Errors of Measurement Questions in Hindi

(C) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{V}$ है।
गुणनफल या भागफल के लिए,सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत मापों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}$.
दिया गया है: $m = 22.42 \; g$,$\Delta m = 0.01 \; g$,$V = 4.7 \; cc$,$\Delta V = 0.1 \; cc$.
मान रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{22.42} + \frac{0.1}{4.7}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.000446 + 0.021276 \approx 0.021722$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100 \%$ से गुणा करें:
प्रतिशत त्रुटि $= 0.021722 \times 100 \% \approx 2.17 \%$.
विकल्पों में दिए गए निकटतम सार्थक मान के अनुसार,अधिकतम प्रतिशत त्रुटि लगभग $2 \%$ है।

(D) $g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,समय मापन में कुल त्रुटि $\Delta T_{total} = \Delta T + 0.1 \, s$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{t}{n}$ के रूप में मापा जाता है,जहाँ $t$,$n$ दोलनों का समय है।
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta T_{total}}{t} = \frac{\Delta T + 0.1}{n \times T_0}$,जहाँ $1 \, m$ के लोलक के लिए $T_0 \approx 2 \, s$ है।
मान रखने पर:
$(A)$ $\frac{\Delta g}{g} = 0.005 + 0.03 = 0.035$
$(B)$ $\frac{\Delta g}{g} = 0.005 + 0.015 = 0.020$
$(C)$ $\frac{\Delta g}{g} = 0.005 + 0.02 = 0.025$
$(D)$ $\frac{\Delta g}{g} = 0.001 + 0.004 = 0.005$
चूंकि स्थिति $(D)$ में सापेक्ष त्रुटि न्यूनतम है,इसलिए मापन सबसे सटीक है।

(B) दिया गया है: दूरी $s = (13.8 \pm 0.2) \text{ m}$ और समय $t = (4.0 \pm 0.3) \text{ s}$।
वेग $v = \frac{s}{t} = \frac{13.8}{4.0} = 3.45 \text{ m/s} \approx 3.5 \text{ m/s}$।
वेग में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta s}{s} + \frac{\Delta t}{t}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{0.2}{13.8} + \frac{0.3}{4.0} = 0.0145 + 0.075 = 0.0895$।
निरपेक्ष त्रुटि $\Delta v = v \times 0.0895 = 3.45 \times 0.0895 \approx 0.3087 \approx 0.31 \text{ m/s}$।
अतः,वेग $v = (3.5 \pm 0.31) \text{ m/s}$।
प्रतिशत त्रुटि = $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 0.0895 \times 100 = 8.95\% \approx 9\%$।

(C) त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 2\%$ दी गई है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
घातों के लिए त्रुटि के प्रसार के नियम का उपयोग करते हुए,आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\Delta r}{r}$ होती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 2\% = 6\%$.

(B) विराम अवस्था से शुरू होने वाले पिंड के लिए,$t$ समय में तय की गई दूरी $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है:
$h = \frac{1}{2}gt^2$
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$g = \frac{2h}{t^2}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln g = \ln 2 + \ln h - 2\ln t$
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta h}{h} + 2\frac{\Delta t}{t}$
अधिकतम अनुमेय प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम सापेक्ष त्रुटियों के निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं:
$\left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right)_{\max} = \left( \frac{\Delta h}{h} \times 100 \right) + 2 \times \left( \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$
यह दिया गया है कि $\frac{\Delta h}{h} \times 100 = e_1$ और $\frac{\Delta t}{t} \times 100 = e_2$,इसलिए $g$ में प्रतिशत त्रुटि है:
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $= e_1 + 2e_2$

(C) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
आयतन $V$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\Delta r}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ त्रिज्या $r = 5.3 \; cm$ और निरपेक्ष त्रुटि $\Delta r = 0.1 \; cm$ दी गई है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$ होगी।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\left( 3 \times \frac{0.1}{5.3} \right) \times 100$।

(D) $l$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट पर दबाव $P$ को $P = \frac{F}{A} = \frac{F}{l^2}$ द्वारा दिया जाता है।
त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2\frac{\Delta l}{l}$ है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right)_{\max} = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \times \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
यह दिया गया है कि बल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4\%$ है और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2\%$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right)_{\max} = 4\% + 2 \times 2\% = 4\% + 4\% = 8\%$.

