Potential Energy Questions in Gujarati

(B) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 2\,m$ અને કુલ દળ $M = 4\,kg$ છે.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = 60\,cm = 0.6\,m$ છે.
સાંકળના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2\,kg/m$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2\,kg$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3\,m$ નીચે છે.
સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6\,J$.

(B) બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સ્થિતિઊર્જા વિધેય $U = A - Bx^2$ છે.
$U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(A - Bx^2) = 0 - 2Bx = -2Bx$.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = -(-2Bx) = 2Bx$.
બળનું મૂલ્ય $|F| = 2Bx$ છે.
અહીં $2B$ અચળ હોવાથી,બળનું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(F \propto x)$.

(D) સ્થાયી સંતુલન માટેની શરત એ છે કે સિસ્ટમ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F$ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જ્યાં $F = -\frac{dU}{dx} = 0$ છે.
આપેલ છે $U(x) = ax^{-12} - bx^{-6}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dx} = -12ax^{-13} - (-6bx^{-7}) = -12ax^{-13} + 6bx^{-7}$.
બળને શૂન્ય લેતા:
$F = -(-12ax^{-13} + 6bx^{-7}) = 0$
$12ax^{-13} - 6bx^{-7} = 0$
$\frac{12a}{x^{13}} = \frac{6b}{x^7}$
$\frac{12a}{6b} = \frac{x^{13}}{x^7}$
$\frac{2a}{b} = x^6$
$x = \sqrt[6]{\frac{2a}{b}}$.

(A) સ્થિર પદાર્થનો વેગ $0 \ m/s$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેની ઝડપ પણ $0 \ m/s$ છે.
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,જો $v = 0$ હોય,તો વેગમાન $p = 0$ થાય.
જોકે,સ્થિર પદાર્થ તેના સ્થાન અથવા ક્ષેત્રમાં ગોઠવણીને કારણે સ્થિતિ ઉર્જા ધરાવી શકે છે (દા.ત.,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgh$).
તેથી,સ્થિર પદાર્થ પાસે ઉર્જા હોઈ શકે છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $h$ એ સંદર્ભ સપાટી (જમીન) થી ઊંચાઈ છે.
અહીં $m$ અને $g$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિઊર્જા એ ઊંચાઈ $h$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,જ્યારે ઊંચાઈ $h$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય ત્યારે સ્થિતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
આ સ્થિતિ પથ્થર તેની ગતિ દરમિયાન જે મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે ત્યાં જોવા મળે છે.

(B) જ્યારે ઘડિયાળની સ્પ્રિંગને ચાવી આપવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગના સ્થિતિસ્થાપક પુનઃસ્થાપક બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે. આ કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે. તેથી,ઘડિયાળની સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ છે. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) પદાર્થનું દળ $m = 200\, g = 0.2\, kg$ છે.
પદાર્થ જે ઊંચાઈ પરથી પડે છે તે $h = 200\, m$ છે.
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ છે.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ $U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી સાથે સંપર્કના બિંદુએ,અંતિમ ઊંચાઈ $0$ છે,તેથી અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $0$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta U = U_{initial} - U_{final} = mgh - 0 = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = 0.2\, kg \times 10\, m/s^2 \times 200\, m = 400\, J$.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો $400\, J$ છે.

(B) પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ શોધવાનું સૂત્ર $U = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $20 \,kg$
ઊંચાઈ $(h)$ = $50 \,cm = 0.5 \,m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $9.8 \,m/s^2$
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $(\Delta U)$ = $mgh$
$\Delta U = 20 \times 9.8 \times 0.5$
$\Delta U = 10 \times 9.8 = 98 \,J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સાંકળના લટકતા ભાગનું દળ $m = M/3$ છે।
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = L/3$ છે।
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = l/2 = L/6$ અંતરે નીચે છે।
ટેબલની સપાટીની સાપેક્ષમાં લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -mgh = -(M/3)g(L/6) = -MgL/18$ છે।
લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે, બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોવું જોઈએ, જે $W = \Delta U = U_{final} - U_{initial} = 0 - (-MgL/18) = MgL/18$ છે।

