Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Gujarati

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સમક્ષિતિજ સપાટી પર ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 1.5 \ m$ છે અને ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$ છે.
શરૂઆતમાં સ્થિતિ ઊર્જા $PE = Mgh$ છે.
સમક્ષિતિજ સપાટી પર $s$ અંતર કાપતા ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય $W_f = f \cdot s = (\mu Mg) \cdot s$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $Mgh = \mu Mgs$.
$s$ માટે ઉકેલતા: $s = \frac{h}{\mu} = \frac{1.5}{0.2} = 7.5 \ m$.
$7.5 \ m < 15 \ m$ હોવાથી,પદાર્થ $P$ બિંદુથી $7.5 \ m$ અંતરે સ્થિર થશે.

(A) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \, J$.
જરૂરી ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} K_i = 8 \, J$ થશે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $K_i + P_i = K_f + P_f$.
જમીનને સંદર્ભ સ્તર $(P_i = 0)$ તરીકે લેતા,આપણને મળે છે: $16 + 0 = 8 + mgh$.
$16 = 8 + 2 \times 10 \times h$.
$8 = 20h$.
$h = \frac{8}{20} = 0.4 \, m$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$A$ બિંદુએ પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_A = mgh = 2 \times 10 \times 1 = 20 \, J$ છે.
$C$ બિંદુએ પદાર્થ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $0$ છે.
કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા $20 \, J$ છે (ધારો કે $g = 10 \, m/s^2$).
પદાર્થ $C$ બિંદુએ સ્થિર થઈ જતો હોવાથી,સમગ્ર પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલા કાર્ય તરીકે વ્યય પામે છે.
તેથી,ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_f = 20 \, J$ છે.

(B) ધારો કે પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
$\frac{3h}{4}$ ઊંચાઈએ,સ્થિતિઊર્જા $U = mgy = mg(\frac{3h}{4}) = \frac{3}{4}mgh$ થાય.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઊર્જા $E$ અચળ રહે છે.
તેથી,આ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K = E - U = mgh - \frac{3}{4}mgh = \frac{1}{4}mgh$ થાય.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{\frac{1}{4}mgh}{\frac{3}{4}mgh} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય બ્લોકની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ ઘર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્યના મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
આપેલ છે: દળ $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 5 \, m/s$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = \frac{1}{2} m (u^2 - v^2)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (10^2 - 5^2)$.
$\Delta K = 0.05 \times (100 - 25) = 0.05 \times 75 = 3.75 \, J$.
આમ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $3.75 \, J$ છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તંત્ર પર થયેલું કુલ કાર્ય દડાની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ સ્પ્રિંગથી $h$ ઊંચાઈ પર છે. અંતિમ સ્થિતિ ત્યારે છે જ્યારે સ્પ્રિંગ $d$ અંતર જેટલી દબાય છે.
દડાનું કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $(h + d)$ છે.
દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ (નીચેની તરફ) અને સ્પ્રિંગ બળ (ઉપરની તરફ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mg(h + d)$ છે.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_s = -\int_0^d kx \, dx = -\frac{1}{2}kd^2$ છે.
દડા પર થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_g + W_s = mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2$ છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ સંકોચન $d$ પર ક્ષણિક સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે,જે સૂચવે છે કે સમગ્ર પ્રક્રિયા માટે $W_{net} = 0$ છે. જોકે,પ્રશ્નમાં સ્થાનાંતર $d$ દરમિયાન બાહ્ય બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને સ્પ્રિંગ) દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2$ છે.

(C) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિ ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $U$ છે.
ગતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\frac{1}{2}mv^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $U = \frac{1}{2}mv^2$.
દળ $m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{2U}{v^2}$.

(B) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિ કુદરતી લંબાઈથી $x$ અંતરે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગ બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $mg = kx$.
આપેલ છે કે $k = mg/a$,તેથી $mg = (mg/a)x$,જે $x = a$ આપે છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો અને સંતુલન સ્થિતિએ ગતિ ઊર્જાના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$mgx = \frac{1}{2}kx^2 + KE$.
$x = a$ અને $k = mg/a$ મૂકતા:
$mg(a) = \frac{1}{2}(mg/a)(a^2) + KE$.
$mga = \frac{1}{2}mga + KE$.
$KE = mga - \frac{1}{2}mga = \frac{1}{2}mga$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
અવલોકનકાર $A$ (જે જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં છે) માટે,બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ છે.
બ્લોક સ્થિર થઈ જતો હોવાથી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ છે.
તેથી,બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય $W_{net} = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2$ થાય.

