Kinetic Energy Questions in Gujarati

(C) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $E$ માટેનું સૂત્ર $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $p = \sqrt{2mE}$ મળે છે.
અહીં બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી $(E_1 = E_2 = E)$,વેગમાન $p$ એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $p \propto \sqrt{m}$.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થાય.
આમ,$p_1:p_2$ નો ગુણોત્તર $\sqrt{m_1}:\sqrt{m_2}$ છે.

(A) $m$ દળ અને $P$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર: $K.E. = \frac{P^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને પદાર્થોનું વેગમાન $(P)$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ પદાર્થના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(K.E. \propto \frac{1}{m})$.
તેથી,જે પદાર્થનું દળ ઓછું હશે (હલકો પદાર્થ),તેની ગતિઊર્જા વધારે હશે.

(B) ગતિઊર્જા માટેનું શાસ્ત્રીય સૂત્ર,$K = \frac{1}{2}mv^2$,ન્યૂટોનિયન મિકેનિક્સ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,પદાર્થની કુલ ઊર્જા $E = \gamma mc^2$ છે,જ્યાં $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.
ગતિઊર્જા એ કુલ ઊર્જા અને સ્થિર ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $K = E - mc^2 = mc^2(\gamma - 1)$.
જ્યારે $v \ll c$ હોય ત્યારે $\gamma$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$ મળે છે.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,$K \approx mc^2(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} - 1) = \frac{1}{2}mv^2$.
આમ,શાસ્ત્રીય સૂત્ર ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે પદાર્થનો વેગ પ્રકાશના વેગની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય.

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે ગતિઊર્જા $(E)$ અને વેગમાન $(P)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{P^2}{2m}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે ગતિઊર્જા એ વેગમાનના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે:
$E \propto P^2$
જો વેગમાન $(P)$ ને $n$ ગણું કરવામાં આવે,તો નવું વેગમાન $P' = nP$ થશે.
આ કિંમત સમપ્રમાણતામાં મૂકતા:
$E' \propto (nP)^2 = n^2 P^2$
તેથી,નવી ગતિઊર્જા $(E')$ એ મૂળ ગતિઊર્જા $(E)$ કરતા $n^2$ ગણી થશે.
આમ,ગતિઊર્જા $n^2$ ના અવયવથી વધે છે.

(C) રેખીય વેગમાન $P$,દળ $m$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને દળ માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$P \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થશે.
આપેલ કિંમતો $m_1 = 1 \,g$ અને $m_2 = 4 \,g$ મૂકતા,આપણને $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1 = E$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $E_2 = E + 300\% \text{ of } E = E + 3E = 4E$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગમાન $P$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ છે,જે સૂચવે છે કે $P \propto \sqrt{E}$.
તેથી,અંતિમ વેગમાન $P_2$ અને પ્રારંભિક વેગમાન $P_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{\frac{4E}{E}} = \sqrt{4} = 2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $P_2 = 2P_1$.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100\% = \frac{2P_1 - P_1}{P_1} \times 100\% = 100\%$ છે.
આમ,વેગમાનમાં $100\%$ નો વધારો થશે.

(B) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોય,ત્યારે $P \propto \sqrt{m}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે જે પદાર્થનું દળ $m$ વધારે હશે તેનું વેગમાન $P$ પણ વધારે હશે.
તેથી,ભારે પદાર્થનું વેગમાન વધારે હશે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક રેખીય વેગમાન $P_1 = P$ છે.
નવું રેખીય વેગમાન $P_2 = P_1 + 0.5P_1 = 1.5P_1 = \frac{3}{2}P_1$ થશે.
ગતિઊર્જા $E$ અને રેખીય વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{P^2}{2m}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $E \propto P^2$.
તેથી,નવી ગતિઊર્જા $E_2$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{1.5P_1}{P_1} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$.
આનો અર્થ એ છે કે $E_2 = 2.25 E_1 = E_1 + 1.25 E_1$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\% = 1.25 \times 100\% = 125\%$ છે.

(D) વેગમાન $(P)$ અને ગતિઊર્જા $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $P = \sqrt{2mE}$.
અહીં દળ $(m)$ અચળ હોવાથી,$P \propto \sqrt{E}$ થાય.
જો ગતિઊર્જા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $E' = 2E$ થાય.
તેથી,નવું વેગમાન $P' = \sqrt{2m(2E)} = \sqrt{2} \times \sqrt{2mE} = \sqrt{2}P$ થાય.
આમ,વેગમાન $\sqrt{2}$ ગણું વધશે.

