Rolling motion on horizontal Surface Questions in Gujarati

(C) ધારો કે નક્કર ગોળાનું દળ $m$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. બળ $F$ સૌથી ઉપરના બિંદુએ લગાડવામાં આવે છે.
$1$. રેખીય ગતિનું સમીકરણ: $F + f = ma$,જ્યાં $f$ એ સંપર્ક બિંદુ $A$ પર ગતિની દિશામાં લાગતું ઘર્ષણ બળ છે.
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ચાકગતિનું સમીકરણ: $F \times R - f \times R = I \alpha$,જ્યાં $I = \frac{2}{5} mR^2$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha = \frac{a}{R}$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
$I$ અને $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $F R - f R = (\frac{2}{5} mR^2) (\frac{a}{R}) \Rightarrow F - f = \frac{2}{5} ma$.
$3$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(F + f) + (F - f) = ma + \frac{2}{5} ma \Rightarrow 2F = \frac{7}{5} ma \Rightarrow F = \frac{7}{10} ma$.

(C) તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા એ રીંગની ગતિઊર્જા અને સળિયાની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
સરક્યા વિના ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
રીંગની ગતિઊર્જા $(KE_{ring})$: $KE_{ring} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I_{ring}\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
સળિયાની ગતિઊર્જા $(KE_{rod})$: સળિયો રીંગના કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે. $2R$ લંબાઈના સળિયાની તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = \frac{m(2R)^2}{12} = \frac{4mR^2}{12} = \frac{1}{3}mR^2$ છે.
$KE_{rod} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I_{rod}\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{3}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{6}mv^2 = \frac{3+1}{6}mv^2 = \frac{4}{6}mv^2 = \frac{2}{3}mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા = $KE_{ring} + KE_{rod} = mv^2 + \frac{2}{3}mv^2 = \frac{5}{3}mv^2$.

(C) ગબડતી તકતીના પરિઘ પરના બિંદુ $P$ નો વેગ $v_p = 2v \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે અને $\theta = \omega t$ એ પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો છે.
$v = R\omega$ હોવાથી,આપણને $v_p = 2R\omega \sin(\omega t / 2)$ મળે છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ (સમય $T = 2\pi/\omega$) માં બિંદુ $P$ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $s$ એ ઝડપનું સંકલન છે:
$s = \int_{0}^{T} v_p dt = \int_{0}^{2\pi/\omega} 2R\omega \sin(\omega t / 2) dt$
$s = 2R\omega \left[ -\frac{2}{\omega} \cos(\omega t / 2) \right]_{0}^{2\pi/\omega}$
$s = -4R [\cos(\pi) - \cos(0)] = -4R [-1 - 1] = 8R$.

(D) જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ગોળાનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે બિંદુની આસપાસ કોઈ ટોર્ક લાગતું નથી.
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન:
$L_i = M V_0 r + I_{cm} \omega = M V_0 r + (\frac{2}{5} M r^2) (\frac{V_0}{2r}) = M V_0 r + \frac{1}{5} M V_0 r = \frac{6}{5} M V_0 r$
જ્યારે શુદ્ધ ગબડતી ગતિ શરૂ થાય ત્યારે અંતિમ કોણીય વેગમાન (ધારો કે અંતિમ વેગ $v'$ અને કોણીય વેગ $\omega' = \frac{v'}{r}$ છે):
$L_f = M v' r + I_{cm} \omega' = M v' r + (\frac{2}{5} M r^2) (\frac{v'}{r}) = M v' r + \frac{2}{5} M v' r = \frac{7}{5} M v' r$
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{6}{5} M V_0 r = \frac{7}{5} M v' r$
$v' = \frac{6}{7} V_0$

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા એ ગબડતા નળાકારની કુલ ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરિત + ચાકગતિ) માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$. નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \sqrt{\frac{2kx^2}{3M}} = x \sqrt{\frac{2k}{3M}}$
અહીં $M = 3 \ kg$,$k = 8 \ N/m$,અને $x = 1 \ m$ આપેલ છે:
$v = 1 \times \sqrt{\frac{2 \times 8}{3 \times 3}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \ m/s$.

(C) ધારો કે તકતી $v$ વેગ અને $\omega = v/R$ કોણીય વેગ સાથે સરક્યા વિના ગબડે છે. સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષમાં સમય $t$ પર બિંદુ $P$ નું સ્થાન સાયક્લોઇડ પથ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. બિંદુ $P$ નો વેગ $v_p = 2v \sin(\theta/2)$ છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં,$t$ એ $0$ થી $T = 2\pi/\omega$ સુધી બદલાય છે.
બિંદુ $P$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s$ એ સાયક્લોઇડની ચાપની લંબાઈ છે:
$s = \int_{0}^{T} v_p dt = \int_{0}^{2\pi/\omega} 2v \sin(\omega t / 2) dt$.
$s = 2v [ -\frac{2}{\omega} \cos(\omega t / 2) ]_{0}^{2\pi/\omega}$.
$s = -\frac{4v}{\omega} [ \cos(\pi) - \cos(0) ] = -\frac{4v}{\omega} [ -1 - 1 ] = \frac{8v}{\omega}$.
કારણ કે $v = \omega R$,તેથી $s = 8R$ મળે છે.