(C) $1$. આ સિસ્ટમમાં $m$ દળનો બ્લોક છે જે $\mu$ ઘર્ષણાંક ધરાવતી ખરબચડી સપાટી પર $K$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે.
$2$. સપાટી ખરબચડી હોવાથી,સિસ્ટમ પર અસંરક્ષી બળ (ઘર્ષણ) કાર્ય કરે છે. તેથી,યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
$3$. સિસ્ટમ પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય નથી (દીવાલ અને ઘર્ષણને કારણે),તેથી રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી.
$4$. કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો (સંરક્ષી અને અસંરક્ષી) દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સિસ્ટમની ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. આ સિદ્ધાંત કોઈપણ સિસ્ટમ માટે સાર્વત્રિક રીતે લાગુ પડે છે,પછી ભલે બળો સંરક્ષી હોય કે અસંરક્ષી.
$5$. આમ,આ સિસ્ટમ માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય લાગુ કરી શકાય છે.

(D) સાચો જવાબ $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ છે. આ સમીકરણ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું એક ઉદાહરણ છે. આ પરિસ્થિતિમાં,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો,$mgh$,એ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા,$\frac{1}{2}mv^2$ જેટલો હોય છે.
અન્ય સમીકરણો ગતિના સમીકરણો છે જે ફક્ત ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે પ્રવેગ અચળ હોય. ટ્રેક વક્ર હોવાથી,બોક્સ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ટ્રેકની સપાટીને સ્પર્શક ઘટક બોક્સના સરકવાની સાથે બદલાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો આ ઘટક જ બોક્સને પ્રવેગિત કરે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,જેમ બળ બદલાય છે,તેમ પ્રવેગ પણ બદલાય છે. પ્રવેગ અચળ ન હોવાથી,અન્ય સમીકરણો માન્ય નથી.

(A) કણનું દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \ m/s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{total} = \Delta K.E$.
અહીં,ઉપરની ગતિ દરમિયાન માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(W_g)$ કાર્ય કરે છે.
$W_g = K.E_{final} - K.E_{initial} = 0 - \frac{1}{2} m u^2$.
$W_g = -\frac{1}{2} \times 0.1 \times (5)^2 = -0.5 \times 0.1 \times 25 = -1.25 \ J$.

(A) કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ નો સરવાળો છે: $E = K + U = 2 \ J$.
મહત્તમ ઝડપ શોધવા માટે,આપણે ગતિઊર્જા $K = E - U$ ને મહત્તમ બનાવવી પડશે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્થિતિઊર્જા $U(x)$ ન્યૂનતમ હોય.
$U(x)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિકલન $\frac{dU}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{dU}{dx} = \frac{4x^3}{4} - \frac{2x}{2} = x^3 - x = 0$.
$x(x^2 - 1) = 0$,જે $x = 0, 1, -1$ આપે છે.
આ બિંદુઓ પર $U(x)$ ની કિંમત તપાસતા:
$U(0) = 0 \ J$.
$U(1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \ J$.
$U(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \ J$.
ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા $U_{\min} = -\frac{1}{4} \ J$ છે.
તેથી,$K_{\max} = E - U_{\min} = 2 - (-0.25) = 2.25 \ J = \frac{9}{4} \ J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$ સૂત્રમાં $m = 1 \ kg$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 1 \times v_{\max}^2 = \frac{9}{4}$.
$v_{\max}^2 = \frac{9}{2}$.
$v_{\max} = \frac{3}{\sqrt{2}} \ m/s$.

(C) ધારો કે સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{m}{L}$ છે.
શરૂઆતમાં,સાંકળની $b$ લંબાઈ ઢાળ પર છે. આ ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમક્ષિતિજ સપાટીથી $\frac{b}{2} \sin \theta$ જેટલી ઊંડાઈએ છે.
શરૂઆતમાં સાંકળની સ્થિતિઊર્જા $PE_i = -(\lambda b) g (\frac{b}{2} \sin \theta) = -\frac{m g b^2}{2L} \sin \theta$ છે.
અંતમાં,$L$ લંબાઈની આખી સાંકળ ઢાળ પર છે. આખી સાંકળનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમક્ષિતિજ સપાટીથી $\frac{L}{2} \sin \theta$ જેટલી ઊંડાઈએ છે.
અંતમાં સાંકળની સ્થિતિઊર્જા $PE_f = -(m) g (\frac{L}{2} \sin \theta) = -\frac{m g L}{2} \sin \theta$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$PE_i - PE_f = KE_f - KE_i$
$-\frac{m g b^2}{2L} \sin \theta - (-\frac{m g L}{2} \sin \theta) = \frac{1}{2} m v^2 - 0$
$\frac{m g}{2L} \sin \theta (L^2 - b^2) = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = \frac{g \sin \theta}{L} (L^2 - b^2)$
$v = \sqrt{\frac{g \sin \theta}{L} (L^2 - b^2)}$

