Errors of Measurement Questions in Hindi

(A) संधारित्रों के श्रेणी संयोजन में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ है।
सबसे पहले,तुल्यांकी धारिता $C_{eq}$ की गणना करें:
$C_{eq} = \frac{2000 \times 3000}{2000 + 3000} = \frac{6,000,000}{5000} = 1200 \text{ pF}$.
$C_{eq}$ में त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ का उपयोग करते हैं। अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta C_{eq}}{C_{eq}^2} = \frac{\Delta C_1}{C_1^2} + \frac{\Delta C_2}{C_2^2}$ प्राप्त होता है।
$\Delta C_{eq} = C_{eq}^2 \left( \frac{\Delta C_1}{C_1^2} + \frac{\Delta C_2}{C_2^2} \right) = (1200)^2 \left( \frac{10}{2000^2} + \frac{15}{3000^2} \right) = 1440000 \left( 2.5 \times 10^{-6} + 1.667 \times 10^{-6} \right) \approx 6 \text{ pF}$.
अब,ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ के लिए,सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta U}{U} = \frac{\Delta C_{eq}}{C_{eq}} + 2 \frac{\Delta V}{V}$ है।
प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{6}{1200} + 2 \times \frac{0.02}{5.00} \right) \times 100 = (0.005 + 0.008) \times 100 = 1.3 \%$.

(D) दिया गया व्यंजक: $2 d \sin \theta = \lambda$,इसलिए $d = \frac{\lambda}{2 \sin \theta}$।
निरपेक्ष त्रुटि $\Delta d$ ज्ञात करने के लिए $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\Delta d = \left| \frac{d}{d\theta} \left( \frac{\lambda}{2 \sin \theta} \right) \right| \Delta \theta = \left| -\frac{\lambda \cos \theta}{2 \sin^2 \theta} \right| \Delta \theta = \frac{\lambda \cos \theta}{2 \sin^2 \theta} \Delta \theta$।
चूंकि $\Delta \theta$ स्थिर है,जैसे-जैसे $\theta$,$0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cos \theta$ घटता है और $\sin \theta$ बढ़ता है,इसलिए $\Delta d$ घटता है।
अब,भिन्नात्मक त्रुटि $\frac{\Delta d}{d}$ की गणना करने पर:
$\frac{\Delta d}{d} = \frac{\frac{\lambda \cos \theta}{2 \sin^2 \theta} \Delta \theta}{\frac{\lambda}{2 \sin \theta}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \Delta \theta = \cot \theta \Delta \theta$।
जैसे-जैसे $\theta$,$0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cot \theta$ घटता है। इसलिए,भिन्नात्मक त्रुटि $\frac{\Delta d}{d}$ घटती है।

(A) विस्तार $\Delta L$ को $\Delta L = MSR + (VSR \times LC)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक पाठ्यांक $L_1 = 3.20 \times 10^{-2} \text{ m} + 20 \times 1.0 \times 10^{-5} \text{ m} = 3.220 \times 10^{-2} \text{ m}$।
अंतिम पाठ्यांक $L_2 = 3.20 \times 10^{-2} \text{ m} + 45 \times 1.0 \times 10^{-5} \text{ m} = 3.245 \times 10^{-2} \text{ m}$।
अतिरिक्त भार द्वारा उत्पन्न विस्तार $e = L_2 - L_1 = (45 - 20) \times 10^{-5} \text{ m} = 25 \times 10^{-5} \text{ m}$ है।
यंग मापांक $Y = \frac{MgL}{Ae}$,जहाँ $M = 2 \text{ kg}$,$L = 2 \text{ m}$,$A = 8 \times 10^{-7} \text{ m}^2$।
$Y$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta e}{e}$ द्वारा दी जाती है।
विस्तार के मापन में अनिश्चितता $\Delta e$ दोनों पाठ्यांकों की अनिश्चितताओं का योग है,अर्थात $\Delta e = LC + LC = 2 \times 10^{-5} \text{ m}$।
अतः,अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} \times 100\% = \frac{\Delta e}{e} \times 100\% = \frac{2 \times 10^{-5}}{25 \times 10^{-5}} \times 100\% = \frac{2}{25} \times 100\% = 8\%$ है।