(A) વેગમાન $P$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$P \propto \sqrt{E}$ થાય.
નાના ફેરફારો માટે અંદાજિત સૂત્ર વાપરતા: $\frac{\Delta P}{P} \approx \frac{1}{2} \frac{\Delta E}{E}$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta E}{E} \times 100 = 0.1\%$ આપેલ છે.
તેથી,વેગમાનમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{1}{2} \times (0.1\%) = 0.05\%$ થાય.

(C) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K.E. \propto v^2$.
જો નવો વેગ $v' = 2v$ હોય,તો નવી ગતિઊર્જા $K.E.'$ નીચે મુજબ થશે:
$K.E.' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2)$.
તેથી,$K.E.' = 4 \times K.E.$
આમ,ગતિઊર્જા અગાઉના મૂલ્ય કરતા $4$ ગણી થશે.

(D) રેખીય વેગમાન $P$,દળ $m$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ છે.
બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી $(E_A = E_B = E)$,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{\sqrt{2m_A E}}{\sqrt{2m_B E}} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}}$.
આપેલ છે કે દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{1}$ છે,તેથી:
$\frac{P_A}{P_B} = \sqrt{\frac{3}{1}} = \sqrt{3} : 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વેગમાન $P$ અને દળ $m$ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{P^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને પદાર્થોનું વેગમાન $P$ સમાન હોવાથી,$E \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાઓનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ થશે.
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ આપેલ હોવાથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{2m}{m} = \frac{2}{1}$ મળે.
આમ,ગતિઊર્જાઓનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) $m$ દળ અને $p$ રેખીય વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $E$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{p^2}{2m}$.
અહીં બંને પદાર્થો માટે રેખીય વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી,$E \propto \frac{1}{m}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m \propto \frac{1}{E}$.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{1}$ છે.
તેથી,તેમના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{4}$ થશે.
આમ,તેમના દળનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(A) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$P \propto \sqrt{E}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1$ છે અને પ્રારંભિક વેગમાન $P_1$ છે. તેથી $P_1 = \sqrt{2mE_1}$.
નવી ગતિઊર્જા $E_2 = 4E_1$ છે અને નવું વેગમાન $P_2$ છે.
તેથી $P_2 = \sqrt{2mE_2} = \sqrt{2m(4E_1)} = 2\sqrt{2mE_1} = 2P_1$.
આમ,નવું વેગમાન તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા બમણું થશે.

(C) વેગમાન $p$,દળ $m$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mE}$ છે.
બે પદાર્થો માટે,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2} \times \frac{E_1}{E_2}}$ થાય.
અહીં $m_1 = 2m$,$m_2 = m$ અને $\frac{E_1}{E_2} = \frac{8}{1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{2m}{m} \times \frac{8}{1}} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$ મળે.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) વેગમાન $P$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે દળ $m$ અચળ છે,તેથી $P \propto \sqrt{E}$ મળે.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $E_2 = E_1 + 0.22E_1 = 1.22E_1$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_2$ અને પ્રારંભિક વેગમાન $P_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{1.22} \approx 1.1$ થાય.
આમ,$P_2 = 1.1P_1 = (1 + 0.1)P_1 = P_1 + 0.1P_1$.
આ વેગમાનમાં $0.1 \times 100\% = 10\%$ નો વધારો દર્શાવે છે.

(A) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,$E \propto P^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $P_1 = P$ છે અને અંતિમ વેગમાન $P_2 = P + 0.20P = 1.2P$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^2 = \left( \frac{1.2P}{P} \right)^2 = (1.2)^2 = 1.44$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $E_2 = 1.44 E_1$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\% = (1.44 - 1) \times 100\% = 0.44 \times 100\% = 44\%$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં $44\%$ નો વધારો થશે.

(A) ગતિઊર્જા $(E)$,વેગમાન $(P)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{P^2}{2m}$.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $2 \ kg$
વેગમાન $(P)$ = $2 \ Ns$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{(2)^2}{2 \times 2}$
$E = \frac{4}{4}$
$E = 1 \ J$.
તેથી,ગતિઊર્જા $1 \ J$ છે.

(B) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે ગતિઊર્જા $(E)$ અને વેગમાન $(P)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{P^2}{2m}$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $1 \, kg$
વેગમાન $(P)$ = $10 \, kg \cdot m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(10)^2}{2 \times 1}$
$E = \frac{100}{2} = 50 \, J$
તેથી,પદાર્થની ગતિઊર્જા $50 \, J$ છે.