(B) ધારો કે $a$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ છે અને $\alpha$ એ સ્પૂલનો કોણીય પ્રવેગ છે.
$1$. સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે બળનું સમીકરણ:
$T - f = ma$ --- $(i)$
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ટોર્કનું સમીકરણ:
$f R_2 - T R_1 = I \alpha$ --- $(ii)$
$3$. સરક્યા વિના ગબડવાની શરત:
$a = \alpha R_2 \implies \alpha = \frac{a}{R_2}$ --- $(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$f R_2 - T R_1 = I \left( \frac{a}{R_2} \right)$
$f R_2^2 - T R_1 R_2 = Ia$
$a = \frac{f R_2^2 - T R_1 R_2}{I}$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$T - f = m \left( \frac{f R_2^2 - T R_1 R_2}{I} \right)$
$I(T - f) = m f R_2^2 - m T R_1 R_2$
$IT - If = m f R_2^2 - m T R_1 R_2$
$IT + m T R_1 R_2 = If + m f R_2^2$
$T(I + m R_1 R_2) = f(I + m R_2^2)$
$f = \left( \frac{I + m R_1 R_2}{I + m R_2^2} \right) T$
પરિણામ ધન હોવાથી,ઘર્ષણની ધારેલી દિશા (ડાબી તરફ) સાચી છે.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,જમીનના સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોય છે,પરંતુ તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી. સંપર્ક બિંદુનો પ્રવેગ ગોળાના કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને તે $a = \frac{v^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે. તેથી,સંપર્ક બિંદુનો પ્રવેગ શૂન્ય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
અન્ય વિકલ્પો વિશે:
$1$. $C.O.M.$ નો પ્રવેગ બાહ્ય બળો પર આધાર રાખે છે; જો કોઈ બાહ્ય આડું બળ ન હોય,તો $a_{cm} = 0$ થાય.
$2$. જો પદાર્થ કોઈ બાહ્ય બળ વગર આડી સપાટી પર અચળ વેગથી ગબડતો હોય તો ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે,પરંતુ જો કોઈ બાહ્ય બળ કે પ્રવેગ હોય તો તે શૂન્ય હોતું નથી.
$3$. સંપર્ક બિંદુ ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોવાથી,સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ પર સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(B) બળ $F$ ગોળાના ઉપરના ભાગે લાગે છે,જે સંપર્ક બિંદુથી $2R$ અંતરે છે. જ્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ $S$ અંતર કાપે છે,ત્યારે બળનું પ્રયોગ બિંદુ $2S$ અંતર કાપે છે.
આમ,બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_F = F(2S) = 2FS$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W_F + W_{friction} = \Delta K$.
$2FS = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I_{cm}\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે,$I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ અને સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
$2FS = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)(\frac{v}{R})^2$.
$2FS = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$.
$v^2 = \frac{20FS}{7M} \implies v = \sqrt{\frac{20FS}{7M}}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $\vec{v}_B = \vec{v}$ એ ગોળાના કેન્દ્રનો વેગ છે.
સ્થિર સમક્ષિતિજ સપાટી પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,સંપર્ક બિંદુ $A$ નો વેગ $\vec{v}_A = 0$ છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુ $C$ નો વેગ $\vec{v}_C = 2\vec{v}$ છે.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરતા:
$\vec{v}_C - \vec{v}_B = 2\vec{v} - \vec{v} = \vec{v}$
$\vec{v}_B - \vec{v}_A = \vec{v} - 0 = \vec{v}$
તેથી,$\vec{v}_C - \vec{v}_B = \vec{v}_B - \vec{v}_A$.

(C) ધારો કે દડાનું દળ $m$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. દડાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
શરૂઆતમાં,દડા પાસે માત્ર સ્થાનાંતરિત વેગ $v_0$ છે અને કોઈ કોણીય વેગ નથી.
જેમ દડો સરકે છે,ઘર્ષણ તેના પર કાર્ય કરે છે,જે જમીન પરના સંપર્ક બિંદુ $O$ ની આસપાસ ટોર્ક બનાવે છે. બિંદુ $O$ ની આસપાસ ઘર્ષણને કારણે ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,બિંદુ $O$ ની આસપાસ દડાનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$O$ ની આસપાસ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન: $L_i = m v_0 R$.
જ્યારે દડો સરક્યા વિના રોલિંગ કરવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તેનો વેગ $v$ છે અને તેનો કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
$O$ ની આસપાસ અંતિમ કોણીય વેગમાન (સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને): $L_f = I_{cm} \omega + m v R = (\frac{2}{5} mR^2) \frac{v}{R} + m v R = \frac{2}{5} m v R + m v R = \frac{7}{5} m v R$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા: $m v_0 R = \frac{7}{5} m v R$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \frac{5}{7} v_0$.

(B) ગબડતી વસ્તુને જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતી ધરી પર પરિભ્રમણ કરતી કલ્પી શકાય છે. તેથી,સંપર્ક બિંદુની તત્કાલીન ઝડપ શૂન્ય હોય છે.
આમ,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
જેમ કે પદાર્થ પરિભ્રમણ કરી રહ્યો છે,તેનો તત્કાલીન પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી કારણ કે સંપર્ક બિંદુ પાસે પદાર્થના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોય છે.
તેથી,વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
એકવાર આદર્શ ગબડતી ગતિ શરૂ થઈ જાય,પછી સ્થિત ઘર્ષણ બળ કોઈ કાર્ય કરતું નથી કારણ કે સંપર્ક બિંદુ સપાટીની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોય છે. તેથી,ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.
આમ,વિધાન $(c)$ સાચું છે.
ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં ગબડતી ગતિ થઈ શકતી નથી કારણ કે ઘર્ષણ બળ જ જરૂરી ટોર્ક પૂરું પાડે છે જે પદાર્થને સપાટી પર ગબડાવે છે. જ્યારે ઢળતી સપાટી સંપૂર્ણપણે લીસી હોય,ત્યારે પૈડું તેના વજનની અસર હેઠળ ફક્ત લપસશે.
તેથી,વિધાન $(d)$ સાચું છે.