(D) दिया गया समीकरण $E(t) = A^2 e^{-\alpha t}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln E = 2 \ln A - \alpha t$.
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dE}{E} = 2 \frac{dA}{A} - \alpha dt$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम त्रुटियों के निरपेक्ष मानों पर विचार करते हैं: $\left| \frac{dE}{E} \right| = 2 \left| \frac{dA}{A} \right| + \alpha |dt|$.
दिया गया है $\frac{dA}{A} = 1.25 \% = 0.0125$ और समय में त्रुटि $dt = 1.50 \% \text{ of } t = 0.015 \times 5 \ s = 0.075 \ s$.
दिया गया है $\alpha = 0.2 \ s^{-1}$.
मान रखने पर: $\frac{dE}{E} \times 100 = 2(1.25 \%) + (0.2 \ s^{-1})(0.075 \ s) \times 100$.
$\frac{dE}{E} \times 100 = 2.5 \% + (0.2 \times 0.075) \times 100 \% = 2.5 \% + 1.5 \% = 4 \%$.
अतः,$E(t)$ में प्रतिशत त्रुटि $4 \%$ है।

(B) शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 H = \frac{1}{12} \pi D^2 H$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta H}{H}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है,अल्पतमांक $\Delta D = \Delta H = 2 \text{ mm} = 0.2 \text{ cm}$ है।
मापे गए मान $D = H = 20.0 \text{ cm}$ हैं।
$D$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta D}{D} \times 100\% = \frac{0.2 \text{ cm}}{20.0 \text{ cm}} \times 100\% = 1\%$ है।
$H$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta H}{H} \times 100\% = \frac{0.2 \text{ cm}}{20.0 \text{ cm}} \times 100\% = 1\%$ है।
अतः,आयतन $V$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100\% = 2(1\%) + 1\% = 3\%$ है।

(B) तार का घनत्व $\rho$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi R^2 \ell}$।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \left( \frac{0.003}{0.60} + 2 \times \frac{0.01}{0.50} + \frac{0.05}{10.00} \right)$।
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{0.003}{0.60} = 0.005$,
$2 \times \frac{0.01}{0.50} = 2 \times 0.02 = 0.04$,
$\frac{0.05}{10.00} = 0.005$।
इन मानों का योग करने पर: $0.005 + 0.04 + 0.005 = 0.05$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करने पर:
प्रतिशत त्रुटि $= 0.05 \times 100 = 5 \%$।

(C) दिया गया ऊर्जा समीकरण: $E = \alpha^3 e^{-\beta t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln E = 3 \ln \alpha - \beta t$.
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर: $\frac{dE}{E} = 3 \frac{d\alpha}{\alpha} - \beta dt$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम त्रुटियों के निरपेक्ष मानों पर विचार करते हैं: $\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3 \left( \frac{d\alpha}{\alpha} \right) + \beta |dt|$.
हमें $\frac{d\alpha}{\alpha} = 1.2 \%$ और $t$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dt}{t} = 1.6 \%$ दी गई है,जिसका अर्थ है $dt = 0.016 \times t$.
$t = 5 \ s$ पर,$dt = 0.016 \times 5 = 0.08 \ s$.
मान रखने पर: $\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3(1.2 \%) + (0.3 \ s^{-1})(0.08 \ s) \times 100 \%$.
$\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3.6 \% + (0.024) \times 100 \% = 3.6 \% + 2.4 \% = 6 \%$.

(C) दिया गया संबंध $Q = \frac{ab^4}{cd}$ है।
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ में भिन्नात्मक त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{\Delta a}{a} + 4\frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = \left( \frac{\Delta a}{a} + 4\frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{1000} = \left( \frac{3}{60} + 4 \times \frac{0.1}{20} + \frac{0.2}{40} + \frac{0.1}{50} \right) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = (0.05 + 4 \times 0.005 + 0.005 + 0.002) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = (0.05 + 0.02 + 0.005 + 0.002) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = 0.077 \times 100 = 7.7$.
चूँकि $\frac{x}{1000} = 7.7$,इसलिए $x = 7.7 \times 1000 = 7700$.

