Errors of Measurement Questions in Hindi

(A) दिया गया है: $A = 2.5 \, m/s$,$\Delta A = 0.5 \, m/s$ और $B = 0.10 \, s$,$\Delta B = 0.01 \, s$.
हमें $X = AB$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,गुणनफल की गणना करें: $X = AB = 2.5 \times 0.10 = 0.25 \, m$.
गुणा में त्रुटि के प्रसार के लिए,सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है: $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta X}{0.25} = \frac{0.5}{2.5} + \frac{0.01}{0.10}$.
$\frac{\Delta X}{0.25} = 0.2 + 0.1 = 0.3$.
$\Delta X = 0.3 \times 0.25 = 0.075$.
उचित सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$\Delta X \approx 0.08$.
अतः,$AB = (0.25 \pm 0.08) \, m$.

(C) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$ प्राप्त होता है।
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,गुणा और भाग के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
दिया गया है कि $l$ में भिन्नात्मक त्रुटि $\frac{\Delta l}{l} = y$ है और $T$ में भिन्नात्मक त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} = x$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta g}{g} = y + 2x$ या $2x + y$ प्राप्त होता है।

(D) घन (cube) का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{l^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $l$ घन की भुजा की लंबाई है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta l}{l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4\%$ और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 3\%$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
घनत्व में प्रतिशत त्रुटि $= 4\% + 3(3\%) = 4\% + 9\% = 13\%$.

(C) स्टॉपवॉच का अल्पतमांक मापन में निरपेक्ष त्रुटि है,जो $\Delta t = 0.2\, s$ दी गई है।
$20\, \text{दोलनों}$ के लिए मापा गया समय $t = 25\, s$ है।
समय के मापन में प्रतिशत त्रुटि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{\Delta t}{t} \right) \times 100\, \%$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{0.2}{25} \right) \times 100\, \%$
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = 0.2 \times 4\, \% = 0.8\, \%$

(C) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
त्रुटि प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,$A$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होती है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.3\%$ है।
इसलिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (0.3\%) = 0.6\%$ होगी।
अतः,अभिकथन सही है।
कारण में दिया गया सूत्र $\frac{\Delta A}{A} = \frac{4\Delta r}{r}$ गलत है,क्योंकि सही संबंध $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ है।
इसलिए,अभिकथन सही है लेकिन कारण गलत है।

(A) गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2}mv^2$ है।
सापेक्ष त्रुटि लेते हुए,हम त्रुटि के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta E}{E} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta v}{v}$.
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1\%$ और वेग में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 2\%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta E}{E} \times 100 = (\frac{\Delta m}{m} \times 100) + 2 \times (\frac{\Delta v}{v} \times 100)$
$\frac{\Delta E}{E} \times 100 = 1\% + 2 \times 2\% = 1\% + 4\% = 5\%$.
चूंकि अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,अभिकथन में उपयोग किए गए त्रुटि प्रसार सूत्र की सही व्याख्या करता है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(C) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और $g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\ell = 25.0 \; cm$,इसलिए $\Delta \ell = 0.1 \; cm$। $40$ दोलनों के लिए समय $t = 50 \; s$ है,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{50}{40} = 1.25 \; s$ है। स्टॉपवॉच का रिज़ॉल्यूशन $\Delta t = 1 \; s$ है,इसलिए $\Delta T = \frac{\Delta t}{40} = \frac{1}{40} \; s$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{25.0} + 2 \times \frac{1/40}{50/40} = \frac{0.1}{25} + 2 \times \frac{1}{50} = 0.004 + 0.04 = 0.044$।
अतः,प्रतिशत त्रुटि $0.044 \times 100 = 4.4 \%$ है।

(B) घड़ियों की परिशुद्धता निर्धारित करने के लिए,हम सात दिनों के दौरान प्रत्येक घड़ी के लिए भिन्नता की सीमा (range) की गणना करते हैं।
घड़ी $1$ के लिए,रीडिंग $11:59:08$ से $12:01:50$ तक है। कुल भिन्नता $162 \; s$ है।
घड़ी $2$ के लिए,रीडिंग $10:14:53$ से $10:15:24$ तक है। कुल भिन्नता $31 \; s$ है।
प्रयोग में परिशुद्धता घड़ी की निरंतरता पर निर्भर करती है,न कि उसकी पूर्ण सटीकता (शून्य त्रुटि) पर,क्योंकि एक स्थिर शून्य त्रुटि को अंशांकन (calibration) द्वारा आसानी से सुधारा जा सकता है।
चूंकि घड़ी $2$ में घड़ी $1$ $(162 \; s)$ की तुलना में बहुत कम भिन्नता $(31 \; s)$ है,इसलिए यह अधिक सटीक है।
अतः,सटीक समय अंतराल के मापन के लिए घड़ी $2$ को प्राथमिकता दी जाएगी।

(N/A) लोलक का औसत दोलन काल:
$T = \frac{(2.63 + 2.56 + 2.42 + 2.71 + 2.80) \; s}{5} = \frac{13.12}{5} \; s = 2.624 \; s \approx 2.62 \; s$.
मापों में निरपेक्ष त्रुटियाँ:
$|\Delta T_1| = |2.63 - 2.62| = 0.01 \; s$
$|\Delta T_2| = |2.56 - 2.62| = 0.06 \; s$
$|\Delta T_3| = |2.42 - 2.62| = 0.20 \; s$
$|\Delta T_4| = |2.71 - 2.62| = 0.09 \; s$
$|\Delta T_5| = |2.80 - 2.62| = 0.18 \; s$
औसत निरपेक्ष त्रुटि:
$\Delta T_{\text{mean}} = \frac{0.01 + 0.06 + 0.20 + 0.09 + 0.18}{5} \; s = \frac{0.54}{5} \; s = 0.108 \; s \approx 0.11 \; s$.
सापेक्ष त्रुटि:
$\text{सापेक्ष त्रुटि} = \frac{\Delta T_{\text{mean}}}{T} = \frac{0.11}{2.62} \approx 0.042$.
प्रतिशत त्रुटि:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{\Delta T_{\text{mean}}}{T} \times 100\% = \frac{0.11}{2.62} \times 100\% \approx 4.2\% \approx 4\%$.

