Elastic Collision Questions in Gujarati

(B) સમાન દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેના એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં, કણો તેમના વેગની આપ-લે કરે છે। શરૂઆતમાં $u$ વેગથી ગતિ કરતો કણ સ્થિર થાય છે અને સ્થિર કણ $u$ વેગથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે।
પ્રથમ કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(0 - u) = -mu$ છે। વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = mu$ છે।
કણ પર લાગતો આઘાત (Impulse) એ બળ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે। આલેખ એ $T$ પાયો અને $F_0$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે।
આઘાત $J = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times T \times F_0$.
આઘાત એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોવાથી:
$\frac{1}{2} F_0 T = mu$
$F_0$ માટે ઉકેલતા:
$F_0 = \frac{2mu}{T}$

(C) સમક્ષિતિજ સ્થિતિ $A$ પર લોલકના ગોળાની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ $mgl$ છે,જ્યાં સૌથી નીચેના બિંદુ $B$ ને સંદર્ભ સ્તર તરીકે લેવામાં આવ્યું છે.
જેમ ગોળો બિંદુ $B$ પર આવે છે,તેમ આ સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જા $(K.E.)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આમ,અથડામણ પહેલાં બિંદુ $B$ પર ગોળાની ગતિઊર્જા $K.E. = mgl$ થાય છે.
કારણ કે ગોળા અને બ્લોક વચ્ચેની અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે અને બંનેનું દળ સમાન $(m)$ છે,તેથી અથડામણ દરમિયાન વેગની આપ-લે થાય છે.
ગોળો બિંદુ $B$ પર સ્થિર થઈ જાય છે અને સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા બ્લોકમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
તેથી,અથડામણ પછી બ્લોકની ગતિઊર્જા $mgl$ હશે.

(A) પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ ને અથડામણ પછીના અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને અથડામણ પહેલાના નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ એ નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$v_2 - v_1 = u_1 - u_2$,જે $e = 1$ આપે છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,અથડામણ પછી પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,તેથી $v_1 = v_2$,જેના પરિણામે $e = 0$ મળે છે.
આમ,કોઈપણ વાસ્તવિક અથડામણ માટે,$0 \leq e \leq 1$ હોય છે.

(C) સમાન દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,કણો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
આપેલ પ્રારંભિક વેગ $v_P = 15 \ m/s$ અને $v_Q = 10 \ m/s$ છે.
અથડામણ પછી,કણ $P$ નો વેગ એ કણ $Q$ ના પ્રારંભિક વેગ જેટલો થાય છે,અને કણ $Q$ નો વેગ એ કણ $P$ ના પ્રારંભિક વેગ જેટલો થાય છે.
તેથી,નવા વેગ $v'_P = 10 \ m/s$ અને $v'_Q = 15 \ m/s$ થશે.

(C) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી,તેથી તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
વધુમાં,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,ઘર્ષણ અથવા ગરમીને કારણે કોઈ કાયમી વિકૃતિ કે ઊર્જાનો વ્યય થતો નથી. તેથી,તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા પણ સંરક્ષિત રહે છે.
આમ,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન કુલ ઊર્જા અને કુલ વેગમાન બંને સંરક્ષિત રહે છે.

(B) ધારો કે ભારે સ્ટીલના દડાનું દળ $M$ છે અને પિંગ-પોંગ દડાનું દળ $m$ છે,જ્યાં $M \gg m$ છે.
ધારો કે સ્ટીલના દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 2\, m/s$ છે અને પિંગ-પોંગ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણ પછી હલકા પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_2$ શોધવાનું સૂત્ર:
$v_2 = \frac{2M}{M+m} u_1 + \frac{m-M}{M+m} u_2$
અહીં $u_2 = 0$ હોવાથી,આ સૂત્ર $v_2 = \frac{2M}{M+m} u_1$ બને છે.
$M \gg m$ હોવાથી,આપણે $M+m \approx M$ લઈ શકીએ.
તેથી,$v_2 \approx \frac{2M}{M} u_1 = 2 u_1$.
$u_1 = 2\, m/s$ કિંમત મૂકતા,આપણને $v_2 \approx 2 \times 2 = 4\, m/s$ મળે છે.

