Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Hindi

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,कार को रोकने के लिए स्थिर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K$।
चूंकि अंतिम वेग $0$ है,इसलिए किया गया कार्य $F \cdot S = \frac{1}{2} m u^2$ है।
अतः,$S = \frac{m u^2}{2F}$।
चूंकि $m$ और $F$ स्थिर हैं,इसलिए $S \propto u^2$ है।
दिया गया है कि $u_1 = 10 \, m/s$ और $S_1 = 20 \, m$।
$u_2 = 30 \, m/s$ के लिए,अनुपात $\frac{S_2}{S_1} = (\frac{u_2}{u_1})^2$ होगा।
$\frac{S_2}{20} = (\frac{30}{10})^2 = 3^2 = 9$।
$S_2 = 9 \times 20 = 180 \, m$।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए कि निचले बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा शून्य है। शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $U = mgR$ है।
निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgR = \frac{1}{2}mv^2$
$gR = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2gR$
$v = \sqrt{2gR}$

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
यहाँ,$m$ वस्तु का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$h$ ऊँचाई है और $v$ अंतिम वेग है।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर,हमें $gh = \frac{1}{2}v^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $v = \sqrt{2gh}$ मिलता है।
चूँकि तीनों वस्तुएँ समान ऊँचाई $h$ से गिरती हैं और समान गुरुत्वीय त्वरण $g$ का अनुभव करती हैं,इसलिए उनकी अंतिम चाल उनके द्रव्यमान से स्वतंत्र होगी।
अतः,उनकी चाल का अनुपात $v_1 : v_2 : v_3 = \sqrt{2gh} : \sqrt{2gh} : \sqrt{2gh} = 1 : 1 : 1$ होगा।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
चूंकि दोनों वस्तुएं समान ऊँचाई $h$ से शुरू होती हैं,इसलिए उनकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $mgh$ है।
नीचे,यह ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$।
गति $v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v$ केवल $g$ और $h$ पर निर्भर करता है,इसलिए दोनों वस्तुएं समान गति से जमीन पर पहुँचेंगी।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) जब लोलक का गोलक $60^\circ$ की स्थिति से सबसे निचले बिंदु की ओर गति करता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $h$ तय की गई ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = l(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l = 2\, m$ और $\theta = 60^\circ$ है।
$h = 2(1 - \cos 60^\circ) = 2(1 - 0.5) = 1\, m$.
ऊर्जा को बराबर करने पर: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{19.6} \approx 4.43\, m/s$.

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु $A$ पर गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
मान लीजिए $m$ गेंद का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ प्राप्त ऊँचाई है।
$PE_{top} = KE_{bottom}$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $h = 20 \,cm = 0.2 \,m$ और $g = 10 \,m/s^2$ दिया गया है।
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \,m/s$.

(D) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m = 20\, g = 0.02\, kg$.
प्रारंभिक वेग $u = 250\, m/s$.
अंतिम वेग $v = 0\, m/s$ (क्योंकि यह रुक जाती है)।
तय की गई दूरी $s = 12\, cm = 0.12\, m$.
गति के तीसरे समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 = (250)^2 + 2 \times a \times 0.12$
$a = -\frac{62500}{0.24} = -260416.67\, m/s^2$.
औसत बल का परिमाण $F = m|a|$ है।
$F = 0.02 \times 260416.67 = 5208.33\, N$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$F \approx 5.2 \times 10^3\, N$।