(C) કોઈ બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}_P = \vec{L}_{cm} + \vec{r} \times \vec{p}_{cm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{cm} = I_{cm} \vec{\omega}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન છે અને $\vec{r} \times \vec{p}_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને કારણે ઉદ્ભવતું કોણીય વેગમાન છે.
નક્કર ગોળા માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,કોણીય વેગ $\omega = \frac{v_0}{R}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L_{cm} = I_{cm} \omega = (\frac{2}{5} mR^2) (\frac{v_0}{R}) = \frac{2}{5} mv_0R$ છે.
સંપર્ક બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને કારણે કોણીય વેગમાન $L_{trans} = m v_0 R$ છે.
બંને સદિશો એક જ દિશામાં (સપાટીની અંદરની તરફ) હોવાથી,કુલ કોણીય વેગમાન $L_P = L_{cm} + L_{trans} = \frac{2}{5} mv_0R + mv_0R = \frac{7}{5} mv_0R$ થાય છે.

(D) ક્ષૈતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતી ડિસ્ક માટે, ડિસ્ક પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શક વેગ $(v_{rot} = R\omega)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ડિસ્ક સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી, જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોય છે, જેનો અર્થ છે કે $v_{cm} = R\omega$.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ, વેગ $v_{top} = v_{cm} + R\omega = v_{cm} + v_{cm} = 2v_{cm}$ થાય છે.
સંપર્ક બિંદુએ, વેગ $v_{contact} = v_{cm} - R\omega = v_{cm} - v_{cm} = 0$ થાય છે.
તેથી, સૌથી ઉપરના બિંદુનો વેગ $2v_{cm}$ અને સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય છે.

(B) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ નો વેગ $\vec{V}_B = V\hat{i}$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,સંપર્ક બિંદુ $A$ નો વેગ $\vec{V}_A = 0$ છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુ $C$ નો વેગ $\vec{V}_C = \vec{V}_B + \vec{\omega} \times \vec{r}_{BC} = V\hat{i} + V\hat{i} = 2V\hat{i}$ છે.
વિધાનો તપાસતા:
$(i) \vec{V}_C - \vec{V}_A = 2V\hat{i} - 0 = 2V\hat{i}$.
$2(\vec{V}_B - \vec{V}_C) = 2(V\hat{i} - 2V\hat{i}) = -2V\hat{i}$.
$2V\hat{i} \neq -2V\hat{i}$ હોવાથી,વિધાન $(i)$ ખોટું છે.
$(ii) \vec{V}_C - \vec{V}_B = 2V\hat{i} - V\hat{i} = V\hat{i}$.
$\vec{V}_B - \vec{V}_A = V\hat{i} - 0 = V\hat{i}$.
$V\hat{i} = V\hat{i}$ હોવાથી,વિધાન $(ii)$ સાચું છે.
$(iii) |\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2V\hat{i} - 0| = 2V$.
$2|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = 2|V\hat{i} - 2V\hat{i}| = 2|-V\hat{i}| = 2V$.
$2V = 2V$ હોવાથી,વિધાન $(iii)$ સાચું છે.
$(iv) |\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2V$.
$4|\vec{V}_B| = 4V$.
$2V \neq 4V$ હોવાથી,વિધાન $(iv)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $(ii)$ અને $(iii)$ સાચા છે.

(C) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$KE = KE_{trans} + KE_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5})$.
આપેલ છે: $m = 50\,g$,$v = 5\,cm/s$.
$KE = \frac{1}{2} \times 50 \times (5)^2 \times \frac{7}{5} = 25 \times 25 \times 1.4 = 875\,ergs$.

(C) નળાકારના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી:
$1$. સ્થાનાંતરિત ગતિનું સમીકરણ:
$ma = F - f$ ---$(i)$
જ્યાં $f$ એ સંપર્ક બિંદુ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ છે.
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ ગતિનું સમીકરણ:
$\tau = I\alpha$
$fR = \left(\frac{1}{2}mR^2\right)\alpha$
નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,$a = R\alpha$ શરતનું પાલન થાય છે,તેથી $\alpha = \frac{a}{R}$.
આ કિંમતને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા:
$fR = \left(\frac{1}{2}mR^2\right)\left(\frac{a}{R}\right)$
$f = \frac{1}{2}ma$ ---(ii)
$3$. સમીકરણ (ii) માંથી $f$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$ma = F - \frac{1}{2}ma$
$F = ma + \frac{1}{2}ma = \frac{3}{2}ma$

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $F$ છે. નળાકારના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{F}{M}$ છે.
નળાકારના કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau = F \cdot r$ અને $I = \frac{Mr^2}{2}$ છે.
આમ,$F \cdot r = \frac{Mr^2}{2} \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{2F}{Mr}$.
નળાકાર ગાલીચા પર લપસતો ન હોવાથી,નળાકાર પરના બિંદુ $P$ નો પ્રવેગ ગાલીચાના પ્રવેગ $a$ જેટલો હોવો જોઈએ.
બિંદુ $P$ નો પ્રવેગ $a_P = a_{cm} + \alpha r$ ($a$ ની દિશામાં) છે.
તેથી,$a = \frac{F}{M} + \left(\frac{2F}{Mr}\right)r = \frac{F}{M} + \frac{2F}{M} = \frac{3F}{M}$.
$F$ માટે ઉકેલતા,આપણને $F = \frac{Ma}{3}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: દળ $M = 5\, kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.5\, m$,બળ $F = 40\, N$. પોલા નળાકાર માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
ધારો કે સંપર્ક બિંદુ પર પાછળની દિશામાં લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
રેખીય ગતિ માટેનું સમીકરણ: $F + f = Ma$,જ્યાં સરક્યા વિના ગબડવા માટે $a = R\alpha$ છે.
તેથી,$40 + f = M(R\alpha) \quad (i)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ચાકગતિ માટેનું સમીકરણ: $(F \times R) - (f \times R) = I\alpha$.
$I = MR^2$ મૂકતા: $(40 - f)R = (MR^2)\alpha \implies 40 - f = MR\alpha \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(40 + f) + (40 - f) = MR\alpha + MR\alpha$
$80 = 2MR\alpha$
$80 = 2 \times 5 \times 0.5 \times \alpha$
$80 = 5\alpha$
$\alpha = 16\, rad/s^2$.

