Rolling motion on horizontal Surface Questions in Gujarati

(B) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,રીંગ પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરિત વેગ $(v_{cm})$ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શક વેગ $(v_{rot} = \omega R = v_{cm})$ નો સદિશ સરવાળો છે.
બિંદુ $A$ માટે,સ્થાનાંતરિત વેગ આડી દિશામાં જમણી તરફ $(v_{cm})$ છે,અને પરિભ્રમણીય વેગ શિરોલંબ દિશામાં ઉપરની તરફ $(v_{rot} = v_{cm})$ છે.
આ બંને વેગ સદિશો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી વેગ $v_{net}$ નીચે મુજબ મળે:
$v_{net} = \sqrt{v_{cm}^2 + v_{rot}^2} = \sqrt{v_{cm}^2 + v_{cm}^2} = \sqrt{2 v_{cm}^2} = \sqrt{2} v_{cm}$

(A) બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{F}$ એ બળ છે અને $\vec{d}$ એ બળ લાગતું હોય તે બિંદુનું સ્થાનાંતર છે.
સ્થિર સમક્ષિતિજ સપાટી પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ (સરક્યા વિના ગબડવું) ના કિસ્સામાં,પદાર્થનો સપાટી સાથેનો સંપર્ક બિંદુ ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે.
કારણ કે સંપર્ક બિંદુનો વેગ $0$ છે,તેથી સંપર્ક દરમિયાન તે બિંદુનું સ્થાનાંતર પણ $0$ થાય છે.
જે બિંદુ પર ઘર્ષણ બળ લાગે છે તેનું સ્થાનાંતર $0$ હોવાથી,સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $0$ થાય છે.

(B) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,રેખીય પ્રવેગ $a$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = r\alpha$ છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - f = M a \quad \dots (1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્કનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$\tau = I \alpha$
$f r = (\frac{1}{2} M r^2) (\frac{a}{r})$
$f = \frac{1}{2} M a \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$F - \frac{1}{2} M a = M a$
$F = \frac{3}{2} M a \Rightarrow a = \frac{2 F}{3 M}$
હવે,ઘર્ષણ બળ $f$ શોધવા માટે $a$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$f = \frac{1}{2} M (\frac{2 F}{3 M}) = \frac{F}{3}$
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,ઘર્ષણ બળ $f \le \mu N$ હોવું જોઈએ,જ્યાં $N = Mg$.
$\frac{F}{3} \le \mu M g$
$\mu \ge \frac{F}{3 M g}$
આમ,ઘર્ષણાંકનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\mu = \frac{F}{3 M g}$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી પર ગબડતો હોય,ત્યારે તે સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ બંને ધરાવે છે.
લીસી આડી સપાટી પર,પદાર્થના રેખીય અથવા કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર કરી શકે તેવું ટોર્ક કે બળ લગાડવા માટે કોઈ ઘર્ષણ હોતું નથી.
પદાર્થ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,પદાર્થ તેની ગતિની સ્થિતિમાં કોઈ પણ ફેરફાર વગર તેના અચળ સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ અને અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ગબડવાનું ચાલુ રાખશે.

(C) જ્યારે ગોળાને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઘર્ષણ બળ અનુભવે છે જે તેની ગતિનો વિરોધ કરે છે,જેના કારણે તેનો રેખીય વેગ ઘટે છે અને કોણીય વેગ વધે છે.
ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુ પર લાગતું હોવાથી,જમીન પરના સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષમાં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન: $L_i = m u r$.
જ્યારે શુદ્ધ ગબડવાની ગતિ શરૂ થાય (વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega = v/r$ પર) ત્યારે અંતિમ કોણીય વેગમાન: $L_f = m v r + I \omega = m v r + (\frac{2}{5} m r^2)(\frac{v}{r}) = m v r + \frac{2}{5} m v r = \frac{7}{5} m v r$.
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા:
$m u r = \frac{7}{5} m v r$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$u = \frac{7}{5} v \implies v = \frac{5u}{7}$.