(A) दिया गया संबंध: $C = p^1 q^2 r^{-3} s^{-1/2}$ है।
$C$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र:
$\frac{\Delta C}{C} = \left| 1 \frac{\Delta p}{p} \right| + \left| 2 \frac{\Delta q}{q} \right| + \left| 3 \frac{\Delta r}{r} \right| + \left| \frac{1}{2} \frac{\Delta s}{s} \right|$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियां: $\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 3\%$,$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 2\%$.
इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta C}{C} \times 100 = (1 \times 1\%) + (2 \times 2\%) + (3 \times 3\%) + (0.5 \times 2\%)$.
$= 1\% + 4\% + 9\% + 1\% = 15\%$.
अतः,$C$ में प्रतिशत त्रुटि $15\%$ है।

(C) राशि $Q = X^{-2} Y^{\frac{3}{2}} Z^{-\frac{2}{5}}$ द्वारा दी गई है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम का उपयोग करते हुए,$Q$ में अधिकतम भिन्नात्मक त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta Q}{Q} = |-2| \frac{\Delta X}{X} + |\frac{3}{2}| \frac{\Delta Y}{Y} + |-\frac{2}{5}| \frac{\Delta Z}{Z}$
दी गई भिन्नात्मक त्रुटियां $\frac{\Delta X}{X} = 0.1$,$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.2$,और $\frac{\Delta Z}{Z} = 0.5$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 2(0.1) + \frac{3}{2}(0.2) + \frac{2}{5}(0.5)$
$\frac{\Delta Q}{Q} = 0.2 + 0.3 + 0.2$
$\frac{\Delta Q}{Q} = 0.7$

(C) दिया गया संबंध: $P = a^3 b^2 c^{-1} d^{-1/2}$.
त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta P}{P} = 3 \left( \frac{\Delta a}{a} \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \right) + 1 \left( \frac{\Delta c}{c} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta d}{d} \right)$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 1 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $(1 \%, 3 \%, 2 \%, 4 \%)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3(1 \%) + 2(3 \%) + 1(2 \%) + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$= 3 \% + 6 \% + 2 \% + 2 \% = 13 \%$.

(A) दिया गया है: $A = 2.5 \ ms^{-1}$,$\Delta A = 0.5 \ ms^{-1}$ और $B = 0.10 \ s$,$\Delta B = 0.01 \ s$.
हमें गुणनफल $X = AB$ ज्ञात करना है।
$X = 2.5 \times 0.10 = 0.25 \ m$.
गुणनफल में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है: $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta X}{0.25} = \frac{0.5}{2.5} + \frac{0.01}{0.10}$.
$\frac{\Delta X}{0.25} = 0.2 + 0.1 = 0.3$.
$\Delta X = 0.3 \times 0.25 = 0.075$.
सार्थक अंकों के अनुसार,$\Delta X \approx 0.08 \ m$.
अतः,$AB = (0.25 \pm 0.08) \ m$.

(C) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $KE$ का उसके द्रव्यमान $m$ और संवेग $p$ के साथ संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\Delta KE}{KE} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta p}{p}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $\frac{\Delta KE}{KE} \% = \frac{\Delta m}{m} \% + 2 \left( \frac{\Delta p}{p} \% \right)$.
यहाँ दिया गया है कि $\frac{\Delta m}{m} \% = 1 \%$ और $\frac{\Delta p}{p} \% = 2 \%$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta KE}{KE} \% = 1 \% + 2(2 \%) = 1 \% + 4 \% = 5 \%$.
अतः,गतिज ऊर्जा के मापन में प्रतिशत त्रुटि $5 \%$ है।

(C) यादृच्छिक त्रुटियां प्रयोगात्मक स्थितियों में होने वाले अनिश्चित उतार-चढ़ाव हैं।
चूंकि ये त्रुटियां धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं,इसलिए बड़ी संख्या में अवलोकन लेने पर वे एक-दूसरे के प्रभाव को समाप्त कर देती हैं।
इसलिए,यादृच्छिक त्रुटि को कम करने का सबसे प्रभावी तरीका प्रयोग को कई बार दोहराना और सभी अवलोकित परिणामों का अंकगणितीय माध्य (mean) निकालना है।