(C) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $R$ છે. બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી બ્લોક દ્વારા કાપવામાં આવેલી ઊભી ઊંચાઈ $h = R \cos \theta_1 - R \cos \theta_2 = R(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રાપ્ત થયેલી ગતિ ઉર્જા એ ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = mgh = mgR(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
બિંદુ $B$ પર,જ્યારે બ્લોક સપાટી છોડે છે ત્યારે લંબબળ $N$ શૂન્ય થઈ જાય છે. ગતિનું ત્રિજ્યાવર્તી સમીકરણ $mg \cos \theta_2 - N = \frac{mv^2}{R}$ છે.
$N = 0$ લેતા,આપણને $v^2 = Rg \cos \theta_2$ મળે છે.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}m(Rg \cos \theta_2) = mgR(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
$mgR$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2} \cos \theta_2 = \cos \theta_1 - \cos \theta_2$.
ગોઠવતા: $\frac{3}{2} \cos \theta_2 = \cos \theta_1$,અથવા $\cos \theta_2 = \frac{2}{3} \cos \theta_1$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.5\ g = 0.5 \times 10^{-3}\ kg$, સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 1.25\ N/cm = 125\ N/m$, સંકોચન $x = 2.0\ cm = 0.02\ m$, અંતર $d = 10\ cm = 0.1\ m$, ઘર્ષણ બળ $f = 0.0475\ N$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલ કાર્ય અને ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્યનો તફાવત એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$W_{spring} - W_{friction} = \Delta K$
$\frac{1}{2} k x^2 - f d = \frac{1}{2} m v^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 125 \times (0.02)^2 - 0.0475 \times 0.1 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10^{-3} \times v^2$
$0.5 \times 125 \times 4 \times 10^{-4} - 0.00475 = 0.25 \times 10^{-3} \times v^2$
$0.025 - 0.00475 = 0.25 \times 10^{-3} \times v^2$
$0.02025 = 0.25 \times 10^{-3} \times v^2$
$v^2 = \frac{0.02025}{0.25 \times 10^{-3}} = \frac{20.25}{0.25} = 81$
$v = 9\ m/s$.

(C) ધારો કે સાંકળનું દળ $M$ છે. સાંકળની લંબાઈ $L = \pi R$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/(\pi R)$ છે.
શરૂઆતમાં,અર્ધવર્તુળાકાર સાંકળનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આડા વ્યાસથી $h_i = \frac{2R}{\pi}$ ઊંચાઈ પર છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $PE_i = Mgh_i = Mg \frac{2R}{\pi}$. પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $KE_i = 0$.
જ્યારે સાંકળ નળીમાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે તે શિરોલંબ લટકે છે. $\pi R$ લંબાઈની સાંકળનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આડા વ્યાસથી $L/2 = \pi R / 2$ અંતરે નીચે હોય છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $PE_f = -Mg \frac{\pi R}{2}$. અંતિમ ગતિ ઊર્જા $KE_f = \frac{1}{2} Mv^2$.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $KE_i + PE_i = KE_f + PE_f$.
$0 + Mg \frac{2R}{\pi} = \frac{1}{2} Mv^2 - Mg \frac{\pi R}{2}$.
$MgR \left( \frac{2}{\pi} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} Mv^2$.
$v^2 = 2gR \left( \frac{2}{\pi} + \frac{\pi}{2} \right)$.
$v = \sqrt{2gR \left( \frac{2}{\pi} + \frac{\pi}{2} \right)}$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
બંને વાંદરાઓ સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી તેમની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$ સમાન છે.
બંને વાંદરાઓ સમાન અંતિમ ઊંચાઈ (શૂન્ય) પર જમીન સાથે અથડાય છે,તેથી તેમની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$ માત્ર સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર પર આધાર રાખે છે,જે બંને માટે $\Delta U = mgh$ છે.
વાંદરા $B$ માટે,કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,તેથી $W_B = \Delta K_B = mgh$.
વાંદરા $A$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ અને દોરડામાં તણાવ બળ લાગે છે. હિંચકા દરમિયાન તણાવ બળ સ્થાનાંતરને લંબ રૂપે લાગે છે,તેથી તે શૂન્ય કાર્ય કરે છે. જ્યારે વાંદરો $A$ દોરડું છોડે છે,ત્યારે તે મુક્ત પતનમાં હોય છે. આમ,વાંદરા $A$ પર થયેલ કુલ કાર્ય પણ $W_A = mgh$ છે.
$W_A = W_B$ હોવાથી,બંને વાંદરાઓની ગતિઊર્જામાં સમાન ફેરફાર થાય છે,અને તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતા હોવાથી,તેમની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = mgh$ સમાન છે.
તેથી,તેમની અંતિમ ઝડપ $v = \sqrt{2gh}$ પણ સમાન છે: $v_A = v_B$.

