Errors of Measurement Questions in Hindi

(B) यंग मापांक के लिए सूत्र $Y = \frac{MgL^3}{4bd^3\delta}$ है।
भिन्नात्मक त्रुटि इस प्रकार दी जाती है: $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{3\Delta L}{L} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{3\Delta d}{d} + \frac{\Delta \delta}{\delta}$.
दिए गए मान:
$M = 2 \, kg = 2000 \, g$, $\Delta M = 1 \, g$
$L = 1 \, m = 1000 \, mm$, $\Delta L = 1 \, mm$
$b = 4 \, cm = 40 \, mm$, $\Delta b = 0.1 \, mm$
$d = 0.4 \, cm = 4 \, mm$, $\Delta d = 0.01 \, mm$
$\delta = 5 \, mm$, $\Delta \delta = 0.01 \, mm$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{1}{2000} + 3 \times \frac{1}{1000} + \frac{0.1}{40} + 3 \times \frac{0.01}{4} + \frac{0.01}{5}$
$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.0005 + 0.003 + 0.0025 + 0.0075 + 0.002 = 0.0155$.

(C) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है।
वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,आवर्तकाल $T$ की गणना $T = \frac{t}{n}$ के रूप में की जाती है,जहाँ $t$ कुल समय है और $n$ दोलनों की संख्या है।
आवर्तकाल में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{n}$ है,जहाँ $\Delta t$ स्टॉपवॉच का अल्पतमांक है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta t}{n \cdot T} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta t}{t}$ हो जाती है।
सभी छात्रों के लिए $\Delta \ell = 0.1 \, cm$ और $\Delta t = 0.1 \, s$ दिया गया है:
छात्र $1$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2 \frac{0.1}{128.0} = 0.00156 + 0.00156 = 0.00312$.
छात्र $2$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2 \frac{0.1}{64.0} = 0.00156 + 0.00312 = 0.00468$.
छात्र $3$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2 \frac{0.1}{36.0} = 0.005 + 0.0055 = 0.0105$.
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम त्रुटि छात्र $1$ द्वारा प्राप्त की जाती है।

(D) $y$ में सापेक्ष त्रुटि सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{\Delta y}{y} = 2 \frac{\Delta m}{m} + 4 \frac{\Delta r}{r} + x \frac{\Delta g}{g} + \frac{3}{2} \frac{\Delta l}{l}$
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ हैं: $\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 18$,$\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1$,$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.5$,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 4$,और $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = p$.
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$18 = 2(1) + 4(0.5) + x(p) + \frac{3}{2}(4)$
$18 = 2 + 2 + xp + 6$
$18 = 10 + xp$
$xp = 8$
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $D$ के लिए,$x = \frac{16}{3}$ और $p = \pm \frac{3}{2}$.
$xp = \frac{16}{3} \times \frac{3}{2} = 8$.
अतः,सही मान $x = \frac{16}{3}$ और $p = \pm \frac{3}{2}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $z = a^{2} x^{3} y^{1/2}$.
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसकी सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta a}{a} = 0$ होगी।
$z$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार दी जाती है: $\frac{\Delta z}{z} = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{y} \right)$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{y} \times 100 \right)$.
दिया गया है कि $\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\%$ और $\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 12\%$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 3(4\%) + \frac{1}{2}(12\%) = 12\% + 6\% = 18\%$.

(C) दिया गया व्यंजक $Z = \frac{A^{2} B^{3}}{C^{4}}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम के अनुसार,किसी राशि $Z = \frac{A^p B^q}{C^r}$ के लिए,सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Z}{Z} = p \frac{\Delta A}{A} + q \frac{\Delta B}{B} + r \frac{\Delta C}{C}$ द्वारा दी जाती है।
इस नियम को दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर,जहाँ $p=2$,$q=3$,और $r=4$ है:
$\frac{\Delta Z}{Z} = 2 \frac{\Delta A}{A} + 3 \frac{\Delta B}{B} + 4 \frac{\Delta C}{C}$।
अतः,$Z$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{2 \Delta A}{A} + \frac{3 \Delta B}{B} + \frac{4 \Delta C}{C}$ होगी।

(A) घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$ है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान:
$m = 0.6 \; g, \Delta m = 0.006 \; g$
$r = 0.5 \; mm, \Delta r = 0.005 \; mm$
$l = 4 \; cm, \Delta l = 0.04 \; cm$
प्रतिशत त्रुटि की गणना:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{0.006}{0.6} + 2 \times \frac{0.005}{0.5} + \frac{0.04}{4} \right) \times 100$
$= (0.01 + 2 \times 0.01 + 0.01) \times 100$
$= (0.01 + 0.02 + 0.01) \times 100 = 0.04 \times 100 = 4 \%$.