(D) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m = 30 \, g = 30 \times 10^{-3} \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 120 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$ (क्योंकि यह रुक जाती है),दूरी $S = 12 \, cm = 0.12 \, m$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (120)^2 = 2 \times a \times 0.12$
$-14400 = 0.24 \times a$
$a = -\frac{14400}{0.24} = -60000 \, m/s^2$.
प्रतिरोध बल $F = m \times |a| = (30 \times 10^{-3} \, kg) \times (60000 \, m/s^2) = 1800 \, N$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m(v_f^2 - v_i^2)$.
दिया गया है $x = 3t - 4t^2 + t^3$,इसलिए वेग $v$ स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t + 3t^2$.
$t = 0 \,s$ पर,$v_i = 3 - 8(0) + 3(0)^2 = 3 \,m/s$.
$t = 4 \,s$ पर,$v_f = 3 - 8(4) + 3(4)^2 = 3 - 32 + 48 = 19 \,m/s$.
द्रव्यमान $m = 3 \,g = 0.003 \,kg$.
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} \times 0.003 \times (19^2 - 3^2) = 0.0015 \times (361 - 9) = 0.0015 \times 352 = 0.528 \,J$.
चूंकि $1 \,J = 1000 \,mJ$,इसलिए किया गया कार्य $0.528 \times 1000 = 528 \,mJ$ है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = F_x \cdot s$,जहाँ $F_x$ बल का क्षैतिज घटक $(F \cos \theta)$ है और $s$ विस्थापन है।
दिया गया है: $s = 0.4\,m$,$W = 1\,J$.
$W = F_x \cdot s$
$1\,J = F_x \cdot 0.4\,m$
$F_x = \frac{1}{0.4} = 2.5\,N$.
अतः,बल का क्षैतिज घटक $2.5\,N$ है।

(C) कण पर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ होता है।
अतः,किया गया कार्य $W = 0$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = W$ होता है।
चूंकि $W = 0$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है,जिसका अर्थ है कि कण की गतिज ऊर्जा नियत रहती है।

(B) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ $490\, J$ है।
उस ऊँचाई $h$ पर जहाँ गतिज ऊर्जा अपने मूल मान की आधी हो जाती है,गतिज ऊर्जा $(K_f)$ $\frac{490}{2} = 245\, J$ होगी।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में हुई कमी स्थितिज ऊर्जा $(U)$ में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
गतिज ऊर्जा में कमी = $K_i - K_f = 490 - 245 = 245\, J$.
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $U = mgh$.
दोनों को बराबर करने पर: $mgh = 245$.
दिए गए मानों को रखने पर: $2 \times 9.8 \times h = 245$.
$19.6 \times h = 245$.
$h = \frac{245}{19.6} = 12.5\, m$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,जब किसी वस्तु को $u$ प्रारंभिक वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए,वह उसी वेग $v = u$ के साथ वापस लौटती है।
यहाँ द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ और प्रारंभिक वेग $u = 2 \, m/s$ दिया गया है।
अतः,जमीन से टकराने से ठीक पहले उसका वेग $v = 2 \, m/s$ होगा।
गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ है।
मान रखने पर: $K.E. = \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 1 \times 4 = 4 \, J$.

(B) माना प्रत्येक तख्ते की मोटाई $s$ है। यदि गोली की प्रारंभिक चाल $u_1 = 100 \ m/s$ है,तो यह $2s$ की कुल दूरी तय करने के बाद रुक जाती है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v=0$ अंतिम वेग है और $a$ एकसमान मंदन है:
$0 = u_1^2 - 2a(2s) \implies 2a = \frac{u_1^2}{2s}$.
चूंकि मंदन $a$ स्थिर है,इसलिए गोली द्वारा तय की गई कुल दूरी $S$ प्रारंभिक चाल के वर्ग के समानुपाती होती है $(S \propto u^2)$।
यदि चाल दोगुनी कर दी जाए,तो $u_2 = 2u_1$ होगा। नई तय की गई दूरी $S_2$ होगी:
$S_2 = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2 S_1 = (2)^2 (2s) = 4 \times 2s = 8s$.
चूंकि प्रत्येक तख्ते की मोटाई $s$ है,इसलिए भेदे गए तख्तों की संख्या $8s / s = 8$ होगी।