(D) दिए गए तापमान $t_{1} = 20^{\circ}C \pm 0.5^{\circ}C$ और $t_{2} = 50^{\circ}C \pm 0.5^{\circ}C$ हैं।
तापमान का अंतर $\Delta t = t_{2} - t_{1}$ ज्ञात करने के लिए,हम मानों को घटाते हैं:
$\Delta t = (50 - 20)^{\circ}C = 30^{\circ}C$.
जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ा जाता है।
इसलिए,अंतर में त्रुटि $\Delta(\Delta t) = \Delta t_{1} + \Delta t_{2} = 0.5^{\circ}C + 0.5^{\circ}C = 1.0^{\circ}C$ है।
अतः,तापमान का अंतर $30^{\circ}C \pm 1^{\circ}C$ है।

(A) दिया गया है $V = 100 \; V$ और $\Delta V = 5 \; V$। $V$ में प्रतिशत त्रुटि $(\Delta V / V) \times 100 = (5 / 100) \times 100 = 5 \%$ है।
दिया गया है $I = 10 \; A$ और $\Delta I = 0.2 \; A$। $I$ में प्रतिशत त्रुटि $(\Delta I / I) \times 100 = (0.2 / 10) \times 100 = 2 \%$ है।
चूंकि $R = V / I$,$R$ में सापेक्ष त्रुटि $\Delta R / R = \Delta V / V + \Delta I / I$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$R$ में प्रतिशत त्रुटि $5 \% + 2 \% = 7 \%$ है।

(A) श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R = R_{1} + R_{2}$ है।
$R = (100 + 200) \pm (3 + 4) \ \Omega = 300 \pm 7 \ \Omega$.
$(b)$ समांतर क्रम संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R^{\prime}$ को $\frac{1}{R^{\prime}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$R^{\prime} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{100 \times 200}{100 + 200} = \frac{20000}{300} \approx 66.7 \ \Omega$.
त्रुटि $\Delta R^{\prime}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{\Delta R^{\prime}}{R^{\prime 2}} = \frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} + \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$ का उपयोग करते हैं।
$\Delta R^{\prime} = R^{\prime 2} \left( \frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} + \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}} \right) = (66.7)^{2} \left( \frac{3}{100^{2}} + \frac{4}{200^{2}} \right)$.
$\Delta R^{\prime} = 4448.89 \left( \frac{3}{10000} + \frac{4}{40000} \right) = 4448.89 \left( 0.0003 + 0.0001 \right) = 4448.89 \times 0.0004 \approx 1.8 \ \Omega$.
अतः,तुल्य प्रतिरोध $66.7 \pm 1.8 \ \Omega$ है।

(A) दिया गया समीकरण $Z = \frac{A^{4} B^{1/3}}{C D^{3/2}}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के नियमों के अनुसार,यदि कोई राशि $Z = \frac{A^p B^q}{C^r D^s}$ है,तो उसकी सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Z}{Z} = p\frac{\Delta A}{A} + q\frac{\Delta B}{B} + r\frac{\Delta C}{C} + s\frac{\Delta D}{D}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरण में घातांक $p=4$,$q=1/3$,$r=1$,और $s=3/2$ हैं।
अतः,$Z$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Z}{Z} = 4\frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{3}\frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta C}{C} + \frac{3}{2}\frac{\Delta D}{D}$ होगी।

(D) गुरुत्वीय त्वरण के लिए सूत्र $g = 4 \pi^2 L / T^2$ है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें मिलता है $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$।
यहाँ $L = 20.0 \; cm$ और $\Delta L = 1 \; mm = 0.1 \; cm$ दिया गया है। अतः,$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.1}{20.0} = 0.005$।
आवर्तकाल के लिए,$T = \frac{t}{n}$,जहाँ $t = 90 \; s$ और $n = 100$ है। घड़ी का रिज़ॉल्यूशन $\Delta t = 1 \; s$ है।
चूंकि $T = t/n$,सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta t}{t} = \frac{1}{90}$ होगी।
इन मानों को त्रुटि सूत्र में रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = 0.005 + 2 \left( \frac{1}{90} \right) = 0.005 + 0.0222 = 0.0272$।
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.0272 \times 100 \approx 3 \%$ है।

(A) दिया गया संबंध: $P = \frac{a^3 b^2}{c^{1/2} d}$।
$P$ में सापेक्ष त्रुटि: $\frac{\Delta P}{P} = 3 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{1}{2} \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए: $\left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) \% = \left( 3 \times \frac{\Delta a}{a} \times 100 + 2 \times \frac{\Delta b}{b} \times 100 + \frac{1}{2} \times \frac{\Delta c}{c} \times 100 + \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) \%$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों को रखने पर: $\left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) \% = (3 \times 1 + 2 \times 3 + 0.5 \times 4 + 2) \% = (3 + 6 + 2 + 2) \% = 13 \%$.
$P$ का गणना किया गया मान $3.763$ है। चूंकि प्रतिशत त्रुटि $13 \%$ है,जिसमें दो सार्थक अंक हैं,इसलिए परिणाम को दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए। इस प्रकार,$3.763$ को दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर $3.8$ प्राप्त होता है।

(N/A)