(D) બળ $F(x)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U(x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $F(x) = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $U(x) = -\int F(x) dx$ મળે છે.
$F(x) = -kx + ax^3$ મૂકતા,આપણને $U(x) = -\int (-kx + ax^3) dx = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} + C$ મળે છે.
ધારો કે $U(0) = 0$,તો $C = 0$ મળે,તેથી $U(x) = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} = \frac{x^2}{4}(2k - ax^2)$.
$x \ge 0$ માટે,$U(x) = 0$ એ $x = 0$ અને $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ પર થાય છે.
$x = 0$ અને $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ ની વચ્ચે,$U(x)$ ધન છે. $x > \sqrt{\frac{2k}{a}}$ માટે,$U(x)$ ઋણ બને છે.
આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,મહત્તમ સુધી વધે છે,અને પછી ઘટે છે,જે $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ પર $x-$અક્ષને છેદે છે. આ આલેખ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) સ્થાયી અણુ માટે,તંત્ર સંતુલન અંતર $r_0$ પર ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જાની સ્થિતિમાં હોવું જોઈએ.
જ્યારે પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર વધારે હોય છે,ત્યારે આંતર-પરમાણ્વીય બળ ખૂબ જ નબળું (આકર્ષી) હોય છે.
જેમ જેમ તેઓ નજીક આવે છે,તેમ આકર્ષણ બળ વધે છે જ્યાં સુધી તે એવા બિંદુ સુધી ન પહોંચે જ્યાં સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય.
આ સંતુલન અંતર $r_0$ પર,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય $(F = -dU/dr = 0)$ હોય છે.
જો તેમને વધુ નજીક લાવવામાં આવે,તો ઇલેક્ટ્રોન વાદળોના ઓવરલેપિંગને કારણે બળ પ્રબળ અપાકર્ષી બને છે.
આ વર્તણૂક આલેખ $A$ માં દર્શાવેલ સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની લાક્ષણિકતા છે,જે સ્પષ્ટ પોટેન્શિયલ વેલ (સ્થિતિ ઊર્જાનો ખાડો) દર્શાવે છે.

(A) બળ $F$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F = kx$,તેથી $-\frac{dU}{dx} = kx$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા:
$\int dU = -\int kx \, dx$
$U(x) = -\frac{1}{2}kx^2 + C$
આપેલ છે કે $U(0) = 0$,તેથી આપણને $C = 0$ મળે છે.
આમ,$U(x) = -\frac{1}{2}kx^2$.
આ $U$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું સમીકરણ છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) જ્યારે રબર બેન્ડને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થના આંતરિક સ્થિતિસ્થાપક બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે.
આ કરેલું કાર્ય રબર બેન્ડમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
તેથી,ખેંચાયેલું રબર બેન્ડ તેના ખેંચાયા વગરની સ્થિતિની તુલનામાં વધેલી સ્થિતિ ઉર્જા ધરાવે છે.

(A) $h$ ઊંચાઈએ રહેલા પદાર્થની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર: $PE = mgh$ છે.
અહીં,પદાર્થનું વજન $W = mg = 1 \, N$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $PE = 1 \, J$ આપેલી છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$1 \, J = (1 \, N) \times h$.
તેથી,$h = 1 \, m$.
આમ,પદાર્થ $1 \, m$ ની ઊંચાઈ પર હશે.

(D) બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $dU = -F dx$ મળે છે.
$U(x) = -\int_0^x (-kx + ax^3) dx = \int_0^x (kx - ax^3) dx$.
$U(x) = \left[ \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4} \right]_0^x = \frac{kx^2}{2} - \frac{ax^4}{4}$.
$x = 0$ આગળ,$U(0) = 0$.
$U-x$ આલેખનો ઢાળ $\frac{dU}{dx} = -F = kx - ax^3$ છે. $x = 0$ આગળ,ઢાળ $0$ છે.
નાના $x$ માટે,$U(x) \approx \frac{kx^2}{2}$,જે ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
$U(x) = 0$ લેતા,આપણને $\frac{kx^2}{2} = \frac{ax^4}{4} \Rightarrow x^2 = \frac{2k}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ મળે છે.
આ બિંદુ પછી,$U(x)$ ઋણ બને છે. આમ,આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,મહત્તમ મૂલ્ય સુધી વધે છે અને પછી ઘટે છે,જે $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ આગળ $x$-અક્ષને છેદે છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકાર સાથે મેળ ખાય છે.