(C) चूँकि सतह चिकनी है,इसलिए गति के दौरान यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
मान लीजिए प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 100 \, m$ और अंतिम ऊँचाई $h_2 = 20 \, m$ है।
प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$PE_{initial} + KE_{initial} = PE_{final} + KE_{final}$
$mgh_1 + 0 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(h_1 - h_2) = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$
मान रखने पर $(g = 10 \, m/s^2)$:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times (100 - 20)}$
$v = \sqrt{20 \times 80}$
$v = \sqrt{1600}$
$v = 40 \, m/s$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल $(F)$ द्वारा किया गया कार्य वाहन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K.E.$
चूंकि वाहनों को विराम अवस्था में लाया जाता है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \times s$,जहाँ $s$ रुकने की दूरी है।
अतः,$F \times s = K.E.$
$s = \frac{K.E.}{F}$
चूंकि लॉरी और कार दोनों की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ समान है और उन पर समान मंदक बल $(F)$ लगाया जाता है,इसलिए दोनों वाहनों के लिए रुकने की दूरी $(s)$ समान होगी।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी कण पर नेट बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, $W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$।
कार्य के धनात्मक होने के लिए, अंतिम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से अधिक होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि अंतिम वेग $v_f$, प्रारंभिक वेग $v_i$ से अधिक होना चाहिए।
वेग-समय ग्राफ को देखने पर:
$1$. $AB$ क्षेत्र में, वेग समय के साथ बढ़ता है, इसलिए $v_f > v_i$। अतः, किया गया कार्य धनात्मक है।
$2$. $BC$ क्षेत्र में, वेग स्थिर है, इसलिए $v_f = v_i$। अतः, किया गया कार्य शून्य है।
$3$. $CD$ क्षेत्र में, वेग घटता है, इसलिए $v_f < v_i$। अतः, किया गया कार्य ऋणात्मक है।
$4$. $DE$ क्षेत्र में, वेग स्थिर है, इसलिए $v_f = v_i$। अतः, किया गया कार्य शून्य है।
इसलिए, कण पर बल द्वारा किया गया कार्य $A$ से $B$ तक धनात्मक है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कण पर किया गया कार्य $(W)$ उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि कण प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
अतः,$W = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2$।
यहाँ,$m$ कण का द्रव्यमान है,जो स्थिर है।
इस प्रकार,$W \propto v^2$।
यह संबंध $W$-अक्ष पर खुलने वाले एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
इसलिए,$W$ और $v$ के बीच का ग्राफ परवलयाकार होगा,जैसा कि विकल्प $(D)$ में दिखाया गया है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
चूँकि पिंड विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है। अतः,$K = W$।
एकसमान त्वरण $a$ और एकसमान बल $F$ के अंतर्गत गति करने वाले पिंड के लिए,$x$ दूरी तय करने में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = F \cdot x$
चूँकि $F = m \cdot a$ एक नियतांक है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$K = (m \cdot a) \cdot x$
यह दर्शाता है कि $K \propto x$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा $K$ और दूरी $x$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण द्वारा किया गया कार्य ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
घर्षण द्वारा किया गया यह कार्य ऊष्मीय ऊर्जा के रूप में व्यय होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 100\, g = 0.1\, kg$
प्रारंभिक वेग $v_1 = 10\, m/s$
अंतिम वेग $v_2 = 5\, m/s$
ऊष्मीय ऊर्जा $\Delta Q = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
$\Delta Q = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (10^2 - 5^2)$
$\Delta Q = 0.05 \times (100 - 25)$
$\Delta Q = 0.05 \times 75 = 3.75\, J$.

(A) किसी वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा $(ME)$ उसकी स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ और गतिज ऊर्जा $(KE)$ का योग होती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,वायु प्रतिरोध जैसे गैर-संरक्षी बलों की अनुपस्थिति में,निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
जैसे-जैसे वस्तु नीचे गिरती है,उसकी स्थितिज ऊर्जा घटती है जबकि उसकी गतिज ऊर्जा समान मात्रा में बढ़ती है।
इसलिए,गिरने के दौरान प्रत्येक क्षण पर कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

(D) ऊर्जा संरक्षण का नियम बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,लेकिन इसे एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
इसका तात्पर्य यह है कि एक विलगित निकाय (isolated system) के लिए,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसलिए,एक विलगित निकाय में सभी प्रकार की ऊर्जाओं (गतिज,स्थितिज,तापीय,आदि) का योग संरक्षित रहता है।
विकल्प $D$ इस मूलभूत सिद्धांत का सही वर्णन करता है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = F \times d = \Delta K$
चूंकि दोनों वाहनों की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है और दोनों विराम अवस्था में आ जाते हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन दोनों के लिए समान है $(\Delta K = K)$।
यह दिया गया है कि दोनों वाहनों पर लगाया गया मंदक बल $(F)$ भी समान है,इसलिए:
$d = \frac{K}{F}$
चूंकि कार और ट्रक दोनों के लिए $K$ और $F$ समान हैं,इसलिए विराम अवस्था में आने से पहले दोनों द्वारा तय की गई दूरी $(d)$ समान होगी।