(B) चरण $1$: रीडिंग का औसत मान ज्ञात करें।
$X_{mean} = \frac{1.22 + 1.23 + 1.19 + 1.20}{4} = \frac{4.84}{4} = 1.21\,mm$.
चरण $2$: प्रत्येक रीडिंग के लिए निरपेक्ष त्रुटि ज्ञात करें।
$|\Delta X_1| = |1.22 - 1.21| = 0.01\,mm$
$|\Delta X_2| = |1.23 - 1.21| = 0.02\,mm$
$|\Delta X_3| = |1.19 - 1.21| = 0.02\,mm$
$|\Delta X_4| = |1.20 - 1.21| = 0.01\,mm$
चरण $3$: औसत निरपेक्ष त्रुटि ज्ञात करें।
$\Delta X_{mean} = \frac{0.01 + 0.02 + 0.02 + 0.01}{4} = \frac{0.06}{4} = 0.015\,mm$.
चरण $4$: प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करें।
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{\Delta X_{mean}}{X_{mean}} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.015}{1.21} \right) \times 100\% = \frac{1.5}{1.21}\% = \frac{150}{121}\%$.
इसे $\frac{x}{121}\%$ के साथ तुलना करने पर,$x = 150$ प्राप्त होता है।

(D) विद्युत परिपथ में व्यय हुई ऊष्मा का सूत्र $H = I^2 R t$ है।
ऊष्मा के मापन में सापेक्ष त्रुटि को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\frac{\Delta H}{H} = 2 \left( \frac{\Delta I}{I} \right) + \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta t}{t}$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$,
$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \%$,
$\frac{\Delta t}{t} \times 100 = 3 \%$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$H$ में प्रतिशत त्रुटि $= 2(2 \%) + 1 \% + 3 \% = 4 \% + 1 \% + 3 \% = 8 \%$.

(B) टॉर्क $(\tau)$ का विमीय सूत्र $[\tau] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
त्रुटि प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,यदि कोई भौतिक राशि $X = M^a L^b T^c$ द्वारा दी जाती है,तो सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} = a \frac{\Delta M}{M} + b \frac{\Delta L}{L} + c \frac{\Delta T}{T}$ होती है।
यहाँ द्रव्यमान,लंबाई और समय में प्रतिशत त्रुटि प्रत्येक $5 \%$ है,अर्थात $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 5 \%$,$\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 5 \%$ और $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 5 \%$ है।
टॉर्क में प्रतिशत त्रुटि की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = (1 \times \% M) + (2 \times \% L) + (2 \times \% T)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = 1(5 \%) + 2(5 \%) + 2(5 \%)$
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = 5 \% + 10 \% + 10 \% = 25 \%$.

(B) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और $g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$g = 4 \pi^2 \frac{\ell}{T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\ell = 10 \ cm = 100 \ mm$ और $\Delta \ell = 1 \ mm$।
$100$ दोलनों के लिए कुल समय $t = 100 \times 0.5 \ s = 50 \ s$ है। घड़ी का रिज़ॉल्यूशन $\Delta t = 1 \ s$ है।
अतः,आवर्तकाल $T = 0.5 \ s$ और आवर्तकाल में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{1 \ s}{100} = 0.01 \ s$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{1 \ mm}{100 \ mm} + 2 \times \frac{0.01 \ s}{0.5 \ s} = 0.01 + 2 \times 0.02 = 0.01 + 0.04 = 0.05$।
इसलिए,प्रतिशत त्रुटि $0.05 \times 100 = 5 \%$ है।
अतः,$x = 5$।

(A) $n$ प्रेक्षणों के अंकगणितीय माध्य में यादृच्छिक त्रुटि का संबंध $\Delta \bar{x} = \frac{\Delta x}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta x$ एक प्रेक्षण में त्रुटि है।
दिया गया है कि $n_1 = 50$ के लिए,त्रुटि $\Delta \bar{x}_1 = \alpha$ है।
अतः,$\alpha \propto \frac{1}{50}$।
$n_2 = 150$ के लिए,त्रुटि $\Delta \bar{x}_2$ है।
अतः,$\Delta \bar{x}_2 \propto \frac{1}{150}$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\Delta \bar{x}_2}{\alpha} = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$।
इस प्रकार,$\Delta \bar{x}_2 = \frac{\alpha}{3}$।

(A) दिया गया है कि $x = 10.0 \pm 0.1$ और $y = 10.0 \pm 0.1$ है।
हमें $z = 2x - 2y$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,माध्य मान की गणना करें: $z = 2(10.0) - 2(10.0) = 20.0 - 20.0 = 0.0$.
इसके बाद,$z$ में निरपेक्ष त्रुटि की गणना करें। व्यंजक $z = ax - by$ के लिए,निरपेक्ष त्रुटि $\Delta z = |a|\Delta x + |b|\Delta y$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 2$ और $b = 2$ है,इसलिए $\Delta z = 2(0.1) + 2(0.1) = 0.2 + 0.2 = 0.4$.
अतः,$2x - 2y = 0.0 \pm 0.4$ होगा।