(B) લખોટી સરક્યા વિના ગબડે છે. સ્થિત ઘર્ષણ બળ લખોટી પર લાગે છે,પરંતુ તે કોઈ કાર્ય કરતું નથી કારણ કે સંપર્ક બિંદુ ટ્રેકની સાપેક્ષમાં ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે. આપણે હવાના અવરોધ અને અન્ય કોઈપણ બિન-સંરક્ષી બળો (જેમ કે રોલિંગ રેઝિસ્ટન્સ) ને અવગણી રહ્યા હોવાથી,સિસ્ટમની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં,લખોટી $h$ ઊંચાઈએ સ્થિર છે,તેથી તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E_i = mgh$ છે.
બીજી બાજુએ સૌથી ઊંચા બિંદુએ,લખોટી $h_1$ ઊંચાઈએ ક્ષણભર માટે અટકે છે. તેનો વેગ શૂન્ય છે,તેથી તેની ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણીય બંને) શૂન્ય છે. તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E_f = mgh_1$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f$,જેનો અર્થ છે કે $mgh = mgh_1$,અથવા $h_1 = h$.
તેથી,બીજી બાજુએ પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ પ્રારંભિક ઊંચાઈ જેટલી જ હોય છે,પછી ભલે નમન કોણ $\theta$ અને $\phi$ ગમે તે હોય.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m(v_f^2 - v_i^2)$.
સ્થાનાંતર-સમય $(s-t)$ આલેખનો ઢાળ વેગ $(v = ds/dt)$ દર્શાવે છે, તેથી આપણે દરેક વિસ્તારમાં ઢાળનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. વિસ્તાર $OA$ માં, ઢાળ અચળ છે, તેથી વેગ અચળ છે. આમ, $\Delta K = 0$ અને થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.
$2$. વિસ્તાર $AB$ માં, ઢાળ વધી રહ્યો છે, જેનો અર્થ છે કે વેગ વધી રહ્યો છે $(v_f > v_i)$. તેથી, ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર ધન છે, અને બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન છે.
$3$. વિસ્તાર $BC$ માં, ઢાળ ઘટી રહ્યો છે, જેનો અર્થ છે કે વેગ ઘટી રહ્યો છે $(v_f < v_i)$. તેથી, ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર ઋણ છે, અને બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ છે.
આમ, સાચું વિધાન એ છે કે વિસ્તાર $AB$ માં બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બ્લોકની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
સપાટી ખરબચડી હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો ઉષ્મીય ઊર્જા $(H)$ તરીકે વ્યય પામે છે.
$H = |\Delta K| = |K_f - K_i| = |\frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2|$
આપેલ છે: $m = 1\,kg$,$v_i = 10\,m/s$,$v_f = 8\,m/s$.
$H = \frac{1}{2} \times 1 \times (10^2 - 8^2)$
$H = \frac{1}{2} \times (100 - 64)$
$H = \frac{1}{2} \times 36 = 18\,J$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઊર્જા $18\,J$ છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{air friction}} = \Delta K.E.$
$W_{\text{gravity}} = mgH$
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (1.1 \sqrt{gH})^2 = \frac{1}{2} m (1.21 gH) = 0.605 mgH$
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $0$ છે.
તેથી,$mgH + W_{\text{air friction}} = 0.605 mgH$
$W_{\text{air friction}} = 0.605 mgH - mgH = -0.395 mgH$
આમ,હવાના ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $-0.395 mgH$ છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ટાવરની ટોચ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જમીન પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
ધારો કે દરેક કણનું દળ $m$ છે, ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે.
ટોચ પર: $E_i = mgh + \frac{1}{2}mu^2$
જમીન પર: $E_f = 0 + \frac{1}{2}mV^2$
$E_i = E_f$ હોવાથી, આપણને મળે છે $mgh + \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mV^2$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $V^2 = u^2 + 2gh$ અથવા $V = \sqrt{u^2 + 2gh}$ મળે છે.
અહીં $u, g$ અને $h$ ત્રણેય કણો માટે સમાન હોવાથી, ફેંકવાની દિશા ગમે તે હોય, ત્રણેય કણો માટે અંતિમ ઝડપ $V$ સમાન રહેશે.
તેથી, $V_A = V_B = V_C$.

(B) $2\, kg$ ના બ્લોકને જમીન છોડવા માટે,સ્પ્રિંગનું બળ $2\, kg$ ના બ્લોકના વજન જેટલું હોવું જોઈએ: $kx = m_2g \Rightarrow 40x = 2 \times 10 \Rightarrow x = 0.5\, m$.
શરૂઆતમાં,સ્પ્રિંગ તેની કુદરતી લંબાઈ પર છે (કારણ કે $5\, kg$ નો બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે). જ્યારે $5\, kg$ નો બ્લોક $x = 0.5\, m$ નીચે ઉતરે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $x = 0.5\, m$ જેટલી ખેંચાય છે.
તંત્ર માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ $(COME)$ લાગુ પાડતા ($5\, kg$ નો બ્લોક અને સ્પ્રિંગ):
$5\, kg$ ના બ્લોકની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $5\, kg$ ના બ્લોકની ગતિ ઉર્જામાં વધારો + સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો.
$m_1gx = \frac{1}{2}m_1v^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$5 \times 10 \times 0.5 = \frac{1}{2} \times 5 \times v^2 + \frac{1}{2} \times 40 \times (0.5)^2$
$25 = 2.5v^2 + 20 \times 0.25$
$25 = 2.5v^2 + 5$
$2.5v^2 = 20$
$v^2 = 8$
$v = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\, m/s$.