(D) जमीन से टकराते समय पत्थर की चाल को यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,चट्टान के शीर्ष पर कुल यांत्रिक ऊर्जा और जमीन पर कुल यांत्रिक ऊर्जा समान होनी चाहिए।
मान लीजिए पत्थर का द्रव्यमान $m$ है,गुरुत्वीय त्वरण $g$ है,चट्टान की ऊँचाई $h$ है और प्रारंभिक चाल $v$ है।
शीर्ष पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$।
जमीन पर अंतिम ऊर्जा: $E_f = \frac{1}{2}mv_f^2$,जहाँ $v_f$ अंतिम चाल है।
चूंकि $E_i = E_f$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_f^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$v_f = \sqrt{v^2 + 2gh}$ प्राप्त होता है।
अंतिम समीकरण से देखा जा सकता है कि अंतिम चाल $v_f$ केवल प्रारंभिक चाल $v$,ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करती है।
यह प्रक्षेपण के कोण या दिशा पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए,पत्थर को किसी भी दिशा में फेंका जाए,जमीन से टकराते समय उसकी चाल समान ही रहेगी।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = $mgr$.
अंतिम गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर: $mgr = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = 2rg$.
अतः,$v = \sqrt {2rg}$.

(B) ऊर्जा संरक्षण का नियम यह बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए,जब कोई वस्तु एक निश्चित ऊँचाई से गिरती है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है और हर क्षण निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी कण पर कार्य करने वाले नेट बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है $(W_{net} = \Delta K)$।
यह प्रमेय न्यूटन के गति के दूसरे नियम से व्युत्पन्न है और सभी प्रकार के बलों के लिए लागू होता है,चाहे वे आंतरिक,बाह्य,संरक्षी या असंरक्षी हों।
अतः,कार्य-ऊर्जा प्रमेय सभी प्रकार के बलों की उपस्थिति में मान्य है।

(C) माना निचले द्रव्यमान को दिया गया वेग $v_0$ है। चूंकि छड़ दृढ़ है,छड़ का कोणीय वेग $\omega = \frac{v_0}{L}$ होगा।
मध्य बिंदु पर स्थित द्रव्यमान का वेग $v_{mid} = \omega \cdot \frac{L}{2} = \frac{v_0}{2}$ होगा।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जैसे ही छड़ ऊर्ध्वाधर से क्षैतिज स्थिति में जाती है,गतिज ऊर्जा में कमी स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{8}mv_0^2 = \frac{5}{8}mv_0^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ (क्षैतिज स्थिति में)।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $U_f - U_i = mg\left(\frac{L}{2}\right) + mgL = \frac{3}{2}mgL$.
गतिज ऊर्जा में कमी = स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि:
$\frac{5}{8}mv_0^2 = \frac{3}{2}mgL$.
$v_0^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{5} gL = \frac{12}{5}gL$.
$v_0 = \sqrt{\frac{12Lg}{5}}$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
यहाँ,हवा के प्रतिरोध के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_{air})$ गतिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर है।
गोली का द्रव्यमान,$m = 10 \; g = 0.01 \; kg$.
प्रारंभिक वेग,$u = 1000 \; m/s$.
अंतिम वेग,$v = 500 \; m/s$.
हवा के प्रतिरोध के विरुद्ध किया गया कार्य $W = \Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m (u^2 - v^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 0.01 \times [(1000)^2 - (500)^2]$.
$W = 0.005 \times [1,000,000 - 250,000]$.
$W = 0.005 \times 750,000$.
$W = 3750 \; J$.