(B) જ્યારે પૈડું તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સમાન વેગ $v$ થી ગબડતું હોય,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{CM} = 0$ થાય છે.
પૈડાની ધાર પરના દરેક બિંદુનો કેન્દ્ર તરફનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$ હોય છે.
ધારો કે સૌથી ઉપરનું બિંદુ $A$ છે અને સૌથી નીચેનું બિંદુ $B$ છે.
બિંદુ $A$ નો પ્રવેગ $\vec{a}_A = \frac{v^2}{R}$ (કેન્દ્ર તરફ નીચેની દિશામાં) છે.
બિંદુ $B$ નો પ્રવેગ $\vec{a}_B = \frac{v^2}{R}$ (કેન્દ્ર તરફ ઉપરની દિશામાં) છે.
બિંદુ $B$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $A$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ $\vec{a}_{AB} = \vec{a}_A - \vec{a}_B$ થાય.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,$\vec{a}_A = \frac{v^2}{R}$ અને $\vec{a}_B = -\frac{v^2}{R}$ મળે.
તેથી,$\vec{a}_{AB} = \frac{v^2}{R} - (-\frac{v^2}{R}) = \frac{2v^2}{R}$.
આમ,સાપેક્ષ પ્રવેગનું મૂલ્ય $\frac{2v^2}{R}$ થાય છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
જેમ કે ડિસ્ક સંયુક્ત પરિભ્રમણ અને સ્થાનાંતર ગતિમાં છે,ડિસ્કના દરેક બિંદુ પાસે સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ (આગળની દિશામાં) અને સ્પર્શકીય વેગ $v = R\omega$ (પરિભ્રમણને કારણે) હોય છે.
ડિસ્કના સૌથી નીચેના બિંદુ માટે:
$1$. ચોખ્ખો વેગ $v_{\text{net}} = v - R\omega$ છે. શુદ્ધ ગબડતી ગતિ હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $v_{\text{net}} = v - v = 0$.
$2$. ફરતી વસ્તુ પરના કોઈપણ બિંદુનો પ્રવેગ બે ઘટકો ધરાવે છે: સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t)$ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$.
- કોણીય વેગ $\omega$ અચળ હોવાથી,સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = R\alpha = 0$ થાય છે.
- કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = v^2/R$ છે જે ડિસ્કના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
- આમ,સૌથી નીચેના બિંદુનો કુલ પ્રવેગ $a = a_c + a_t = v^2/R + 0 = v^2/R$ છે,જે ડિસ્કના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(A) ગબડતા ગોળાની કુલ ગતિઊર્જા $(K)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
આપેલ છે: $m = 500\,g = 0.5\,kg$ અને $v = 0.02\,m/s$.
$K = \frac{7}{10} \times 0.5 \times (0.02)^2$
$K = 0.7 \times 0.5 \times 0.0004 = 0.35 \times 0.0004 = 0.00014\,J = 1.4 \times 10^{-4}\,J$.

(A) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,રેખીય વેગ $(v)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = R\omega$ છે,એટલે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
અહીં $m = 2\,kg$ અને $KE = 2240\,J$ આપેલ છે:
$2240 = \frac{7}{10} \times 2 \times v^2$
$2240 = \frac{7}{5}v^2$
$v^2 = \frac{2240 \times 5}{7} = 320 \times 5 = 1600$
$v = \sqrt{1600} = 40\,m/s$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.5\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 18\,m/s$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$,$g = 10\,m/s^2$,સમય $t = 2\,s$.
ઘર્ષણને કારણે તકતીનો પ્રવેગ $a = -\mu g = -0.3 \times 10 = -3\,m/s^2$ છે.
$t = 2\,s$ સમયે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = u + at = 18 - 3 \times 2 = 12\,m/s$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,શરત $v = \omega r$ છે,તેથી $\omega = v/r$.
કુલ ગતિઊર્જા $KE$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
તકતી માટે $I = \frac{1}{2}mr^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{3}{4} \times 0.5 \times (12)^2 = \frac{3}{4} \times 0.5 \times 144 = 3 \times 0.5 \times 36 = 54\,J$.