गलती (Mistake)	त्रुटि (Error)
$(1)$ गलती लापरवाही,गलत गणना या मापन की अनुचित विधियों के कारण होती है।	$(1)$ त्रुटि मापन यंत्र की अपूर्ण बनावट या व्यक्तियों की अवलोकन सीमाओं के कारण होती है।
$(2)$ उचित सावधानी बरतने से गलती को पूरी तरह से दूर किया जा सकता है।	$(2)$ अधिक अवलोकन लेने या छोटे अल्पतमांक (least count) वाले उपकरण का उपयोग करके त्रुटि को कम किया जा सकता है,लेकिन इसे पूरी तरह से समाप्त नहीं किया जा सकता है।

(N/A) भौतिक राशियों के मापन में होने वाली त्रुटियों को निम्नलिखित रूप में वर्गीकृत किया जाता है:
$(a)$ क्रमबद्ध त्रुटि (Systematic Error)
$(b)$ यादृच्छिक त्रुटि (Random Error)
$(a)$ क्रमबद्ध त्रुटि:
क्रमबद्ध त्रुटियाँ वे होती हैं जो एक ही दिशा में,या तो धनात्मक या ऋणात्मक होती हैं। ये त्रुटियाँ ज्ञात स्रोतों के कारण उत्पन्न होती हैं।
$(i)$ यंत्रगत त्रुटि (Instrumental Error): ये मापन यंत्र की अपूर्ण डिजाइन या अंशांकन (calibration) या यंत्र में शून्य त्रुटि के कारण उत्पन्न होती हैं। उदाहरण के लिए,यदि थर्मामीटर का अंशांकन सही नहीं है,तो यह $STP$ पर $100^{\circ}C$ के बजाय $104^{\circ}C$ पढ़ सकता है।
$(ii)$ प्रयोगात्मक तकनीक या प्रक्रिया में अपूर्णता: ये त्रुटियाँ प्रयोगात्मक सेटअप में खामियों के कारण होती हैं। उदाहरण के लिए,यदि थर्मामीटर को शरीर के संपर्क में ठीक से नहीं रखा गया है,तो यह शरीर का वास्तविक तापमान नहीं मापेगा।
$(iii)$ व्यक्तिगत त्रुटि (Personal Error): ये व्यक्तिगत पूर्वाग्रह,उपकरणों की उचित सेटिंग की कमी या लापरवाही के कारण उत्पन्न होती हैं। उदाहरण के लिए,यदि स्केल पढ़ते समय प्रेक्षक का सिर सही स्थिति में नहीं है,तो लंबन (parallax) त्रुटि हो सकती है।
क्रमबद्ध त्रुटियों को प्रयोगात्मक तकनीकों में सुधार करके,बेहतर उपकरणों का चयन करके और व्यक्तिगत पूर्वाग्रह को हटाकर कम किया जा सकता है।
$(b)$ यादृच्छिक त्रुटि:
जो त्रुटियाँ चिह्न और आकार के संबंध में अनियमित और यादृच्छिक रूप से होती हैं,उन्हें यादृच्छिक त्रुटि कहा जाता है। ये प्रयोगात्मक स्थितियों में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव के कारण उत्पन्न होती हैं (जैसे तापमान,वोल्टेज आपूर्ति)। उदाहरण के लिए,जब एक ही व्यक्ति एक ही अवलोकन को दोहराता है,तो उसे हर बार अलग-अलग रीडिंग मिल सकती है। ये धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं और बड़ी संख्या में अवलोकनों का अंकगणितीय माध्य लेकर इन्हें कम किया जा सकता है।

(N/A) मापन यंत्र द्वारा मापे जा सकने वाले सबसे छोटे मान को उसका अल्पतमांक (least count) कहा जाता है।
- सभी पाठ्यांक या मापे गए मान केवल इस मान तक ही सटीक होते हैं।
- यंत्र के विभेदन (resolution) से जुड़ी त्रुटि को अल्पतमांक त्रुटि कहा जाता है।
- वर्नियर कैलीपर्स का अल्पतमांक $0.01 \text{ cm}$ है और स्फेरोमीटर का अल्पतमांक $0.001 \text{ cm}$ है।
- अल्पतमांक त्रुटि यादृच्छिक त्रुटि (random error) की श्रेणी में आती है,लेकिन यह सीमित आकार की होती है।
- यह व्यवस्थित (systematic) और यादृच्छिक (random) दोनों प्रकार की त्रुटियों के साथ हो सकती है।
- मीटर स्केल का अल्पतमांक $1 \text{ mm}$ होता है।
- उच्च परिशुद्धता वाले उपकरणों का उपयोग करके और प्रयोगात्मक तकनीकों में सुधार करके अल्पतमांक त्रुटि को कम किया जा सकता है।
- प्रेक्षणों को कई बार दोहराकर और सभी प्रेक्षणों का अंकगणितीय माध्य लेने से,माध्य मान मापी गई राशि के वास्तविक मान के बहुत करीब हो जाता है।

(N/A) त्रुटि का आकलन उस प्रक्रिया को संदर्भित करता है जिसके द्वारा प्रयोगात्मक माप में अधिकतम संभावित अनिश्चितता या त्रुटि निर्धारित की जाती है और इसे अंतिम परिणाम के साथ व्यक्त किया जाता है। यह माप की सटीकता और विश्वसनीयता का संकेत देता है।
त्रुटि का आकलन मुख्य रूप से तीन तरीकों से किया जाता है:
$(1)$ निरपेक्ष त्रुटि (Absolute error): व्यक्तिगत मापे गए मान और राशि के वास्तविक मान (या माध्य मान) के बीच के अंतर का परिमाण।
$(2)$ सापेक्ष त्रुटि और भिन्नात्मक त्रुटि (Relative error and Fractional error): माध्य निरपेक्ष त्रुटि और मापी गई राशि के माध्य मान का अनुपात।
$(3)$ प्रतिशत त्रुटि (Percentage error): सापेक्ष त्रुटि को $100$ से गुणा करके प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।