(C) ધારો કે માણસનું દળ $M$ અને છોકરાનું દળ $m$ છે. આપેલ છે કે $m = M/2$.
ધારો કે માણસનો પ્રારંભિક વેગ $V$ અને છોકરાનો વેગ $v$ છે.
માણસની ગતિઊર્જા $K_M = \frac{1}{2} M V^2$ અને છોકરાની ગતિઊર્જા $K_b = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$K_M = \frac{1}{2} K_b$,તેથી $\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m v^2) = \frac{1}{4} m v^2$. $m = M/2$ મૂકતા,$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{4} (M/2) v^2$,જેનું સાદું રૂપ $V^2 = v^2/4$ અથવા $v = 2V$ મળે છે.
જ્યારે માણસ તેની ઝડપ $1 \, m/s$ વધારે છે,ત્યારે તેની નવી ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} M (V+1)^2$ થાય છે. આ છોકરાની ગતિઊર્જા $K_b = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (M/2) (2V)^2 = M V^2$ જેટલી છે.
તેથી,$\frac{1}{2} M (V+1)^2 = M V^2$.
$M/2$ વડે ભાગતા,$(V+1)^2 = 2V^2$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$V+1 = \sqrt{2} V$.
તેથી $1 = V(\sqrt{2} - 1)$,એટલે કે $V = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \, m/s$.

(D) વેગમાન $P$,દળ $m$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$P \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થશે.
અહીં $m_1 = 4 \text{ g}$ અને $m_2 = 9 \text{ g}$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
આમ,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(D) $P$ વેગમાન અને $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $E = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $P_1 = P$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{P^2}{2m}$ છે.
વેગમાનમાં $100\%$ નો વધારો થતો હોવાથી,નવું વેગમાન $P_2 = P + 100\% \text{ of } P = P + P = 2P$ થશે.
નવી ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{P_2^2}{2m} = \frac{(2P)^2}{2m} = 4 \left( \frac{P^2}{2m} \right) = 4E_1$ થશે.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{4E_1 - E_1}{E_1} \times 100\% = \frac{3E_1}{E_1} \times 100\% = 300\%$ મળે છે.

(B) રેખીય વેગમાન $P$,દળ $m$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને દળ માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$P \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થશે.
આપેલ છે કે $m_1 = 1\,kg$ અને $m_2 = 16\,kg$,તેથી $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતો આઘાત તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = F \times t = \Delta P$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,તેનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$ છે.
તેથી,અંતિમ વેગમાન $P_f = F \times t$ થશે.
કણની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{P^2}{2m}$ છે.
$P_f$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{(Ft)^2}{2m} = \frac{F^2 t^2}{2m}$ મળે છે.

(C) રેખીય વેગમાન $(p)$,દળ $(m)$ અને ગતિઊર્જા $(K.E.)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $p = \sqrt{2m(K.E.)}$.
અહીં બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $(K.E.)$ સમાન હોવાથી,$p \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થશે.
આપેલ છે કે $m_1 = m$ અને $m_2 = 4m$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m}{4m}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ મળે છે.

(B) ગતિઊર્જા $(E)$,વેગમાન $(P)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $E = \frac{P^2}{2m}$.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $3 \,kg$
વેગમાન $(P)$ = $2 \,N-s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(2)^2}{2 \times 3}$
$E = \frac{4}{6}$
$E = \frac{2}{3} \,J$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $P$ વેગમાન અને $m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{P^2}{2m}$ છે.
બંને કણોનું વેગમાન સમાન હોવાથી $(P_1 = P_2 = P)$,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{m}$.
અહીં આપેલ છે કે $m_1 > m_2$,તેથી પ્રથમ કણની ગતિઊર્જા બીજા કણની ગતિઊર્જા કરતા ઓછી હશે.
આમ,$E_1 < E_2$.

(C) કોઈપણ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બંને દડાઓને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તેઓ સમાન ઊંચાઈ $(h = 30\,ft)$ કાપે છે,તેથી ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ (જ્યાં $u = 0$) મુજબ તેમનો અંતિમ વેગ $(v)$ સમાન હશે.
અહીં $v$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના સમપ્રમાણમાં છે $(KE \propto m)$.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{m_1}{m_2}$ થશે.
અહીં $m_1 = 2\,kg$ અને $m_2 = 4\,kg$ આપેલ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) વેગમાન $P$ અને દળ $m$ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{P^2}{2m}$ છે.
અહીં વેગમાન $P$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{m}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જે કણનું દળ સૌથી ઓછું હશે તેની ગતિઊર્જા મહત્તમ હશે.
આપેલા કણોના દળની સરખામણી કરતા: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} < m_{\text{deuteron}} < m_{\alpha\text{-particle}}$.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન સૌથી હલકો કણ હોવાથી તેની ગતિઊર્જા મહત્તમ હશે.