(C) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = 4\pi^2 \left(\frac{l}{T^2}\right)$ है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2\frac{\Delta T}{T}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\left(\frac{\Delta l}{l} \times 100\right) = 1\%$ और आवर्तकाल में प्रतिशत त्रुटि $\left(\frac{\Delta T}{T} \times 100\right) = 3\%$ है।
चूंकि त्रुटियां हमेशा जुड़ती हैं,इसलिए $g$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left(\frac{\Delta l}{l} \times 100\right) + 2 \times \left(\frac{\Delta T}{T} \times 100\right)$ होगी।
मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 1\% + 2(3\%) = 1\% + 6\% = 7\%$.
अतः,$g$ के मापन में प्रतिशत त्रुटि $7\%$ है।

(A) दिया गया है: $I = (2.5 \pm 0.05) \ A$ और $V = (10 \pm 0.1) \ V$.
प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{10}{2.5} = 4 \ \Omega$.
प्रतिरोध में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta R}{4} = \frac{0.1}{10} + \frac{0.05}{2.5}$.
$\frac{\Delta R}{4} = 0.01 + 0.02 = 0.03$.
$\Delta R = 4 \times 0.03 = 0.12 \ \Omega$.
अतः,प्रतिरोध $(4 \pm 0.12) \ \Omega$ है।

(B) ओम के नियम के अनुसार,प्रतिरोध $R$ को $R = \frac{V}{I}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
भागफल के लिए,सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत राशियों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
दिया गया है कि वोल्टेज में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3\%$ है और धारा में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 3\%$ है।
अतः,प्रतिरोध में प्रतिशत त्रुटि $3\% + 3\% = 6\%$ है।

(A) सरल लोलक के दोलन काल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $l = 20.0 \text{ cm}$,$\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$ हैं।
$100$ दोलनों के लिए कुल समय $t = 90 \text{ s}$ है और रिज़ॉल्यूशन $\Delta t = 1 \text{ s}$ है।
दोलन काल $T = \frac{t}{100} = 0.9 \text{ s}$,और दोलन काल में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{1}{100} = 0.01 \text{ s}$ है।
अब,प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{0.1}{20.0} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{0.01}{0.9} \times 100 \right)$।
$= 0.5\% + 2 \times 1.11\% = 0.5\% + 2.22\% = 2.72\%$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $3\%$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: माध्य आवर्तकाल $(T_{mean})$ की गणना करें:
$T_{mean} = \frac{90 + 91 + 95 + 92}{4} = \frac{368}{4} = 92\;s$.
चरण $2$: प्रत्येक माप के लिए निरपेक्ष त्रुटि की गणना करें:
$|\Delta T_1| = |92 - 90| = 2\;s$
$|\Delta T_2| = |92 - 91| = 1\;s$
$|\Delta T_3| = |92 - 95| = 3\;s$
$|\Delta T_4| = |92 - 92| = 0\;s$
चरण $3$: माध्य निरपेक्ष त्रुटि $(\Delta T_{mean})$ की गणना करें:
$\Delta T_{mean} = \frac{2 + 1 + 3 + 0}{4} = \frac{6}{4} = 1.5\;s$.
चरण $4$: अल्पतमांक (Least count) के आधार पर पूर्णांकन:
घड़ी का अल्पतमांक $1\;s$ है। इसलिए,माध्य निरपेक्ष त्रुटि को निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर यह $2\;s$ प्राप्त होती है।
अतः,रिपोर्ट किया गया माध्य समय $92 \pm 2\;s$ है।

(B) घनत्व $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{M}{V} = \frac{M}{L^3}$,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $L$ घन की भुजा की लंबाई है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम का उपयोग करते हुए,घनत्व में सापेक्ष त्रुटि है: $\frac{\Delta d}{d} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$।
यहाँ द्रव्यमान में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} = 1.5\%$ और लंबाई में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} = 1\%$ दी गई है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{\Delta d}{d} = 1.5\% + 3(1\%) = 1.5\% + 3\% = 4.5\%$.
अतः,घनत्व निर्धारित करने में अधिकतम त्रुटि $4.5\%$ है।