$(a)$ निरपेक्ष त्रुटि:
व्यक्तिगत माप और राशि के वास्तविक मान के बीच के अंतर के परिमाण को माप की निरपेक्ष त्रुटि कहा जाता है। इसे $|\Delta a|$ द्वारा दर्शाया जाता है। किसी अन्य विधि के अभाव में,हम अंकगणितीय माध्य को वास्तविक मान मानते हैं।
मान लीजिए एक भौतिक राशि '$a$' है। इसके माप $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}$ हैं। औसत मान:
$a_{\text{mean}} = \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}$
प्रत्येक माप में निरपेक्ष त्रुटि:
$\Delta a_{1} = a_{1} - a_{\text{mean}}, \Delta a_{2} = a_{2} - a_{\text{mean}}, \ldots, \Delta a_{n} = a_{n} - a_{\text{mean}}$.
औसत निरपेक्ष त्रुटि:
$(\Delta a)_{\text{mean}} = \frac{|\Delta a_{1}| + |\Delta a_{2}| + \ldots + |\Delta a_{n}|}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\Delta a_{i}|$.
$(b)$ सापेक्ष त्रुटि:
औसत निरपेक्ष त्रुटि और राशि के औसत मान के अनुपात को सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है।
सापेक्ष त्रुटि $= \frac{(\Delta a)_{\text{mean}}}{a_{\text{mean}}}$.
$(c)$ प्रतिशत त्रुटि:
जब सापेक्ष त्रुटि को प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है,तो इसे प्रतिशत त्रुटि कहा जाता है।
प्रतिशत त्रुटि $= \frac{(\Delta a)_{\text{mean}}}{a_{\text{mean}}} \times 100\%$.

(N/A) जब किसी प्रयोग में कई माप शामिल होते हैं,तो सभी व्यक्तिगत मापों में त्रुटियां अंतिम परिणाम को प्रभावित करने के लिए संयोजित हो जाती हैं।
उदाहरण के लिए,घनत्व $(d = m/V)$ के मापन में,द्रव्यमान $(m)$ और आयतन $(V)$ के मापन में त्रुटियां संयोजित होकर गणना किए गए घनत्व में त्रुटि उत्पन्न करती हैं।
त्रुटियां निम्नलिखित गणितीय संक्रियाओं के अनुसार संयोजित होती हैं:
$1$. योग: यदि $z = a + b$ है,तो निरपेक्ष त्रुटि $\Delta z = \Delta a + \Delta b$ होती है।
$2$. व्यवकलन: यदि $z = a - b$ है,तो निरपेक्ष त्रुटि $\Delta z = \Delta a + \Delta b$ होती है।
$3$. गुणन: यदि $z = ab$ है,तो सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}$ होती है।
$4$. भाग: यदि $z = a/b$ है,तो सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}$ होती है।
$5$. घात: यदि $z = a^n$ है,तो सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta z}{z} = n \frac{\Delta a}{a}$ होती है।

(N/A) मान लीजिए कि दो भौतिक राशियों $A$ और $B$ के मापित मान क्रमशः $A \pm \Delta A$ और $B \pm \Delta B$ हैं।
$(i)$ योग के लिए:
मान लीजिए $Z$ वह राशि है जो $A$ और $B$ को जोड़ने पर प्राप्त होती है।
$Z = A + B$
मान लीजिए $Z$ में त्रुटि $\Delta Z$ है।
$Z \pm \Delta Z = (A \pm \Delta A) + (B \pm \Delta B)$
$Z \pm \Delta Z = (A + B) \pm (\Delta A + \Delta B)$
चूंकि $Z = A + B$,इसलिए $\pm \Delta Z = \pm \Delta A \pm \Delta B$ प्राप्त होता है।
अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि के लिए,$\Delta Z = \Delta A + \Delta B$ होता है।
$(ii)$ अंतर (घटाव) के लिए:
मान लीजिए $A$ और $B$ का अंतर $Z$ है।
$Z = A - B$ (जहाँ $A > B$)
$Z \pm \Delta Z = (A \pm \Delta A) - (B \pm \Delta B)$
$Z \pm \Delta Z = (A - B) \pm \Delta A \mp \Delta B$
चूंकि $Z = A - B$,इसलिए $\pm \Delta Z = \pm \Delta A \mp \Delta B$ प्राप्त होता है।
$\Delta Z$ के संभावित मान $\Delta A - \Delta B$,$-\Delta A + \Delta B$,$\Delta A + \Delta B$ या $-\Delta A - \Delta B$ हैं।
अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि के लिए,$\Delta Z = \Delta A + \Delta B$ होता है।

(N/A) मान लीजिए कि दो भौतिक राशियाँ $A$ और $B$ के मापे गए मान क्रमशः $A \pm \Delta A$ और $B \pm \Delta B$ हैं,जहाँ $\Delta A$ और $\Delta B$ उनकी निरपेक्ष त्रुटियाँ हैं।
गुणनफल के लिए: मान लीजिए $Z = AB$ है। तब मापा गया मान $Z \pm \Delta Z = (A \pm \Delta A)(B \pm \Delta B) = AB \pm A \Delta B \pm B \Delta A \pm \Delta A \Delta B$ होगा।
$Z = AB$ से भाग देने पर,हमें $1 \pm \frac{\Delta Z}{Z} = 1 \pm \frac{\Delta A}{A} \pm \frac{\Delta B}{B} \pm \frac{\Delta A}{A} \cdot \frac{\Delta B}{B}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{\Delta A}{A}$ और $\frac{\Delta B}{B}$ बहुत छोटे हैं,इसलिए उनके गुणनफल को नगण्य माना जाता है। अधिकतम सापेक्ष त्रुटि के लिए,$\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$ होता है।
भागफल के लिए: मान लीजिए $Z = \frac{A}{B}$ है। तब $Z \pm \Delta Z = \frac{A \pm \Delta A}{B \pm \Delta B} = \frac{A(1 \pm \Delta A/A)}{B(1 \pm \Delta B/B)} = Z(1 \pm \Delta A/A)(1 \pm \Delta B/B)^{-1}$ होगा।
छोटे $x$ के लिए द्विपद प्रसार $(1 \pm x)^n \approx 1 \pm nx$ का उपयोग करने पर,$1 \pm \frac{\Delta Z}{Z} \approx (1 \pm \frac{\Delta A}{A})(1 \mp \frac{\Delta B}{B}) \approx 1 \pm \frac{\Delta A}{A} \mp \frac{\Delta B}{B}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$ है।