(A) જ્યારે કોઈ ગોળાકાર પદાર્થને ખરબચડી સપાટી પર માત્ર ટ્રાન્સલેશનલ વેગ $v$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે સંપર્ક બિંદુનો વેગ આગળની દિશામાં $v$ હોય છે.
ઘર્ષણ હોવાને કારણે,તે આ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે પાછળની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આ ઘર્ષણ બળ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે પદાર્થ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરવાનું શરૂ કરે છે.
જેમ જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ સંપર્ક બિંદુનો વેગ $v_{contact} = v - \omega R$ ઘટે છે.
પદાર્થ આગળ વધવાનું ચાલુ રાખે છે જ્યારે તેની રોટેશનલ ઝડપ વધે છે જ્યાં સુધી શુદ્ધ રોલિંગની શરત,$v = \omega R$,સંતોષાય નહીં.
તેથી,શુદ્ધ રોલિંગ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી પદાર્થ આગળની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(A) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(KE_{total})$ એ સ્થાનાંતરીય અને ચાકગતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $KE_{total} = KE_{trans} + KE_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{K^2}{R^2})$.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}mv^2 (\frac{3}{2}) = \frac{3}{4}mv^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $KE_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
તેથી,$KE_{trans} = \frac{2}{3} KE_{total}$.
આપેલ છે કે $KE_{total} = 300 \, J$,તેથી $KE_{trans} = \frac{2}{3} \times 300 \, J = 200 \, J$.

(C) શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિમાં,કોઈપણ સમયે પદાર્થના તમામ કણોનો વેગ સમાન હોય છે.
જો કે,ગબડતી ગતિમાં (જે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિનું મિશ્રણ છે),પદાર્થ પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ તેના સ્થાનાંતરિત વેગ અને ચાકગતિના વેગનો સદિશ સરવાળો છે.
ચાકગતિનો વેગ એ પરિભ્રમણની ધરીથી બિંદુના અંતર પર આધારિત હોવાથી,કોઈપણ ક્ષણે પદાર્થના વિવિધ બિંદુઓનો વેગ અલગ-અલગ હોય છે.
તેથી,બિંદુઓ $P_1$ અને $P_2$ ના વેગના મૂલ્યો સમાન નથી,એટલે કે $\left| {{{\vec v}_1}} \right| \ne \left| {{{\vec v}_2}} \right|$.

(D) ઘર્ષણ બળ હંમેશા સપાટીના સાપેક્ષમાં ગોળાના સંપર્ક બિંદુની ગતિની વૃત્તિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$1$. ગોળા $P$ માટે: તેને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં સ્પિન આપવામાં આવે છે. ગોળા પરનું સંપર્ક બિંદુ ડાબી તરફ ગતિ કરવાની વૃત્તિ ધરાવે છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ જમણી તરફ કાર્ય કરે છે.
$2$. ગોળા $Q$ માટે: તેને આગળની તરફ રેખીય વેગ $v$ આપવામાં આવે છે. ગોળા પરનું સંપર્ક બિંદુ જમણી તરફ ગતિ કરવાની વૃત્તિ ધરાવે છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ ડાબી તરફ કાર્ય કરે છે.
$3$. ગોળા $R$ માટે: તેને આગળની તરફ વેગ $v$ અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્પિન $\omega$ આપવામાં આવે છે. સંપર્ક બિંદુનો વેગ $v_{cp} = v - R\omega$ છે. આકૃતિ મુજબ,ગોળા $R$ માટે સંપર્ક બિંદુની ચોખ્ખી વૃત્તિ જમણી તરફ છે,તેથી ઘર્ષણ બળ ડાબી તરફ લાગે છે. આમ,સાચો ક્રમ જમણી,ડાબી,ડાબી છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તેની કુલ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો હોય છે.
$K.E. = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે. સરક્યા વિના ગબડતા હોવાથી,$\omega = \frac{v}{r}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
અહીં $m = 1\, kg$ અને $v = 1\, m/s$ આપેલ છે:
$K.E. = \frac{7}{10} \times 1 \times (1)^2 = 0.7\, J$.

(A) સરક્યા વિના ગબડતી ડિસ્ક માટે,સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે. કારણ કે $I = \frac{1}{2}mR^2$ અને $\omega = v/R$,તેથી $K_r = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(v/R)^2 = \frac{1}{4}mv^2$ મળે.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$ થાય.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને કુલ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_t}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{3}{4}mv^2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$ છે.