(D) दिया गया सूत्र $P = \frac{x^3 y}{z^2}$ है।
$P$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है:
$\frac{\Delta P}{P} = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \right) + 1 \left( \frac{\Delta y}{y} \right) + 2 \left( \frac{\Delta z}{z} \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ $\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 0.6 \%$,$\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 1.3 \%$ हैं।
इन मानों को प्रतिशत त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3(0.6 \%) + 1(3 \%) + 2(1.3 \%)$.
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 1.8 \% + 3 \% + 2.6 \%$.
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 7.4 \%$.
अतः,$P$ में प्रतिशत त्रुटि $7.4 \%$ है।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_1 = (38.6 \pm 0.2)^{\circ}C$ है और अंतिम तापमान $T_2 = (82.3 \pm 0.3)^{\circ}C$ है।
तापमान में वृद्धि $\Delta T$ को $\Delta T = T_2 - T_1$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta T = 82.3 - 38.6 = 43.7^{\circ}C$.
जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ा जाता है।
इसलिए,तापमान में वृद्धि में त्रुटि $\Delta(\Delta T) = \Delta T_1 + \Delta T_2$ होगी।
$\Delta(\Delta T) = 0.2 + 0.3 = 0.5^{\circ}C$.
अतः,उचित त्रुटि सीमाओं के साथ तापमान में वृद्धि $(43.7 \pm 0.5)^{\circ}C$ है।

(A) चरण $1$: माध्य समय $(T_{mean})$ की गणना करें।
$T_{mean} = \frac{30 + 32 + 35 + 35}{4} = \frac{132}{4} = 33 \ s$.
चरण $2$: निरपेक्ष त्रुटियों $(\Delta T_i = |T_i - T_{mean}|)$ की गणना करें।
$\Delta T_1 = |30 - 33| = 3 \ s$
$\Delta T_2 = |32 - 33| = 1 \ s$
$\Delta T_3 = |35 - 33| = 2 \ s$
$\Delta T_4 = |35 - 33| = 2 \ s$
चरण $3$: माध्य निरपेक्ष त्रुटि $(\Delta T_{mean})$ की गणना करें।
$\Delta T_{mean} = \frac{3 + 1 + 2 + 2}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$.
चरण $4$: परिणाम को $T_{mean} \pm \Delta T_{mean}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही माध्य समय $(33 \pm 2) \ s$ है।

(B) घन का घनत्व $\rho$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\rho = \frac{M}{L^3}$,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $L$ घन की भुजा की लंबाई है।
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,घनत्व में सापेक्ष त्रुटि है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \left( \frac{\Delta L}{L} \right)$.
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) = 5 \%$ और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) = 6 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
घनत्व में प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 3 \times \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$.
घनत्व में प्रतिशत त्रुटि $= 5 \% + 3 \times (6 \%) = 5 \% + 18 \% = 23 \%$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया संबंध $A = \frac{B^\alpha C^\beta}{D^\gamma E^\delta}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,$A = \frac{B^\alpha C^\beta}{D^\gamma E^\delta}$ के लिए सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} = \alpha \frac{\Delta B}{B} + \beta \frac{\Delta C}{C} + \gamma \frac{\Delta D}{D} + \delta \frac{\Delta E}{E}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम सापेक्ष त्रुटियों के निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं।
इसलिए,$A$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right)_{max} = \alpha \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + \beta \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right) + \gamma \left( \frac{\Delta D}{D} \times 100 \right) + \delta \left( \frac{\Delta E}{E} \times 100 \right)$ द्वारा दी जाती है।
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $b\%, c\%, d\%$ और $e\%$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $(\alpha b + \beta c + \gamma d + \delta e) \%$ प्राप्त होती है।

(C) चरण $1$: गोले के आयतन का सूत्र याद करें।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
चरण $2$: त्रुटि के प्रसार का नियम लागू करें।
यदि कोई राशि $Q$,$x$ पर $Q = k \cdot x^n$ के रूप में निर्भर करती है,तो सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Q}{Q} = n \cdot \frac{\Delta x}{x}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \% = n \cdot \left( \frac{\Delta x}{x} \times 100 \% \right)$ होगी।
चरण $3$: इसे आयतन के सूत्र पर लागू करें।
चूंकि $V = \frac{4}{3} \pi r^3$,इसलिए आयतन $V$,$r^3$ के समानुपाती है $(V \propto r^3)$।
अतः,$V$ में प्रतिशत त्रुटि $\Delta V \% = 3 \cdot \Delta r \%$ होगी।
चरण $4$: दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें।
दिया गया है $\Delta r \% = 2 \%$.
इसलिए,$\Delta V \% = 3 \times 2 \% = 6 \%$.