(A) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 l$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान:
लंबाई $l = 100.0 \,cm = 1000 \,mm$,$\Delta l = 1 \,mm$.
त्रिज्या $r = 1.00 \,cm = 10.0 \,mm$,$\Delta r = 0.1 \,mm$.
इन मानों को त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = 2 \times \left( \frac{0.1}{10.0} \right) + \left( \frac{1}{1000} \right)$.
$\frac{\Delta V}{V} = 2 \times (0.01) + 0.001 = 0.02 + 0.001 = 0.021$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.021 \times 100 = 2.1 \%$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सापेक्ष त्रुटि को निरपेक्ष त्रुटि (अल्पतमांक) और मापे गए मान के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
छात्र $A$ के लिए:
मापी गई लंबाई $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$.
अल्पतमांक $\Delta L_A = 0.5 \,cm$.
सापेक्ष त्रुटि $RE_A = \frac{\Delta L_A}{L} = \frac{0.5}{950} \approx 0.000526$.
छात्र $B$ के लिए:
मापी गई लंबाई $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$. चूंकि मीटर स्केल $(100 \,cm)$ का उपयोग किया जाता है,इसलिए माप $9.5$ बार (लगभग $10$ रीडिंग) दोहराया जाता है।
कुल निरपेक्ष त्रुटि $\Delta L_B = 10 \times 0.1 \,cm = 1.0 \,cm$.
सापेक्ष त्रुटि $RE_B = \frac{1.0}{950} \approx 0.00105$.
छात्र $C$ के लिए:
मापी गई लंबाई $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$. फुट स्केल लगभग $30.48 \,cm$ का होता है। रीडिंग की संख्या $n = \frac{950}{30.48} \approx 31.17 \approx 32$ रीडिंग।
कुल निरपेक्ष त्रुटि $\Delta L_C = 32 \times 0.05 \,cm = 1.6 \,cm$.
सापेक्ष त्रुटि $RE_C = \frac{1.6}{950} \approx 0.00168$.
सापेक्ष त्रुटियों की तुलना करने पर,$RE_A < RE_B < RE_C$ प्राप्त होता है। अतः,छात्र $A$ सबसे कम सापेक्ष त्रुटि दर्ज करता है।

(B) दिया गया है: $u = 1.11 \pm 0.01 \, m/s$,$t = 1.01 \pm 0.1 \, s$,$g = 9.8 \pm 0.1 \, m/s^2$.
दूरी $s = ut - \frac{1}{2} gt^2$ है।
गुणा और भाग में,परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या = सबसे कम सार्थक अंकों वाली संख्या के बराबर होती है।
जोड़ और घटाव में,परिणाम में दशमलव के बाद अंकों की संख्या = सबसे कम दशमलव स्थानों वाली संख्या के बराबर होती है।
दिए गए डेटा के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद केवल एक अंक होना चाहिए। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) परिशुद्धता (precision) का अर्थ है एक ही राशि के लिए विभिन्न मापों की निकटता। यह डेटा बिंदुओं के फैलाव या वितरण द्वारा निर्धारित की जाती है।
कम फैलाव (संकीर्ण वितरण वक्र) उच्च परिशुद्धता को दर्शाता है,क्योंकि माप एक-दूसरे के साथ अधिक सुसंगत होते हैं।
दिए गए आलेखों को देखने पर,स्थिति $I$ के लिए वितरण वक्र सबसे संकीर्ण है,जिसका अर्थ है कि माप एक-दूसरे के बहुत करीब हैं।
इसलिए,उच्चतम परिशुद्धता वाला मापन $I$ है।

(D) यादृच्छिक त्रुटियाँ वास्तविक मान (बेस्ट-फिट लाइन) के आसपास धनात्मक और ऋणात्मक दोनों दिशाओं में उतार-चढ़ाव द्वारा पहचानी जाती हैं। व्यवस्थित त्रुटियाँ डेटा बिंदुओं के वास्तविक मान से एक विशिष्ट दिशा (या तो सभी धनात्मक या सभी ऋणात्मक) में निरंतर विचलन द्वारा पहचानी जाती हैं।
छात्र $P$ के लिए,डेटा बिंदु बेस्ट-फिट लाइन के ऊपर और नीचे दोनों तरफ बिखरे हुए हैं। यह यादृच्छिक त्रुटियों की उपस्थिति को दर्शाता है। हालाँकि,बेस्ट-फिट लाइन स्वयं मूल बिंदु $(0,0)$ से नहीं गुजरती है,जो एक निरंतर ऑफसेट या पूर्वाग्रह को इंगित करती है,जो व्यवस्थित त्रुटि की उपस्थिति को दर्शाती है।
छात्र $Q$ के लिए,डेटा बिंदु लगातार बेस्ट-फिट लाइन से ऊपर की ओर स्थानांतरित हैं,जो एक व्यवस्थित त्रुटि को इंगित करता है। लाइन के आसपास बिखराव न्यूनतम है,जो नगण्य यादृच्छिक त्रुटि का सुझाव देता है।
इसलिए,छात्र $P$ में यादृच्छिक और व्यवस्थित दोनों त्रुटियाँ हैं।

