ષિતિજ સપાટીથી $R$ ઊંચાઈ).
ટોચ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = mgR$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = mgh$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$U_i = U_f + K_f$
$mgR = mgh + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(R-h) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2g(R-h)$
$v = \sqrt{2g(R-h)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બ્લોક અચળ ઝડપે ઢળતી સપાટી પર નીચે સરકી રહ્યો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,બ્લોક જ્યારે ઊંચાઈ $h$ થી જમીન પર પહોંચે છે ત્યારે તેની ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta KE)$ શૂન્ય છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{\text{total}} = \Delta KE = 0$
કુલ કાર્ય એ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_{\text{gravity}})$ અને ઘર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્ય $(W_{\text{friction}})$ નો સરવાળો છે:
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} = 0$
બ્લોક $h$ જેટલી ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ નીચે ઉતરે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{\text{gravity}} = mgh$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh + W_{\text{friction}} = 0$
$W_{\text{friction}} = -mgh$
ઘર્ષણ દ્વારા વ્યય થતી ઉર્જા એ ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય છે:
$\text{વ્યય થતી ઉર્જા} = |W_{\text{friction}}| = mgh$.

(B) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની પ્રારંભિક સ્થિતિ $h_i = 1.0 \,m$ છે.
જ્યારે તે તેના ઘૂંટણ વાળે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $0.2 \,m$ નીચે જાય છે,તેથી નવી સ્થિતિ $h_{new} = 1.0 - 0.2 = 0.8 \,m$ થાય છે.
તે જમીન પર $d = 0.2 \,m$ અંતર સુધી $F$ જેટલું અચળ બળ લગાડે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પગ જમીનથી $0.3 \,m$ ઉપર હોય છે. જ્યારે તે સીધી ઊભી હોય ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પગથી $1.0 \,m$ ઉપર હોય છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની અંતિમ ઊંચાઈ $h_f = 0.3 + 1.0 = 1.3 \,m$ થાય છે.
બળ લગાવવાનું શરૂ કરે તે સ્થાનથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
બળ $F$ દ્વારા થયેલ કાર્ય + ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય = ગતિઊર્જામાં ફેરફાર.
$F \times 0.2 - Mg(h_f - h_{new}) = 0 - 0$.
$F \times 0.2 - Mg(1.3 - 0.8) = 0$.
$F \times 0.2 = Mg \times 0.5$.
$\frac{F}{Mg} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
આપેલ છે:
દળ $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$
પ્રારંભિક વેગ $v_i = 100 \,m/s$
અંતિમ વેગ $v_f = 50 \,m/s$
$W = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 0.02 \times (50^2 - 100^2)$
$W = 0.01 \times (2500 - 10000)$
$W = 0.01 \times (-7500) = -75 \,J$
હવાના અવરોધ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $-75 \,J$ છે. પ્રશ્નમાં હવાનો અવરોધ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,આપણે તેનું માન લઈએ છીએ,જે $75 \,J$ છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{net}} = \Delta K$.
ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(w = mg)$ અને હવાના અવરોધનું બળ $(f)$ બંને નીચેની તરફ લાગે છે,જે ગતિનો વિરોધ કરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = -wh = -mgh$ છે.
હવાના અવરોધ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = -fh$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2$ છે.
પ્રમેય લાગુ પાડતા: $W_g + W_f = \Delta K$.
$-mgh - fh = -\frac{1}{2}mv_0^2$.
$m$ વડે ભાગતા: $-gh - \frac{f}{m}h = -\frac{1}{2}v_0^2$.
$w = mg$ હોવાથી,$m = \frac{w}{g}$ થાય. આ કિંમત અવરોધના પદમાં મૂકતા: $-gh - \frac{fg}{w}h = -\frac{1}{2}v_0^2$.
$h(g + \frac{fg}{w}) = \frac{1}{2}v_0^2$.
$h g (1 + \frac{f}{w}) = \frac{1}{2}v_0^2$.
$h = \frac{v_0^2}{2g(1 + \frac{f}{w})}$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{all}} = \Delta K$.
અહીં,છરી પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ અને લાકડાના બ્લોક દ્વારા લાગતું અવરોધક બળ છે. છરી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ છે.