(D) दिया गया धारा-वोल्टेज संबंध $I = (e^{1000V/T} - 1) \text{ mA}$ है।
जब $I = 5 \text{ mA}$ है,तो $5 = e^{1000V/T} - 1$,जिसका अर्थ है $e^{1000V/T} = 6$.
धारा में त्रुटि $(dI)$ ज्ञात करने के लिए,हम $V$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$dI = \frac{d}{dV} (e^{1000V/T} - 1) \cdot dV = \left( e^{1000V/T} \cdot \frac{1000}{T} \right) dV$.
दिया गया है $dV = 0.01 \text{ V}$ और $T = 300 \text{ K}$,मान रखने पर:
$dI = (6) \cdot \left( \frac{1000}{300} \right) \cdot (0.01)$.
$dI = 6 \cdot \left( \frac{10}{3} \right) \cdot 0.01 = 2 \cdot 10 \cdot 0.01 = 0.2 \text{ mA}$.
अतः,धारा के मान में त्रुटि $0.2 \text{ mA}$ है।

(C) दिया गया संबंध $A = \frac{p^{1/2} q^{1/2}}{r^2 s^3}$ है।
$A$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{1}{2} \frac{\Delta p}{p} + \frac{1}{2} \frac{\Delta q}{q} + 2 \frac{\Delta r}{r} + 3 \frac{\Delta s}{s}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ हैं:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 3\%$
$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.5\%$
$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 0.33\%$
इन मानों को $A$ में प्रतिशत त्रुटि के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{1}{2}(1\%) + \frac{1}{2}(3\%) + 2(0.5\%) + 3(0.33\%)$
$= 0.5\% + 1.5\% + 1.0\% + 0.99\%$
$= 3.99\% \approx 4\%$.

(A) प्रतिरोधकता का सूत्र $\rho = \frac{RA}{\ell} = \frac{R \pi (d/2)^2}{\ell} = \frac{\pi R d^2}{4 \ell}$ है।
सापेक्ष त्रुटि के लिए,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta R}{R} + 2 \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ होता है।
दिए गए मान: $R = 1.05, \Delta R = 0.01$; $d = 0.60, \Delta d = 0.01$; $\ell = 75.3, \Delta \ell = 0.1$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{1.05} + 2 \times \frac{0.01}{0.60} + \frac{0.1}{75.3}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.0095 + 0.0333 + 0.0013 = 0.0441$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सापेक्ष त्रुटि लगभग $0.04$ है।

(B) दिया गया समीकरण $Q = \frac{X^n}{Y^m}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln Q = n \ln X - m \ln Y$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dQ}{Q} = n \frac{dX}{X} - m \frac{dY}{Y}$.
त्रुटियों के लिए,हम अधिकतम सापेक्ष त्रुटि पर विचार करते हैं,जो व्यक्तिगत सापेक्ष त्रुटियों के निरपेक्ष मानों का योग है:
$\frac{\Delta Q}{Q} = \pm \left( n \frac{\Delta X}{X} + m \frac{\Delta Y}{Y} \right)$.
दोनों पक्षों को $Q$ से गुणा करने पर,हमें $Q$ में निरपेक्ष त्रुटि प्राप्त होती है:
$\Delta Q = \pm \left( n \frac{\Delta X}{X} + m \frac{\Delta Y}{Y} \right) Q$.

(A) प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र $R = \frac{U^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
यहाँ $U = 20 \ m/s$,$\theta = 60^{\circ}$,और $g \approx 10 \ m/s^2$ दिया गया है।
$R = \frac{20^2 \times \sin(120^{\circ})}{10} = \frac{400 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = 20\sqrt{3} \approx 34.64 \ m$।
$U$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta U}{U} = 5\% = 0.05$ है।
चूँकि $R \propto U^2$,परास में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = 2 \times \frac{\Delta U}{U} = 2 \times 0.05 = 0.10$ होगी।
अतः,$\Delta R = 0.10 \times R = 0.10 \times 34.64 = 3.464 \ m$।
संभव परास का अंतराल $(R - \Delta R, R + \Delta R) = (34.64 - 3.46, 34.64 + 3.46) = (31.18 \ m, 38.10 \ m)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$39.0 \ m$ इस सीमा से बाहर है।