(A) સંતુલન અંતર $r_0$ ત્યારે મળે છે જ્યારે સ્થિતિ ઊર્જા $U(r)$ ન્યૂનતમ હોય,જેનો અર્થ છે કે બળ $F(r) = -dU/dr = 0$ થાય.
આપેલ છે $U(r) = ar^{-12} - br^{-6}$.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dU/dr = a(-12)r^{-13} - b(-6)r^{-7} = -12ar^{-13} + 6br^{-7}$.
સંતુલન માટે $dU/dr = 0$ લેતા:
$-12ar_0^{-13} + 6br_0^{-7} = 0$.
$6br_0^{-7} = 12ar_0^{-13}$.
$b/2a = r_0^{-13} / r_0^{-7} = r_0^{-6}$.
$r_0^6 = 2a/b$.
તેથી,$r_0 = (2a/b)^{1/6}$.

(B) સાંકળનું કુલ દળ $M$ અને કુલ લંબાઈ $L$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L$ છે.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = L/4$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = (M/L) \times (L/4) = M/4$ થાય.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = l/2 = (L/4)/2 = L/8$ અંતરે નીચે આવેલું છે.
લટકતા ભાગને પાછો ટેબલ પર ખેંચવા માટે,બાહ્ય બળે લટકતા ભાગની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા જેટલું કાર્ય કરવું પડે.
કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $W = mgh$.
કિંમતો મૂકતા: $W = (M/4) \times g \times (L/8) = \frac{MgL}{32}$.
તેથી,બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $\frac{MgL}{32}$ છે.

(A) સ્થિર સ્થિતિમાં રહેલા પદાર્થનો વેગ $v = 0$ અને ઝડપ $v = 0$ હોય છે.
વેગમાનનું સૂત્ર $p = mv$ હોવાથી,જો $v = 0$ હોય,તો વેગમાન $p = 0$ થાય.
જોકે,સ્થિર પદાર્થ તેના સ્થાન અથવા ક્ષેત્રમાં તેની ગોઠવણીને કારણે સ્થિતિઊર્જા ધરાવી શકે છે (દા.ત.,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U = mgh$).
તેથી,સ્થિર સ્થિતિમાં રહેલો પદાર્થ ઊર્જા ધરાવે છે.

(B) પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ છે.
આપેલ છે કે $U = A - Bx^2$.
$x$ ની સાપેક્ષે $U$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(A - Bx^2) = 0 - 2Bx = -2Bx$.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = -(-2Bx) = 2Bx$.
અહીં $A$ અને $B$ અચળાંકો હોવાથી,$F = 2Bx$ દર્શાવે છે કે $F \propto x$.
તેથી,બળ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ સંદર્ભ સપાટી (જમીન) થી ઊંચાઈ છે.
અહીં $m$ અને $g$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિ ઊર્જા એ ઊંચાઈ $h$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે ઊંચાઈ $h$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
આ સ્થિતિ પથ્થરની ગતિના સૌથી ઊંચા બિંદુએ જોવા મળે છે.

(A) સ્થિતિ ઊર્જા એટલે કોઈ ક્ષેત્રમાં પદાર્થના સ્થાન અથવા ગોઠવણીને કારણે તેનામાં રહેલી ઊર્જા.
તે હંમેશા સંદર્ભ બિંદુ (જ્યાં સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે) ની સાપેક્ષમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સંદર્ભ બિંદુની પસંદગી મનસ્વી હોવાથી,સ્થિતિ ઊર્જાનું મૂલ્ય પસંદ કરેલા સંદર્ભ ફ્રેમ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા એ એક સાપેક્ષ રાશિ છે.

(D) ધારો કે સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L$ છે.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = L/n$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda l = (M/L) \times (L/n) = M/n$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $y = l/2 = L/(2n)$ અંતરે નીચે છે.
સાંકળને ટેબલ પર પાછી ખેંચવા માટે,આપણે લટકતા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ટેબલની સપાટી સુધી ઊંચકવું પડશે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું છે:
$W = mgh = (M/n) \times g \times (L/2n) = MgL/(2n^2)$.