(B) मान लीजिए कि जंजीर शुरू में पिन के दोनों ओर समान रूप से लटकी हुई है,जिसमें प्रत्येक तरफ $l$ लंबाई है। प्रत्येक आधे हिस्से का द्रव्यमान केंद्र पिन से $l/2$ दूरी नीचे है।
निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 2 \times [(\frac{m}{2})g(-\frac{l}{2})] = -\frac{mgl}{2}$ है।
जब जंजीर पिन को छोड़ती है,तो पूरी $2l$ लंबाई लंबवत लटक रही होती है। जंजीर का द्रव्यमान केंद्र पिन से $l$ दूरी नीचे होता है।
निकाय की अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = mg(-l) = -mgl$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$|U_f - U_i| = K_f - K_i$
$|-\frac{mgl}{2} - (-mgl)| = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
$\frac{mgl}{2} = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = gl$
$v = \sqrt{gl}$

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य गोली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2)$
यहाँ,$m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,$u = 800 \ m/s$,$v = 100 \ m/s$,और विस्थापन $s = 1 \ m$ है।
$F \cdot s = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \cdot (100^2 - 800^2)$
$F \cdot 1 = 0.005 \cdot (10000 - 640000)$
$F = 0.005 \cdot (-630000)$
$F = -3150 \ N$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल प्रतिरोधी है। अतः,औसत प्रतिरोधी बल का परिमाण $3150 \ N$ है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गेंद पर सभी बलों (गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग बल) द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
गेंद स्प्रिंग के ऊपर $h$ ऊँचाई से विरामावस्था से गिरती है और स्प्रिंग को $d$ दूरी तक दबाने के बाद क्षणिक रूप से रुक जाती है। अतः,गेंद की प्रारंभिक और अंतिम गतिज ऊर्जा $0$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0 - 0 = 0$.
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_g = mg(h + d)$.
स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $W_s = -\frac{1}{2}kd^2$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W_{total} = W_g + W_s = \Delta K$.
अतः,$mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2 = 0$.

(D) दिया गया संबंध: $t = \sqrt{x} + 3 \implies \sqrt{x} = t - 3 \implies x = (t - 3)^2$.
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - 3)^2 = 2(t - 3)$.
$t = 0 \text{ s}$ पर, $v_i = 2(0 - 3) = -6 \text{ m/s}$.
$t = 6 \text{ s}$ पर, $v_f = 2(6 - 3) = 6 \text{ m/s}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ के बराबर होता है।
$W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2}m(6^2 - (-6)^2) = \frac{1}{2}m(36 - 36) = 0 \text{ J}$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,बिंदु $A$ पर स्थितिज ऊर्जा बिंदु $B$ पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 50 \ gm = 50 \times 10^{-3} \ kg = 0.05 \ kg$
लंबाई $l = h = 1.5 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
$B$ पर गतिज ऊर्जा = $A$ पर स्थितिज ऊर्जा
$K.E. = mgh$
$K.E. = 0.05 \times 10 \times 1.5$
$K.E. = 0.5 \times 1.5 = 0.75 \ J$
$K.E. = 7.5 \times 10^{-1} \ J$

(C) माना $F$ लकड़ी द्वारा लगाया गया औसत प्रतिरोध बल है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,चाकू पर सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
लकड़ी में प्रवेश करते समय चाकू पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और प्रतिरोध बल ($F$ ऊपर की ओर) हैं।
छोड़े जाने के बिंदु से अंतिम स्थिति तक चाकू द्वारा तय की गई कुल दूरी $(h + d)$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य = $mg(h + d)$
प्रतिरोध बल द्वारा किया गया कार्य = $-Fd$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार:
$W_{\text{total}} = \Delta K$
$mg(h + d) - Fd = 0 - 0$
$mg(h + d) = Fd$
$F = \frac{mg(h + d)}{d}$
$F = mg(1 + \frac{h}{d})$