(C) दिया गया संबंध $x = \frac{a^2 b^3}{c \sqrt{d}}$ है।
$x$ में प्रतिशत त्रुटि का सूत्र है:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 1 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियां हैं:
$\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3\%$,और $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4\%$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 2(2\%) + 3(1\%) + 1(3\%) + \frac{1}{2}(4\%)$.
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\% + 3\% + 3\% + 2\% = 12\%$.
अतः,$x$ में प्रतिशत त्रुटि $\pm 12\%$ है।

(A) दिया गया संबंध $m = \pi \tan \theta$ है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $dm = \pi \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष त्रुटि $\frac{dm}{m} = \frac{\pi \sec^2 \theta \, d\theta}{\pi \tan \theta}$ द्वारा दी जाती है।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{dm}{m} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} d\theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{dm}{m} = \frac{2 d\theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{2 d\theta}{\sin 2\theta}$ प्राप्त होता है।
प्रतिशत त्रुटि को न्यूनतम होने के लिए,हर $\sin 2\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin 2\theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $2\theta = 90^\circ$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 45^\circ$।

(A) दिया गया है $Z = x^2y - xy^2$,$x = 3.0 \pm 0.1$,और $y = 2.0 \pm 0.1$.
सबसे पहले,$Z$ का औसत मान ज्ञात करें:
$Z = (3.0)^2(2.0) - (3.0)(2.0)^2 = (9.0)(2.0) - (3.0)(4.0) = 18.0 - 12.0 = 6.0$.
अब,आंशिक अवकलन विधि का उपयोग करके निरपेक्ष त्रुटि $\delta Z$ ज्ञात करें:
$\delta Z = \left| \frac{\partial Z}{\partial x} \right| \delta x + \left| \frac{\partial Z}{\partial y} \right| \delta y$.
$\frac{\partial Z}{\partial x} = 2xy - y^2 = 2(3.0)(2.0) - (2.0)^2 = 12.0 - 4.0 = 8.0$.
$\frac{\partial Z}{\partial y} = x^2 - 2xy = (3.0)^2 - 2(3.0)(2.0) = 9.0 - 12.0 = -3.0$.
अब,इन मानों को त्रुटि के सूत्र में रखें:
$\delta Z = |8.0| \times 0.1 + |-3.0| \times 0.1 = 0.8 + 0.3 = 1.1$.
अतः,$Z$ का मान $6.0 \pm 1.1$ है।

(A) छड़ का प्रतिरोध $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{\rho \ell}{\pi r^2} = \frac{4 \rho \ell}{\pi D^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ लंबाई है और $D$ व्यास है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta D}{D}$ (चूंकि $\rho$ सटीक है,इसलिए $\Delta \rho = 0$)।
दिया गया है: $\ell = 20 \ cm = 200 \ mm$,$\Delta \ell = 1 \ mm$.
व्यास $D = 4 \ mm$। स्क्रू गेज का अल्पतमांक $LC = \frac{\text{पिच}}{\text{भागों की संख्या}} = \frac{1 \ mm}{50} = 0.02 \ mm$। अतः,$\Delta D = 0.02 \ mm$।
प्रतिशत त्रुटि = $\left( \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta D}{D} \right) \times 100\%$.
प्रतिशत त्रुटि = $\left( \frac{1}{200} + 2 \times \frac{0.02}{4} \right) \times 100\% = (0.005 + 0.01) \times 100\% = 0.015 \times 100\% = 1.5\%$.

(C) दिया गया संबंध $x = a - b$ है।
$x$ में निरपेक्ष त्रुटि,जिसे $\Delta x$ द्वारा दर्शाया जाता है,$a$ और $b$ की निरपेक्ष त्रुटियों के योग के बराबर होती है क्योंकि घटाव में भी त्रुटियां हमेशा जुड़ती हैं।
इसलिए,$\Delta x = \Delta a + \Delta b$।
प्रतिशत त्रुटि को $\frac{\Delta x}{x} \times 100\%$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\Delta x$ और $x$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{\Delta a + \Delta b}{a - b} \right) \times 100\% = \left( \frac{\Delta a}{a - b} + \frac{\Delta b}{a - b} \right) \times 100\%$।

(B) गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta E}{E} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\left( \frac{\Delta E}{E} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \times \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$.
यह दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $3\%$ है और गति में प्रतिशत त्रुटि $2\%$ है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E$ में प्रतिशत त्रुटि $= 3\% + 2 \times (2\%) = 3\% + 4\% = 7\%$.
अतः,गतिज ऊर्जा में त्रुटि $7\%$ है।

(B) डिस्क के लिए उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{5}{4}MR^2$ होता है।
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र $I = k M^a R^b$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\Delta I}{I} = a \frac{\Delta M}{M} + b \frac{\Delta R}{R}$.
यहाँ,$a = 1$ और $b = 2$ है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta M}{M} = 1\%$ और $\frac{\Delta R}{R} = 1.5\%$.
अतः,$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = (1 \times 1\%) + (2 \times 1.5\%) = 1\% + 3\% = 4\%$.