(N/A) $1$. मापन में त्रुटि: मापित मान और किसी भौतिक राशि के वास्तविक मान के बीच के अंतर को त्रुटि कहते हैं। यह उपकरणों की सीमाओं,पर्यावरणीय कारकों या प्रेक्षक की तकनीक के कारण किसी भी माप में निहित अनिश्चितता है। त्रुटियों को व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियों में वर्गीकृत किया जाता है और इन्हें पूरी तरह से समाप्त नहीं किया जा सकता,केवल कम किया जा सकता है।
$2$. मापन में गलती: गलती (Mistake) मानवीय लापरवाही के कारण होने वाली त्रुटि है,जैसे स्केल को गलत पढ़ना,डेटा को गलत तरीके से दर्ज करना,या गलत सूत्र का उपयोग करना। त्रुटियों के विपरीत,गलतियों से बचा जा सकता है और सावधानी बरतकर तथा प्रक्रिया की पुष्टि करके इन्हें समाप्त किया जा सकता है।

(N/A) अल्पतमांक (Least count) को उस सबसे छोटे मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे मापने वाले उपकरण द्वारा सटीक रूप से मापा जा सकता है। उदाहरण के लिए,एक मानक मीटर पैमाने का अल्पतमांक $1 \ mm$ या $0.1 \ cm$ होता है।
अल्पतमांक त्रुटि उपकरण के विभेदन (resolution) से जुड़ी एक प्रकार की व्यवस्थित त्रुटि है। यह इसलिए होती है क्योंकि उपकरण अपने अल्पतमांक से छोटे मानों को नहीं माप सकता है। इस त्रुटि को उच्च परिशुद्धता वाले उपकरणों (छोटे अल्पतमांक) का उपयोग करके और प्रयोगात्मक तकनीकों में सुधार करके कम किया जा सकता है।

(N/A) सापेक्ष त्रुटि को मापी गई राशि की माध्य निरपेक्ष त्रुटि और उस राशि के माध्य मान के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\text{Relative Error} = \frac{\Delta a_{\text{mean}}}{a_{\text{mean}}}$.
भिन्नात्मक त्रुटि (fractional error) सापेक्ष त्रुटि के लिए उपयोग किया जाने वाला एक अन्य शब्द है। यह माप में अनिश्चितता को स्वयं माप के आकार के सापेक्ष दर्शाता है। जब सापेक्ष त्रुटि को प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है,तो इसे प्रतिशत त्रुटि कहा जाता है,जो इस प्रकार है: $\text{Percentage Error} = \frac{\Delta a_{\text{mean}}}{a_{\text{mean}}} \times 100\%$।

(A) निरपेक्ष त्रुटि को मापे गए मान और भौतिक राशि के वास्तविक मान के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि यह एक भौतिक राशि को दर्शाती है,इसलिए इसका मात्रक वही होता है जो मापी गई राशि का होता है।
सापेक्ष त्रुटि को माध्य निरपेक्ष त्रुटि और राशि के माध्य मान के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि यह समान मात्रक वाली दो राशियों का अनुपात है,इसलिए मात्रक कट जाते हैं,जिससे यह एक विमाहीन राशि बन जाती है।
आंशिक त्रुटि अनिवार्य रूप से सापेक्ष त्रुटि के समान ही है (जब इसे $100$ से गुणा किया जाता है तो इसे प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है),और यह भी विमाहीन होती है।
अतः,निरपेक्ष त्रुटि का मात्रक होता है,जबकि सापेक्ष और आंशिक त्रुटि का कोई मात्रक नहीं होता है।

(B) नहीं,त्रुटि को पूरी तरह से समाप्त नहीं किया जा सकता है।
मापन हमेशा मापने वाले उपकरण की सीमाओं,पर्यावरणीय स्थितियों और मानवीय सीमाओं के कारण कुछ हद तक अनिश्चितता के अधीन होता है।
हालाँकि हम सावधानीपूर्वक अंशांकन (calibration),बेहतर तकनीकों और सांख्यिकीय औसत के माध्यम से त्रुटियों को कम कर सकते हैं,लेकिन शून्य त्रुटि के साथ पूरी तरह से सटीक मापन प्राप्त करना असंभव है।

(N/A) जब दो भौतिक राशियाँ $A$ और $B$,जिनकी निरपेक्ष त्रुटियाँ क्रमशः $\Delta A$ और $\Delta B$ हैं,को जोड़ा या घटाया जाता है,तो परिणाम $Z = A \pm B$ प्राप्त होता है।
परिणाम $Z$ में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि $\Delta Z$,व्यक्तिगत राशियों की निरपेक्ष त्रुटियों के योग के बराबर होती है।
अर्थात,$\Delta Z = \Delta A + \Delta B$।
इसका अर्थ यह है कि जब दो राशियों को जोड़ा या घटाया जाता है,तो अंतिम परिणाम में निरपेक्ष त्रुटि प्राप्त करने के लिए व्यक्तिगत राशियों की निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ दिया जाता है।