(C) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,બીજા પદાર્થ ($m_2$ દળ) નો અંતિમ વેગ $v_2$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_2 = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) u_2 + \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u_1$
અહીં,$m_1 = M$,$m_2 = m$,$u_1 = u$,અને $u_2 = 0$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \left( \frac{m - M}{M + m} \right) (0) + \left( \frac{2M}{M + m} \right) u$
$v = \frac{2Mu}{M + m}$
અંશ અને છેદને $M$ વડે ભાગતા:
$v = \frac{2u}{\frac{M}{M} + \frac{m}{M}} = \frac{2u}{1 + \frac{m}{M}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,$m$ અને $M$ દળના અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ છે:
$v_1 = \frac{m-M}{m+M}v + \frac{2M}{m+M}u_2$
$v_2 = \frac{2m}{m+M}v + \frac{M-m}{m+M}u_2$
અહીં $M$ દળનો પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તેથી $u_2 = 0$.
અથડામણ પછી,$m$ દળનો પદાર્થ સ્થિર થાય છે,તેથી $v_1 = 0$.
આ કિંમતો $v_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 = \frac{m-M}{m+M}v$
$v \neq 0$ હોવાથી,$m - M = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $m = M$.
આમ,સ્થિર પદાર્થમાં વેગ સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત કરવા માટે બંને પદાર્થોના દળ સમાન હોવા જોઈએ.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેની સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણમાં,જ્યાં એક કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે કણો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
ધારો કે બંને કણોનું દળ $m$ છે.
પ્રથમ કણનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{V}_1 = \vec{V}$ છે.
બીજા કણનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{V}_2 = 0$ છે.
અથડામણ પછી,વેગની અદલાબદલી થાય છે,તેથી પ્રથમ કણનો અંતિમ વેગ $\vec{V}_1' = \vec{V}_2 = 0$ થાય છે અને બીજા કણનો અંતિમ વેગ $\vec{V}_2' = \vec{V}_1 = \vec{V}$ થાય છે.
તેથી,અથડામણ પછી પ્રથમ કણનો વેગ શૂન્ય હશે.

(A) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પછી પ્રથમ કણનો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = M$ છે. કારણ કે $m << M$,આપણે $m_1 \approx 0$ અને $m_1 + m_2 \approx M$ લઈ શકીએ.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_1 = \left( \frac{0 - M}{0 + M} \right) u_1 + \left( \frac{2M}{0 + M} \right) u_2$
$v_1 = -u_1 + 2u_2$
આપેલ છે કે $u_1 = 6 \, m/s$ અને $u_2 = 4 \, m/s$ (બંને એક જ દિશામાં છે):
$v_1 = -6 + 2(4) = -6 + 8 = 2 \, m/s$
ધન નિશાની સૂચવે છે કે હલકો કણ મૂળ દિશામાં $2 \, m/s$ ની ઝડપથી ગતિ કરશે.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણ પછી પદાર્થોના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
આપેલ છે: દળ $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = +3 \, m/s$ અને દળ $m_2$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = -5 \, m/s$ છે.
અહીં $m_1 = m_2$ હોવાથી,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,દળ $m_1$ નો અંતિમ વેગ $v_1 = u_2 = -5 \, m/s$ થશે અને દળ $m_2$ નો અંતિમ વેગ $v_2 = u_1 = +3 \, m/s$ થશે.

(A) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચેના સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
$v_2 = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) u_2$
આપેલ છે: $m_1 = 10\, kg, u_1 = 10\, m/s, m_2 = 5\, kg, u_2 = 4\, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$v_1 = \left( \frac{10 - 5}{10 + 5} \right) 10 + \left( \frac{2 \times 5}{10 + 5} \right) 4 = \left( \frac{5}{15} \right) 10 + \left( \frac{10}{15} \right) 4 = \frac{50}{15} + \frac{40}{15} = \frac{90}{15} = 6\, m/s$.
$v_2 = \left( \frac{2 \times 10}{10 + 5} \right) 10 + \left( \frac{5 - 10}{10 + 5} \right) 4 = \left( \frac{20}{15} \right) 10 + \left( \frac{-5}{15} \right) 4 = \frac{200}{15} - \frac{20}{15} = \frac{180}{15} = 12\, m/s$.
આમ,વેગ $6\, m/s$ અને $12\, m/s$ છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$.
બંને બોલ સમાન હોવાથી,$m_1 = m_2 = m$.
પ્રથમ બોલનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 5 \, m/s$ છે અને બીજો બોલ સ્થિર છે,તેથી $u_2 = 0$.
અથડામણ પછી,પ્રથમ બોલ અટકી જાય છે,તેથી $v_1 = 0$.
આ કિંમતોને વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $m(5) + m(0) = m(0) + m(v_2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $5m = mv_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = 5 \, m/s$.
બે સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત (elastic collision) માં વેગની અદલાબદલી થાય છે.