(A) પાત્રમાંથી પાણીને બહાર કાઢવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ પાણીની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઘન પાત્ર માટે,પાણીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તળિયેથી $h/2$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
જ્યારે પાણીને ઉપરની સપાટી સુધી બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે જે ઊંચાઈએ દળને ઉપર લઈ જવામાં આવે છે તે $h/2$ છે.
પાણીનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho \times (L^2 \times h)$. અહીં $L=h=1 \ m$ હોવાથી,$m = 1000 \ kg/m^3 \times 1 \ m^3 = 1000 \ kg$.
થયેલ કાર્ય $W = m \times g \times (h/2)$.
$W = 1000 \times 10 \times (1/2) = 5000 \ J$.

(B) સળિયાને શિરોલંબ સ્થિતિમાં લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ રીતે પડેલો હોય,ત્યારે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_1 = 0$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_2 = \frac{L}{2}$ ઊંચાઈ પર હોય છે,જ્યાં $L = 4 \ m$ છે.
તેથી,$h_2 = \frac{4}{2} = 2 \ m$.
થતું કાર્ય $W = \Delta U = mg(h_2 - h_1)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 20 \times 9.8 \times (2 - 0)$.
$W = 20 \times 9.8 \times 2 = 392 \ J$.

(B) સંરક્ષી બળ માટે,$F = -\frac{dU}{dx} = -(2ax - b) = -2ax + b$ છે.
સમતુલન સ્થાને,$F = 0$ હોવાથી,$-2ax + b = 0$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $x = \frac{b}{2a}$ મળે છે.
સમતુલન સ્થિતિ ઊર્જા $U = a(\frac{b}{2a})^2 - b(\frac{b}{2a}) = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} = -\frac{b^2}{4a}$ થાય છે.

(C) લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = L/4$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = (M/L) \times (L/4) = M/4$ થાય.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = l/2 = L/8$ જેટલા અંતરે નીચે હોય છે.
લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = (M/4) \times g \times (L/8) = \frac{MgL}{32}$.

(B) સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = mgh$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 20 \ g = 20 \times 10^{-3} \ kg = 0.02 \ kg$.
ઊંચાઈ $h = 200 \ m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 0.02 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 200 \ m$.
$\Delta U = 0.2 \times 200 = 40 \ J$.
આમ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $40 \ J$ છે.

(B) સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 2 \ m$ અને કુલ દળ $M = 4 \ kg$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L = 4/2 = 2 \ kg/m$ થાય.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2 \ kg$ થાય.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = l/2 = 0.6/2 = 0.3 \ m$ નીચે છે.
સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે,આપણે લટકતા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ટેબલની સપાટી સુધી ઊંચકવું પડે.
થતું કાર્ય $W$ એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = mgh$.
$W = 1.2 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 0.3 \ m = 3.6 \ J$.

(A) સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ: $\frac{dV}{dx} = x^3 - x = 0$.
આનાથી $x(x^2 - 1) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 0, 1, -1$.
સ્થિતિ ઊર્જા $x = \pm 1$ પર ન્યૂનતમ છે.
$V_{\min} = V(\pm 1) = \frac{(\pm 1)^4}{4} - \frac{(\pm 1)^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \ J$.
કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = K.E. + V$ એ $2 \ J$ અચળ હોવાથી,જ્યારે સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય ત્યારે ગતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
$K.E._{\max} = E - V_{\min} = 2 - (-1/4) = 2 + 0.25 = 2.25 \ J$.
$K.E._{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m = 1 \ kg$:
$\frac{1}{2} \times 1 \times v_{\max}^2 = \frac{9}{4}$.
$v_{\max}^2 = \frac{9}{2}$.
$v_{\max} = \frac{3}{\sqrt{2}} \ m/s$.