(N/A) जब दो भौतिक राशियों $A$ और $B$ को गुणा या विभाजित करके परिणाम $Z$ प्राप्त किया जाता है (जहाँ $Z = AB$ या $Z = A/B$),तो परिणाम $Z$ में सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत राशियों $A$ और $B$ में सापेक्ष त्रुटियों के योग के बराबर होती है।
गणितीय रूप से,यदि $Z = AB$ या $Z = A/B$ है,तो अधिकतम भिन्नात्मक त्रुटि या सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$
यहाँ,$\Delta A$ और $\Delta B$ क्रमशः $A$ और $B$ में निरपेक्ष त्रुटियाँ हैं,और $\Delta Z$ परिणाम $Z$ में निरपेक्ष त्रुटि है।

(A) मापन में त्रुटि को किसी भौतिक राशि के मापे गए मान और वास्तविक मान के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\text{Error} = \text{Measured Value} - \text{True Value}$.
यह विसंगति विभिन्न कारकों जैसे कि उपकरण की सीमाओं,पर्यावरणीय स्थितियों या मानवीय अवलोकन त्रुटियों के कारण उत्पन्न होती है।

(N/A) $(1)$ एक पतली आयताकार प्लेट की लंबाई $l = 16.2 \text{ cm}$ और चौड़ाई $b = 10.1 \text{ cm}$ है। मीटर स्केल का अल्पतमांक $0.1 \text{ cm}$ है,इसलिए मापन में निरपेक्ष त्रुटि $0.1 \text{ cm}$ होगी।
$l = (16.2 \pm 0.1) \text{ cm}$
$b = (10.1 \pm 0.1) \text{ cm}$
लंबाई के मापन में प्रतिशत त्रुटि:
$\frac{0.1}{16.2} \times 100 \approx 0.6 \%$
$l = (16.2 \pm 0.6 \%) \text{ cm}$
चौड़ाई के मापन में प्रतिशत त्रुटि:
$\frac{0.1}{10.1} \times 100 \approx 1 \%$
$b = (10.1 \pm 1 \%) \text{ cm}$
आयताकार प्लेट का क्षेत्रफल:
$A = l \times b = 16.2 \times 10.1 = 163.62 \text{ cm}^2$
$A$ में प्रतिशत त्रुटि:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{\Delta l}{l} \times 100 + \frac{\Delta b}{b} \times 100 = 0.6 \% + 1 \% = 1.6 \%$
$\Delta A = \frac{1.6 \times 163.62}{100} \approx 2.6 \text{ cm}^2$
क्षेत्रफल: $A = (163.62 \pm 2.6) \text{ cm}^2$
यहाँ न्यूनतम सार्थक अंक $3$ हैं,इसलिए क्षेत्रफल को $A \approx (164 \pm 3) \text{ cm}^2$ के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।
$(2)$ यदि प्रयोगात्मक डेटा का एक सेट '$n$' सार्थक अंकों तक निर्दिष्ट है,तो डेटा को संयोजित करके प्राप्त परिणाम सामान्यतः '$n$' सार्थक अंकों तक मान्य होता है। हालाँकि,यदि डेटा को घटाया जाता है,तो सार्थक अंकों की संख्या कम हो सकती है। उदाहरण के लिए,$12.9 \text{ g} - 7.06 \text{ g} = 5.84 \text{ g}$। घटाव में हम दशमलव बिंदु के बाद के अंकों पर विचार करते हैं। इसलिए इसे $5.8 \text{ g}$ के रूप में दर्शाया जाएगा।

(N/A) मान लीजिए कि हम एक ही वर्नियर कैलिपर्स का उपयोग करके दो अलग-अलग वस्तुओं की लंबाई मापते हैं,जिससे $2.20 \pm 0.01 \text{ cm}$ और $8.05 \pm 0.01 \text{ cm}$ के मान प्राप्त होते हैं।
यहाँ,प्रत्येक माप में निरपेक्ष त्रुटि $(0.01 \text{ cm})$ समान है।
पहले माप में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{0.01}{2.20} \times 100 \% = 0.45 \%$.
दूसरे माप में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{0.01}{8.05} \times 100 \% = 0.12 \%$.
इस प्रकार,यद्यपि निरपेक्ष त्रुटियाँ समान हैं,फिर भी बड़े माप में प्रतिशत त्रुटि कम और छोटे माप में प्रतिशत त्रुटि अधिक प्राप्त होती है। अतः यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रतिशत त्रुटि जितनी कम होगी,माप उतना ही अधिक सटीक होगा।

(N/A) किसी उपकरण का अल्पतमांक वह न्यूनतम माप है जिसे उस उपकरण द्वारा सटीक रूप से मापा जा सकता है।
जब हम छोटे अल्पतमांक वाले उपकरण का उपयोग करते हैं,तो माप में होने वाली निरपेक्ष त्रुटि (Absolute Error) कम हो जाती है।
चूंकि सापेक्ष त्रुटि (या प्रतिशत त्रुटि) निरपेक्ष त्रुटि के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए छोटा अल्पतमांक प्रतिशत त्रुटि को कम करता है।
अतः,यथासंभव छोटे अल्पतमांक वाले उपकरण का उपयोग करने से माप की परिशुद्धता और सटीकता बढ़ जाती है।

(N/A) मापन में त्रुटि भौतिक राशि के संख्यात्मक मान में अनिश्चितता को दर्शाती है। चूँकि मापा गया मान वास्तविक मान से थोड़ा अधिक या थोड़ा कम हो सकता है,इसलिए अनिश्चितता की सीमा को इंगित करने के लिए त्रुटि को धनात्मक $(+)$ और ऋणात्मक $(-)$ दोनों चिह्नों के साथ दर्शाया जाता है।