(C) ધારો કે માણસની પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે અને તેનું દળ $m$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ ... $(i)$
જ્યારે ઝડપમાં $2 \, m/s$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી ઝડપ $(v + 2) \, m/s$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $2E = \frac{1}{2}m(v + 2)^2$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2E}{E} = \frac{\frac{1}{2}m(v + 2)^2}{\frac{1}{2}mv^2}$
$2 = \frac{(v + 2)^2}{v^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2} = \frac{v + 2}{v}$
$v\sqrt{2} = v + 2$
$v(\sqrt{2} - 1) = 2$
$v = \frac{2}{\sqrt{2} - 1}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$v = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2 - 1} = 2 + 2\sqrt{2} \, m/s$.

(A) ઉર્જા એટલે કાર્ય કરવાની ક્ષમતા. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $\text{પ્રકાશ}$ એ વિદ્યુતચુંબકીય ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે.
$\text{દબાણ}$ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ.
$\text{વેગમાન}$ એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે.
$\text{પાવર}$ એટલે કાર્ય કરવાનો દર.
તેથી, $\text{પ્રકાશ}$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) ગતિઊર્જા $(K)$,વેગમાન $(P)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી $(K_1 = K_2)$,આપણને મળે છે $\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થાય.
અહીં $m_1 = 1\, g$ અને $m_2 = 9\, g$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
આમ,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(B) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પદાર્થનું દળ $m$ અચળ હોવાથી,$E \propto P^2$ થાય.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{dE}{E} = 2 \frac{dP}{P}$ મળે છે.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો એ વેગમાનમાં થતા ટકાવારી વધારા કરતા લગભગ બમણો હોય છે.
આપેલ છે કે વેગમાનમાં થતો ટકાવારી વધારો $0.01\%$ છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $2 \times 0.01\% = 0.02\%$ થશે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $0$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \times d$.
તેથી,અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K.E. = F \times d$.
અહીં બળ $F$ અને અંતર $d$ અચળ હોવાથી,પ્રાપ્ત થતી ગતિ ઊર્જા ફક્ત બળ અને અંતરના ગુણાકાર પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થના દળ $m$ પર આધારિત નથી.
આમ,ગતિ ઊર્જા $m$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) ધારો કે કણને $t = 0$ સમયે $u$ વેગથી સમક્ષિતિજ દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે। વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે, $v_x = u$। સમય $t$ પર વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = gt$ છે। કુલ વેગ $v$ એ $v^2 = v_x^2 + v_y^2 = u^2 + (gt)^2$ દ્વારા મળે છે। ગતિઊર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(u^2 + g^2t^2)$ છે। આ સમીકરણ $E = At^2 + B$ પ્રકારના પરવલયનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યાં $A = \frac{1}{2}mg^2$ અને $B = \frac{1}{2}mu^2$ છે। કારણ કે $u > 0$, $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_0 = \frac{1}{2}mu^2 > 0$ છે। જેમ $t$ વધે છે, તેમ $E$ પરવલયાકારે વધે છે। તેથી, સાચો આલેખ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે।