(A) आवर्तकाल का सूत्र: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $T^2 = 4 \pi^2 \frac{\ell}{g}$,जिसका अर्थ है $g = 4 \pi^2 \frac{\ell}{T^2}$.
$g$ में सापेक्ष त्रुटि: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
दिया गया है: $\ell = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$,$\Delta \ell = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$.
अतः,$\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.001}{1} = 0.001$.
$100$ दोलनों के लिए समय $t = 100 \times T = 100 \times 2 = 200 \text{ s}$.
$100$ दोलनों को मापने में त्रुटि $\Delta t = 0.1 \text{ s}$.
आवर्तकाल $T$ में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{0.1}{100} = 0.001 \text{ s}$.
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{0.001}{2} = 0.0005$.
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र में मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = 0.001 + 2(0.0005) = 0.001 + 0.001 = 0.002$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.002 \times 100 = 0.2 \%$.

(C) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ गति है।
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ है और गति में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 4 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$K$ में प्रतिशत त्रुटि $= (3 \%) + 2 \times (4 \%) = 3 \% + 8 \% = 11 \%$.
अतः,गतिज ऊर्जा के मापन में प्रतिशत त्रुटि $11 \%$ है।

(D) यादृच्छिक त्रुटियां अनियमित होती हैं और प्रयोगात्मक स्थितियों में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव या अवलोकन संबंधी पूर्वाग्रह के कारण होती हैं।
$1$. थर्मामीटर का अनुचित अंशांकन एक व्यवस्थित (systematic) त्रुटि है।
$2$. वोल्टमीटर में $1 \mu V$ की शून्य त्रुटि एक व्यवस्थित त्रुटि है।
$3$. छात्र द्वारा लगातार मापन त्रुटि ($20^{\circ}$ के बजाय $22^{\circ}$ मापना) एक व्यवस्थित त्रुटि है।
$4$. विद्युत आपूर्ति में उतार-चढ़ाव अप्रत्याशित होते हैं और मापन में यादृच्छिक परिवर्तन का कारण बनते हैं,इसलिए यह यादृच्छिक त्रुटियों की श्रेणी में आता है।

(D) दबाव $P$ को बल $F$ और क्षेत्रफल $A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। $L$ लंबाई वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,क्षेत्रफल $A = L^2$ होता है। अतः,$P = \frac{F}{L^2}$।
त्रुटियों के प्रसार के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ बल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$ और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$ दी गई है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,दबाव में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2(2 \%) = 4 \% + 4 \% = 8 \%$ प्राप्त होती है।

(C) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$ है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान:
$M = 0.3 \text{ g}, \Delta M = 0.003 \text{ g} \implies \frac{\Delta M}{M} = \frac{0.003}{0.3} = 0.01$.
$r = 0.5 \text{ mm}, \Delta r = 0.005 \text{ mm} \implies \frac{\Delta r}{r} = \frac{0.005}{0.5} = 0.01$.
$L = 6 \text{ cm}, \Delta L = 0.06 \text{ cm} \implies \frac{\Delta L}{L} = \frac{0.06}{6} = 0.01$.
इन मानों को त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 + 2(0.01) + 0.01 = 0.01 + 0.02 + 0.01 = 0.04$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \% = 0.04 \times 100 \% = 4 \%$ है।

(A) दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है। $L$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,क्षेत्रफल $A = L^2$ होता है।
अतः,$P = \frac{F}{A} = \frac{F}{L^2}$।
दबाव में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,दबाव में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$ होगी।

(B) घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{M}{V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि घन या समान वस्तु के लिए आयतन $V = L^3$ होता है,इसलिए $\rho = \frac{M}{L^3}$ होगा।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4 \%$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 4 \% + 3(3 \%) = 4 \% + 9 \% = 13 \%$.
अतः,घनत्व के मापन में त्रुटि $13 \%$ है।

(A) दिया गया सूत्र $A = \frac{pq^2}{r^2 s^4}$ है।
$A$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta p}{p} + 2\frac{\Delta q}{q} + 2\frac{\Delta r}{r} + 4\frac{\Delta s}{s}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 3 \%$
$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 2 \%$
$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 3 \%$
$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 1 \%$
इन मानों को प्रतिशत त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = (3 \%) + 2(2 \%) + 2(3 \%) + 4(1 \%)$
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 3 \% + 4 \% + 6 \% + 4 \% = 17 \%$.
अतः,$A$ में प्रतिशत त्रुटि $17 \%$ है।

(D) दूरी के लिए दिया गया सूत्र: $h = \frac{1}{2} gt^2$.
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $g = \frac{2h}{t^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(g) = \ln(2) + \ln(h) - 2\ln(t)$.
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{\Delta g}{g} = 0 + \frac{\Delta h}{h} + 2\frac{\Delta t}{t}$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम सापेक्ष त्रुटियों के निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं: $\left(\frac{\Delta g}{g} \times 100\right)_{max} = \left(\frac{\Delta h}{h} \times 100\right) + 2\left(\frac{\Delta t}{t} \times 100\right)$.
चूंकि $h$ में प्रतिशत त्रुटि $e_1$ है और $t$ में $e_2$ है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $g$ में प्रतिशत त्रुटि = $e_1 + 2e_2$.