(C) दिया गया है: लंबाई $l = 3.95 \,m$,$\Delta l = 0.05 \,m$. चौड़ाई $b = 3.05 \,m$,$\Delta b = 0.05 \,m$.
क्षेत्रफल $A = l \times b = 3.95 \times 3.05 = 12.0475 \,m^2 \approx 12.05 \,m^2$.
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b}$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta A = A \times \left( \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} \right) = 12.0475 \times \left( \frac{0.05}{3.95} + \frac{0.05}{3.05} \right)$.
$\Delta A = 12.0475 \times (0.012658 + 0.016393) = 12.0475 \times 0.029051 \approx 0.35 \,m^2$.
उचित सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$\Delta A \approx 0.34 \,m^2$ प्राप्त होता है।
अतः,फर्श का क्षेत्रफल $12.05 \pm 0.34 \,m^2$ है।

(C) दिया गया है,$F = 10.0 \pm 0.2 \, N$ और $a = 1.00 \pm 0.01 \, m/s^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $m = F/a$ है।
द्रव्यमान का माध्य मान ज्ञात करने पर: $m = 10.0 / 1.00 = 10.0 \, kg$ है।
भाग के लिए,सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} = \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta a}{a}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta m}{m} = \frac{0.2}{10.0} + \frac{0.01}{1.00} = 0.02 + 0.01 = 0.03$ है।
अब,द्रव्यमान में निरपेक्ष त्रुटि की गणना करने पर: $\Delta m = 0.03 \times m = 0.03 \times 10.0 = 0.3 \, kg$ है।
अतः,वस्तु का द्रव्यमान $m = 10.0 \pm 0.3 \, kg$ है।

(C) गोले का द्रव्यमान $m$,गोले के आयतन को इकाई सेल के आयतन से विभाजित करके,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या और एक परमाणु के द्रव्यमान से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
$m = \frac{\frac{4}{3} \pi (d/2)^3}{a^3} \times 8 \times \frac{M}{N_A}$
चूंकि $M$ और $N_A$ स्थिर हैं,सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{\Delta m}{m} = 3 \frac{\Delta d}{d} + 3 \frac{\Delta a}{a}$
दिया गया है $\Delta d = 0.2 \,nm = 0.2 \times 10^{-9} \,m$ और $d = 9.4 \,cm = 9.4 \times 10^{-2} \,m$.
$\frac{\Delta d}{d} = \frac{0.2 \times 10^{-9}}{9.4 \times 10^{-2}} \approx 2.127 \times 10^{-9}$.
दिया गया है $\frac{\Delta a}{a} = 2 \times 10^{-9}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta m}{m} = 3(2.127 \times 10^{-9}) + 3(2 \times 10^{-9})$
$\frac{\Delta m}{m} = 6.381 \times 10^{-9} + 6 \times 10^{-9} = 12.381 \times 10^{-9} \approx 1.2 \times 10^{-8}$.

(D) दाब $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है। $L$ भुजा वाले वर्ग के लिए,क्षेत्रफल $A = L^2$ होता है।
अतः,$P = \frac{F}{L^2}$.
दाब में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है: $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$.
दिया गया है कि $F$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$ है और $L$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,दाब में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2 \times (2 \%) = 4 \% + 4 \% = 8 \%$ होगी।

(B) स्टॉप वॉच का अल्पतमांक कुल समय के मापन में निरपेक्ष त्रुटि है,इसलिए $\Delta t = \frac{1}{5} \text{ s} = 0.2 \text{ s}$ है।
$20$ दोलनों के लिए मापा गया कुल समय $t = 25 \text{ s}$ है।
एक दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{t}{20} = \frac{25}{20} = 1.25 \text{ s}$ है।
आवर्तकाल $T$ में निरपेक्ष त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{20} = \frac{0.2}{20} = 0.01 \text{ s}$ है।
आवर्तकाल के मापन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{0.01}{1.25} \times 100 \% = \frac{1}{125} \times 100 \% = 0.8 \%$.