(A) ગબડતી ગતિને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ ના $V_C = R\omega$ વેગ સાથેના શુદ્ધ સ્થાનાંતર અને કેન્દ્ર $C$ ની આસપાસ $\omega$ કોણીય વેગ સાથેના શુદ્ધ પરિભ્રમણના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય.
કેન્દ્ર $C$ થી $r$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,પરિભ્રમણને કારણે વેગ $v_{rot} = r\omega$ છે.
કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગ $\vec{V}_C$ અને પરિભ્રમણીય વેગ $\vec{v}_{rot}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
સમક્ષિતિજ વ્યાસ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માટે:
$1$. બિંદુ $Q$ પર,પરિભ્રમણીય વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગની દિશામાં જ છે. તેથી,$V_Q = V_C + r\omega = R\omega + r\omega = (R+r)\omega$.
$2$. બિંદુ $P$ પર,પરિભ્રમણીય વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી,$V_P = |V_C - r\omega| = |R\omega - r\omega| = (R-r)\omega$.
અહીં $R > r$ હોવાથી,આપણને $V_Q > V_C > V_P$ મળે છે.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા પૈડા માટે,રીમ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરિત વેગ $(v)$ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શક વેગ ($v$,કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં) નો સદિશ સરવાળો છે.
સ્થાનાંતરિત વેગ સદિશ $\vec{v}_{cm} = v\hat{i}$ છે.
બિંદુ $P$ પર પરિભ્રમણ વેગ સદિશ $\vec{v}_{rot} = v\sin\theta\hat{i} + v\cos\theta\hat{j}$ છે (શિરોલંબ સાથેના $\theta$ ખૂણાની ભૂમિતિ મુજબ).
પરિણામી વેગ $\vec{v}_P = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_{rot} = (v + v\sin\theta)\hat{i} + v\cos\theta\hat{j}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $V_P = \sqrt{(v + v\sin\theta)^2 + (v\cos\theta)^2} = \sqrt{v^2(1 + \sin^2\theta + 2\sin\theta + \cos^2\theta)} = \sqrt{v^2(2 + 2\sin\theta)} = v\sqrt{2(1 + \sin\theta)}$ થાય.
જો કે,જો $\theta$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય કે વેગના ઘટકો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ $2v\cos(\theta/2)$ આપે,તો આપણે $v$ મૂલ્યના બે વેગનો સદિશ સરવાળો લઈએ જેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે: $V_P = \sqrt{v^2 + v^2 + 2v^2\cos\theta} = \sqrt{2v^2(1 + \cos\theta)} = \sqrt{2v^2(2\cos^2(\theta/2))} = 2v\cos(\theta/2)$.

(D) અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે સમક્ષિતિજ ખરબચડી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતી તકતી માટે,સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
જોકે,સૌથી નીચેના બિંદુનો પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી.
તકતીની ધાર પરના કોઈપણ બિંદુનો પ્રવેગ બે ઘટકોનો બનેલો હોય છે: કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = \omega^2 R)$ જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = \alpha R)$.
કોણીય વેગ અચળ હોવાથી,$\alpha = 0$,તેથી $a_t = 0$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \omega^2 R$ એ તકતીના કેન્દ્ર તરફ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં હોય છે.
તેથી,સૌથી નીચેના બિંદુનો કુલ પ્રવેગ $\omega^2 R$ (ઉપરની તરફ) છે,જે શૂન્ય નથી.
આમ,$Assertion$ ખોટું છે અને $Reason$ સાચું છે.

(A) તકતીને રોકવા માટે જરૂરી કાર્ય તેની કુલ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ગબડતી તકતીની કુલ ગતિઊર્જા $KE = KE_{translational} + KE_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
આપેલ છે: $m = 100\; kg$,$v = 20\; cm/s = 0.2\; m/s$.
$KE = \frac{3}{4} \times 100 \times (0.2)^2 = 75 \times 0.04 = 3\; J$.
વસ્તુને રોકવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = \Delta KE = 0 - KE_{initial} = -3\; J$ હોવાથી,જરૂરી કાર્યનું મૂલ્ય $3\; J$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 500 \; g = 0.5 \; kg$,વેગ $v = 5.00 \; cm/s = 0.05 \; m/s$.
સરક્યા વગર ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
કુલ ગતિઊર્જા $KE$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
$v = R\omega$ હોવાથી,$\omega = v/R$ મળે.
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$KE = 0.7 \times 0.5 \; kg \times (0.05 \; m/s)^2 = 0.35 \times 0.0025 \; J = 8.75 \times 10^{-4} \; J$.

(4 J) હૂપની ત્રિજ્યા,$r = 2 \; m$.
હૂપનું દળ,$m = 100 \; kg$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ,$v = 20 \; cm/s = 0.2 \; m/s$.
ગબડતા હૂપની કુલ ગતિઊર્જા $(K)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
હૂપ માટે,તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની આઘૂર્ણ $I = mr^2$ છે.
હૂપ સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,$v = r\omega$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = v/r$.
$I$ અને $\omega$ ની કિંમતો ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
હૂપને રોકવા માટે જરૂરી કાર્ય તેની કુલ ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
$W = K = mv^2 = 100 \; kg \times (0.2 \; m/s)^2 = 100 \times 0.04 = 4 \; J$.

(N/A) તકતીની કોણીય ઝડપ $\omega_{o}$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુનો રેખીય વેગ $v = r \omega_{o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ માટે (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે,ઉપરના ભાગે): $v_{A} = R \omega_{o}$,જે જમણી તરફ સ્પર્શકની દિશામાં છે.
બિંદુ $B$ માટે (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે,નીચેના ભાગે): $v_{B} = R \omega_{o}$,જે ડાબી તરફ સ્પર્શકની દિશામાં છે.
બિંદુ $C$ માટે (કેન્દ્રથી $R/2$ અંતરે): $v_{C} = (R/2) \omega_{o}$,જે જમણી તરફ સ્પર્શકની દિશામાં છે.
તકતી ગબડશે નહીં. ગબડતી ગતિ માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા અને $v_{cm} = R \omega$ ની શરત સંતોષવા માટે ઘર્ષણની હાજરી અનિવાર્ય છે. ટેબલ સંપૂર્ણપણે ઘર્ષણરહિત હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી,અને તેથી તકતી ફક્ત તેના સ્થિર કેન્દ્રની આસપાસ ફરતી રહેશે.

