Errors of Measurement Questions in Hindi

(C) एक वृत्ताकार प्लेट पर दबाव $p$ सूत्र $p = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है और $A$ प्लेट का क्षेत्रफल है। चूंकि प्लेट वृत्ताकार है,इसलिए $A = \pi R^2$,जहाँ $R$ त्रिज्या है।
अतः,$p = \frac{F}{\pi R^2}$.
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,$p$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta R}{R}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right)$.
यह दिया गया है कि बल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 5 \%$ है और त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 3 \%$ है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$p$ में प्रतिशत त्रुटि $= 5 \% + 2(3 \%) = 5 \% + 6 \% = 11 \%$.
अतः,दबाव के मापन में प्रतिशत त्रुटि $11 \%$ है।

(B) राशि $X = \frac{L}{T^2}$ द्वारा दी गई है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम के अनुसार,$X$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ होती है।
यहाँ $L$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 \% = 3 \%$ और $T$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 \% = 2 \%$ दी गई है।
अतः,$\frac{L}{T^2}$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \% \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \% \right)$ होगी।
मान रखने पर: $3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$.

(A) मान लीजिए अधिकतम तापमान $T_1 = 44^{\circ} C \pm 0.5^{\circ} C$ है और न्यूनतम तापमान $T_2 = 22^{\circ} C \pm 0.5^{\circ} C$ है।
तापमान का अंतर $\Delta T = T_1 - T_2$ द्वारा दिया जाता है।
अंतर का मान $44^{\circ} C - 22^{\circ} C = 22^{\circ} C$ है।
त्रुटि प्रसार के नियम के अनुसार,जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो उनकी निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ा जाता है।
इसलिए,अंतर में त्रुटि $\Delta(\Delta T) = \Delta T_1 + \Delta T_2 = 0.5^{\circ} C + 0.5^{\circ} C = 1.0^{\circ} C$ होगी।
अतः,तापमान का अंतर $22^{\circ} C \pm 1^{\circ} C$ है।

(B) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$,$S = 4\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S}{S} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta S}{S} \times 100 = 1.2 \%$,इसलिए $2 \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1.2 \%$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.6 \%$.
गोले का आयतन $V$,$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{\Delta r}{r}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 0.6 \% = 1.8 \%$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,विद्युत धारा $I = (10 \pm 0.5) \text{ A}$ और विभवांतर $V = (100 \pm 6) \text{ V}$ है।
ओम के नियम के अनुसार,$R = \frac{V}{I}$ होता है।
प्रतिरोध में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{6}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.5}{10} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 6\% + 5\% = 11\%$.

(D) दिया गया है: $C = (4.0 \pm 0.2) \mu F$ और $V = (10.0 \pm 0.1) V$.
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य मान की गणना: $Q = 4.0 \mu F \times 10.0 V = 40 \mu C$.
आवेश में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{\Delta C}{C} + \frac{\Delta V}{V}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{0.2}{4.0} + \frac{0.1}{10.0} = 0.05 + 0.01 = 0.06$.
आवेश में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$ है।
अतः,संधारित्र पर आवेश $40 \mu C \pm 6 \%$ है।

(C) दिया गया संबंध $S = \frac{a^{1/2} b}{c^3 d^4}$ है।
$S$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta S}{S} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c} + 4 \frac{\Delta d}{d}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों के मान रखने पर:
$\left( \frac{\Delta S}{S} \times 100 \right) = \frac{1}{2} \times (2 \%) + (1 \%) + 3 \times (1 \%) + 4 \times (1 \%)$.
मानों की गणना करने पर:
$= 1 \% + 1 \% + 3 \% + 4 \% = 9 \%$.
अतः,$S$ में प्रतिशत त्रुटि $9 \%$ है।

(B) दिया गया व्यंजक $Z = \frac{A B^{1/2}}{C^2}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,$Z$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + 2 \frac{\Delta C}{C}$.
चूंकि $A, B$ और $C$ में प्रतिशत त्रुटि $1\%$ दी गई है,इसलिए:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta B}{B} \times 100 = 1\%$,और $\frac{\Delta C}{C} \times 100 = 1\%$.
इन मानों को $Z$ में प्रतिशत त्रुटि के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\Delta Z}{Z} \times 100 = \left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta Z}{Z} \times 100 = 1\% + \frac{1}{2}(1\%) + 2(1\%) = 1\% + 0.5\% + 2\% = 3.5\%$.