(B) सबसे सटीक पाठ्यांक वह है जिसमें न्यूनतम त्रुटि (minimum error) होती है।
माना वास्तविक लंबाई $L = 6.28 \,cm$ है।
प्रत्येक विकल्प के लिए निरपेक्ष त्रुटि $|L_{measured} - L_{actual}|$ की गणना करते हैं:
विकल्प $A$ के लिए: $|6 - 6.28| = 0.28 \,cm$
विकल्प $B$ के लिए: $|6.5 - 6.28| = 0.22 \,cm$
विकल्प $C$ के लिए: $|5.99 - 6.28| = 0.29 \,cm$
विकल्प $D$ के लिए: $|6.0 - 6.28| = 0.28 \,cm$
त्रुटियों की तुलना करने पर,$0.22 \,cm$ न्यूनतम त्रुटि है।
अतः,$6.5 \,cm$ का पाठ्यांक सबसे सटीक है।

(A) स्क्रू गेज का अल्पतमांक माप में निरपेक्ष त्रुटि $(\Delta L)$ को दर्शाता है,जो $0.001 \,cm$ है।
मापा गया मान $(L)$ $0.802 \,cm$ है।
प्रतिशत त्रुटि की गणना सूत्र: $\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{\Delta L}{L} \right) \times 100 \%$ का उपयोग करके की जाती है।
मान रखने पर: $\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{0.001}{0.802} \right) \times 100 \%$.
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = 0.00124688 \times 100 \% = 0.124688 \%$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें लगभग $0.125 \%$ प्राप्त होता है।

(C) घन का आयतन $V$,भुजा की लंबाई $L$ के साथ $V = L^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
त्रुटियों के प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,यदि $V = L^n$ है,तो सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = n \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 3$ है और भुजा की लंबाई में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} = 0.027$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = 3 \times 0.027 = 0.081$.
अतः,इसके आयतन के मापन में सापेक्ष त्रुटि $0.081$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
शून्य त्रुटि क्रमबद्ध त्रुटि का एक हिस्सा है क्योंकि यह उपकरण के डिजाइन या अंशांकन (calibration) में ज्ञात दोष के कारण होती है।
क्रमबद्ध त्रुटियाँ ऐसी अशुद्धियाँ हैं जो प्रतिलिपि योग्य (reproducible) होती हैं और हमेशा एक ही दिशा में होती हैं। चूँकि शून्य त्रुटि को निर्धारित और ठीक किया जा सकता है,इसलिए यह इस श्रेणी में आती है।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = 20.23 \,g \pm 0.01 \,g$
निकाला गया द्रव्यमान $m_2 = 5.75 \,g \pm 0.01 \,g$
माना कि शेष द्रव्यमान $m = m_1 - m_2$ है।
शेष द्रव्यमान का मान $20.23 - 5.75 = 14.48 \,g$ है।
त्रुटि प्रसार के नियमों के अनुसार,जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो उनकी निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ जाती हैं।
इसलिए,शेष द्रव्यमान में निरपेक्ष त्रुटि $\Delta m = \Delta m_1 + \Delta m_2 = 0.01 \,g + 0.01 \,g = 0.02 \,g$ होगी।
अतः,शेष बचे पाउडर का द्रव्यमान $(14.48 \pm 0.02) \,g$ है।

(A) यादृच्छिक त्रुटियाँ अनियमित होती हैं और प्रयोगात्मक स्थितियों में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव के कारण होती हैं।
चूँकि यादृच्छिक त्रुटियाँ सांख्यिकीय प्रकृति की होती हैं,इसलिए इन्हें बड़ी संख्या में अवलोकन लेकर और उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करके कम किया जा सकता है।
दूसरी ओर,व्यवस्थित त्रुटियों (systematic errors) को शून्य त्रुटि को सुधार कर या प्रयोग की उचित तकनीकों का पालन करके कम किया जाता है।
इसलिए,यादृच्छिक त्रुटियों को कम करने का सही तरीका बड़ी संख्या में अवलोकन लेना है।

(A) किसी राशि $x$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta x}{x}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई निरपेक्ष त्रुटि $\Delta x$ के लिए,सापेक्ष त्रुटि राशि $x$ के परिमाण के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,सबसे छोटा परिमाण रखने वाली राशि अंतिम परिणाम में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि का योगदान देगी।
गणना किए गए परिणाम में कुल अनिश्चितता को कम करने के लिए,सबसे छोटे परिमाण वाली राशि को सबसे अधिक सटीकता और यथार्थता के साथ मापा जाना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) यादृच्छिक त्रुटियाँ प्रयोगात्मक स्थितियों में होने वाले अनिश्चित उतार-चढ़ाव हैं जो माप के दौरान उत्पन्न होते हैं। इन त्रुटियों को बड़ी संख्या में अवलोकन लेकर और उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करके कम किया जा सकता है,क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक विचलन एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
दूसरी ओर,क्रमबद्ध त्रुटियाँ दोषपूर्ण उपकरणों या त्रुटिपूर्ण प्रयोगात्मक डिजाइन (जैसे दोषपूर्ण बाटों का उपयोग करना) से जुड़ी सुसंगत और दोहराने योग्य त्रुटियाँ हैं। इन त्रुटियों को अवलोकनों की संख्या बढ़ाकर कम नहीं किया जा सकता है क्योंकि वे सभी मापों को एक ही दिशा में विस्थापित करती हैं।
इसलिए,बड़ी संख्या में रीडिंग लेने से केवल यादृच्छिक त्रुटियाँ ही कम होंगी।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$.
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
चूंकि $\alpha = \frac{\Delta L}{L}$ और $\beta = \frac{\Delta T}{T}$ दिया गया है,इसलिए $g$ में सापेक्ष त्रुटि $\alpha + 2\beta$ है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $\text{प्रतिशत त्रुटि} = (\alpha + 2\beta) \times 100$.