આમ,$W_{\text{gravity}} + W_{\text{block}} = 0$.
છરીનું કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $(x + y)$ છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{\text{gravity}} = m g (x + y)$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $m g (x + y) + W_{\text{block}} = 0$.
બ્લોક દ્વારા થયેલા કાર્ય માટે ઉકેલતા: $W_{\text{block}} = -m g (x + y)$.

(D) ધારો કે બ્લોક દ્વારા ઢાળ પર કાપેલું કુલ અંતર $d$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બ્લોકની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
બ્લોક દ્વારા ઢાળ પર કાપેલું કુલ અંતર $d$ છે. બ્લોક દ્વારા કપાયેલી ઉર્ધ્વ ઊંચાઈ $h = d \sin 45^{\circ}$ છે.
બ્લોક સ્પ્રિંગને $x = 1 \, m$ જેટલી દબાવીને સ્થિર થાય છે.
તેથી,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = mgd \sin 45^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} k x^2$.
$U_i = U_f$ ને સરખાવતા:
$mgd \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} k x^2$
$(\sqrt{2}) \times 10 \times d \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \times 100 \times (1)^2$
$10d = 50$
$d = 5 \, m$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,સ્થાન $x = \frac{t^2}{3}$.
પ્રથમ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધો: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{3}) = \frac{2t}{3}$.
$t = 0 \, s$ સમયે,વેગ $v_i = \frac{2(0)}{3} = 0 \, m/s$.
$t = 2 \, s$ સમયે,વેગ $v_f = \frac{2(2)}{3} = \frac{4}{3} \, m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે $\Delta K.E. = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times (\frac{4}{3})^2 - 0 = \frac{16}{9} \, J$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
અહીં $v = a \sqrt{x}$ અને દળ $m = 2 \,kg$ આપેલ છે.
$x = 0$ આગળ,$v_i = a \sqrt{0} = 0$.
$x = 4 \,m$ આગળ,$v_f = a \sqrt{4} = 2a$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} (2) (0)^2 = 0$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} (2) (2a)^2 = 4a^2$.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = 4a^2 - 0 = 4a^2$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર લાગતા તમામ બળો (સંરક્ષી,અસંરક્ષી,આંતરિક અને બાહ્ય) દ્વારા કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i$.
આ પ્રમેય ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યું છે અને તે તમામ જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં માન્ય છે. જ્યારે અજડત્વીય ફ્રેમમાં આભાસી બળોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે,ત્યારે પણ તે માન્ય રહે છે.
તેથી,આ વિધાન હંમેશા લાગુ પડે છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્રેકિંગ ફોર્સ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ બસની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$m$ દળ ધરાવતી ખાલી બસ માટે:
$W = F \cdot x = \frac{1}{2} m v^2$ --- (સમીકરણ $1$)
ભારિત બસ માટે,નવું દળ $m' = m + 0.5 m = 1.5 m$ છે. ધારો કે નવું રોકાણ અંતર $x'$ છે.
$W' = F \cdot x' = \frac{1}{2} (1.5 m) v^2$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{F \cdot x'}{F \cdot x} = \frac{\frac{1}{2} (1.5 m) v^2}{\frac{1}{2} m v^2}$
$\frac{x'}{x} = 1.5$
$x' = 1.5 x$
તેથી,બસ $1.5 x$ જેટલું અંતર કાપશે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{total}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
અહીં,$W_{\text{total}} = W_{\text{friction}} + W_{\text{gravity}}$.
બ્લોક ઉપરથી શરૂ થાય છે અને નીચે અટકે છે,તેથી ઊંચાઈમાં ચોખ્ખો ફેરફાર $h = 2r = 2 \times 0.15\,m = 0.3\,m$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mg \times h = 1 \times 10 \times 0.3 = 3\,J$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (22)^2 = \frac{484}{2} = 242\,J$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = 0\,J$ છે (કારણ કે તે અટકી જાય છે).
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$W_f + W_g = KE_f - KE_i$
$W_f + 3 = 0 - 242$
$W_f = -242 - 3 = -245\,J$.