(A) दिया गया संबंध $P = \frac{A^3}{B^{5/2}}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln P = 3 \ln A - \frac{5}{2} \ln B$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{dP}{P} = 3 \frac{dA}{A} - \frac{5}{2} \frac{dB}{B}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम सापेक्ष त्रुटि के लिए,हम पदों के निरपेक्ष मानों पर विचार करते हैं,इसलिए $\frac{\Delta P}{P} = \pm \left( 3 \frac{\Delta A}{A} + \frac{5}{2} \frac{\Delta B}{B} \right)$।
दोनों पक्षों को $P$ से गुणा करने पर,हमें निरपेक्ष त्रुटि $\Delta P = \pm \left( 3 \frac{\Delta A}{A} + \frac{5}{2} \frac{\Delta B}{B} \right) P$ प्राप्त होती है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} + \frac{1}{2} \frac{\Delta g}{g}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $l$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2\%$ और $g$ में $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 4\%$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$T$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{1}{2} (2\%) + \frac{1}{2} (4\%) = 1\% + 2\% = 3\%$ होगी।

(C) $1$. सटीकता (Accuracy) का अर्थ है कि मापे गए मानों का औसत वास्तविक मान $(T)$ के कितना करीब है।
$2$. परिशुद्धता (Precision) का अर्थ है मापों की स्थिरता या पुनरावृत्ति,जिसे वितरण वक्र की चौड़ाई द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. एक संकीर्ण शिखर उच्च परिशुद्धता (कम भिन्नता) को इंगित करता है,जबकि एक व्यापक शिखर कम परिशुद्धता (उच्च भिन्नता या अशुद्ध) को इंगित करता है।
$4$. चित्र $A$ में,शिखर संकीर्ण है (परिशुद्ध) और $T$ पर केंद्रित है (सटीक)।
$5$. चित्र $B$ में,शिखर संकीर्ण है (परिशुद्ध) लेकिन $T$ से दूर है (असटीक)।
$6$. चित्र $C$ में,शिखर व्यापक है (अशुद्ध) और $T$ पर केंद्रित है (सटीक)।
$7$. चित्र $D$ में,शिखर व्यापक है (अशुद्ध) और $T$ से दूर है (असटीक)।
$8$. इसलिए,चित्र $C$ एक ऐसे माप को दर्शाता है जो अशुद्ध (व्यापक शिखर) है लेकिन सटीक ($T$ पर केंद्रित) है।

(D) समानांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ है।
सबसे पहले,$R_{eq}$ की गणना करें: $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \Omega$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ का अवकलन करने पर,हमें $-\frac{dR_{eq}}{R_{eq}^2} = -\frac{dR_1}{R_1^2} - \frac{dR_2}{R_2^2}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{dR_{eq}}{R_{eq}^2} = \frac{dR_1}{R_1^2} + \frac{dR_2}{R_2^2}$ मिलता है।
$R_{eq}$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{dR_{eq}}{R_{eq}} = \frac{R_{eq}}{R_1} \left( \frac{dR_1}{R_1} \right) + \frac{R_{eq}}{R_2} \left( \frac{dR_2}{R_2} \right)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dR_1}{R_1} = 1\%$ और $\frac{dR_2}{R_2} = 2\%$,मान रखने पर:
$\frac{dR_{eq}}{R_{eq}} = \frac{2}{3} (1\%) + \frac{2}{6} (2\%) = \frac{2}{3}\% + \frac{2}{3}\% = \frac{4}{3}\%$.
$\frac{dR_{eq}}{R_{eq}} = 1.33\%$.