(B) ધારો કે પદાર્થ રેતીના ભોંયતળિયા સાથે $v$ વેગથી અથડાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિ ઉર્જા અથડામણ પહેલા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2$.
જ્યારે પદાર્થ રેતીમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે સ્થિર થાય તે પહેલાં $x$ અંતર કાપે છે. ધારો કે રેતીનું સરેરાશ અવરોધક બળ $F$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા: પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
રેતીની અંદર પદાર્થ પર લાગતા બળો વજનબળ $Mg$ (નીચેની તરફ) અને અવરોધક બળ $F$ (ઉપરની તરફ) છે.
કુલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $(F - Mg)x = \Delta K = 0 - \frac{1}{2} Mv^2$.
કારણ કે $\frac{1}{2} Mv^2 = Mgh$,તેથી $(F - Mg)x = Mgh$.
$Fx - Mgx = Mgh \implies Fx = Mgh + Mgx$.
$F = Mg \left( 1 + \frac{h}{x} \right)$.

(A) ધારો કે દડાને $h$ જેટલી પ્રારંભિક ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા $E_i = mgh$ છે.
ઉછાળા પછી,દડો $h' = 80\% \text{ of } h = 0.8h = \frac{4}{5}h$ જેટલી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
ઉછાળા પછીની યાંત્રિક ઊર્જા $E_f = mgh' = mg(\frac{4}{5}h) = \frac{4}{5}mgh$ છે.
દરેક ઉછાળામાં ગુમાવેલી ઊર્જા $\Delta E = E_i - E_f = mgh - \frac{4}{5}mgh = \frac{1}{5}mgh$ છે.
ગુમાવેલી યાંત્રિક ઊર્જાનો અંશ $\frac{\Delta E}{E_i} = \frac{\frac{1}{5}mgh}{mgh} = \frac{1}{5} = 0.20$ છે.

(A) ધારો કે બુલેટનું દળ $m$ છે અને અવરોધક બળ $F$ છે. પ્રથમ કિસ્સા માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$W = \Delta K$
$-F \times 1 = 0 - \frac{1}{2} m (100)^2$
$F = 5000m$
હવે,બીજા કિસ્સા માટે જ્યાં જાડાઈ $0.5\,m$ છે,ધારો કે અંતિમ વેગ $v'$ છે.
$-F \times 0.5 = \frac{1}{2} m (v')^2 - \frac{1}{2} m (100)^2$
$F = 5000m$ મૂકતા:
$-(5000m) \times 0.5 = \frac{1}{2} m (v')^2 - \frac{1}{2} m (10000)$
$-2500m = \frac{1}{2} m (v')^2 - 5000m$
$2500m = \frac{1}{2} m (v')^2$
$(v')^2 = 5000$
$v' = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2}\,m/s$.

(A) આપેલ વેગ $v = a\sqrt{s}$ છે.
$v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,$\frac{ds}{dt} = a\sqrt{s}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\int s^{-1/2} ds = \int a dt$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$2\sqrt{s} = at + C$ મળે. પદાર્થ $t=0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(s=0)$,તેથી $C=0$.
આમ,$\sqrt{s} = \frac{at}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $s = \frac{a^2 t^2}{4}$.
$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{a^2 t}{2}$ મળે.
$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{a^2}{2}$ મળે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2$.
$v = \frac{a^2 t}{2}$ કિંમત મૂકતા,$W = \frac{1}{2} m \left( \frac{a^2 t}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{a^4 t^2}{4} \right) = \frac{1}{8} m a^4 t^2$ મળે.

(C) આપેલ વેગ-સમયના આલેખ પરથી,$t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u = 50\, m/s$ છે અને $t = 10\, s$ સમયે અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$ છે.
પ્રવેગ $a$ એ આલેખનો ઢાળ છે:
$a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 50}{10 - 0} = -5\, m/s^2$.
$t = 2\, s$ સમયે વેગ $v(t) = u + at$ દ્વારા મળે છે:
$v(2) = 50 + (-5)(2) = 50 - 10 = 40\, m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K.E.$ જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 10\, kg \times ((40\, m/s)^2 - (50\, m/s)^2)$
$W = 5 \times (1600 - 2500)$
$W = 5 \times (-900) = -4500\, J$.