(D) दिया गया है कि,अवलोकनों की संख्या,$n=5$ है।
रीडिंग $a_1=2.4 \ m, a_2=2.5 \ m, a_3=2.6 \ m, a_4=2.8 \ m, a_5=3.0 \ m$ हैं।
अवलोकनों का माध्य मान,$\bar{a} = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} = \frac{2.4+2.5+2.6+2.8+3.0}{5} = \frac{13.3}{5} = 2.66 \ m$ है।
व्यक्तिगत अवलोकित मानों में निरपेक्ष त्रुटियाँ हैं:
$|\Delta a_1| = |2.4 - 2.66| = 0.26 \ m$
$|\Delta a_2| = |2.5 - 2.66| = 0.16 \ m$
$|\Delta a_3| = |2.6 - 2.66| = 0.06 \ m$
$|\Delta a_4| = |2.8 - 2.66| = 0.14 \ m$
$|\Delta a_5| = |3.0 - 2.66| = 0.34 \ m$
माध्य निरपेक्ष त्रुटि,$\Delta \bar{a} = \frac{0.26+0.16+0.06+0.14+0.34}{5} = \frac{0.96}{5} = 0.192 \ m$ है।
सापेक्ष त्रुटि = $\frac{\Delta \bar{a}}{\bar{a}} = \frac{0.192}{2.66} \approx 0.072$।

(B) दिया गया है: लंबाई $l = 1 \ m$,चौड़ाई $b = 50 \ cm = 0.5 \ m$ है।
लंबाई में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta l}{l} = 1 \% = 0.01$ और चौड़ाई में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta b}{b} = 1 \% = 0.01$ है।
आयताकार मेज का क्षेत्रफल $A = l \times b = 1 \times 0.5 = 0.5 \ m^2$ है।
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta A}{A} = \frac{\delta l}{l} + \frac{\delta b}{b}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\delta A}{A} = 0.01 + 0.01 = 0.02$ है।
क्षेत्रफल में निरपेक्ष त्रुटि $\delta A = A \times 0.02 = 0.5 \times 0.02 = 0.01 \ m^2$ है।
अतः,त्रुटि सहित मेज का क्षेत्रफल $A \pm \delta A = (0.5 \pm 0.01) \ m^2$ होगा।

(A) माप में निरपेक्ष त्रुटि $\Delta x = 0.05 \ m$ है।
मापी गई लंबाई $x = 5 \ m$ है।
सापेक्ष त्रुटि निरपेक्ष त्रुटि और मापे गए मान का अनुपात है: $\frac{\Delta x}{x} = \frac{0.05}{5} = 0.01$.
प्रतिशत त्रुटि की गणना सापेक्ष त्रुटि को $100$ से गुणा करके की जाती है: $\text{Percentage Error} = \frac{\Delta x}{x} \times 100 \% = 0.01 \times 100 \% = 1 \%$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) गेंद का माध्य द्रव्यमान इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$\bar{M} = \frac{2.61 + 2.58 + 2.40 + 2.73 + 2.80}{5} = \frac{13.12}{5} = 2.624 \,g \approx 2.62 \,g$.
प्रत्येक माप में निरपेक्ष त्रुटियाँ इस प्रकार हैं:
$|\Delta M_1| = |2.62 - 2.61| = 0.01 \,g$
$|\Delta M_2| = |2.62 - 2.58| = 0.04 \,g$
$|\Delta M_3| = |2.62 - 2.40| = 0.22 \,g$
$|\Delta M_4| = |2.62 - 2.73| = 0.11 \,g$
$|\Delta M_5| = |2.62 - 2.80| = 0.18 \,g$
माध्य निरपेक्ष त्रुटि इन निरपेक्ष त्रुटियों का औसत है:
$\Delta \bar{M} = \frac{0.01 + 0.04 + 0.22 + 0.11 + 0.18}{5} = \frac{0.56}{5} = 0.112 \,g \approx 0.11 \,g$.

(C) दिया गया है,चालक से गुजरने वाली धारा $I = (5 \pm 0.2) \text{ A}$,जहाँ $\Delta I = 0.2 \text{ A}$ है।
उत्पन्न वोल्टेज $V = (60 \pm 6) \text{ V}$,जहाँ $\Delta V = 6 \text{ V}$ है।
ओम के नियम के अनुसार,$V = RI$,इसलिए $R = V/I$.
प्रतिरोध $R$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{6}{60} + \frac{0.2}{5}$.
पदों की गणना करने पर: $\frac{\Delta R}{R} = 0.1 + 0.04 = 0.14$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करने पर: $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.14 \times 100 = 14\%$.