(B) श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_s$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है:
$R_s = R_1 + R_2 = 300 \,\Omega + 500 \,\Omega = 800 \,\Omega$
दो राशियों के योग में त्रुटि उनकी निरपेक्ष त्रुटियों के योग के बराबर होती है:
$\Delta R_s = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 3 \,\Omega + 4 \,\Omega = 7 \,\Omega$
अतः,त्रुटि के साथ तुल्य प्रतिरोध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$R_s \pm \Delta R_s = (800 \pm 7) \,\Omega$

(B) दिया गया है: दूरी $s = (13.8 \pm 0.2) \ m$ और समय $t = (4 \pm 0.3) \ s$ है।
वेग $v = \frac{s}{t} = \frac{13.8}{4} = 3.45 \ ms^{-1}$ है। एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$v = 3.5 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।
वेग में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta s}{s} + \frac{\Delta t}{t}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta v}{3.45} = \frac{0.2}{13.8} + \frac{0.3}{4}$।
$\frac{\Delta v}{3.45} = 0.0145 + 0.075 = 0.0895$।
$\Delta v = 0.0895 \times 3.45 \approx 0.3087 \ ms^{-1}$।
एक सार्थक अंक तक पूर्णांकित करने पर,$\Delta v \approx 0.3 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,वेग $(3.5 \pm 0.3) \ ms^{-1}$ है।

(A) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और $g$ को सूत्र का विषय बनाने पर,$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2\frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $l = 100 \, cm$,$\Delta l = 0.1 \, cm$,कुल समय $T_{total} = 50 \, s$,$\Delta T_{total} = 0.1 \, s$.
यहाँ $T$ एक दोलन का आवर्तकाल है,$T = \frac{T_{total}}{25} = \frac{50}{25} = 2 \, s$.
$T$ में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta T_{total}}{25} = \frac{0.1}{25} = 0.004 \, s$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{100} + 2 \left( \frac{0.004}{2} \right) = 0.001 + 0.004 = 0.005$.
प्रतिशत त्रुटि = $0.005 \times 100 = 0.5 \%$.

(C) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है। पृष्ठीय क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S}{S} = 2 \frac{\Delta r}{r} = \alpha$ है।
इससे,त्रिज्या में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\alpha}{2}$ प्राप्त होती है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है। आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ है।
$\frac{\Delta r}{r}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\alpha}{2} = \frac{3}{2}\alpha$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सूत्र $A = \frac{P^3 Q^2}{R^{1/2} S}$ है।
$A$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + 1 \left( \frac{\Delta S}{S} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों को प्रतिस्थापित करने पर:
$A$ में अधिकतम $\%$ त्रुटि $= 3(0.5\%) + 2(1\%) + 0.5(3\%) + 1(1.5\%)$.
$= 1.5\% + 2.0\% + 1.5\% + 1.5\%$.
$= 6.5\%$.

(C) दिया गया संबंध: $p = a^{1/2} b^2 c^3 d^{-4}$.
अधिकतम सापेक्ष त्रुटि के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\Delta p}{p} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c} + 4 \frac{\Delta d}{d}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = \frac{1}{2}(2\%) + 2(1\%) + 3(3\%) + 4(5\%)$.
मानों की गणना करने पर:
$= 1\% + 2\% + 9\% + 20\% = 32\%$.
अतः,$p$ में सापेक्ष त्रुटि $32\%$ है.

(B) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$,जिसका अर्थ है $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2}$।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $L = 20.0$ cm,$\Delta L = 1$ mm = $0.1$ cm.
$T_{total} = 90.0$ s,$\Delta T_{total} = 1$ s. चूंकि $T = \frac{T_{total}}{100}$,इसलिए $\Delta T = \frac{\Delta T_{total}}{100} = \frac{1}{100} = 0.01$ s.
मान रखने पर:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2 \times \frac{1}{90} = 0.005 + 0.0222 = 0.0272$.
प्रतिशत त्रुटि = $0.0272 \times 100 = 2.72 \% \approx 2.7 \%$।

(C) विद्युत परिपथ में उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $H = I^2Rt$ है।
$H$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta H}{H} = 2\left(\frac{\Delta I}{I}\right) + \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta t}{t}.$
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2\%,$ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1\%,$ और $\frac{\Delta t}{t} \times 100 = 1\%$ हैं।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = 2(2\%) + 1\% + 1\% = 4\% + 1\% + 1\% = 6\%.$
अतः,कुल उत्पन्न ऊष्मा में अधिकतम संभावित त्रुटि $6\%$ है।