(D) જ્યારે બ્લોકનો પ્રવેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તે તેની મહત્તમ ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે.
આ બિંદુએ,સ્પ્રિંગ બળ લાગુ પડેલા બળ $F$ ને સંતુલિત કરે છે,તેથી $kx = F$,જે $x = \frac{F}{k}$ આપે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{\text{spring}} + W_F = \Delta K.E.$
$-\frac{1}{2}kx^2 + Fx = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
સમીકરણમાં $x = \frac{F}{k}$ મૂકતા:
$-\frac{1}{2}k\left(\frac{F}{k}\right)^2 + F\left(\frac{F}{k}\right) = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$-\frac{F^2}{2k} + \frac{F^2}{k} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$\frac{F^2}{2k} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$v_{\max}^2 = \frac{F^2}{mk}$
$v_{\max} = \frac{F}{\sqrt{mk}}$

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2\,kg$, સ્થાન $x = 3t^2 + 5$.
સૌ પ્રથમ, સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધો: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5) = 6t\,m/s$.
$t = 0\,s$ સમયે, વેગ $v_i = 6(0) = 0\,m/s$.
$t = 5\,s$ સમયે, વેગ $v_f = 6(5) = 30\,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K$ જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
$W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
$W = \frac{1}{2}(2)(30)^2 - \frac{1}{2}(2)(0)^2$.
$W = 900 - 0 = 900\,J$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$
આપેલ છે:
બળ $\vec F = 3\hat i - 12\hat j$
સ્થાનાંતર $\vec d = 4\hat i$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K.E._{initial} = 3\, J$
થયેલું કાર્ય $W = \vec F \cdot \vec d = (3\hat i - 12\hat j) \cdot (4\hat i) = (3 \times 4) + (-12 \times 0) = 12\, J$
પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$12 = K.E._{final} - 3$
$K.E._{final} = 12 + 3 = 15\, J$

(D) બિંદુ $A$ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E_A = E_B$
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2$
$v_B = \sqrt{v_A^2 + 2gh}$
અહીં $v_A = 5\,m/s$,$g = 10\,m/s^2$,અને $h = 10\,m$ આપેલ છે:
$v_B = \sqrt{5^2 + 2 \times 10 \times 10} = \sqrt{25 + 200} = \sqrt{225} = 15\,m/s$
બિંદુ $B$ પર,કણ બિંદુ $O$ થી $r = a = 10\,m$ ના અંતરે છે. $B$ પર વેગ સદિશ એ ત્રિજ્યા $OB$ ને લંબ છે.
$O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ મળે:
$L = m \cdot v_B \cdot r$
$L = (20 \times 10^{-3}\,kg) \times (15\,m/s) \times (10\,m)$
$L = 0.02 \times 150 = 3\,kg \cdot m^2/s$.

(A) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 20\,g = 20 \times 10^{-3}\,kg = 0.02\,kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 1\,ms^{-1}$
દીવાલની જાડાઈ,$s = 20\,cm = 0.2\,m$
સરેરાશ અવરોધક બળ,$F = 2.5 \times 10^{-2}\,N$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$-F \times s = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$-(2.5 \times 10^{-2}) \times 0.2 = \frac{1}{2} \times (20 \times 10^{-3}) \times (v^2 - 1^2)$
$-0.5 \times 10^{-2} = 10 \times 10^{-3} \times (v^2 - 1)$
$-0.005 = 0.01 \times (v^2 - 1)$
$-0.5 = v^2 - 1$
$v^2 = 1 - 0.5 = 0.5$
$v = \sqrt{0.5} \approx 0.707\,ms^{-1}$
આમ,ઝડપ આશરે $0.7\,ms^{-1}$ છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
ધારો કે બાળકનું દળ $m$ છે,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$,$h_{max} = 2\,m$,અને $h_{min} = 0.75\,m$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $mg(h_{max} - h_{min})$
ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2}mv^2$
બંનેને સરખાવતા:
$mg(2 - 0.75) = \frac{1}{2}mv^2$
$g(1.25) = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2 \times 10 \times 1.25$
$v^2 = 25$
$v = 5\,m/s$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો (બાહ્ય,આંતરિક,સંરક્ષી અને અસંરક્ષી) દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $W_{net} = \Delta K$.
આ પ્રમેય ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે અને તે મિકેનિક્સનો એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે.
તેમાં સામેલ બળોની પ્રકૃતિ પર તેનો આધાર નથી,પછી ભલે તે સંરક્ષી હોય કે અસંરક્ષી.
તેથી,કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય તમામ પ્રકારના બળોની હાજરીમાં માન્ય છે.

(B) ધારો કે સાંકળનું દળ $m$ અને લંબાઈ $2l$ છે. શરૂઆતમાં,તે પિન પર સપ્રમાણ રીતે લટકે છે,તેથી દરેક બાજુ $l$ લંબાઈ છે. દરેક અડધા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પિનથી $l/2$ અંતરે નીચે છે.
જ્યારે સાંકળને સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે તે $x$ અંતર સરકે છે. બે બાજુઓ પરની નવી લંબાઈ $(l+x)$ અને $(l-x)$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણ $(COME)$ નો ઉપયોગ કરતા: સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ માં ઘટાડો = ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ માં વધારો.
શરૂઆતમાં,દરેક અડધા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પિનની સાપેક્ષમાં $h_i = -l/2$ પર છે. કુલ $P.E._i = 2 \times (m/2)g(-l/2) = -mgl/2$.
અંતે,જ્યારે સાંકળ પિન છોડે છે,ત્યારે એક છેડો $2l$ પર અને બીજો $0$ પર હોય છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_f = -l$ પર છે. કુલ $P.E._f = mg(-l) = -mgl$.
$P.E.$ માં ફેરફાર = $P.E._i - P.E._f = (-mgl/2) - (-mgl) = mgl/2$.
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{2}mv^2 = mgl/2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v = \sqrt{gl}$ મળે છે.