(C) दिया गया संबंध $X = a^2 b^3 c^{5/2} d^{-2}$ है।
$X$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \right) + 2 \left( \frac{\Delta d}{d} \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ: $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 2\%$,और $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4\%$.
इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2(1\%) + 3(2\%) + \frac{5}{2}(2\%) + 2(4\%)$.
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2\% + 6\% + 5\% + 8\% = 21\%$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{l^3}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम के अनुसार,घनत्व में सापेक्ष त्रुटि:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3 \frac{\Delta l}{l}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 3 \times \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
यहाँ $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1.5 \%$ और $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2.5 \%$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = 1.5 \% + 3 \times (2.5 \%)$
$= 1.5 \% + 7.5 \% = 9 \%$.

(C) घनत्व $(\rho)$ को द्रव्यमान $(M)$ और आयतन $(V)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। $L$ भुजा वाले घन के लिए,आयतन $V = L^3$ होता है।
इसलिए,$\rho = \frac{M}{L^3}$.
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$.
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4 \%$ और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 4 \% + 3 \times (3 \%) = 4 \% + 9 \% = 13 \%$.
अतः,घनत्व के मापन में अधिकतम त्रुटि $13 \%$ होगी।

(C) पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{1}{2}mv^2$।
गुणन और घात के लिए त्रुटि प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,$KE$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta KE}{KE} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta KE}{KE} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$।
चूंकि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 2 \%$ और गति में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 3 \%$ दी गई है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$KE$ में प्रतिशत त्रुटि $= 2 \% + 2(3 \%) = 2 \% + 6 \% = 8 \%$।

(B) दी गई भौतिक राशि $x = \frac{a^2 b^2}{c}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए,$x$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta x}{x} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 3\%$ और $\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 4\%$ हैं।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 2(2\%) + 2(3\%) + 4\%$.
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\% + 6\% + 4\% = 14\%$.
अतः,$x$ के मापन में प्रतिशत त्रुटि $14\%$ है।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$.
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
दिया गया है कि लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 0.5 \%$ और आवर्तकाल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 0.2 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$g$ में प्रतिशत त्रुटि = $0.5 \% + 2(0.2 \%) = 0.5 \% + 0.4 \% = 0.9 \%$.

(C) दिया गया संबंध: $Q = \frac{x^3 y^2}{z}$.
त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है: $\frac{\Delta Q}{Q} = 3 \frac{\Delta x}{x} + 2 \frac{\Delta y}{y} + \frac{\Delta z}{z}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 2\%$
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 4\%$
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 3(1\%) + 2(2\%) + 1(4\%)$
$= 3\% + 4\% + 4\% = 11\%$.
अतः,$Q$ में प्रतिशत त्रुटि $11\%$ है।

(D) दिया गया है,द्रव्यमान,$m = (0.3 \pm 0.003) \text{ g}$
त्रिज्या,$r = (0.5 \pm 0.005) \text{ mm}$
लंबाई,$l = (6 \pm 0.06) \text{ cm}$
बेलन का घनत्व,$\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{m}{\pi r^2 l}$
$\rho$ में भिन्नात्मक त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$
$\rho$ में प्रतिशत त्रुटि:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta r}{r} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$
मान रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{0.003}{0.3} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{0.005}{0.5} \times 100 \right) + \left( \frac{0.06}{6} \times 100 \right)$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 1\% + 2(1\%) + 1\% = 4\%$

(C) प्रतिरोध का सूत्र $R = \frac{V}{I}$ है।
दिए गए मान $V = 100 \text{ V}$,$\Delta V = 5 \text{ V}$,$I = 10 \text{ A}$,और $\Delta I = 0.2 \text{ A}$ हैं।
भाग के लिए,सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत राशियों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{5}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{10} \times 100 \right)$.
$= 5\% + 2\% = 7\%$.
अतः,$R$ में प्रतिशत त्रुटि $7\%$ है।