(A) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $K = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $K = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$.
અહીં $K = 7 \times 10^{-3}\,J$ અને $M = 1\,kg$ આપેલ છે,તેથી $\frac{7}{10} (1) v^2 = 7 \times 10^{-3}$.
$v^2 = 10^{-2} \implies v = 0.1\,m/s$.
$cm/s$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 0.1 \times 100 = 10\,cm/s$.

(D) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ગોલીય કવચ માટે,તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3} mR^2$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$,તેથી $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{3} mv^2$.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{\text{total}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{3} mv^2 = \frac{5}{6} mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{total}}} = \frac{\frac{1}{3} mv^2}{\frac{5}{6} mv^2} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ થાય.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{x}{5}$ છે,તેથી $\frac{x}{5} = \frac{2}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(A) જ્યારે ડિસ્ક સરક્યા વગર ગબડે છે,ત્યારે ડિસ્કનું કેન્દ્ર કાપેલા ચાપની લંબાઈ જેટલું અંતર આગળ વધે છે. અડધા પરિભ્રમણ માટે,કેન્દ્ર $\pi R$ જેટલું આડું અંતર કાપે છે.
બિંદુ $A$,જે શરૂઆતમાં સૌથી ઉપર હતું,તે અડધા પરિભ્રમણ પછી ડિસ્કના તળિયે પહોંચે છે. બિંદુ $A$ નું શિરોલંબ સ્થાનાંતર ડિસ્કના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2R$ થાય છે.
બિંદુ $A$ નું આડું સ્થાનાંતર કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલા અંતર જેટલું એટલે કે $\pi R$ થાય છે.
કુલ સ્થાનાંતર $d$ એ આડા અને શિરોલંબ સ્થાનાંતરનો સદિશ સરવાળો છે:
$d = \sqrt{(\text{આડું સ્થાનાંતર})^2 + (\text{શિરોલંબ સ્થાનાંતર})^2}$
$d = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2}$
$d = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2}$
$d = R \sqrt{\pi^2 + 4}$

(C) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન $L = I_{com}\omega = (\frac{2}{5}MR^2)\omega$ છે.
$V_{com} = R\omega$ હોવાથી,$L = \frac{2}{5}MR^2(\frac{V_{com}}{R}) = \frac{2}{5}MRV_{com}$ મળે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}I_{com}\omega^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)(\frac{V_{com}}{R})^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{1}{5}MV_{com}^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{7}{10}MV_{com}^2$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{L}{K} = \frac{\frac{2}{5}MRV_{com}}{\frac{7}{10}MV_{com}^2} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{7} \times \frac{R}{V_{com}} = \frac{4}{7} \times \frac{R}{R\omega} = \frac{4}{7\omega}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{L}{K} = \frac{\pi}{22}$,તેથી $\frac{4}{7\omega} = \frac{\pi}{22}$. જો $\pi \approx \frac{22}{7}$ લઈએ,તો $\frac{4}{7\omega} = \frac{22/7}{22} = \frac{1}{7}$ મળે.
આમ,$7\omega = 28$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 4\,rad/s$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta KE$ જેટલું હોય છે.
તકતી ગબડતી હોવાથી, તેની કુલ ગતિઊર્જા $KE$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર તકતી માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ અને સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી, $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો મૂકતા, $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
અહીં $m = 50 \,kg$ અને $v = 0.4 \,m/s$ આપેલ છે, તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{3}{4} \times 50 \times (0.4)^2 = \frac{3}{4} \times 50 \times 0.16 = 0.75 \times 8 = 6 \,J$.
તકતીને રોકવા માટે, અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = 0$ થાય.
આમ, $W = KE_f - KE_i = 0 - 6 = -6 \,J$.
કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|W| = 6 \,J$ છે.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા પોલા ગોળા માટે,તેની સંમિતિની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3} mR^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{3} mR^2 \omega^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$ છે.
$v = R\omega$ હોવાથી,$K_{total} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) \omega^2 + \frac{1}{2} m(R\omega)^2 = \frac{1}{3} mR^2 \omega^2 + \frac{1}{2} mR^2 \omega^2 = (\frac{2+3}{6}) mR^2 \omega^2 = \frac{5}{6} mR^2 \omega^2$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{3} mR^2 \omega^2}{\frac{5}{6} mR^2 \omega^2} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
આને $\frac{x}{5}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(A) શુદ્ધ ગબડતી ગતિના કિસ્સામાં,પૈડાની ધાર પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરિત વેગ $(v)$ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શકીય વેગ $(v = r\omega)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુ $P$ માટે,સ્થાનાંતરિત વેગ અને પરિભ્રમણ વેગ બંને એક જ દિશામાં હોય છે. તેથી,પરિણામી વેગ $v + v = 2v$ થાય છે.
સૌથી નીચેના બિંદુ $Q$ માટે,સ્થાનાંતરિત વેગ આગળની દિશામાં $(v)$ અને પરિભ્રમણ વેગ પાછળની દિશામાં $(v)$ હોય છે. તેથી,પરિણામી વેગ $v - v = 0$ થાય છે.
આમ,બિંદુ $P$ નો વેગ $2v$ છે અને બિંદુ $Q$ નો વેગ $0$ છે,તેથી બિંદુ $P$ એ બિંદુ $Q$ કરતા વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે.