(A) दिया गया है,क्षेत्रफल $A = (100 \pm 0.2) \, m^2$ है।
चूंकि पार्क वर्गाकार है,इसलिए $A = l^2$,जहाँ $l$ भुजा की लंबाई है।
भुजा की लंबाई की गणना करने पर: $l = \sqrt{A} = \sqrt{100} = 10 \, m$ है।
त्रुटि प्रसार के सूत्र $A = l^2$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta l}{l}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{0.2}{100} = 2 \times \frac{\Delta l}{10}$ है।
$\Delta l$ के लिए हल करने पर: $\Delta l = \frac{0.2 \times 10}{100 \times 2} = \frac{2}{200} = 0.01 \, m$ है।
अतः,पार्क की भुजा $(10 \pm 0.01) \, m$ है।

(C) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $L = 10 \, cm$,$\Delta L = 0.1 \, cm$,$T = 100 \, s$,और $\Delta T = 1 \, s$।
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ है।
प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{0.1}{10} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{1}{100} \times 100 \right)$।
प्रतिशत त्रुटि $= 1\% + 2\% = 3\%$।
अतः,$g$ के मापन में प्रतिशत त्रुटि $3\%$ है।

(C) समानांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R$ का सूत्र $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta R}{R^2} = \frac{\Delta R_1}{R_1^2} + \frac{\Delta R_2}{R_2^2}$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,तुल्य प्रतिरोध $R$ की गणना करें:
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{10 \times 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6 \ \Omega$.
अब,त्रुटि समीकरण में मान रखने पर:
$\Delta R = R^2 \left( \frac{\Delta R_1}{R_1^2} + \frac{\Delta R_2}{R_2^2} \right) = 6^2 \left( \frac{0.5}{10^2} + \frac{0.5}{15^2} \right) = 36 \left( \frac{0.5}{100} + \frac{0.5}{225} \right)$.
$\Delta R = 36 \left( 0.005 + 0.00222 \right) = 36 \times 0.00722 = 0.26 \ \Omega$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \frac{0.26}{6} \times 100 = 4.33 \%$ है।

(C) बेलनाकार तार का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $m = 0.4 \, g, \Delta m = 0.01 \, g$,$l = 8 \, cm, \Delta l = 0.04 \, cm$,और $r = 6 \, mm, \Delta r = 0.03 \, mm$ हैं।
इन मानों को त्रुटि सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{0.4} + 2 \left( \frac{0.03}{6} \right) + \frac{0.04}{8}$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.025 + 0.01 + 0.005 = 0.04$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100 \%$ से गुणा करने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = 0.04 \times 100 \% = 4 \%$.

(A) भौतिक राशि के लिए सूत्र $P = \frac{a^2 b^3}{c \sqrt{d}}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,$P$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100 \%$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 \% = \left( 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100 \%$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1 \%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4 \%$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 \% = 2(1 \%) + 3(2 \%) + 3 \% + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$= 2 \% + 6 \% + 3 \% + 2 \% = 13 \%$.

(A) गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
सबसे पहले,गतिज ऊर्जा का माध्य मान ज्ञात करें:
$K = \frac{1}{2} \times 5 \times (20)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 1000 \ J$.
अब,त्रुटि के प्रसार के नियम का उपयोग करके सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करें:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
$\frac{\Delta K}{1000} = \frac{0.5}{5} + 2 \times \frac{0.4}{20} = 0.1 + 0.04 = 0.14$.
निरपेक्ष त्रुटि $\Delta K$ की गणना करें:
$\Delta K = 1000 \times 0.14 = 140 \ J$.
अतः,गतिज ऊर्जा $(1000 \pm 140) \ J$ होगी।

(D) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 \ell}$ है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100\% = \left( \frac{0.002}{0.4} + 2 \times \frac{0.001}{0.3} + \frac{0.02}{5} \right) \times 100\%$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{0.002}{0.4} \times 100\% = 0.5\%$.
$2 \times \frac{0.001}{0.3} \times 100\% = \frac{2}{3}\% \approx 0.67\%$.
$\frac{0.02}{5} \times 100\% = 0.4\%$.
इन त्रुटियों का योग करने पर:
$0.5\% + 0.67\% + 0.4\% = 1.57\% \approx 1.6\%$.