(C) સ્ટીલના દડાઓની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 2 \, cm : 4 \, cm = 1 : 2$ છે.
દડાઓ સમાન પદાર્થના બનેલા હોવાથી,તેમનું દળ તેમના કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$M \propto V \propto r^3$.
તેથી,તેમના દળનો ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = (2)^3 : (1)^3 = 8 : 1$ છે.
ધારો કે મોટા દડાનું દળ $m_1 = 8m$ અને નાના દડાનું દળ $m_2 = m$ છે.
મોટા દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 81 \, cm/s$ છે અને નાના દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે.
એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે જ્યાં બીજો પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે બીજા પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_2$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_2 = \frac{2m_1 u_1}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_2 = \frac{2 \times 8m \times 81}{8m + m} = \frac{16m \times 81}{9m} = 16 \times 9 = 144 \, cm/s$.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,અથડામણ પછી બંને પદાર્થોના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
ગોળા $A$ અને ગોળા $B$ નું દળ સમાન $(m_A = m_B = m)$ હોવાથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,ગોળો $A$ (જેની પાસે અથડામણ પહેલા વેગ $v$ હતો) અથડામણ પછી સ્થિર થઈ જશે.
તે જ સમયે,ગોળો $B$ (જે શરૂઆતમાં સ્થિર હતો) તે વેગ $v$ પ્રાપ્ત કરશે જે ગોળા $A$ પાસે અથડામણ પહેલા હતો.
તેથી,$A$ સ્થિર થઈ જાય છે અને $B$ એ $A$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.

(D) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેના એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,સંઘાત બાદ પદાર્થોના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u_1 = V$ અને $u_2 = -2V$ છે (કારણ કે બીજો દડો પ્રથમ દડાની તરફ આવે છે,તેથી તેનો વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
સમાન દળ માટે સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતના ગુણધર્મ મુજબ,અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ હશે:
$v_1 = u_2 = -2V$
$v_2 = u_1 = V$
તેથી,સંઘાત બાદ બંને દડાઓના વેગ $-2V$ અને $V$ હશે.

(C) બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,પ્રથમ પદાર્થ ($M_1$ દળ) થી બીજા પદાર્થ ($M_2$ દળ) માં સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો અંશ,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}$
ઉર્જાના મહત્તમ સ્થાનાંતરણ માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે દળના ગુણોત્તરના સંદર્ભમાં $f$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જો $M_1 = M_2$ હોય,તો અથડામણ પછી પદાર્થો તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
કારણ કે બીજો પદાર્થ સ્થિર હતો,તે પ્રથમ પદાર્થનો સંપૂર્ણ પ્રારંભિક વેગ મેળવે છે,જેનો અર્થ છે કે $100\%$ ગતિ ઉર્જા સ્થાનાંતરિત થાય છે.
આમ,ઉર્જાનું મહત્તમ સ્થાનાંતરણ ત્યારે થાય છે જ્યારે $M_1 = M_2$ હોય.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ એ એવી અથડામણ છે જેમાં કુલ ગતિઊર્જામાં કોઈ ચોખ્ખો ઘટાડો થતો નથી.
કોઈપણ અથડામણમાં (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક),તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંને અચળ રહે છે.

(B) હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,સ્થિર લક્ષ્ય (દળ $m_2$) સાથે અથડાતા પ્રક્ષિપ્ત (દળ $m_1$) નો આંશિક ઉર્જા વ્યય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{\Delta K}{K} = 1 - \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
અહીં,ન્યુટ્રોનનું દળ $m_1 = 1 \text{ u}$ અને ડ્યુટેરોનનું દળ $m_2 = 2 \text{ u}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta K}{K} = 1 - \left( \frac{1 - 2}{1 + 2} \right)^2$
$\frac{\Delta K}{K} = 1 - \left( \frac{-1}{3} \right)^2$
$\frac{\Delta K}{K} = 1 - \frac{1}{9}$
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{8}{9}$
આમ,ન્યુટ્રોનનો આંશિક ઉર્જા વ્યય $8/9$ છે.

(A) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u_1 = V$ અને $u_2 = 0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$
$V + 0 = v_1 + v_2$
$v_1 + v_2 = V$ --- $(1)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} m u_1^2 + \frac{1}{2} m u_2^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2$
$V^2 = v_1^2 + v_2^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$v_2 = V - v_1$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$V^2 = v_1^2 + (V - v_1)^2$
$V^2 = v_1^2 + V^2 + v_1^2 - 2 V v_1$
$2 v_1^2 - 2 V v_1 = 0$
$2 v_1 (v_1 - V) = 0$
આનાથી $v_1 = 0$ (જ્યારે અથડામણ ન થાય) અથવા $v_1 = V$ મળે છે.
પ્રથમ પદાર્થ સ્થિર હોવાથી અને બીજો પદાર્થ તેને અથડાતો હોવાથી,પ્રથમ પદાર્થ બીજા પદાર્થનો વેગ પ્રાપ્ત કરશે,જે $V$ છે.

(B) $M$ અને $m$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જ્યાં $m$ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,$m$ દળના પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_2$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_2 = \frac{2M}{M+m} v_1$
આપેલ છે કે $M >> m$,તેથી આપણે $M + m \approx M$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_2 \approx \frac{2M}{M} v = 2v$
તેથી,અથડામણ પછી $m$ દળનો પદાર્થ $2v$ ના વેગથી ગતિ કરશે.