(N/A) ડિસ્કને ગબડાવવા માટે,તેની કોણીય વેગ બદલવા માટે બાહ્ય ટોર્કની જરૂર પડે છે. ઘર્ષણ આ જરૂરી ટોર્ક પૂરું પાડે છે.
$(a)$ સંપર્ક બિંદુ $B$ પાસે પ્રારંભિક પરિભ્રમણ $\omega_0$ ને કારણે સપાટીની સાપેક્ષ વેગ હોય છે. ડિસ્ક ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરી રહી હોવાથી,બિંદુ $B$ નો રેખીય વેગ ડાબી તરફ હોય છે. ઘર્ષણ સાપેક્ષ વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,તેથી $B$ પર ઘર્ષણ બળ જમણી તરફ સ્પર્શકની દિશામાં લાગે છે. ડિસ્કના કેન્દ્રની આસપાસ આ ઘર્ષણને કારણે લાગતું ટોર્ક ડિસ્કના સમતલને લંબ બહારની તરફ હોય છે,જે કોણીય વેગ ઘટાડવાનું કાર્ય કરે છે.
$(b)$ જ્યારે સંપર્ક બિંદુ $B$ નો સપાટીની સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય $(v = r\omega)$,ત્યારે સંપૂર્ણ ગબડવાની ગતિ શરૂ થાય છે. એકવાર સંપૂર્ણ ગબડવાની ગતિ પ્રાપ્ત થઈ જાય,પછી સંપર્ક બિંદુ અને સપાટી વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી. તેથી,ગતિજ ઘર્ષણ બળ લાગવાનું બંધ થઈ જાય છે અને ઘર્ષણ બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 10\; cm = 0.1\; m$,પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 10\pi\; rad\; s^{-1}$,ગતિશીલ ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.2$,પ્રારંભિક રેખીય વેગ $u = 0$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu_k mg$ એ રેખીય પ્રવેગ $a = \mu_k g$ આપે છે. $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = \mu_k gt$ મળે છે.
ટોર્ક $\tau = -f r = -I\alpha$ એ કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = \frac{\mu_k mgr}{I}$ ઉત્પન્ન કરે છે. $\omega = \omega_0 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,$\omega = \omega_0 - \frac{\mu_k mgr}{I}t$ મળે છે.
જ્યારે $v = r\omega$ થાય ત્યારે ગબડવાની ગતિ શરૂ થાય છે. સમીકરણો મૂકતા:
$\mu_k gt = r(\omega_0 - \frac{\mu_k mgr}{I}t) \implies \mu_k gt = r\omega_0 - \frac{\mu_k mgr^2}{I}t$.
રીંગ માટે $(I = mr^2)$:
$\mu_k gt_r = r\omega_0 - \mu_k gt_r \implies 2\mu_k gt_r = r\omega_0 \implies t_r = \frac{r\omega_0}{2\mu_k g} = \frac{0.1 \times 10\pi}{2 \times 0.2 \times 9.8} \approx 0.80\; s$.
તકતી માટે $(I = \frac{1}{2}mr^2)$:
$\mu_k gt_d = r\omega_0 - 2\mu_k gt_d \implies 3\mu_k gt_d = r\omega_0 \implies t_d = \frac{r\omega_0}{3\mu_k g} = \frac{0.1 \times 10\pi}{3 \times 0.2 \times 9.8} \approx 0.53\; s$.
અહીં $t_d < t_r$ હોવાથી,તકતી રીંગ કરતા વહેલી ગબડવાનું શરૂ કરશે.

(B, D, E) ખોટું: ઘર્ષણ બળ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. ગબડતી ગતિના કિસ્સામાં,જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા માટે ઘર્ષણ બળ આગળની દિશામાં લાગે છે,જ્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આગળ વધે છે.
$(b)$ સાચું: ગબડતી ગતિને પદાર્થના જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતી ધરીની આસપાસની પરિભ્રમણ ગતિ તરીકે ગણી શકાય. તેથી,તેની તાત્ક્ષણિક ઝડપ શૂન્ય હોય છે.
$(c)$ ખોટું: જ્યારે પદાર્થ ગબડતો હોય,ત્યારે સંપર્ક બિંદુ પાસે પદાર્થના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોય છે. આમ,તેનો તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી.
$(d)$ સાચું: સંપૂર્ણ ગબડતી ગતિમાં,સંપર્ક બિંદુ અને સપાટી વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી. સંપર્ક બિંદુ સપાટીની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
$(e)$ સાચું: પદાર્થની ગબડતી ગતિ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પદાર્થ અને સપાટી વચ્ચે ઘર્ષણ બળ લાગે. આ ઘર્ષણ બળ ગબડવા માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડે છે. ઘર્ષણ બળની ગેરહાજરીમાં,પદાર્થ તેના પોતાના વજનની અસર હેઠળ ઢળતી સપાટી પર સરકે છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ દ્રઢ પદાર્થ (જેમ કે ગોળો,વર્તુળાકાર તકતી અથવા પૈડું) સરક્યા વિના ગબડતો હોય,ત્યારે સપાટી સાથેના સંપર્ક બિંદુનો સપાટીની સાપેક્ષે ત્વરિત વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર તકતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગબડે છે. ધારો કે $v_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ નો વેગ છે અને $\omega$ એ કેન્દ્રની આસપાસની કોણીય ઝડપ છે.
તકતીની ધાર પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શક વેગનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{v}_P = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_{rot}$.
જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુ $P_0$ પર,પરિભ્રમણને કારણે વેગ $\vec{v}_{rot}$ એ પાછળની દિશામાં $R\omega$ મૂલ્ય ધરાવે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ આગળની દિશામાં છે.
સરક્યા વિના ગબડવાની શરત માટે,સંપર્ક બિંદુ $P_0$ પર વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\vec{v}_{P_0} = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_{rot} = 0$
કારણ કે $P_0$ પર $\vec{v}_{cm}$ આગળની તરફ અને $\vec{v}_{rot}$ પાછળની તરફ છે:
$v_{cm} - R\omega = 0$
તેથી,જરૂરી શરત $v_{cm} = R\omega$ છે.