(B) સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = \frac{x^2}{2} - x$ છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જા શોધવા માટે,વિકલન શૂન્ય લેતા: $\frac{dU}{dx} = x - 1 = 0$,જે $x = 1 \ m$ આપે છે.
દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2U}{dx^2} = 1 > 0$ હોવાથી,$x = 1 \ m$ પર સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{min} = \frac{(1)^2}{2} - 1 = -0.5 \ J$ છે.
કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ ગતિ ઊર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નો સરવાળો છે: $E = K + U$.
અહીં $E = 2 \ J$ હોવાથી,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{max}$ ત્યારે મળે જ્યારે $U$ ન્યૂનતમ હોય: $K_{max} = E - U_{min} = 2 - (-0.5) = 2.5 \ J$.
$K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2.5 = \frac{1}{2}(1)v_{max}^2$.
$v_{max}^2 = 5$,તેથી $v_{max} = \sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(D) બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $dU = -F \, dx$ મળે છે,તેથી $U(x) = -\int F \, dx$.
$F(x) = -kx + ax^3$ મુકતા,આપણને $U(x) = -\int (-kx + ax^3) \, dx = \int (kx - ax^3) \, dx$ મળે છે.
સંકલન કરતા,$U(x) = \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{4}ax^4 + C$ મળે છે.
ધારો કે $U(0) = 0$,તો $C = 0$ મળે,તેથી $U(x) = \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{4}ax^4 = \frac{1}{4}x^2(2k - ax^2)$.
$x \ge 0$ માટે,$x = 0$ અને $x = \sqrt{\frac{2k}{a}}$ આગળ $U(x) = 0$ થાય છે.
$0 < x < \sqrt{\frac{2k}{a}}$ માટે,$U(x)$ ધન છે.
$x > \sqrt{\frac{2k}{a}}$ માટે,$U(x)$ ઋણ બને છે અને જેમ $x$ વધે તેમ તે ઘટતું જાય છે કારણ કે $x^4$ પદ પ્રભાવી બને છે.
આ આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,મહત્તમ મૂલ્ય સુધી વધે છે અને પછી $x$-અક્ષને છેદીને ઋણ બને છે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(B) બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $U = A - Bx^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$F = -\frac{d}{dx}(A - Bx^2)$
$F = -(0 - 2Bx)$
$F = 2Bx$.
અહીં $A$ અને $B$ અચળાંક હોવાથી,$F \propto x$ થાય.

(B) કણ પર લાગતું બળ $F$ એ તેની સ્થિતિઊર્જા $U$ સાથે $F = -\frac{dU}{dx}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે.
આપેલ છે કે $U = 8x^2 - 4x + 400$.
જ્યાં બળ શૂન્ય હોય તે સ્થાન શોધવા માટે,આપણે $F = 0$ લઈએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dU}{dx} = 0$.
વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx}(8x^2 - 4x + 400) = 16x - 4$.
વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $16x - 4 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $16x = 4$,જે આપણને $x = \frac{4}{16} = 0.25 \, m$ આપે છે.

(D) પંપ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ પાણીની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $(U_i)$: પાણી $h$ ઊંચાઈ અને $a$ આડછેદ ધરાવતા બે સ્તંભોમાં છે. દરેક સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h/2$ પર છે.
$U_i = (a \cdot h \cdot d \cdot g) \cdot (h/2) + (a \cdot h \cdot d \cdot g) \cdot (h/2) = a \cdot h \cdot d \cdot g \cdot h = dgh^2a$.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $(U_f)$: બધું પાણી $2h$ ઊંચાઈ અને $a$ આડછેદ ધરાવતા એક સ્તંભમાં છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $2h/2 = h$ પર છે.
$U_f = (a \cdot 2h \cdot d \cdot g) \cdot h = 2dgh^2a$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ = $U_f - U_i = 2dgh^2a - dgh^2a = dgh^2a$.

(B) સળિયાને ઊભો કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
શરૂઆતમાં,સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલ પર હોવાથી,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = 0$ છે.
જ્યારે સળિયાને શિરોલંબ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલથી $h = \frac{l}{2}$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
તેથી,અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = mgh = mg(\frac{l}{2}) = \frac{mgl}{2}$ થાય.
આમ,કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = \frac{mgl}{2} - 0 = \frac{mgl}{2}$ મળે.