(A) બે પદાર્થો વચ્ચેના એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,જો સંઘાત બાદ પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે,તો તેનો અર્થ એ છે કે બંને પદાર્થોના દળ સમાન હોવા જોઈએ.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u_A = v_A$ અને $u_B = -v_B$ છે (કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
સંઘાત બાદ,અંતિમ વેગ $v'_A = -v_B$ અને $v'_B = v_A$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_A u_A + m_B u_B = m_A v'_A + m_B v'_B$.
કિંમતો મૂકતા: $m_A v_A - m_B v_B = -m_A v_B + m_B v_A$.
પદોને ગોઠવતા: $m_A(v_A + v_B) = m_B(v_A + v_B)$.
કારણ કે $(v_A + v_B) \neq 0$,તેથી $m_A = m_B$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = 1$ થાય છે.

(C) સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સીધી અથડામણ માટે,પ્રથમ પદાર્થ ($m_1$ દળ) નો અંતિમ વેગ $v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $v_1 = \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right) v = \left( \frac{-m}{3m} \right) v = -\frac{v}{3}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
પ્રથમ પદાર્થની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}m(v_1)^2 = \frac{1}{2}m(-\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{9}) = \frac{1}{9} K_i$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = K_i - \frac{1}{9} K_i = \frac{8}{9} K_i$ છે.
આમ,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $\frac{8}{9}$ ભાગ જેટલો છે.

(A) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડાતા પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
$A$. બે કાચના દડાઓનું અથડાવું એ સામાન્ય રીતે સ્થિતિસ્થાપક અથવા આંશિક અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે,કારણ કે તેઓ એકબીજા સાથે ચોંટતા નથી.
$B$. ગોળીનું રેતીની થેલીમાં ખૂંપી જવું એ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે કારણ કે ગોળી રેતીમાં અંદર રહી જાય છે.
$C$. પ્રોટોન દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનું કેપ્ચર થવું (હાઇડ્રોજન પરમાણુ બનાવવો) એ એક સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક પ્રક્રિયા છે.
$D$. ગતિમાન ગાડા પર માણસનું કૂદીને બેસવું અને તેની સાથે જ રહેવું એ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે કારણ કે ત્યારબાદ તેઓ સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

(B) જ્યારે સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે કણો વચ્ચે સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત થાય અને એક કણ શરૂઆતમાં સ્થિર $(u_2 = 0)$ હોય:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{p}_1 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $p_1^2 = p_1'^2 + p_2'^2 + 2\vec{p}_1' \cdot \vec{p}_2'$.
ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$, જે સૂચવે છે કે $p_1^2 = p_1'^2 + p_2'^2$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $2\vec{p}_1' \cdot \vec{p}_2' = 0$ મળે છે।
વેગમાન શૂન્ય ન હોવાથી, ડોટ પ્રોડક્ટ ત્યારે જ શૂન્ય થાય જો અંતિમ વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોય।
આમ, $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$.

(C) જ્યારે સમાન દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચે હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ થાય અને તેમાંથી એક શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે તેઓ તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
ધારો કે બંને કણોનું દળ $m$ છે.
$P$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$ અને $Q$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv + m(0) = mv_1 + mv_2 \implies v = v_1 + v_2$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા (રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$): $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1(v - 0) = v$.
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા:
$v_1 + v_2 = v$
$v_2 - v_1 = v$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા $2v_2 = 2v \implies v_2 = v$ મળે છે.
કિંમત મૂકતા $v_1 = 0$ મળે છે.
તેથી,$P$ સ્થિર થાય છે અને $Q$ એ $v$ ઝડપે આગળ વધે છે.

(C) સમાન દળ $m$ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, કણો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે. પ્રથમ કણ $u$ વેગથી ગતિ કરતો હતો અને બીજો કણ સ્થિર હતો, તેથી અથડામણ પછી, પ્રથમ કણ સ્થિર થઈ જાય છે અને બીજો કણ $u$ વેગથી ગતિ કરે છે.
બીજા કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(u - 0) = mu$ છે.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ, આઘાત $J$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta p$ જેટલો હોય છે. આઘાત એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો પણ હોય છે.
આલેખ દ્વારા બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ:
$J = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$J = \frac{1}{2} \times (T + \frac{T}{2}) \times F_0$
$J = \frac{1}{2} \times (\frac{3T}{2}) \times F_0 = \frac{3T F_0}{4}$
આઘાતને વેગમાનના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$mu = \frac{3T F_0}{4}$
$F_0 = \frac{4mu}{3T}$