(C) गुरुत्वीय त्वरण के लिए सूत्र $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$ है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर, हमें मिलता है $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T}$।
दिया गया है:
$L = 55.0\,cm$, $\Delta L = 1\,mm = 0.1\,cm$।
$20$ दोलनों के लिए समय $t = 30\,s$ है, इसलिए $T = \frac{30}{20} = 1.5\,s$।
घड़ी का अल्पतमांक $1\,s$ है, इसलिए कुल समय में त्रुटि $\Delta t = 1\,s$ है। अतः, $\Delta T = \frac{\Delta t}{20} = \frac{1}{20} = 0.05\,s$।
अब, प्रतिशत त्रुटि की गणना करें:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T} \right) \times 100\%$
$= \left( \frac{0.1}{55.0} + 2 \times \frac{0.05}{1.5} \right) \times 100\%$
$= \left( 0.001818 + 0.06666 \right) \times 100\%$
$= 0.06848 \times 100\% \approx 6.8\%$।

(D) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{L^3}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $L$ किनारे की लंबाई है।
दिया गया है: $m = 10.00 \, kg$,$\Delta m = 0.10 \, kg$,$L = 0.10 \, m$,$\Delta L = 0.01 \, m$.
मापा गया घनत्व $\rho = \frac{10.00}{(0.10)^3} = 10000 \, kg/m^3$ है।
यहाँ $L$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.10} = 0.1$ है,जो छोटी नहीं है,इसलिए हम अधिकतम और न्यूनतम घनत्व मानों की गणना करेंगे।
$\rho_{max} = \frac{m + \Delta m}{(L - \Delta L)^3} = \frac{10.10}{(0.09)^3} \approx 13854.6 \, kg/m^3$.
$\rho_{min} = \frac{m - \Delta m}{(L + \Delta L)^3} = \frac{9.90}{(0.11)^3} \approx 7438.0 \, kg/m^3$.
घनत्व में निरपेक्ष त्रुटि $\Delta \rho = \frac{\rho_{max} - \rho_{min}}{2} = \frac{13854.6 - 7438.0}{2} = 3208.3 \, kg/m^3$.
चूंकि यह मान दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) एक घन (cube) का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{L^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $L$ घन की भुजा की लंबाई है।
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र का उपयोग करते हुए,घनत्व में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \frac{\Delta M}{M} \times 100 + 3 \times \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$
यहाँ द्रव्यमान में अधिकतम त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 3\%$ और लंबाई में अधिकतम त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2\%$ दी गई है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\rho$ में प्रतिशत त्रुटि $= 3\% + 3 \times (2\%) = 3\% + 6\% = 9\%$.
अतः,घन के घनत्व के मापन में अधिकतम त्रुटि $9\%$ है।

(A) दिए गए तापमान $t_1 = 20^{\circ}C \pm 0.5^{\circ}C$ और $t_2 = 50^{\circ}C \pm 0.5^{\circ}C$ हैं।
तापमान का अंतर $\Delta t = t_2 - t_1 = 50^{\circ}C - 20^{\circ}C = 30^{\circ}C$ के रूप में गणना की जाती है।
जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ा जाता है।
अंतर में त्रुटि $\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 0.5^{\circ}C + 0.5^{\circ}C = 1^{\circ}C$ है।
अतः,तापमान का अंतर $30^{\circ}C \pm 1^{\circ}C$ है।

(D) दी गई भौतिक राशि $A = P^2/Q^3$ है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम घातों के लिए सापेक्ष त्रुटि के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta A}{A} = 2 \left( \frac{\Delta P}{P} \right) + 3 \left( \frac{\Delta Q}{Q} \right)$.
प्रतिशत त्रुटि में बदलने के लिए $100$ से गुणा करने पर:
$\left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) = 2 \left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \right)$.
यह दिया गया है कि $P$ में प्रतिशत त्रुटि $x$ है और $Q$ में $y$ है,इन मानों को रखने पर:
$A$ में प्रतिशत त्रुटि = $2x + 3y$.