તેથી,નળી (ઘર્ષણ) દ્વારા બ્લોક પર થયેલું કાર્ય $-245\,J$ છે.

(B) કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,કરવામાં આવેલ કાર્ય (વપરાતી ઉર્જા) એ ગતિ ઉર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રથમ પ્રક્રિયા માટે (સ્થિર સ્થિતિમાંથી $u \ m/s$ સુધી):
$E_1 = \frac{1}{2} m u^2 - 0 = \frac{1}{2} m u^2 = E$
બીજી પ્રક્રિયા માટે ($u \ m/s$ થી $2u \ m/s$ સુધી):
$E_2 = \frac{1}{2} m (2u)^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$E_2 = \frac{1}{2} m (4u^2) - \frac{1}{2} m u^2 = 2 m u^2 - 0.5 m u^2 = 1.5 m u^2 = 3 \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m u^2$,તેથી $E_2 = 3E$ મળે છે.
આને $nE$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,લોલકની લંબાઈ $\ell = 10 \ m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$ છે.
શરૂઆતમાં,ગોળો આડી સ્થિતિમાં છે,તેથી સૌથી નીચા બિંદુની સાપેક્ષમાં તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = mg\ell$ છે.
ગોળાને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = 0$ છે.
કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = mg\ell$ છે.
જેમ ગોળો સૌથી નીચા બિંદુ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તે હવાના અવરોધ સામે તેની પ્રારંભિક ઉર્જાના $10 \%$ ગુમાવે છે.
ગુમાવેલી ઉર્જા = $0.10 \times mg\ell$.
સૌથી નીચા બિંદુએ બાકી રહેલી ઉર્જા = $E_f = E_i - 0.10 \times E_i = 0.90 \times mg\ell$.
સૌથી નીચા બિંદુએ,સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે,તેથી બાકી રહેલી તમામ ઉર્જા ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = 0.90 \times mg\ell$.
$v^2 = 2 \times 0.90 \times g \times \ell = 1.8 \times 10 \times 10 = 180$.
$v = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(B) ટ્રેક ઘર્ષણરહિત હોવાથી,કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$KE_A + PE_A = KE_B + PE_B$
અહીં,$KE_A = 0$ (તેને ધીમેથી ધકેલવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ નગણ્ય છે),$PE_A = mgh_A$,$KE_B = \frac{1}{2}mv^2$,અને $PE_B = mgh_B$.
આપેલ છે: $h_A = 1 \ m$,$h_B = 0.5 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$0 + mg(1) = \frac{1}{2}mv^2 + mg(0.5)$
$mg(1 - 0.5) = \frac{1}{2}mv^2$
$mg(0.5) = \frac{1}{2}mv^2$
$g = v^2$
$v = \sqrt{g} = \sqrt{10} \ m/s$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
આપેલ વેગનું સમીકરણ $v = \alpha \sqrt{x}$ છે:
$x = 0$ પર,પ્રારંભિક વેગ $v_i = \alpha \sqrt{0} = 0$ છે.
$x = d$ પર,અંતિમ વેગ $v_f = \alpha \sqrt{d}$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (0)^2 = 0$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (\alpha \sqrt{d})^2 = \frac{1}{2} m \alpha^2 d$ છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = \frac{1}{2} m \alpha^2 d - 0 = \frac{m \alpha^2 d}{2}$ થશે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{total} = W_{force} + W_{gravity} = K_f - K_i$
આપેલ છે કે બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$. બળ $F = 18 \ N$ એ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{PQ}$ ને સમાંતર લગાડવામાં આવે છે. સ્થાનાંતર $PQ$ ની લંબાઈ પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$PQ = \sqrt{OP^2 + OQ^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ m$
બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય:
$W_{force} = F \times PQ = 18 \ N \times 5 \ m = 90 \ J$
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય:
$W_{gravity} = -mgh = -1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 4 \ m = -40 \ J$
તેથી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$ છે:
$K_f = 90 \ J - 40 \ J = 50 \ J$
આપણને $K_f = (n \times 10) \ J$ આપેલ છે,તેથી:
$n \times 10 = 50 \implies n = 5$