(D) ધારો કે ન્યુટ્રોનનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. ડ્યુટેરિયમ પરમાણુ (ડ્યુટેરોન) નું દળ $M = 2m$ છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે ન્યુટ્રોનનો અંતિમ વેગ $v_1$ છે અને ડ્યુટેરોનનો અંતિમ વેગ $v_2$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $mv = mv_1 + (2m)v_2$ => $v = v_1 + 2v_2$ ... $(i)$
ગતિઊર્જાના સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(2m)v_2^2$ => $v^2 = v_1^2 + 2v_2^2$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$2v_2 = v - v_1$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$v^2 = v_1^2 + \frac{1}{2}(v - v_1)^2$
$2v^2 = 2v_1^2 + v^2 - 2vv_1 + v_1^2$
$3v_1^2 - 2vv_1 - v^2 = 0$
$(3v_1 + v)(v_1 - v) = 0$
અહીં $v_1 \neq v$ હોવાથી,$v_1 = -\frac{v}{3}$ મળે છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે. અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(-\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{9}K_i$ છે.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{9}K_i - K_i = -\frac{8}{9}K_i$ થાય. આમ,ફેરફારનું મૂલ્ય પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $\frac{8}{9}$ ગણું છે.

(C) ગોળાઓ લીસા હોવાથી,અથડામણ દરમિયાન તેમની વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ હોતું નથી.
ઘર્ષણ એ ટોર્કનો એકમાત્ર સ્ત્રોત છે જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ગોળાના કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર કરી શકે છે.
કોઈ ઘર્ષણ ન હોવાથી,કોઈપણ ગોળા પર કોઈ ટોર્ક લાગતું નથી.
પરિણામે,દરેક ગોળાનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ગોળા $A$ માટે,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_A = I\omega$ છે. તેના પર કોઈ ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તેનું અંતિમ કોણીય વેગમાન $I\omega_A = I\omega$ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega_A = \omega$.
ગોળા $B$ માટે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર હતો,તેનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $0$ છે. તેના પર કોઈ ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તેનું અંતિમ કોણીય વેગમાન $0$ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega_B = 0$.

(C) ગોળાઓ સંપૂર્ણપણે લીસા હોવાથી,સંઘાત દરમિયાન તેમની વચ્ચે કોઈ સ્પર્શક બળ લાગતું નથી.
ગોળાઓના કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર કરવા માટે ટોર્ક ઉત્પન્ન કરવા ઘર્ષણની જરૂર પડે છે.
અહીં ઘર્ષણનો અભાવ હોવાથી,સંઘાત દરમિયાન કોઈ પણ ગોળા પર ટોર્ક લાગતું નથી.
તેથી,ગોળા $A$ નો કોણીય વેગ બદલાતો નથી,એટલે કે $\omega_A = \omega$.
ગોળો $B$ શરૂઆતમાં સ્થિર હતો અને તેના પર કોઈ ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી તેનો કોણીય વેગ શૂન્ય રહે છે,એટલે કે $\omega_B = 0$.

(B) સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંને સંરક્ષી હોય છે.
$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેના એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_1$ અને $u_2$ તથા અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ હોય તો:
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
ગતિઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
આ સમીકરણોનું સાદુંરૂપ આપતા મળે છે: $u_1 - u_2 = v_2 - v_1$,જેનો અર્થ છે કે અભિગમની સાપેક્ષ ઝડપ એ અલગ પડવાની સાપેક્ષ ઝડપ જેટલી હોય છે.
વિધાન-$1$ એ ગતિઊર્જાના સંરક્ષણનું સીધું પરિણામ છે,રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનું નહીં.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) આ ન્યૂટનના પારણા (Newton's Cradle) નું એક ઉત્તમ ઉદાહરણ છે. જ્યારે સમાન દળ ધરાવતી બે વસ્તુઓ વચ્ચે સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત થાય છે,ત્યારે તેઓ તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
જ્યારે જમણા છેડાના દડાને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે બાજુના દડા સાથે અથડાય તે પહેલાં $v$ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
બધા દડા સમાન હોવાથી અને સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,વેગમાન અને ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
વેગમાન વચ્ચેના સ્થિર દડાઓમાંથી પસાર થઈને સામેના છેડાના દડા સુધી પહોંચે છે.
પરિણામે,ડાબી તરફના છેડાનો એક દડો તેટલી જ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે જેટલી ઊંચાઈએથી જમણા દડાને મુક્ત કરવામાં આવ્યો હતો,જ્યારે બાકીના ચાર દડા સ્થિર રહેશે.
તેથી,ડાબી તરફના છેડાનો માત્ર એક જ દડો ઉછળશે.

(C) અથડામણ દરમિયાન,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આઘાતી બળ (impulsive force) ન લાગે તો તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જ્યારે બોલ ભોયતળિયે અથડાય છે,ત્યારે ભોયતળિયા દ્વારા બોલ પર લાગતું બળ અને બોલ દ્વારા ભોયતળિયા પર લાગતું બળ એ 'બોલ-પૃથ્વી' તંત્ર માટે આંતરિક બળો છે.
તેથી,'બોલ-પૃથ્વી' તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જોકે અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે,તેમ છતાં માત્ર બોલની યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે અથડામણ દરમિયાન તે પૃથ્વીને ઊર્જાનું સ્થાનાંતરણ કરે છે.
જોકે,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તંત્રની કુલ ગતિ ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.