(C) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\sqrt{E} = \frac{p}{\sqrt{2m}}$ મળે છે.
આને $\sqrt{E} = \frac{1}{\sqrt{2m}} \cdot p$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
જો કે,પ્રશ્નમાં $\sqrt{E}$ અને $\frac{1}{p}$ વચ્ચેનો આલેખ પૂછવામાં આવ્યો છે.
$E = \frac{p^2}{2m}$ પરથી,આપણને $p = \sqrt{2mE}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{p} = \frac{1}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{\sqrt{2m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{E}}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{E} = \frac{1}{\sqrt{2m}} \cdot \frac{1}{(1/p)}$.
ધારો કે $y = \sqrt{E}$ અને $x = \frac{1}{p}$. તો $y = \frac{k}{x}$,જ્યાં $k = \frac{1}{\sqrt{2m}}$ એ અચળાંક છે.
આ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) નું સમીકરણ છે. આમ,$\sqrt{E}$ અને $\frac{1}{p}$ વચ્ચેનો આલેખ અતિવલય છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની $v$ વેગ સાથેની ગતિઊર્જા $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2}mv^2$
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $E$ એ વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(E \propto v^2)$.
આ સંબંધ એક પરવલય (parabola) દર્શાવે છે જે $E$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,જ્યાં $v$ નું મૂલ્ય ધન કે ઋણ દિશામાં વધતા $E$ વધે છે. તેથી,સાચો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(C) ગતિ ઊર્જા $(K)$, વેગમાન $(p)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી, વેગમાનને $p = \sqrt{2mK}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે કે ગતિ ઊર્જા સમાન છે $(K_1 = K_2 = K)$, તેથી બે કણોના વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી, આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી, તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(C) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે પદાર્થ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ પર પાછો આવે ત્યારે તેનો વેગ તેટલો જ હશે જેટલા વેગથી તેને ઉપર ફેંકવામાં આવ્યો હતો.
પદાર્થને $v = 2 \ m \ s^{-1}$ ના વેગથી ઉપર ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તે જમીન પર $v = 2 \ m \ s^{-1}$ ના વેગથી જ પાછો આવશે.
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં $m = 2 \ kg$ અને $v = 2 \ m \ s^{-1}$ કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4 \ J$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2$ છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જામાં $19\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $K_2 = K_1 - 0.19 K_1 = 0.81 K_1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
તેથી,$\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $0.81 = \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{p_2}{p_1} = \sqrt{0.81} = 0.9$.
આનો અર્થ એ છે કે $p_2 = 0.9 p_1$.
વેગમાનમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{p_1 - p_2}{p_1} \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
$= \frac{p_1 - 0.9 p_1}{p_1} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K.E._{initial} = 0$ છે.
તેથી,$K.E. = W = F \cdot d$,જ્યાં $F$ એ અચળ બળ છે અને $d$ એ નિશ્ચિત અંતર છે.
અહીં $F$ અને $d$ બંને અચળ હોવાથી,ગતિ ઊર્જા $K.E.$ એ પદાર્થના દળ $m$ પર આધાર રાખતી નથી.

(C) આપેલ છે કે બળ $(F)$ એ ઝડપ $(v)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $F = \frac{k}{v}$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma = m \frac{dv}{dt}$.
$F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $m \frac{dv}{dt} = \frac{k}{v}$.
પદોને ગોઠવતા,$mv \, dv = k \, dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int mv \, dv = \int k \, dt$,જે $\frac{1}{2} mv^2 = kt + C$ આપે છે.
ધારો કે પદાર્થ $t = 0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી અચળાંક $C = 0$.
આમ,ગતિઊર્જા $(KE = \frac{1}{2} mv^2) = kt$ થાય છે.
તેથી,ગતિઊર્જા એ સમય સાથે સુરેખ રીતે સંબંધિત છે.

(B) ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર,$K = \frac{1}{2} mv^2$,શાસ્ત્રીય યાંત્રિકી (ન્યૂટોનિયન મિકેનિક્સ) પરથી મેળવવામાં આવ્યું છે.
શાસ્ત્રીય યાંત્રિકીમાં,પદાર્થનું દળ $m$ અચળ માનવામાં આવે છે,જે તેના વેગથી સ્વતંત્ર છે.
જો કે,આઈન્સ્ટાઈનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,જેમ પદાર્થનો વેગ $v$ પ્રકાશની ગતિ $c$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ તેનું સાપેક્ષ દળ $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ સૂત્ર મુજબ વધે છે.
તેથી,શાસ્ત્રીય સૂત્ર $K = \frac{1}{2} mv^2$ ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે વેગ $v$ એ પ્રકાશની ગતિ કરતા ઘણો ઓછો હોય $(v \ll c)$,એટલે કે વેગ પ્રકાશની ગતિની સરખામણીમાં અવગણ્ય હોય.

(C) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિ ઊર્જા $K$ ને $K = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ સૂત્રને વેગમાન માટે ગોઠવતા,આપણને $p = \sqrt{2mK}$ મળે છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે ગતિ ઊર્જા $K$ સમાન હોવાથી,$p \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થશે.
આમ,$p_1 : p_2 = \sqrt{m_1} : \sqrt{m_2}$ મળે છે.

(D) પદાર્થની ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{P^2}{2M}$ છે,જ્યાં $P$ એ વેગમાન છે અને $M$ એ દળ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોની ગતિ ઊર્જા સમાન છે,તેથી $KE_1 = KE_2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{P_1^2}{2M_1} = \frac{P_2^2}{2M_2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ થાય છે.
બીજો પદાર્થ ભારે હોવાથી,$M_2 > M_1$ છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $P_2 > P_1$.
આમ,ભારે પદાર્થનું વેગમાન હલકા પદાર્થના વેગમાન કરતા વધારે છે,એટલે કે $M_2 V_2 > M_1 V_1$.