(C) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,એક ગોળાકાર પદાર્થ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે જ્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર રેખીય ગતિ કરે છે.
ધારો કે $v_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ છે અને $\omega$ એ પદાર્થનો કોણીય વેગ છે.
કેન્દ્રથી $R$ અંતરે પદાર્થની કિનારી પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ કેન્દ્રના રેખીય વેગ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શક વેગનો સદિશ સરવાળો છે.
જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુ માટે,રેખીય વેગ $v_{cm}$ (આગળની તરફ) છે અને પરિભ્રમણને કારણે સ્પર્શક વેગ $v_{rot} = R\omega$ (પાછળની તરફ) છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,શરત $v_{cm} = R\omega$ છે.
તેથી,સંપર્ક બિંદુનો ચોખ્ખો વેગ $v_{net} = v_{cm} - R\omega = 0$ થાય છે.
ચોખ્ખો વેગ શૂન્ય હોવાથી,સંપર્ક બિંદુ સપાટીની સાપેક્ષમાં ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે.

(B) ના,$v = r\omega$ સંબંધ ફક્ત શુદ્ધ ગબડતી ગતિ (pure rolling) માટે જ માન્ય છે,જ્યાં સપાટી સાથેના સંપર્ક બિંદુનો સપાટીની સાપેક્ષે તાત્ક્ષણિક વેગ શૂન્ય હોય છે.
ગબડવા સાથે સરકતી ગતિ (rolling with slipping) ના કિસ્સામાં,સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોતો નથી,જેનો અર્થ છે કે સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ સંપર્ક બિંદુ પર $v = r\omega$ ની શરતનું પાલન કરતા નથી.

(N/A) ટેબલના સંપર્કમાં લાવતા પહેલા તકતી શુદ્ધ ભ્રમણ ગતિમાં હતી,તેથી $u_{CM} = 0$ છે.
$(b)$ જ્યારે તકતીને ટેબલના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ગતિક ઘર્ષણ બળને કારણે તેની કિનારી પરના બિંદુનો રેખીય વેગ ઘટે છે.
$(c)$ જ્યારે ફરતી તકતીને ટેબલના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળને કારણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ગતિની દિશામાં રેખીય વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
$(d)$ આ અસરો માટે ગતિક ઘર્ષણ બળ જવાબદાર છે.
$(e)$ જ્યારે શરત $v_{CM} = \omega R$ સંતોષાય ત્યારે ગબડવાની ગતિ (rolling) શરૂ થાય છે.
$(f)$ ઘર્ષણને કારણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $a_{CM} = \frac{f}{m} = \frac{\mu_k N}{m} = \frac{\mu_k mg}{m} = \mu_k g$ છે.
ઘર્ષણને કારણે લાગતા ટોર્ક દ્વારા ઉત્પન્ન થતો કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{\mu_k mgR}{I}$ છે (કારણ કે $\tau = fR = \mu_k mgR$).
$v_{CM} = u_{CM} + a_{CM}t$ નો ઉપયોગ કરતા ($u_{CM} = 0$ સાથે),આપણને $v_{CM} = \mu_k gt$ મળે છે.
$\omega = \omega_0 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega = \omega_0 - \frac{\mu_k mgR}{I}t$ મળે છે.
સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$\frac{v_{CM}}{R} = \omega$ હોવું જોઈએ.
પદોને મૂકતા: $\frac{\mu_k gt}{R} = \omega_0 - \frac{\mu_k mgR}{I}t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{R\omega_0}{\mu_k g(1 + \frac{mR^2}{I})}$.

(D) ધારો કે $M$ એ તકતીનું દળ છે. તકતી પર લાગતા બળો કેન્દ્ર પર લાગતું બાહ્ય બળ $F$ અને સંપર્ક બિંદુ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ છે,જે $F$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
$1$. સ્થાનાંતરિત ગતિનું સમીકરણ: $F - f = Ma$ ... $(i)$
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ચાકગતિનું સમીકરણ: $\tau = I\alpha$. ઘર્ષણ બળ $f$ ધાર પર લાગતું હોવાથી,ટોર્ક $\tau = fR$ થાય. તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે. તેથી,$fR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
$3$. શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,શરત $a = R\alpha$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{a}{R}$.
ટોર્કના સમીકરણમાં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $fR = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MaR$,જેનું સાદું રૂપ $f = \frac{1}{2}Ma$ અથવા $Ma = 2f$ થાય ... $(ii)$.
$4$. સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $F - f = 2f$,જે આપણને $F = 3f$ આપે છે.
$5$. સરક્યા વિના ગબડવા માટે,ઘર્ષણ બળ $f \le \mu N$ હોવું જોઈએ,જ્યાં $N = Mg$ એ લંબબળ છે. તેથી,$f \le \mu Mg$.
$6$. કારણ કે $F = 3f$,તેથી $F$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $F_{max} = 3f_{max} = 3\mu Mg$ થાય.

(D) ગબડતી તકતી માટે,કુલ ગતિઊર્જા $(K_{total})$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
અહીં $v = R\omega$ અને તકતી માટે $I = \frac{1}{2}mR^2$ હોવાથી,$K_{rot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4}mv^2$ મળે.
તેથી,$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{total}}{K_{rot}} = \frac{\frac{3}{4}mv^2}{\frac{1}{4}mv^2} = \frac{3}{1}$ થાય.