(C) घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{l^3}$.
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3 \frac{\Delta l}{l}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान: $m = 20 \text{ kg}$,$\Delta m = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$,$l = 100 \text{ cm}$,$\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{20} + 3 \times \frac{0.1}{100}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.0005 + 3 \times 0.001 = 0.0005 + 0.003 = 0.0035$.
अतः,सापेक्ष त्रुटि $3.5 \times 10^{-3}$ है।

(B) दिया गया है:
लंबाई में प्रतिशत त्रुटि,$\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$
बल में प्रतिशत त्रुटि,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$
हम जानते हैं कि दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$P = \frac{F}{A}$
चूंकि प्लेट वर्गाकार है,इसलिए क्षेत्रफल $A = L^2$ होगा।
अतः,$P = \frac{F}{L^2}$।
दबाव में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2(3 \%) = 4 \% + 6 \% = 10 \%$
इस प्रकार,दबाव की गणना में अनुमेय त्रुटि $10 \%$ है।

(C) सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$,जिसका अर्थ है $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $l = 1.01 \ m$,$\Delta l = 0.01 \ m$,$T_{total} = 63 \ s$,$\Delta T_{total} = 3 \ s$।
आवर्तकाल $T = \frac{T_{total}}{30} = \frac{63}{30} = 2.1 \ s$।
आवर्तकाल में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta T_{total}}{30} = \frac{3}{30} = 0.1 \ s$।
इन मानों को त्रुटि सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.01}{1.01} + 2 \times \frac{0.1}{2.1} \approx 0.0099 + 0.0952 \approx 0.1051$।
प्रतिशत त्रुटि = $0.1051 \times 100 \% \approx 10.5 \%$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $10 \%$ है।

(C) दिया गया सूत्र $X = \frac{A^2 B}{C^{1/3} D^3}$ है।
त्रुटि प्रसार के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$X$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \right) + \left( \frac{\Delta B}{B} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \right)$.
अब,प्रतिशत त्रुटि में प्रत्येक पद का योगदान ज्ञात करते हैं:
$A$ का योगदान = $2 \times 2 \% = 4 \%$.
$B$ का योगदान = $1 \times 2 \% = 2 \%$.
$C$ का योगदान = $\frac{1}{3} \times 4 \% = 1.33 \%$.
$D$ का योगदान = $3 \times 5 \% = 15 \%$.
इन मानों की तुलना करने पर,$X$ में प्रतिशत त्रुटि में न्यूनतम योगदान $C$ द्वारा दिया जाता है।

(D) माना स्केल का द्रव्यमान $M = 100 \ g$ है जो इसके द्रव्यमान केंद्र $(50 \ cm)$ पर कार्य करता है। माना प्रत्येक प्लेट का द्रव्यमान $m = 200 \ g$ है जो $0 \ cm$ और $100 \ cm$ पर स्थित है। धुरी $45 \ cm$ पर है।
$45 \ cm$ के बिंदु के परितः आघूर्ण (moments) लेने पर:
दक्षिणावर्त आघूर्ण: $M_{veg} \times (100 - 45) + m \times (100 - 45) + M \times (50 - 45) = 300 \times (45 - 0) + m \times (45 - 0)$
$M_{veg} \times 55 + 200 \times 55 + 100 \times 5 = 300 \times 45 + 200 \times 45$
$55 M_{veg} + 11000 + 500 = 13500 + 9000$
$55 M_{veg} + 11500 = 22500$
$55 M_{veg} = 11000$
$M_{veg} = 200 \ g$.
वास्तविक वजन $300 \ g$ है और मापा गया वजन $200 \ g$ है। अतः त्रुटि $|300 - 200| = 100 \ g$ है।

(D) चरण $1$: अवलोकनों का माध्य मान ज्ञात करें।
माध्य मान $\bar{x} = \frac{2.62 + 2.68 + 2.58 + 2.57 + 2.54 + 2.55}{6} = \frac{15.54}{6} = 2.59 \ mPa \cdot s$.
चरण $2$: प्रत्येक अवलोकन के लिए निरपेक्ष त्रुटि $|\Delta x_i| = |x_i - \bar{x}|$ ज्ञात करें।
$|\Delta x_1| = |2.62 - 2.59| = 0.03$
$|\Delta x_2| = |2.68 - 2.59| = 0.09$
$|\Delta x_3| = |2.58 - 2.59| = 0.01$
$|\Delta x_4| = |2.57 - 2.59| = 0.02$
$|\Delta x_5| = |2.54 - 2.59| = 0.05$
$|\Delta x_6| = |2.55 - 2.59| = 0.04$
चरण $3$: माध्य निरपेक्ष त्रुटि ज्ञात करें।
माध्य निरपेक्ष त्रुटि $\Delta \bar{x} = \frac{0.03 + 0.09 + 0.01 + 0.02 + 0.05 + 0.04}{6} = \frac{0.24}{6} = 0.04 \ mPa \cdot s$.