(B) यदि किसी भौतिक राशि की घात $n$ है (अर्थात $x^n$),तो परिणाम में सापेक्ष त्रुटि $n \times (\Delta x / x)$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे घात $n$ बढ़ती है,माप में सापेक्ष त्रुटि $n$ के गुणांक में बढ़ जाती है।
इसलिए,$x$ के प्रारंभिक माप में एक छोटी सी त्रुटि भी अंतिम परिणाम में बड़ी त्रुटि पैदा कर सकती है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंतिम परिणाम स्वीकार्य सटीकता सीमा के भीतर रहे,बड़ी घात वाली राशियों का मापन बहुत अधिक सटीकता के साथ किया जाना चाहिए।

(A) दिया गया संबंध $f = x^2$ है।
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का अवकलन करते हैं या त्रुटियों के लिए घात नियम का उपयोग करते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(f) = 2 \ln(x)$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{df}{f} = 2 \frac{dx}{x}$.
छोटी त्रुटियों के लिए,हम अवकलज को निरपेक्ष त्रुटियों से प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac{\Delta f}{f} = 2 \frac{\Delta x}{x}$.

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 225 \, g$ और निरपेक्ष त्रुटि $\Delta m = 0.05 \, g$ है।
प्रतिशत त्रुटि का सूत्र $\frac{\Delta m}{m} \times 100 \%$ है।
मान रखने पर: $\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{0.05}{225} \times 100 \%$.
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{5}{225} \%$.
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{1}{45} \% \approx 0.022 \%$.

(B) दिए गए मान $\theta_1 = 25.5 \pm 0.1 \, ^\circ C$ और $\theta_2 = 35.3 \pm 0.1 \, ^\circ C$ हैं।
अंतर $Z = \theta_1 - \theta_2$ ज्ञात करने के लिए,हम माध्य मानों को घटाते हैं: $Z = 25.5 - 35.3 = -9.8 \, ^\circ C$।
जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ जाती हैं: $\Delta Z = \Delta \theta_1 + \Delta \theta_2 = 0.1 + 0.1 = 0.2 \, ^\circ C$।
अतः,अंतिम परिणाम $\theta_1 - \theta_2 = (-9.8 \pm 0.2) \, ^\circ C$ है।

(N/A) दिया गया है,$t_1 = 39.6\, s$,$t_2 = 39.9\, s$ और $t_3 = 39.5\, s$.
मापन उपकरण का अल्पतमांक (Least count) $= 0.1\, s$ है (क्योंकि मापन में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक सार्थक अंक है)।
मापन में परिशुद्धता (Precision) $=$ उपकरण का अल्पतमांक $= 0.1\, s$.
$20$ दोलनों के लिए औसत समय:
$t_{avg} = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3} = \frac{39.6 + 39.9 + 39.5}{3} = \frac{119.0}{3} = 39.666... \approx 39.7\, s$.
मापन में निरपेक्ष त्रुटियाँ हैं:
$\Delta t_1 = |t_{avg} - t_1| = |39.7 - 39.6| = 0.1\, s$
$\Delta t_2 = |t_{avg} - t_2| = |39.7 - 39.9| = 0.2\, s$
$\Delta t_3 = |t_{avg} - t_3| = |39.7 - 39.5| = 0.2\, s$
औसत निरपेक्ष त्रुटि (यथार्थता) $= \frac{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3}{3} = \frac{0.1 + 0.2 + 0.2}{3} = \frac{0.5}{3} \approx 0.17\, s$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,मापन की यथार्थता $\pm 0.2\, s$ है।

(D) दी गई भौतिक राशि $X = a^2 b^3 c^{\frac{5}{2}} d^{-2}$ है।
$X$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि का सूत्र है:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = \left[ 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) \right]$
दी गई प्रतिशत त्रुटियों को रखने पर:
$= [2(1\%) + 3(2\%) + 2.5(3\%) + 2(4\%)]$
$= [2 + 6 + 7.5 + 8] \% = 23.5 \%$
अतः,$X$ में प्रतिशत त्रुटि $23.5 \%$ है।
$2.763$ के मान को राउंड ऑफ करने के लिए,हम सापेक्ष त्रुटि देखते हैं,जो $23.5 \% = 0.235$ है। चूंकि त्रुटि पहले दशमलव स्थान में है,इसलिए हम परिणाम को दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करेंगे। अतः,$2.763$ को दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर $2.8$ प्राप्त होता है।

(D) गोले का घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi (D/2)^3} = \frac{6M}{\pi D^3}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln \rho = \ln(6/\pi) + \ln M - 3 \ln D$.
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dM}{M} - 3 \frac{dD}{D}$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम सापेक्ष त्रुटियों के निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं: $\left( \frac{d\rho}{\rho} \times 100 \right)_{\text{max}} = \left( \frac{dM}{M} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{dD}{D} \times 100 \right)$.
दिया गया है कि $\frac{dM}{M} \times 100 = 6.0 \%$ और $\frac{dD}{D} \times 100 = 1.5 \%$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\text{अधिकतम त्रुटि} = 6.0 + 3(1.5) = 6.0 + 4.5 = 10.5 \%$.
हमें त्रुटि $\left(\frac{x}{100}\right) \% = 10.5 \%$ के रूप में दी गई है।
इसलिए,$\frac{x}{100} = 10.5 \implies x = 1050$.