(D) माना कि पिंड विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए त्वरण $a = \frac{v - 0}{t_1} = \frac{v}{t_1}$ है।
किसी भी समय $t$ पर,पिंड का वेग $v_t = u + at = 0 + \left( \frac{v}{t_1} \right) t = \frac{v}{t_1} t$ होगा।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_t^2 - 0$.
$v_t$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} m \left( \frac{v}{t_1} t \right)^2 = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$, विस्थापन $x = \frac{t^3}{3}$।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3}) = t^2$।
$t = 0 \ s$ पर, प्रारंभिक वेग $u = (0)^2 = 0 \ m/s$।
$t = 1 \ s$ पर, अंतिम वेग $v = (1)^2 = 1 \ m/s$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2$।
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times (1)^2 - \frac{1}{2} \times 1 \times (0)^2$।
$W = 0.5 - 0 = 0.5 \ J$।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
दिया गया वेग फलन $v = a\sqrt{x}$ है।
$x = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $v_i = a\sqrt{0} = 0$ है।
$x = d$ पर,अंतिम वेग $v_f = a\sqrt{d}$ है।
इन मानों को कार्य-ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{1}{2} m (a\sqrt{d})^2 - \frac{1}{2} m (0)^2$.
$W = \frac{1}{2} m a^2 d - 0$.
$W = \frac{1}{2} m a^2 d$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य (आवश्यक ऊर्जा) गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रथम स्थिति में,$v_1 = 10 \ m/s$ से $v_2 = 20 \ m/s$ तक त्वरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा:
$E_1 = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} m (20^2 - 10^2) = \frac{1}{2} m (400 - 100) = \frac{1}{2} m (300)$.
द्वितीय स्थिति में,विरामावस्था $(v_0 = 0 \ m/s)$ से $v_1 = 10 \ m/s$ तक त्वरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा:
$E_2 = \frac{1}{2} m (v_1^2 - v_0^2) = \frac{1}{2} m (10^2 - 0^2) = \frac{1}{2} m (100)$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2} m (300)}{\frac{1}{2} m (100)} = 3$.
अतः,आवश्यक ऊर्जा $3$ गुनी है।

(D) वस्तु की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (4)^2 = 8m \ J$ है।
मान लीजिए कि $h$ ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा अपने प्रारंभिक मान की आधी यानी $K_f = 4m \ J$ हो जाती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में हुई कमी स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है: $\Delta K = \Delta U$।
$K_i - K_f = mgh$।
$8m - 4m = mgh$।
$4m = mgh$।
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$4 = 10h$।
अतः,$h = 0.4 \ m$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 8 \ kg$,स्थिति $x = \frac{1}{2} t^2$.
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} t^2) = t \ m/s$.
$t = 0 \ s$ पर,वेग $v_i = 0 \ m/s$.
$t = 2 \ s$ पर,वेग $v_f = 2 \ m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ के बराबर होता है।
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 8 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 8 \times (0)^2$.
$W = 4 \times 4 - 0 = 16 \ J$.

(B) घर्षण बल $f = \mu mg = 0.2 \times 5 \times 10 = 10 \ N$ है।
पिंड पर कार्य करने वाला कुल (परिणामी) बल $F_{net} = F - f = 25 \ N - 10 \ N = 15 \ N$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,पिंड द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है।
गतिज ऊर्जा = $F_{net} \times d = 15 \ N \times 10 \ m = 150 \ J$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2$.
दिया गया है $v = k\sqrt{s}$,इसलिए $v^2 = k^2 s$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2v \frac{dv}{dt} = k^2 \frac{ds}{dt}$.
चूंकि $\frac{ds}{dt} = v$,हमें $2v \frac{dv}{dt} = k^2 v$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{dv}{dt} = \frac{k^2}{2}$ मिलता है।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर ($t=0$ पर विराम अवस्था से): $v = \int_0^t \frac{k^2}{2} dt = \frac{k^2}{2} t$.
अब,कार्य के समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} m \left( \frac{k^2}{2} t \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{k^4}{4} t^2 \right) = \frac{1}{8} m k^4 t^2$.