(C) બે સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેના સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,જ્યારે એક પદાર્થ સ્થિર હોય,ત્યારે ગતિ કરતો પદાર્થ સ્થિર થઈ જાય છે અને સ્થિર પદાર્થ ગતિમાન પદાર્થના પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરવા લાગે છે.
શરૂઆતમાં,$B$ એ $C$ સાથે અથડાય છે. તેઓ સમાન હોવાથી અને $C$ સ્થિર હોવાથી,$B$ સ્થિર થઈ જાય છે અને $C$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે.
ત્યારબાદ,$C$ એ $D$ સાથે અથડાય છે. $C$ સ્થિર થઈ જાય છે અને $D$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
દરમિયાન,$A$ એ સ્થિર થયેલા $B$ સાથે અથડાય છે. $A$ સ્થિર થઈ જાય છે અને $B$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે.
છેલ્લે,$B$ એ સ્થિર થયેલા $C$ સાથે અથડાય છે. $B$ સ્થિર થઈ જાય છે અને $C$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
આમ,તમામ સંઘાત પછી,$A$ અને $B$ સ્થિર રહે છે,જ્યારે $C$ સ્થિર રહે છે અને $D$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.

(B) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે થતા સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,પદાર્થો પોતાના વેગની આપ-લે કરે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$ અને $u_2 = -2v$ છે (કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પછી,અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ હશે:
$v_1 = u_2 = -2v$
$v_2 = u_1 = v$
તેથી,સંઘાત પછી તેમના વેગ $-2v$ અને $v$ હશે.

(C) જ્યારે સમાન દળ ધરાવતા બે દડાઓ વચ્ચે સંઘાત થાય છે અને તેમાંથી એક શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે ગતિશીલ પદાર્થમાંથી સ્થિર પદાર્થમાં ઊર્જાનું સ્થાનાંતર થાય છે.
બે સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેના સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે ઊર્જા અને વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રથમ દડો કાં તો સ્થિર થઈ જશે (સીધા સંઘાતમાં) અથવા ઘટતા વેગ સાથે ગતિ કરશે (ત્રાંસા સંઘાતમાં).
બંને કિસ્સાઓમાં,સંઘાત પછી પ્રથમ દડાની ગતિઊર્જા $(E'_k)$ તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(E_k)$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હશે.
કારણ કે સંઘાતમાં બીજા દડાને ઊર્જાનું સ્થાનાંતર થાય છે,તેથી પ્રથમ દડો તેની કેટલીક ગતિઊર્જા ગુમાવે છે.
તેથી,$E'_k < E_k$.

(B) સમાન દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેના સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે, જ્યાં એક કણ શરૂઆતમાં સ્થિર છે, આપણે વેગમાન સંરક્ષણ અને ગતિઊર્જા સંરક્ષણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1 = u\hat{i}$ અને $\vec{u}_2 = 0$ છે.
સંઘાત પછી, ધારો કે વેગ $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ: $m\vec{u}_1 = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 \implies \vec{u}_1 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $u_1^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2$.
ગતિઊર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2}mu_1^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 \implies u_1^2 = v_1^2 + v_2^2$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $2\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$ મળે છે.
વેગ શૂન્ય ન હોવાથી, તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$.
આમ, સંઘાત પછી બંને કણો વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ થાય છે, એટલે કે $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$.

(C) સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન સંઘાત માટે,બીજા પદાર્થ ($m_2$ દળ) નો અંતિમ વેગ $v_2$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_2 = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) u_2$
અહીં,$m_1 = M$,$m_2 = m$,$u_1 = u$,અને $u_2 = 0$ (કારણ કે બીજો ગોળો સ્થિર છે).
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \left( \frac{2M}{M + m} \right) u + \left( \frac{m - M}{M + m} \right) (0)$
$v = \frac{2Mu}{M + m}$
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,અંશ અને છેદને $M$ વડે ભાગતા:
$v = \frac{2u}{(M + m)/M} = \frac{2u}{1 + m/M}$

(B) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,$m_1$ દળ ધરાવતા આપાત કણનો અંતિમ વેગ $v_1' = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $m_2$ એ સ્થિર લક્ષ્યનું દળ છે.
અહીં,$m_1 = 1$ (ન્યુટ્રોન) અને $m_2 = 2$ (ડ્યુટેરોન) છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $v_1' = \left( \frac{1 - 2}{1 + 2} \right) v_1 = -\frac{1}{3} v_1$.
ગતિઊર્જામાં થતો આંશિક ઘટાડો $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{K_i - K_f}{K_i} = 1 - \frac{K_f}{K_i} = 1 - \left( \frac{v_1'}{v_1} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\frac{\Delta K}{K_i} = 1 - \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

(C) એક પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જ્યાં બીજો પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે અથડામણ પછી પ્રથમ પદાર્થ $(m_1)$ દ્વારા જાળવી રાખવામાં આવેલી ગતિઊર્જાનો અંશ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$f = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
અહીં $m_1 = 8 \ kg$ અને $m_2 = 2 \ kg$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \left( \frac{8 - 2}{8 + 2} \right)^2 = \left( \frac{6}{10} \right)^2 = (0.6)^2 = 0.36$.
તેથી,બાકી રહેલી ગતિઊર્જા $0.36 E$ થશે.