(A) दिया गया है: $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 4 \%$.
गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = 3 \% + 2(4 \%) = 3 \% + 8 \% = 11 \%$.
अतः,गतिज ऊर्जा में प्रतिशत त्रुटि $11 \%$ है।

(C) दिया गया है: विभवांतर $V = (30 \pm 0.3) \ V$ और धारा $I = (5 \pm 0.1) \ A$ है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I}$ होता है।
प्रतिरोध में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{0.3}{30} + \frac{0.1}{5}$।
$\frac{\Delta R}{R} = 0.01 + 0.02 = 0.03$।
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3 \%$ है।

(C) दिया गया है: $V = 50 \text{ V}$,$\Delta V = 3 \text{ V}$ और $I = 5 \text{ A}$,$\Delta I = 0.1 \text{ A}$.
ओम के नियम से,$R = \frac{V}{I}$.
प्रतिरोध $R$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{3}{50} + \frac{0.1}{5}$.
$\frac{\Delta R}{R} = 0.06 + 0.02 = 0.08$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.08 \times 100 = 8 \%$ है।

(A) दिया गया संबंध: $P = \frac{a^{1/2} \cdot b^{1/2} \cdot d^\alpha}{c^{1/2}}$.
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ में प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \alpha \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
यहाँ $a, b, c$ और $d$ में प्रतिशत त्रुटि प्रत्येक $0.5 \%$ है और $P$ में प्रतिशत त्रुटि $2 \%$ है:
$2 = \frac{1}{2}(0.5) + \frac{1}{2}(0.5) + \alpha(0.5) + \frac{1}{2}(0.5)$.
$2 = 0.25 + 0.25 + 0.5\alpha + 0.25$.
$2 = 0.75 + 0.5\alpha$.
$0.5\alpha = 2 - 0.75 = 1.25$.
$\alpha = \frac{1.25}{0.5} = 2.5 = \frac{5}{2}$.

(C) दिया गया है,$a, b, c$ और $d$ में प्रतिशत त्रुटि क्रमशः $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3\%$ और $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 5\%$ है।
राशि $P$ को $P = \frac{a^2 b^2}{c d}$ द्वारा दिया गया है।
$P$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \% = 2(2\%) + 2(1\%) + 3\% + 5\%$
$\frac{\Delta P}{P} \% = 4\% + 2\% + 3\% + 5\% = 14\%$
अतः,$P$ में प्रतिशत त्रुटि $14\%$ है।

(B) व्यवस्थित त्रुटियाँ (Systematic errors) वे त्रुटियाँ हैं जो एक ही दिशा में,या तो धनात्मक या ऋणात्मक होती हैं।
यंत्रगत त्रुटियाँ (Instrumental errors) मापन यंत्र की अपूर्ण डिज़ाइन या गलत अंशांकन (calibration) के कारण उत्पन्न होती हैं।
शून्य त्रुटि यंत्रगत त्रुटि का एक उत्कृष्ट उदाहरण है क्योंकि यह यंत्र के गलत अंशांकन या यांत्रिक दोष के कारण होती है,जिसके कारण इनपुट शून्य होने पर भी यंत्र शून्य के अलावा कोई मान दर्शाता है।
अतः,शून्य त्रुटि यंत्रगत त्रुटियों की श्रेणी में आती है।

(C) दिया गया है:
$R_1 = (200 \pm 2) \Omega$
$R_2 = (400 \pm 4) \Omega$
जब प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_s$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है:
$R_s = R_1 + R_2$
नाममात्र मानों के लिए:
$R_{nominal} = 200 \Omega + 400 \Omega = 600 \Omega$
श्रेणी संयोजन में निरपेक्ष त्रुटियों के लिए,त्रुटियों को जोड़ा जाता है:
$\Delta R_s = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 2 \Omega + 4 \Omega = 6 \Omega$
अतः,तुल्य प्रतिरोध है:
$R_s = (600 \pm 6) \Omega$

(A) गुरुत्वीय त्वरण के लिए सूत्र दिया गया है: $g = 4 \pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ में सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटि प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
यहाँ $L$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \pm 2 \%$ और $T$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \pm 3 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \pm 2 \% + 2 \times (\pm 3 \%) = \pm 2 \% + \pm 6 \% = \pm 8 \%$.
अतः,अनुमानित $g$ में त्रुटि $\pm 8 \%$ होगी।