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,घर्षण जैसे गैर-संरक्षी बलों की अनुपस्थिति में कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$100 \ m$ की ऊँचाई $h_1$ पर प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $E_i = mgh_1 + 0 = 20 \times 10 \times 100 = 20,000 \ J$ है।
$20 \ m$ की ऊँचाई $h_f$ पर अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $E_f = mgh_f + \frac{1}{2}mv^2 = 20 \times 10 \times 20 + \frac{1}{2} \times 20 \times v^2 = 4,000 + 10v^2$ है।
प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा की तुलना करने पर: $20,000 = 4,000 + 10v^2$.
$10v^2 = 16,000$.
$v^2 = 1,600$.
$v = 40 \ m/s$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v_0$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ है।
जब वेग आधा $(v = v_0/2)$ हो जाता है,तो गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m(v_0/2)^2 = \frac{1}{8}mv_0^2$ होती है।
$d = 6 \ cm$ की दूरी के लिए अवरोधक बल $F$ द्वारा किया गया कार्य:
$W = K_f - K_i = \frac{1}{8}mv_0^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{3}{8}mv_0^2$.
चूंकि $W = F \cdot d$,इसलिए $F \cdot 6 = -\frac{3}{8}mv_0^2$,जिससे हमें $F = -\frac{1}{16}mv_0^2$ प्राप्त होता है।
अब,मान लीजिए कि गोली रुकने से पहले $d_1$ अतिरिक्त दूरी तय करती है। इस चरण के लिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $\frac{1}{8}mv_0^2$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $0$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय को फिर से लागू करने पर:
$F \cdot d_1 = 0 - \frac{1}{8}mv_0^2$.
$F = -\frac{1}{16}mv_0^2$ का मान रखने पर:
$(-\frac{1}{16}mv_0^2) \cdot d_1 = -\frac{1}{8}mv_0^2$.
$d_1$ के लिए हल करने पर,हमें $d_1 = \frac{1/8}{1/16} = 2 \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी कण पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)$
प्रारंभिक वेग सदिश: $\vec{v}_1 = 4 \hat{i} + 16 \hat{k} \; m s^{-1}$.
प्रारंभिक चाल का वर्ग: $v_1^2 = |\vec{v}_1|^2 = 4^2 + 16^2 = 16 + 256 = 272 \; m^2 s^{-2}$.
अंतिम वेग सदिश: $\vec{v}_2 = 8 \hat{i} + 20 \hat{j} \; m s^{-1}$.
अंतिम चाल का वर्ग: $v_2^2 = |\vec{v}_2|^2 = 8^2 + 20^2 = 64 + 400 = 464 \; m^2 s^{-2}$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 0.01 \; kg$.
मानों को कार्य-ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (464 - 272)$
$W = 0.005 \times 192$
$W = 0.96 \; J$.

(C) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 490 \, J$ है।
आवश्यक ऊँचाई $h$ पर,गतिज ऊर्जा $K_f$ प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है,इसलिए $K_f = \frac{490}{2} = 245 \, J$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में हुई हानि स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$K_i - K_f = mgh$।
$490 - 245 = 2 \times 9.8 \times h$।
$245 = 19.6 \times h$।
$h = \frac{245}{19.6} = 12.5 \, m$।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$F \cdot s = \frac{1}{2}mv^2$
चूंकि $F$ और $v$ स्थिर हैं,इसलिए $s \propto m$ है।
माना प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$ और अंतिम द्रव्यमान $m_2 = m + 0.5m = 1.5m$ है।
माना प्रारंभिक दूरी $s_1 = s$ और अंतिम दूरी $s_2$ है।
समानुपात $s_2 / s_1 = m_2 / m_1$ का उपयोग करने पर:
$s_2 / s = 1.5m / m$
$s_2 = 1.5s$.
अतः,कार $1.5s$ की दूरी पर रुक जाएगी।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी $U$ दी गई है।
वस्तु द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $U = \frac{1}{2}mv^2$।
द्रव्यमान $m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{2U}{v^2}$।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,बिंदु $A$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा बिंदु $B$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
$PE_A + KE_A = PE_B + KE_B$
चूंकि गोला बिंदु $A$ से विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $KE_A = 0$ है।
$mgh_1 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2$
$gh_1 = gh_2 + \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2g(h_1 - h_2)$
यहाँ $g = 9.8 \, m/s^2$,$h_1 = 5 \, m$,और $h_2 = 2 \, m$ दिया गया है:
$v^2 = 2 \times 9.8 \times (5 - 2)$
$v^2 = 2 \times 9.8 \times 3$
$v^2 = 58.8$
$v = \sqrt{58.8} \approx 7.67 \, m/s$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,वेग $7.6 \, m/s$ है।