(C) આપેલ છે: $m_1 = m_2 = 5 \ kg$,$u_1 = 5 \ m/s$,અને $u_2 = -5 \ m/s$.
સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેના એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,સંઘાત બાદ પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
તેથી,પ્રથમ દડાનો અંતિમ વેગ $v_1 = u_2 = -5 \ m/s$ થશે.
બીજા દડાનો અંતિમ વેગ $v_2 = u_1 = 5 \ m/s$ થશે.
આમ,સંઘાત બાદ દડાઓના વેગ $5 \ m/s$ અને $-5 \ m/s$ હશે.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,પદાર્થો તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
અહીં લોલક $A$ એ સ્થિર રહેલા લોલક $B$ ને અથડાય છે અને બંનેના દળ સમાન છે,તેથી અથડામણ બાદ લોલક $A$ સ્થિર થઈ જશે અને લોલક $B$ એ વેગ પ્રાપ્ત કરશે જે અથડામણ પહેલા $A$ પાસે હતો.
તેથી,અથડામણ બાદ લોલક $A$ ઉપર જશે નહીં.

(B) આપેલ છે: $m_1 = 0.1 \ kg$,$m_2 = ?$,$u_2 = 0$,$u_1 = u$,$v_1 = -u/3$ (પાછા ફરવાનો અર્થ વિરુદ્ધ દિશા છે).
એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે પ્રથમ પદાર્થના અંતિમ વેગનું સૂત્ર વાપરતા:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
અહીં $u_2 = 0$ હોવાથી,સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$-u/3 = \left( \frac{0.1 - m_2}{0.1 + m_2} \right) u$
બંને બાજુ $u$ વડે ભાગતા:
$-1/3 = \frac{0.1 - m_2}{0.1 + m_2}$
$-(0.1 + m_2) = 3(0.1 - m_2)$
$-0.1 - m_2 = 0.3 - 3m_2$
$2m_2 = 0.4$
$m_2 = 0.2 \ kg$.

(C) સૌ પ્રથમ,લિફ્ટની છત સાથે અથડાય તે પહેલાં બોલનો વેગ શોધો. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $h = 10 \ m$:
$v_{ball} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \ m/s$ (નીચેની તરફ).
ધારો કે લિફ્ટનો વેગ $v_e = 1 \ m/s$ (નીચેની તરફ) છે.
લિફ્ટના સંદર્ભમાં,અથડામણ પહેલાં બોલનો સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = v_{ball} - v_e = 14.14 - 1 = 13.14 \ m/s$ (નીચેની તરફ) થશે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ધારતા,બોલ લિફ્ટની સાપેક્ષમાં તેટલા જ વેગથી $13.14 \ m/s$ (ઉપરની તરફ) ઉછળશે.
જમીનની સાપેક્ષમાં વેગ શોધવા માટે,$v_{ground} = v_{rel} + v_e = 13.14 + 1 = 14.14 \ m/s$ થાય. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો જવાબ $12 \ m/s$ છે.

(A) ધારો કે અથડામણ પછીનો વેગ $v'$ છે જે લંબ સાથે $\phi$ કોણ બનાવે છે.
દિવાલની સમાંતર દિશામાં વેગ બદલાતો નથી કારણ કે ત્યાં કોઈ આઘાતી બળ નથી: $v' \sin \phi = v \sin \theta$.
લંબ દિશામાં,રેસ્ટીટ્યૂશન ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે: $v' \cos \phi = e v \cos \theta$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{v' \sin \phi}{v' \cos \phi} = \frac{v \sin \theta}{e v \cos \theta} \implies \tan \phi = \frac{\tan \theta}{e} \implies \phi = \tan^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{e}\right)$.
વેગ $v'$ નું મૂલ્ય: $v' = \sqrt{(v' \sin \phi)^2 + (v' \cos \phi)^2} = \sqrt{(v \sin \theta)^2 + (ev \cos \theta)^2} = v \sqrt{\sin^2 \theta + e^2 \cos^2 \theta}$.