(A) મીટર પટ્ટીનું દળ $m = 400 \, g = 0.4 \, kg$ છે. મીટર પટ્ટીની લંબાઈ $l = 1 \, m$ છે.
પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ $l/2 = 0.5 \, m$ પર હોય છે.
જ્યારે પટ્ટીને $\theta = {60^o}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h$ નીચે મુજબ મળે છે:
$h = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2}(1 - \cos \theta)$.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = mgh = mg \times \frac{l}{2}(1 - \cos {60^o})$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.4 \times 10 \times \frac{1}{2} \times (1 - 0.5) = 0.4 \times 10 \times 0.5 \times 0.5 = 1 \, J$.

(B) આપેલ સ્થિતિ ઉર્જા: $U(r) = \frac{A}{r^2} - \frac{B}{r}$.
સંતુલન માટે,બળ $F = -\frac{dU}{dr} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dU}{dr} = 0$.
$\frac{dU}{dr} = \frac{d}{dr}(Ar^{-2} - Br^{-1}) = -2Ar^{-3} + Br^{-2} = 0$.
$\frac{B}{r^2} = \frac{2A}{r^3} \implies r = \frac{2A}{B}$.
સ્થિર સંતુલન માટે,દ્વિતીય વિકલન ધન હોવું જોઈએ: $\frac{d^2U}{dr^2} > 0$.
$\frac{d^2U}{dr^2} = \frac{d}{dr}(-2Ar^{-3} + Br^{-2}) = 6Ar^{-4} - 2Br^{-3}$.
$r = \frac{2A}{B}$ મૂકતા:
$\frac{d^2U}{dr^2} = 6A(\frac{B}{2A})^4 - 2B(\frac{B}{2A})^3 = 6A(\frac{B^4}{16A^4}) - 2B(\frac{B^3}{8A^3}) = \frac{3B^4}{8A^3} - \frac{B^4}{4A^3} = \frac{3B^4 - 2B^4}{8A^3} = \frac{B^4}{8A^3}$.
કારણ કે $A, B > 0$,તેથી $\frac{B^4}{8A^3} > 0$. આમ,$r = \frac{2A}{B}$ પર સ્થિર સંતુલનની શરત સંતોષાય છે.

(B) કણ પર લાગતું બળ $F$ એ સ્થિતિ ઊર્જાના ઋણ વિકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = -\frac{dU}{dx}$.
આપેલ છે કે $U = x^2 - 2x$,તેથી વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dx} = 2x - 2$.
સંતુલન માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $F = -(2x - 2) = 0$,જે $x = 1$ આપે છે.
સ્થિરતા તપાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન જોઈએ: $\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2x - 2) = 2$.
અહીં $\frac{d^2U}{dx^2} > 0$ હોવાથી $x = 1$ આગળ સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ છે,જે સ્થાયી સંતુલન સૂચવે છે.

(A) કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U(x)$ નો સરવાળો છે,જે $E = K + U(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ કણની ઝડપ છે.
જો કણની ઝડપ શૂન્ય $(v = 0)$ હોય,તો ગતિ ઉર્જા $K$ શૂન્ય $(K = 0)$ હોવી જોઈએ.
કુલ ઉર્જાના સમીકરણમાં $K = 0$ મૂકતા,આપણને $E = 0 + U(x)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $U(x) = E$ થાય છે.
તેથી,કણની ઝડપ તે બિંદુઓ પર શૂન્ય હોય છે જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.

(B) કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = -\nabla V = -(\frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j}) = -(-7 \hat{i} + 24 \hat{j}) = 7 \hat{i} - 24 \hat{j} \ N$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{7 \hat{i} - 24 \hat{j}}{5} = 1.4 \hat{i} - 4.8 \hat{j} \ m/s^2$ છે.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{1.4^2 + (-4.8)^2} = \sqrt{1.96 + 23.04} = \sqrt{25} = 5 \ m/s^2$ છે. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$t = 4 \ s$ સમયે,વેગ $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a}t = (1.44 \hat{i} + 4.2 \hat{j}) + (1.4 \hat{i} - 4.8 \hat{j}) \times 4 = 7.04 \hat{i} - 15 \hat{j} \ m/s$ છે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{7.04^2 + (-15)^2} \approx 16.57 \ m/s$ છે. (વિકલ્પ $A$ ખોટો છે).
વિકલ્પ $C$ માટે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{v}_0 \cdot \vec{a} = (1.44)(1.4) + (4.2)(-4.8) \neq 0$ છે. (વિકલ્પ $C$ ખોટો છે).
માત્ર $B$ સાચો હોવાથી,જવાબ $B$ છે.