(C) दाब $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर कार्य करने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $P = F/A$।
$s$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,क्षेत्रफल $A = s^2$ होता है।
अतः,$P = F/s^2$।
दाब में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta s}{s}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 1 \%$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,दाब में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \% + 2(1 \%) = 3 \% + 2 \% = 5 \%$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$।
$k$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $m = 10 \ g$,$\Delta m = 10 \ mg = 0.01 \ g$।
$50$ दोलनों के लिए समय $t = 60 \ s$ है,और रिज़ॉल्यूशन $\Delta t = 2 \ s$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{t}{50} = \frac{60}{50} = 1.2 \ s$।
आवर्तकाल में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{50} = \frac{2}{50} = 0.04 \ s$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{\Delta k}{k} = \frac{0.01}{10} + 2 \times \frac{0.04}{1.2} = 0.001 + 0.0666... = 0.06766...$
प्रतिशत त्रुटि = $0.06766 \times 100 \% \approx 6.76 \%$।

(C) चरण $1$: छड़ की औसत लंबाई की गणना करें:
$\ell_{\text{mean}} = \frac{20.00 + 19.75 + 17.01 + 18.25}{4} = \frac{75.01}{4} = 18.7525 \ cm \approx 18.75 \ cm$.
चरण $2$: प्रत्येक मापन के लिए निरपेक्ष त्रुटि की गणना करें:
$|\Delta \ell_1| = |20.00 - 18.75| = 1.25 \ cm$
$|\Delta \ell_2| = |19.75 - 18.75| = 1.00 \ cm$
$|\Delta \ell_3| = |17.01 - 18.75| = 1.74 \ cm$
$|\Delta \ell_4| = |18.25 - 18.75| = 0.50 \ cm$
चरण $3$: औसत निरपेक्ष त्रुटि की गणना करें:
$\Delta \ell_{\text{mean}} = \frac{1.25 + 1.00 + 1.74 + 0.50}{4} = \frac{4.49}{4} = 1.1225 \ cm \approx 1.12 \ cm$.
चरण $4$: सापेक्ष त्रुटि की गणना करें:
$\text{सापेक्ष त्रुटि} = \frac{\Delta \ell_{\text{mean}}}{\ell_{\text{mean}}} = \frac{1.12}{18.75} \approx 0.06$.

(D) ओम के नियम का उपयोग करके प्रतिरोध $R$ की गणना $R = V/I$ के रूप में की जाती है।
यहाँ $V = 10 \text{ V}$ और $I = 5 \text{ A}$ दिए गए हैं,इसलिए $R = 10 / 5 = 2 \text{ } \Omega$ है।
प्रतिरोध में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ है।
अल्पतमांक दिए गए हैं: $\Delta V = 500 \text{ mV} = 0.5 \text{ V}$ और $\Delta I = 200 \text{ mA} = 0.2 \text{ A}$।
इन मानों को त्रुटि सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta R = R \times (\frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I})$
$\Delta R = 2 \times (\frac{0.5}{10} + \frac{0.2}{5})$
$\Delta R = 2 \times (0.05 + 0.04)$
$\Delta R = 2 \times (0.09) = 0.18 \text{ } \Omega$।

(C) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि व्यास $D = 2r$ है,हम आयतन को व्यास के पदों में $V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{\pi}{6} D^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) लेने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta D}{D}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि व्यास के मापन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = 2\%$ है।
अतः,आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta D}{D} \times 100) = 3 \times 2\% = 6\%$ होगी।

(B) बेलन का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi (d/2)^2 l} = \frac{4m}{\pi d^2 l}$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta l}{l}$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.02}{97.42} + 2 \times \left( \frac{0.02}{20.20} \right) + \frac{0.05}{8.35}$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{0.02}{97.42} \approx 0.000205$,
$2 \times \left( \frac{0.02}{20.20} \right) \approx 0.001980$,
$\frac{0.05}{8.35} \approx 0.005988$.
इन मानों को जोड़ने पर: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.000205 + 0.001980 + 0.005988 = 0.008173$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \% \approx 0.008173 \times 100 \% = 0.8173 \% \approx 0.82 \%$ है।