(B) दिया गया है,$\Delta t_1 = (2.00 \pm 0.02) \ s$ और $\Delta t_2 = (4.00 \pm 0.02) \ s$।
मान लीजिए $T = \sqrt{(\Delta t_1)(\Delta t_2)}$।
माध्य मान $T = \sqrt{2.00 \times 4.00} = \sqrt{8.00} \approx 2.8284 \ s$ है।
त्रुटि की गणना के लिए,$T = (\Delta t_1)^{1/2} (\Delta t_2)^{1/2}$ लें।
सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta t_1}{\Delta t_1} + \frac{1}{2} \frac{\Delta t_2}{\Delta t_2}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \left( \frac{0.02}{2.00} + \frac{0.02}{4.00} \right) = \frac{1}{2} (0.01 + 0.005) = \frac{1}{2} (0.015) = 0.0075$।
$\Delta T = 0.0075 \times 2.8284 \approx 0.02121 \ s$।
त्रुटि को एक सार्थक अंक तक राउंड ऑफ करने पर $\Delta T \approx 0.02 \ s$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,गणना में $0.01$ त्रुटि का सबसे निकटतम मान है। $T$ को तीन सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर $2.83 \ s$ प्राप्त होता है। अतः,परिणाम $(2.83 \pm 0.01) \ s$ है।

(A) दिया गया है,द्रव्यमान के मापन में त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} = 1 \%$ है।
घनत्व के मापन में त्रुटि $\frac{\Delta d}{d} = 2 \%$ है।
हम जानते हैं कि घनत्व $d = \frac{m}{V}$,जहाँ $V$ घन का आयतन है।
चूंकि $V = l^3$,जहाँ $l$ घन की भुजा की लंबाई है,इसलिए $d = \frac{m}{l^3}$ होता है।
$l$ के लिए सूत्र व्यवस्थित करने पर,$l = (m \cdot d^{-1})^{1/3}$ प्राप्त होता है।
लंबाई में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta d}{d} \right)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{3} (1 \% + 2 \%) = \frac{1}{3} (3 \%) = 1 \%$.
अतः,लंबाई के मापन में त्रुटि $1 \%$ है।

(A) समांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $R_P = \frac{60 \times 30}{60 + 30} = \frac{1800}{90} = 20 \ \Omega$.
त्रुटि $\Delta R_P$ ज्ञात करने के लिए,हम समांतर संयोजन त्रुटि के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\Delta R_P = R_P \left( \frac{\Delta R_1}{R_1} + \frac{\Delta R_2}{R_2} - \frac{\Delta R_1 + \Delta R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
$\Delta R_P = 20 \left( \frac{0.36}{60} + \frac{0.09}{30} - \frac{0.36 + 0.09}{60 + 30} \right)$.
$\Delta R_P = 20 \left( 0.006 + 0.003 - \frac{0.45}{90} \right)$.
$\Delta R_P = 20 \left( 0.009 - 0.005 \right) = 20 \times 0.004 = 0.08 \ \Omega$.
अतः,तुल्य प्रतिरोध $20 \pm 0.08 \ \Omega$ है।

(A) धारा के लिए दिया गया समीकरण: $I = e^{1000V/T} - 1$.
चूंकि $I = 11 \text{ mA}$,इसलिए $11 = e^{1000V/T} - 1$,जिसका अर्थ है $e^{1000V/T} = 12$.
धारा में त्रुटि $\Delta I$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $V$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dI}{dV} = \frac{d}{dV}(e^{1000V/T} - 1) = e^{1000V/T} \cdot \frac{1000}{T}$.
$e^{1000V/T} = 12$ और $T = 300 \text{ K}$ रखने पर:
$\frac{dI}{dV} = 12 \cdot \frac{1000}{300} = 12 \cdot \frac{10}{3} = 40 \text{ mA/V}$.
धारा में त्रुटि $\Delta I = \left| \frac{dI}{dV} \right| \cdot \Delta V$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\Delta V = \pm 0.01 \text{ V}$ दिया गया है,इसलिए $\Delta I = 40 \cdot 0.01 = 0.4 \text{ mA}$.
अतः,धारा में त्रुटि $\pm 0.4 \text{ mA}$ है।