(A) प्रायोगिक स्थितियों में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव,जैसे कि तापमान,वोल्टेज आपूर्ति या यांत्रिक कंपन के कारण उत्पन्न होने वाली त्रुटियों को यादृच्छिक त्रुटियां (Random errors) कहा जाता है। ये त्रुटियां अनियमित रूप से होती हैं और प्रकृति में यादृच्छिक होती हैं,जिसका अर्थ है कि वे धनात्मक या ऋणात्मक दोनों हो सकती हैं।

(A) दिया गया है,$R = \frac{V}{I}$।
विभाजन के लिए त्रुटि विश्लेषण के नियमों के अनुसार,$R$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$
दिए गए मान $V = 200 \ V$,$\Delta V = 5 \ V$,$I = 20 \ A$,और $\Delta I = 0.2 \ A$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{5}{200} + \frac{0.2}{20}$
$\frac{\Delta R}{R} = 0.025 + 0.01 = 0.035$
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.035 \times 100 = 3.5 \%$

(C) दिया गया संबंध: $Q = \frac{a^4 b^3}{c^2}$.
$Q$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार दी जाती है: $\frac{\Delta Q}{Q} = 4 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 4 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $(3 \%, 4 \%, 5 \%)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\% \text{ error in } Q = 4(3 \%) + 3(4 \%) + 2(5 \%)$.
मानों की गणना करने पर:
$= 12 \% + 12 \% + 10 \% = 34 \%$.
अतः,$Q$ में प्रतिशत त्रुटि $34 \%$ है.

(C) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और $g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$g = \frac{4 \pi^2 \ell}{T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\ell = 20 \ cm$ और $\Delta \ell = 2 \ mm = 0.2 \ cm$ है।
$50$ दोलनों के लिए कुल समय $40 \ s$ है,इसलिए $T = \frac{40}{50} = 0.8 \ s$। रिज़ॉल्यूशन $\Delta T_{total} = 1 \ s$ है,इसलिए $\Delta T = \frac{1}{50} = 0.02 \ s$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.2}{20} + 2 \left( \frac{0.02}{0.8} \right)$.
$\frac{\Delta g}{g} = 0.01 + 2 \left( 0.025 \right) = 0.01 + 0.05 = 0.06$.
प्रतिशत त्रुटि $N = 0.06 \times 100 = 6 \%$।

(B) प्रतिरोधकता का सूत्र $\rho = R \frac{A}{l} = R \frac{\pi r^2}{l}$ है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta R}{R} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{10}{100} + 2 \times \frac{0.05}{0.35} + \frac{0.2}{15}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.1 + 2 \times \frac{1}{7} + \frac{0.2}{15} = 0.1 + 0.2857 + 0.0133 = 0.399$.
प्रतिशत में बदलने पर: $0.399 \times 100 \% = 39.9 \%$.

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta T}{T}$।
दिया गया है: द्रव्यमान में त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} \% = -1 \%$ और समय में त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \% = 2 \%$।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम निरपेक्ष मान लेते हैं: $\left( \frac{\Delta k}{k} \right) \% = |\frac{\Delta m}{m} \%| + 2 |\frac{\Delta T}{T} \%|$।
मान रखने पर: $\left( \frac{\Delta k}{k} \right) \% = |-1 \%| + 2(2 \%) = 1 \% + 4 \% = 5 \%$।

(C) यंग मापांक का सूत्र $Y = 49000 \frac{M}{\ell}$ है।
$Y$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $M = 500 \text{ g}$,$\Delta M = 5 \text{ g}$,$\ell = 2 \text{ cm}$,और $\Delta \ell = 0.02 \text{ cm}$ हैं।
इन मानों को सापेक्ष त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{5}{500} + \frac{0.02}{2}$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.01 + 0.01 = 0.02$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए:
$\% \text{ error} = \frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2 \%$.