(D) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે, સ્થિર રહેલા $m_2$ દળના પદાર્થનો સંઘાત બાદનો વેગ $v_{2f}$ નીચે મુજબ મળે છે: $v_{2f} = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u$.
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = nm$ હોવાથી, $v_{2f} = \left( \frac{2m}{m + nm} \right) u = \left( \frac{2}{1 + n} \right) u$.
સંઘાત બાદ સ્થિર પદાર્થની ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (nm) v_{2f}^2 = \frac{1}{2} nm \left( \frac{4u^2}{(1 + n)^2} \right) = \frac{2nmu^2}{(1 + n)^2}$.
આપાત બોલની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} mu^2$ છે.
તેથી, વહન પામતી ગતિઊર્જાનો અંશ $f = \frac{K_f}{K_i} = \frac{\frac{2nmu^2}{(1 + n)^2}}{\frac{1}{2} mu^2} = \frac{4n}{(1 + n)^2}$.

(C) સમાન દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેના સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,જ્યાં એક કણ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m\vec{v_1} = m\vec{v_1}' + m\vec{v_2}'$,જેનું સાદું રૂપ $\vec{v_1} = \vec{v_1}' + \vec{v_2}'$ થાય છે.
બંને બાજુનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = (\vec{v_1}' + \vec{v_2}') \cdot (\vec{v_1}' + \vec{v_2}')$.
આથી: $v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2 + 2(\vec{v_1}' \cdot \vec{v_2}')$ ... $(1)$.
ગતિ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_1'^2 + \frac{1}{2}mv_2'^2$,જેનું સાદું રૂપ $v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2$ ... $(2)$ થાય છે.
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $v_1'^2 + v_2'^2 = v_1'^2 + v_2'^2 + 2(\vec{v_1}' \cdot \vec{v_2}')$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2(\vec{v_1}' \cdot \vec{v_2}') = 0$,તેથી $\vec{v_1}' \cdot \vec{v_2}' = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $v_1' v_2' \cos \theta = 0$ હોવાથી,અને વેગ શૂન્ય ન હોવાથી,$\cos \theta = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^\circ$.

(C) $X$-અક્ષની દિશામાં રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$mu_1 = mv_1 \cos \theta_1 + mv_2 \cos \theta_2 \implies u_1 = v_1 \cos \theta_1 + v_2 \cos \theta_2 \quad \dots(i)$
$Y$-અક્ષની દિશામાં રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$0 = mv_1 \sin \theta_1 - mv_2 \sin \theta_2 \implies v_1 \sin \theta_1 = v_2 \sin \theta_2 \quad \dots(ii)$
ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ:
$\frac{1}{2}mu_1^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 \implies u_1^2 = v_1^2 + v_2^2 \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$u_1^2 = (v_1 \cos \theta_1 + v_2 \cos \theta_2)^2 + (v_1 \sin \theta_1 - v_2 \sin \theta_2)^2$
$u_1^2 = v_1^2 \cos^2 \theta_1 + v_2^2 \cos^2 \theta_2 + 2v_1v_2 \cos \theta_1 \cos \theta_2 + v_1^2 \sin^2 \theta_1 + v_2^2 \sin^2 \theta_2 - 2v_1v_2 \sin \theta_1 \sin \theta_2$
$u_1^2 = v_1^2(\cos^2 \theta_1 + \sin^2 \theta_1) + v_2^2(\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2) + 2v_1v_2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2)$
$u_1^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$
સમીકરણ $(iii)$ $(u_1^2 = v_1^2 + v_2^2)$ સાથે સરખાવતા:
$v_1^2 + v_2^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$
$2v_1v_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) = 0$
અહીં $v_1, v_2 \neq 0$ હોવાથી,$\cos(\theta_1 + \theta_2) = 0$
તેથી,$\theta_1 + \theta_2 = 90^o$.

(C) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,અંતિમ વેગ $v_1'$ અને $v_2'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1' = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) v_2$
$v_2' = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) v_1 + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) v_2$
અહીં,$m_1 = 10 \ kg, v_1 = 10 \ m/s, m_2 = 5 \ kg, v_2 = 4 \ m/s$ છે.
$v_1'$ ની ગણતરી:
$v_1' = \left( \frac{10 - 5}{10 + 5} \right) 10 + \left( \frac{2 \times 5}{10 + 5} \right) 4 = \left( \frac{5}{15} \right) 10 + \left( \frac{10}{15} \right) 4 = \frac{10}{3} + \frac{8}{3} = \frac{18}{3} = 6 \ m/s$.
$v_2'$ ની ગણતરી:
$v_2' = \left( \frac{2 \times 10}{10 + 5} \right) 10 + \left( \frac{5 - 10}{10 + 5} \right) 4 = \left( \frac{20}{15} \right) 10 + \left( \frac{-5}{15} \right) 4 = \frac{40}{3} - \frac{4}{3} = \frac{36}{3} = 12 \ m/s$.
આમ,સંઘાત બાદ તેમના વેગ $6 \ m/s$ અને $12 \ m/s$ થશે.