(D) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $\ell$ છે. જ્યારે દળને $\theta = 45^\circ$ ના ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દળ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = \ell - \ell \cos 45^\circ = \ell(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
દળનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = \ell \sin 45^\circ = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ દળની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોવું જોઈએ (ધારી લઈએ કે તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે પણ સ્થિર થાય છે,તેથી $\Delta K = 0$):
$W_F + W_g = 0$
$F \cdot x - Mg \cdot h = 0$
$F \cdot (\frac{\ell}{\sqrt{2}}) = Mg \cdot \ell(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$F = Mg \cdot \sqrt{2}(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$F = Mg(\sqrt{2} - 1)$

(C) સંતુલન સ્થિતિમાં,બળ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અંતરની સાપેક્ષમાં સ્થિતિ ઊર્જાનું વિકલન શૂન્ય થાય: $\frac{dU(x)}{dx} = 0$.
આપેલ $U(x) = ax^{-12} - bx^{-6}$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dx} = -12ax^{-13} + 6bx^{-7} = 0$.
$12ax^{-13} = 6bx^{-7} \Rightarrow \frac{2a}{x^6} = b \Rightarrow x^6 = \frac{2a}{b}$.
હવે,$U_{\text{at equilibrium}}$ શોધવા માટે $x^6 = \frac{2a}{b}$ ને સ્થિતિ ઊર્જાના વિધેયમાં મૂકતા:
$U_{\text{at equilibrium}} = \frac{a}{(x^6)^2} - \frac{b}{x^6} = \frac{a}{(2a/b)^2} - \frac{b}{(2a/b)} = \frac{a}{4a^2/b^2} - \frac{b^2}{2a} = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} = -\frac{b^2}{4a}$.
કારણ કે $U(x = \infty) = 0$,તેથી વિયોજન ઊર્જા $D$:
$D = U(\infty) - U_{\text{at equilibrium}} = 0 - (-\frac{b^2}{4a}) = \frac{b^2}{4a}$.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે,તેથી અંતર $r$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિતિ ઊર્જાનું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\frac{dU}{dr} = 0$.
આપેલ છે $U = Ar^{-12} - Br^{-6}$.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dr} = -12Ar^{-13} + 6Br^{-7} = 0$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{6B}{r^7} = \frac{12A}{r^{13}}$.
બંને બાજુ $r^{13}$ વડે ગુણતા: $6B r^6 = 12A$.
$r^6$ માટે ઉકેલતા: $r^6 = \frac{12A}{6B} = \frac{2A}{B}$.
તેથી,સંતુલન અંતર $r = (\frac{2A}{B})^{1/6}$ છે.

(B) કુલ બ્લોક્સની સંખ્યા $N = n + 1$ છે. શરૂઆતમાં, બધા બ્લોક્સ ટેબલ પર છે, તેથી તેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_i = a/2$ ઊંચાઈ પર છે।
તેમને $(n + 1)a$ ઊંચાઈના સ્તંભમાં ગોઠવ્યા પછી, સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_f = H/2 = (n + 1)a/2$ પર છે।
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = (n + 1)m$ છે।
કરવામાં આવેલું કાર્ય ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = M g (h_f - h_i)$.
$W = (n + 1)m g \left[ \frac{(n + 1)a}{2} - \frac{a}{2} \right]$.
$W = (n + 1)m g \left[ \frac{na + a - a}{2} \right] = (n + 1)m g \left( \frac{na}{2} \right)$.
$W = \frac{1}{2} m a g (n^2 + n)$.