(A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 6\%$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $6\% = 3 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$।
अतः,त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = \frac{6\%}{3} = 2\%$ होगी।

(B) मेयर के संबंध के अनुसार,गैस नियतांक $R$ को $R = C_P - C_V$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = 12.28 - 3.97 = 8.31 \text{ units}$।
$R$ में त्रुटि के लिए,हम भौतिक राशियों के घटाव के नियम का उपयोग करते हैं: $\Delta R = \Delta C_P + \Delta C_V$।
त्रुटि के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta R = 0.2 + 0.3 = 0.5 \text{ units}$।
अतः,गैस नियतांक का मान $R = (8.31 \pm 0.5) \text{ units}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $Q = \frac{X^n}{Y^m}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln Q = n \ln X - m \ln Y$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें सापेक्ष त्रुटि के लिए व्यंजक प्राप्त होता है: $\frac{dQ}{Q} = n \frac{dX}{X} - m \frac{dY}{Y}$.
अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि के लिए,हम सापेक्ष त्रुटियों के परिमाणों का योग लेते हैं: $\frac{\Delta Q}{Q} = \pm \left( n \frac{\Delta X}{X} + m \frac{\Delta Y}{Y} \right)$.
अतः,$Q$ में निरपेक्ष त्रुटि $\Delta Q$ इस प्रकार है: $\Delta Q = \pm \left( n \frac{\Delta X}{X} + m \frac{\Delta Y}{Y} \right) Q$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 10.000\,g$,आयतन $V = 10.00\,cm^3$.
द्रव्यमान में अनिश्चितता $\Delta M = 0.001\,g$ और आयतन में $\Delta V = 0.01\,cm^3$ है।
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{10.000}{10.00} = 1.000\,g\,cm^{-3}$.
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta V}{V}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.001}{10.000} + \frac{0.01}{10.00} = 0.0001 + 0.001 = 0.0011$.
अतः,निरपेक्ष त्रुटि $\Delta \rho = 0.0011 \times \rho = 0.0011 \times 1.000 = 0.0011\,g\,cm^{-3}$.

(C) घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{m}{V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
भागफल के लिए,सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत राशियों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}$.
दिया गया है: $m = 5.00 \ kg$,$\Delta m = 0.05 \ kg$,$V = 1.00 \ m^3$,$\Delta V = 0.05 \ m^3$.
घनत्व में प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V} \right) \times 100$.
मान रखने पर: $\left( \frac{0.05}{5.00} + \frac{0.05}{1.00} \right) \times 100 = (0.01 + 0.05) \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$.
अतः,घनत्व में अधिकतम संभावित प्रतिशत त्रुटि $6 \%$ है।

(D) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = 4 \pi^2 \frac{l}{g}$ प्राप्त होता है।
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$g = 4 \pi^2 \frac{l}{T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$.
दिया गया है कि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2 \%$ और $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 2 \%$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 2 \% + 2(2 \%) = 2 \% + 4 \% = 6 \%$.

(C) दी गई भौतिक राशि $X = \frac{2k^3l^2}{m\sqrt{n}}$ है।
$X$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है: $\frac{\Delta X}{X} = 3\frac{\Delta k}{k} + 2\frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta m}{m} + \frac{1}{2}\frac{\Delta n}{n}$।
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ: $\frac{\Delta k}{k} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3\%$ और $\frac{\Delta n}{n} \times 100 = 4\%$ हैं।
इन मानों को प्रतिशत त्रुटि के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 3(1\%) + 2(2\%) + 3\% + \frac{1}{2}(4\%)$।
गणना करने पर: $3 + 4 + 3 + 2 = 12\%$।
अतः,$X$ का मान $12\%$ अनिश्चित है।

(D) मान लीजिए एक छड़ की लंबाई $L = (11.05 \pm 0.05) \ cm$ है।
दो छड़ों के लिए,कुल लंबाई $L_{total} = L + L = 2 \times (11.05 \pm 0.05) \ cm$ होगी।
औसत मान $2 \times 11.05 = 22.10 \ cm$ है।
निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ जाती हैं: $\Delta L_{total} = 0.05 + 0.05 = 0.10 \ cm$।
योग/व्यवकलन में सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाले मापन में हैं।
यहाँ,$11.05$ में दो दशमलव स्थान हैं,इसलिए परिणाम $22.10$ उपयुक्त है।
अतः,कुल लंबाई $(22.10 \pm 0.10) \ cm$ है।