(B) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = 4\pi^2 \frac{\ell}{T^2}$ है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2\frac{\Delta T}{T}$.
चूंकि $T = \frac{t}{n}$,जहाँ $t$ कुल समय है और $n$ दोलनों की संख्या है,इसलिए $\Delta T = \frac{\Delta t}{n}$.
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta t/n}{t/n} = \frac{\Delta t}{t}$.
इसलिए,$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2\frac{\Delta t}{t}$.
दिया गया है $\Delta \ell = 0.1 \text{ cm}$ और $\Delta t = 0.1 \text{ s}$.
छात्र $I$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2(\frac{0.1}{128.0}) = 0.00156 + 0.00156 = 0.00312$.
छात्र $II$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2(\frac{0.1}{64.0}) = 0.00156 + 0.00312 = 0.00468$.
छात्र $III$ के लिए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2(\frac{0.1}{36.0}) = 0.005 + 0.0055 = 0.0105$.
मानों की तुलना करने पर,$E_I$ न्यूनतम है।

(B) आवर्तकाल के प्रेक्षित मान $T_1=0.52 \text{ s}, T_2=0.56 \text{ s}, T_3=0.57 \text{ s}, T_4=0.54 \text{ s}, T_5=0.59 \text{ s}$ हैं।
आवर्तकाल का माध्य मान $T = \frac{0.52+0.56+0.57+0.54+0.59}{5} = \frac{2.78}{5} = 0.556 \text{ s} \approx 0.56 \text{ s}$ है।
आवर्तकाल में माध्य निरपेक्ष त्रुटि $\Delta T_m = \frac{|0.56-0.52| + |0.56-0.56| + |0.56-0.57| + |0.56-0.54| + |0.56-0.59|}{5} = \frac{0.04+0+0.01+0.02+0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \text{ s}$ है।
$T$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta T_m}{T} \times 100 = \frac{0.02}{0.56} \times 100 \approx 3.57 \%$. अतः,$(B)$ सत्य है।
$r$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta r}{r} \times 100 = \frac{1}{10} \times 100 = 10 \%$. अतः,$(A)$ सत्य है।
$T^2 = \frac{4 \pi^2 \cdot 7(R-r)}{5g}$ से,हमें $g = \frac{28 \pi^2 (R-r)}{5 T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta R + \Delta r}{R-r} + 2 \frac{\Delta T_m}{T}$ है।
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{1+1}{60-10} \right) \times 100 + 2 \times 3.57 \% = \frac{2}{50} \times 100 + 7.14 \% = 4 \% + 7.14 \% = 11.14 \% \approx 11 \%$. अतः,$(D)$ सत्य है।
इस प्रकार,कथन $(A)$,$(B)$,और $(D)$ सत्य हैं।

(A) दिया गया है: $u = 10 \pm 0.1 \text{ cm}$,$v = 20 \pm 0.2 \text{ cm}$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
उत्तल लेंस के लिए,$u$ को ऋणात्मक लेने पर,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
$f$ की गणना: $\frac{1}{f} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{3}{20} \implies f = \frac{20}{3} \text{ cm}$.
लेंस सूत्र का अवकलन करने पर: $\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
मान रखने पर: $\frac{df}{f^2} = \frac{0.2}{(20)^2} + \frac{0.1}{(10)^2} = \frac{0.2}{400} + \frac{0.1}{100} = \frac{0.6}{400}$.
सापेक्ष त्रुटि $\frac{df}{f} = f^2 \times \frac{0.6}{400} = \left(\frac{20}{3}\right)^2 \times \frac{0.6}{400} = \frac{400}{9} \times \frac{0.6}{400} = \frac{0.6}{9} = \frac{1}{15}$.
प्रतिशत त्रुटि = $\frac{df}{f} \times 100 = \frac{20}{3} \times \left( \frac{0.2}{400} + \frac{0.1}{100} \right) \times 100 = 1 \%$.
अतः,$n = 1$.

(B) कुल समय $T$ पत्थर को गिरने में लगा समय $(t_1)$ और ध्वनि को वापस आने में लगा समय $(t_2)$ का योग है।
$T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g}} + \frac{L}{v}$
दिया गया है $L = 20 \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$,और $v = 300 \ ms^{-1}$।
$T$ का $L$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dT}{dL} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{gL}} + \frac{1}{v} = \frac{1}{\sqrt{2gL}} + \frac{1}{v}$
मान रखने पर:
$\frac{dT}{dL} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 10 \times 20}} + \frac{1}{300} = \frac{1}{20} + \frac{1}{300} = \frac{15+1}{300} = \frac{16}{300} \ s/m$
चूंकि $\delta T = 0.01 \ s$ है,इसलिए $\delta L = \delta T / (dT/dL) = 0.01 \times (300/16) = 3/16 \ m = 0.1875 \ m$।
भिन्नात्मक त्रुटि $\frac{\delta L}{L} = \frac{0.1875}{20} = 0.009375$ है।
प्रतिशत त्रुटि = $0.009375 \times 100 \% \approx 0.9375 \% \approx 1 \%$।

(D) समय अवधि $T = \frac{t}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $t = 40 \ s$ और $n = 20$ है।
स्टॉपवॉच का अल्पतमांक $\Delta t = 1 \ s$ दिया गया है।
समय अवधि $T$ में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{n} = \frac{1 \ s}{20} = 0.05 \ s$ है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का सूत्र $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = 2 \times \frac{0.05}{2} = 0.05$।
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.05 \times 100 = 5 \%$ है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।