(C) કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય બળ દ્વારા પદાર્થ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે $(W = \Delta K)$.
વધુમાં,બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તંત્રની સ્થિતિ ઉર્જામાં પણ ફેરફાર કરી શકે છે (દા.ત.,ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ પદાર્થને ઉપર ઉઠાવવો).
તેથી,બળ અને તંત્રના પ્રકારના આધારે,બાહ્ય બળ ગતિ ઉર્જા,સ્થિતિ ઉર્જા અથવા બંનેમાં એકસાથે વધારો કરી શકે છે.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા બંને વધી શકે છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા તે મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
ધારો કે $m$ એ પદાર્થનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$h$ એ ઊંચાઈ છે અને $v$ એ અંતિમ વેગ છે.
ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા = $mgh$
મેળવેલી ગતિ ઉર્જા = $\frac{1}{2}mv^2$
બંનેને સરખાવતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gh$
અહીં $h = 1 \, m$ અને $g = 9.8 \, m/s^2$ આપેલ છે:
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{19.6} \approx 4.43 \, m/s$.

(D) નિલંબન બિંદુની ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે,ગોળાએ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલી સ્થિતિ ઊર્જા મેળવવી આવશ્યક છે.
ધારો કે ગોળાનું દળ $m$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $v$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,ગતિ ઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
નિલંબન બિંદુની ઊંચાઈએ,સ્થિતિ ઊર્જા $P.E. = mg\ell$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv^2 = mg\ell$
$v^2 = 2g\ell$
$v = \sqrt{2g\ell}$

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અવરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગોળીની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$F \cdot s = \frac{1}{2} m u^2$
આપેલ છે:
દળ $m = 25\,g = 25 \times 10^{-3}\,kg$
વેગ $u = 200\,m/s$
અંતર $s = 5\,cm = 5 \times 10^{-2}\,m$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{m u^2}{2 s} = \frac{25 \times 10^{-3} \times (200)^2}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$F = \frac{25 \times 10^{-3} \times 40000}{10 \times 10^{-2}}$
$F = \frac{1000}{0.1} = 10000\,N$
$F = 10\,kN$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
અહીં પ્રારંભિક ગતિઊર્જા શૂન્ય હોવાથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય અંતિમ ગતિઊર્જા જેટલું થાય છે:
$W = \frac{1}{2}mv^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($W = 25\,J$,$m = 2\,kg$):
$25 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$
$25 = v^2$
$v = \sqrt{25} = 5\,m/s$
તેથી,દળ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલો વેગ $5\,m/s$ છે.

(A) ધારો કે આધાર બિંદુ $O$ છે. લોલકને $A$ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,જ્યાં દોરી સમક્ષિતિજ છે.
બિંદુ $B$ પર,દોરી શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. બિંદુ $A$ ના સમક્ષિતિજ સ્તરથી બિંદુ $B$ નું શિરોલંબ અંતર $h = l \sin 30^{\circ}$ થશે.
તેથી,$h = l \times \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$B$ પર ગતિઊર્જામાં થતો વધારો એ $A$ થી $B$ સુધી જતી વખતે સ્થિતિઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલો હોય છે.
સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો $= mgh = mg(\frac{l}{2}) = \frac{mgl}{2}$.
આમ,બિંદુ $B$ પર ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\frac{mgl}{2}$ છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી $E = K + U$. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
યાંત્રિક ઉર્જા ત્યારે જ સંરક્ષિત રહે છે જ્યારે માત્ર સંરક્ષી બળો કાર્ય કરતા હોય. જો તંત્ર પર અસંરક્ષી બળ (જેમ કે ઘર્ષણ) કાર્ય કરે,તો તે સામાન્ય રીતે યાંત્રિક ઉર્જામાં ફેરફાર કરે છે (ઘણીવાર તેને ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય કરે છે). તેથી,વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
સંરક્ષી બળ $W_c$ દ્વારા થયેલું કાર્ય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,એટલે કે $W_c = -\Delta U$. કારણ કે $\Delta E = \Delta K + \Delta U$,જો માત્ર સંરક્ષી બળો કાર્ય કરતા હોય,તો $\Delta E = 0$. વિધાન $(C)$ દાવો કરે છે કે $W_c = -\Delta E$,જે ફક્ત ત્યારે જ સાચું છે જો $\Delta K = 0$ હોય. સામાન્ય રીતે,$W_c = -\Delta U$ થાય,$-\Delta E$ નહીં. આમ,વિધાન $(C)$ પણ ખોટું છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,મણકા પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{F} + W_{mg} + W_{N} = \Delta K$
અહીં,$W_{F}$ એ અચળ સમક્ષિતિજ બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે,$W_{mg}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે અને $W_{N}$ એ લંબબળ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
રિંગ લીસી હોવાથી,લંબબળ $N$ હંમેશા સ્થાનાંતરને લંબ હોય છે,તેથી $W_{N} = 0$.
સમક્ષિતિજ બળ $F$ એ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $R = 5 \, m$ ની દિશામાં લાગે છે. તેથી,$W_{F} = F \times R = 5 \, N \times 5 \, m = 25 \, J$.
મણકો $A$ થી $B$ સુધી ગતિ કરે છે,જે $R = 5 \, m$ નું નીચેની તરફનું ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર છે. તેથી,$W_{mg} = mgR = (\frac{1}{2} \, kg) \times (10 \, m/s^2) \times (5 \, m) = 25 \, J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \, kg) \times v^2 = \frac{1}{4}v^2$ છે.
થયેલા કાર્યને ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$25 + 25 = \frac{1}{4}v^2$
$50 = \frac{1}{4}v^2$
$v^2 = 200$
$v = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \, m/s$.