(B) કણની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે. કણ $x = a$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,$x = a$ પર તેની ગતિઊર્જા $K = 0$ છે,તેથી તેની કુલ ઊર્જા $E = U(a)$ થાય છે.
જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેમ $E = K + U(x) = U(a)$ રહે છે. $K \ge 0$ હોવાથી,કણ ફક્ત તેવા જ વિસ્તારમાં ગતિ કરી શકે જ્યાં $U(x) \le U(a)$ હોય.
આલેખ જોતા,$x = a$ અને $x = e$ પર $U(x) = U(a)$ છે. $x = a$ અને $x = e$ ની વચ્ચે $U(x) \le U(a)$ છે.
તેથી,કણ $x = a$ થી જમણી તરફ ગતિ કરશે,$x = b$,$x = c$ અને $x = d$ માંથી પસાર થઈને $x = e$ સુધી પહોંચશે. $x = e$ પર તેની ગતિઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે $(K = E - U(e) = 0)$,તેથી તે ત્યાં અટકી જાય છે અને ત્યારબાદ પોતાની દિશા બદલીને ડાબી તરફ પાછો ફરે છે.

(C) આકૃતિ $(I)$ માં,સાંકળનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધાર $A$ થી $\frac{l}{2}$ અંતરે નીચે છે. સ્થિતિ ઉર્જા $U_I = -mg(\frac{l}{2})$ છે.
આકૃતિ $(II)$ માં,સાંકળને એવી રીતે વાળવામાં આવે છે કે તે $\frac{l}{2}$ ઊંડાઈ સુધી લટકે છે. આ વળેલી સાંકળનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધાર $A$ થી $\frac{l}{4}$ અંતરે નીચે છે. સ્થિતિ ઉર્જા $U_{II} = -mg(\frac{l}{4})$ છે.
કરેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું છે: $W = \Delta U = U_{II} - U_I$.
$W = -mg(\frac{l}{4}) - (-mg(\frac{l}{2})) = -mg\frac{l}{4} + mg\frac{l}{2} = mg\frac{l}{4}$.

(B) કણ પર લાગતું બળ $F$ એ સ્થિતિઊર્જાના ઋણ ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = -\frac{dU}{dr}$.
આપેલ છે કે $U = \alpha r^{-4} - \beta r^{-5}$.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$F = -\frac{d}{dr}(\alpha r^{-4} - \beta r^{-5}) = -[\alpha(-4r^{-5}) - \beta(-5r^{-6})] = 4\alpha r^{-5} - 5\beta r^{-6}$.
કણ સંતુલનમાં હોય ત્યારે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $F = 0$.
$4\alpha r^{-5} - 5\beta r^{-6} = 0$.
$4\alpha r^{-5} = 5\beta r^{-6}$.
બંને બાજુ $r^6$ વડે ગુણતા:
$4\alpha r = 5\beta$.
તેથી,$r = \frac{5\beta}{4\alpha}$.

(C) સ્થિતિ ઊર્જાનું વિધેય $U(x) = 20 + (x - 2)^2$ છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જા $(U_{min})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $(x - 2)^2 = 0$ થાય,એટલે કે $x = 2\,m$ પર.
તેથી,$U_{min} = 20 + 0 = 20\,J$.
કણની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $(TE)$ $36\,J$ આપેલી છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$TE = U + KE$.
મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(KE_{max})$ શોધવા માટે,આપણે $KE_{max} = TE - U_{min}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા,$KE_{max} = 36\,J - 20\,J = 16\,J$.

(D) લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = \frac{L}{3}$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \frac{M}{L} \times \frac{L}{3} = \frac{M}{3}$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{L/3}{2} = \frac{L}{6}$ અંતરે નીચે છે.
લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = mgh = \left(\frac{M}{3}\right) g \left(\frac{L}{6}\right) = \frac{MgL}{18}$.

(B) લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = L/n$ છે.
કેબલ સમાન હોવાથી,લટકતા ભાગનું દળ $m = (M/L) \times l = M/n$ થાય.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ સપાટીની ધારથી $h_{COM} = l/2 = L/(2n)$ જેટલા અંતરે નીચે છે.
લટકતા ભાગને સપાટી પર લાવવા માટે,આપણે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને સપાટીના સ્તર સુધી ઉપર લાવવું પડે.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = m \times g \times h_{COM}$
$W = (M/n) \times g \times (L/(2n))$
$W = \frac{MgL}{2n^2}$