(A) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરતી રીંગ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = MR^2$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{CM}$ વચ્ચેનો સંબંધ શુદ્ધ ગબડતી ગતિની શરત મુજબ $\omega = \frac{V_{CM}}{R}$ છે.
અહીં $V_{CM} = 2\; m/s$ અને $R = 4\; m$ આપેલ છે,તેથી $\omega = \frac{2}{4} = 0.5\; rad/s$ મળે.
કોઈ બિંદુ (ઉગમબિંદુ) ની સાપેક્ષે પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L$ એ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન અને ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના કોણીય વેગમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$L = I_{CM}\omega + M V_{CM} R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = (MR^2) \omega + M V_{CM} R$
$L = (2 \times 4^2) \times 0.5 + (2 \times 2 \times 4)$
$L = (2 \times 16 \times 0.5) + 16$
$L = 16 + 16 = 32\; kg \cdot m^2/s$.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા પૈડા માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{0} = \omega R$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૈડાની ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્રની સપાટીએ રીમ પર રહેલા કણ માટે,વેગના બે ઘટકો છે:
$1$. સ્થાનાંતરિત વેગ $v_{0}$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં છે.
$2$. સ્પર્શક વેગ $v_{t} = \omega R$ જે શિરોલંબ દિશામાં છે (બાજુના આધારે નીચે અથવા ઉપર).
કારણ કે $v_{0} = \omega R$,પરિણામી વેગ $v$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{t}^{2}} = \sqrt{v_{0}^{2} + (\omega R)^{2}}$
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{0}^{2}} = \sqrt{2 v_{0}^{2}} = \sqrt{2} \, v_{0}$
આને આપેલ પદ $\sqrt{x} \, v_{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{x} = \sqrt{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(B) ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિ ઉર્જા એ તેની ચાકગતિ ઉર્જા અને સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે.
$K_{\text{total}} = K_{\text{rotational}} + K_{\text{translational}}$
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{\text{cm}} = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I_{\text{cm}} \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_{\text{cm}}$ ની કિંમત મૂકતા અને શુદ્ધ ગબડવાની શરત $v = R\omega$ (અથવા $\omega = v/R$) નો ઉપયોગ કરતા:
$K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} mR^2 \right) \left( \frac{v^2}{R^2} \right) = \frac{1}{5} mv^2$.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{\text{trans}} = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{\text{total}} = \frac{1}{5} mv^2 + \frac{1}{2} mv^2 = \left( \frac{2+5}{10} \right) mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{total}}} = \frac{\frac{1}{5} mv^2}{\frac{7}{10} mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$.

(C) ધારો કે $L_{O}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કવચનું કોણીય વેગમાન છે.
કવચ સમક્ષિતિજ સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm} = \omega R$ થાય.
ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કુલ કોણીય વેગમાન એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને કારણે કોણીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનનો સરવાળો છે:
$L_{O} = m V_{cm} R + I_{cm} \omega$
ગોલીય કવચ માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{3} m R^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા $(m = 1 \, kg)$:
$L_{O} = (1) (\omega R) R + (\frac{2}{3} (1) R^{2}) \omega$
$L_{O} = \omega R^{2} + \frac{2}{3} R^{2} \omega$
$L_{O} = (1 + \frac{2}{3}) R^{2} \omega = \frac{5}{3} R^{2} \omega$
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{a}{3} R^{2} \omega$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a}{3} = \frac{5}{3}$
તેથી,$a = 5$.

(C) શરૂઆતમાં,ગોળાને કોણીય વેગ $\omega$ અને રેખીય વેગ $v_{CM} = 0$ સાથે સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે. ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુ પર સરકવાની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu_k mg$ આગળની દિશામાં લાગે છે,જે રેખીય પ્રવેગ $a_{CM} = \frac{f}{m} = \mu_k g$ ઉત્પન્ન કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે ઘર્ષણ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = -fR = -\mu_k mgR$ છે. કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{-\mu_k mgR}{\frac{2}{5}mR^2} = -\frac{5\mu_k g}{2R}$ છે.
$t$ સમય પછી,રેખીય વેગ $v_{CM} = a_{CM}t = \mu_k gt$ અને કોણીય વેગ $\omega_f = \omega + \alpha t = \omega - \frac{5\mu_k g}{2R}t$ થાય છે.
શુદ્ધ ગબડવાની ગતિ ત્યારે શરૂ થાય છે જ્યારે $v_{CM} = \omega_f R$ થાય. સમીકરણો મૂકતા:
$\mu_k gt = \left(\omega - \frac{5\mu_k g}{2R}t\right)R$
$\mu_k gt = \omega R - \frac{5}{2}\mu_k gt$
$\frac{7}{2}\mu_k gt = \omega R \implies \mu_k gt = \frac{2}{7}\omega R$.
આ કિંમત $\omega_f$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\omega_f = \frac{v_{CM}}{R} = \frac{\mu_k gt}{R} = \frac{1}{R} \left(\frac{2}{7}\omega R\right) = \frac{2}{7}\omega$.

(B) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,નળાકારનો સપાટી સાથેનો સંપર્ક બિંદુ સપાટીની સાપેક્ષમાં ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે.
કારણ કે સંપર્ક બિંદુ પર નળાકાર અને સપાટી વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી,તેથી અચળ વેગથી ગબડતા નળાકાર માટે આ બિંદુ પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ શૂન્ય છે.

(B) સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(K)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
આપેલ છે: $m = 2 \,kg$,$v = 2 \,m/s$.
$K = \frac{3}{4} \times 2 \times (2)^2 = \frac{3}{4} \times 2 \times 4 = 6 \,J$.