(B) ધારો કે સાંકળનું દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ છે. શરૂઆતમાં,$L/2$ લંબાઈ ટેબલની બહાર લટકે છે. લટકતા ભાગનું દળ $M/2$ છે. આ લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $L/4$ ઊંડાઈએ છે. ટેબલની સપાટીને સંદર્ભ સ્તર $(U=0)$ તરીકે લેતા,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -(M/2)g(L/4) = -MgL/8$ છે.
જ્યારે સાંકળ સંપૂર્ણપણે ટેબલ પરથી નીચે આવી જાય છે,ત્યારે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $L/2$ ઊંડાઈએ હોય છે. અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -Mg(L/2) = -MgL/2$ છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_i = 0$ છે (સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે).
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
$0 - MgL/8 = (1/2)MV^2 - MgL/2$.
$(1/2)MV^2 = MgL/2 - MgL/8 = 3MgL/8$.
$V^2 = 3gL/4$.
$V = \sqrt{3gL/4}$.

(B) ધારો કે કણ જમીનથી $h$ ઊંચાઈ પર છે. કણે કાપેલું અંતર $(H - h)$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,$v^2 = 2g(H - h)$,તેથી $KE = mg(H - h)$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE = 2PE$.
સમીકરણો મૂકતા: $mg(H - h) = 2(mgh)$.
$mg$ વડે ભાગતા: $H - h = 2h$,જેનું સાદું રૂપ $3h = H$ અથવા $h = \frac{H}{3}$ મળે છે.
હવે,આ ઊંચાઈએ ઝડપ $v$ ની ગણતરી કરીએ:
$v = \sqrt{2g(H - h)} = \sqrt{2g(H - \frac{H}{3})} = \sqrt{2g(\frac{2H}{3})} = \sqrt{\frac{4gH}{3}} = 2\sqrt{\frac{gH}{3}}$.
આમ,ઊંચાઈ $\frac{H}{3}$ અને ઝડપ $2\sqrt{\frac{gH}{3}}$ છે.

(B) યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
સ્થાન $A$ પરની કુલ ઊર્જા એ સ્થાન $C$ પરની કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે.
$E_A = E_C$
સ્થાન $A$ પર,બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેની ગતિઊર્જા $K_A = 0$ છે. સ્થિતિઊર્જા $U_A = mgh_A$ છે,જ્યાં $h_A = 14\, m$ છે.
સ્થાન $C$ પર,ગતિઊર્જા $K_C$ છે અને સ્થિતિઊર્જા $U_C = mgh_C$ છે,જ્યાં $h_C = 7\, m$ છે.
$0 + mgh_A = K_C + mgh_C$
$K_C = mg(h_A - h_C)$
આપેલ છે:
$m = 2\, kg$
$g = 10\, m/s^2$
$h_A = 14\, m$
$h_C = 7\, m$
$K_C = 2 \times 10 \times (14 - 7)$
$K_C = 20 \times 7$
$K_C = 140\, J$

(B) ધારો કે જ્યારે $2 \, kg$ નો બ્લોક જમીન સાથેનો સંપર્ક છોડે છે ત્યારે સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x$ છે. આ ક્ષણે,દોરીમાં તણાવ એ $2 \, kg$ બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે.
$kx = m_2 g$
$x = \frac{m_2 g}{k} = \frac{2 \times 10}{40} = 0.5 \, m$
હવે,$5 \, kg$ ના બ્લોક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા,જેમ તે $x = 0.5 \, m$ જેટલું નીચે જાય છે:
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો + ગતિ ઉર્જામાં વધારો
$m_1 g x = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m_1 v^2$
$5 \times 10 \times 0.5 = \frac{1}{2} \times 40 \times (0.5)^2 + \frac{1}{2} \times 5 \times v^2$
$25 = 20 \times 0.25 + 2.5 v^2$
$25 = 5 + 2.5 v^2$
$20 = 2.5 v^2$
$v^2 = \frac{20}{2.5} = 8$
$v = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, m/s$