(A) दिए गए मानों के अंकगणितीय माध्य को वास्तविक मान माना जाता है।
$t_{\text{mean}} = \frac{1.25 + 1.24 + 1.27 + 1.21 + 1.28}{5} = \frac{6.25}{5} = 1.25 \; s$.
प्रत्येक माप में निरपेक्ष त्रुटियाँ इस प्रकार हैं:
$|\Delta t_1| = |1.25 - 1.25| = 0 \; s$
$|\Delta t_2| = |1.24 - 1.25| = 0.01 \; s$
$|\Delta t_3| = |1.27 - 1.25| = 0.02 \; s$
$|\Delta t_4| = |1.21 - 1.25| = 0.04 \; s$
$|\Delta t_5| = |1.28 - 1.25| = 0.03 \; s$
औसत निरपेक्ष त्रुटि:
$\Delta t_{\text{mean}} = \frac{0 + 0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \; s$.
प्रतिशत सापेक्ष त्रुटि:
$\text{Percentage error} = \frac{\Delta t_{\text{mean}}}{t_{\text{mean}}} \times 100 = \frac{0.02}{1.25} \times 100 = 1.6 \%$.

(A) औसत मान $\bar{x}$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{80.0 + 80.5 + 81.0 + 81.5 + 82.0}{5} = \frac{405}{5} = 81.0$
प्रत्येक अवलोकन के लिए निरपेक्ष त्रुटि $|x_i - \bar{x}|$ है। प्रत्येक के लिए सापेक्ष त्रुटि $\frac{|x_i - \bar{x}|}{x_i}$ है।

अवलोकन $(x_i)$	निरपेक्ष त्रुटि $|x_i - \bar{x}|$	सापेक्ष त्रुटि $\frac{|x_i - \bar{x}|}{x_i}$
$80.0$	$1.0$	$0.0125$
$80.5$	$0.5$	$0.00621$
$81.0$	$0.0$	$0.0000$
$81.5$	$0.5$	$0.00613$
$82.0$	$1.0$	$0.01219$

सापेक्ष त्रुटियों का योग $= 0.0125 + 0.00621 + 0 + 0.00613 + 0.01219 = 0.03703$
औसत सापेक्ष त्रुटि $= \frac{0.03703}{5} = 0.007406$
औसत प्रतिशत त्रुटि $= 0.007406 \times 100 \% \approx 0.74 \%$.

(D) प्रतिरोध का सूत्र $R = \frac{V}{I}$ है।
भाग के लिए,सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत राशियों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें: $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$।
दिया गया है $V = 50 \; V$,$\Delta V = 2 \; V$ और $I = 20 \; A$,$\Delta I = 0.2 \; A$।
$R$ में प्रतिशत त्रुटि = $\left( \frac{2}{50} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{20} \times 100 \right)$।
$R$ में प्रतिशत त्रुटि = $4\% + 1\% = 5\%$।
अतः,$x = 5$।

(B) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{4 \pi^2 \ell}{T^2}$ है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
दिया गया है $\ell = 10 \ cm$ और $\Delta \ell = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
$200$ दोलनों के लिए,कुल समय $t = 100 \ s$ और रिज़ॉल्यूशन $\Delta t = 1 \ s$ है। आवर्तकाल $T = \frac{t}{200} = \frac{100}{200} = 0.5 \ s$.
आवर्तकाल में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{200} = \frac{1}{200} \ s$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{10} + 2 \left( \frac{1/200}{0.5} \right) = 0.01 + 2 \left( \frac{1}{100} \right) = 0.01 + 0.02 = 0.03$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3 \%$ है।

(A) प्रतिरोध $R$ को $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{V}{I}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,प्रतिरोधकता $\rho = \frac{AV}{I\ell} = \frac{\pi d^2 V}{4I\ell}$,जहाँ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
प्रतिरोधकता में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान: $V = 5.0\, V, \Delta V = 0.1\, V, \ell = 10.0\, cm, \Delta \ell = 0.1\, cm, d = 5.00\, mm, \Delta d = 0.01\, mm, I = 2.00\, A, \Delta I = 0.01\, A$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 2\left(\frac{0.01}{5.00}\right) + \frac{0.1}{5.0} + \frac{0.01}{2.00} + \frac{0.1}{10.0}$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.004 + 0.02 + 0.005 + 0.01 = 0.039$ है।
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.039 \times 100 = 3.9\%$ है।

(B) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln V = \ln(\frac{4}{3} \pi) + 3 \ln r$.
दोनों तरफ अवकलन करने पर,हमें सापेक्ष त्रुटि का सूत्र प्राप्त होता है: $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$.
यहाँ $r = 7.50 \, cm$ और $\Delta r = 0.85 \, cm$ दिया गया है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta r}{r}) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{0.85}{7.50}) \times 100$.
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 0.11333 \times 100 = 34\%$.
अतः,$x$ का मान $34$ है।

(A) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = 4 \pi^2 \frac{L}{g}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $L = 1.0 \text{ m}$,$\Delta L = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$,$T = 1.95 \text{ s}$,और $\Delta T = 0.01 \text{ s}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.001}{1.0} + 2 \times \frac{0.01}{1.95}$।
$\frac{\Delta g}{g} = 0.001 + 0.010256 = 0.011256$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करने पर: $0.011256 \times 100 \approx 1.13 \%$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\ell = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$।
छोटे दोलनों के लिए सरल लोलक की ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m g \ell \theta^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ आयाम है।
$\ell$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{1}{2} m g \left( \frac{T^2 g}{4\pi^2} \right) \theta^2 = \frac{m g^2 T^2 \theta^2}{8\pi^2}$।
यह मानते हुए कि द्रव्यमान $m$ और आयाम $\theta$ स्थिर हैं,$E$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta E}{E} = 2 \frac{\Delta g}{g} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta g}{g} = 4\%$ और $\frac{\Delta T}{T} = 3\%$,इसलिए $\frac{\Delta E}{E} = 2(4\%) + 2(3\%) = 8\% + 6\% = 14\%$।
अतः,$E$ की सटीकता $14\%$ है।