(C) ધારો કે $\vec{V}_0$ એ ગોળાના કેન્દ્રનો વેગ છે. સ્થિર સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા ગોળા માટે:
$\vec{V}_A = 0$ (સંપર્ક બિંદુનો વેગ)
$\vec{V}_B = \vec{V}_0$ (કેન્દ્રનો વેગ)
$\vec{V}_C = 2\vec{V}_0$ (સૌથી ઉપરના બિંદુનો વેગ)
હવે,આપેલા વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $\vec{V}_C - \vec{V}_B = 2\vec{V}_0 - \vec{V}_0 = \vec{V}_0$ અને $\vec{V}_B - \vec{V}_A = \vec{V}_0 - 0 = \vec{V}_0$. તેથી,$\vec{V}_C - \vec{V}_B = \vec{V}_B - \vec{V}_A$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2\vec{V}_0 - 0| = 2|\vec{V}_0|$ અને $2|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = 2|\vec{V}_0 - 2\vec{V}_0| = 2|-\vec{V}_0| = 2|\vec{V}_0|$. તેથી,$|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2|\vec{V}_B - \vec{V}_C|$ સાચું છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા વિધાનો છે.

(C) ધારો કે $M = 2 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,$a = 0.3 \ m/s^2$,અને $N = 2 \ N$ (લાકડી દ્વારા લાગતું બળ).
રીંગ માટે,કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
તે સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = a/R$ થાય.
ધારો કે $f_s$ એ જમીન દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ છે અને $f_a$ એ લાકડી દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $N - f_s = Ma$.
$2 - f_s = 2 \times 0.3 = 0.6 \implies f_s = 1.4 \ N$.
રીંગના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્કનું સમીકરણ લખતા: $(f_s - f_a)R = I\alpha$.
$(1.4 - f_a)R = (MR^2)(a/R) = MaR$.
$1.4 - f_a = Ma = 2 \times 0.3 = 0.6$.
$f_a = 1.4 - 0.6 = 0.8 \ N$.
લાકડી દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ $f_a = \mu N$ છે,જ્યાં $\mu = P/10$.
$0.8 = (P/10) \times 2$.
$0.8 = P/5 \implies P = 4$.

(C) ધારો કે $R$ એ રોલરની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ ધરીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $2R = 20 \ cm \implies R = 10 \ cm$ અને $2r = 10 \ cm \implies r = 5 \ cm$.
રોલર જમીન પર સરક્યા વિના ગબડે તે માટે,રોલરના કેન્દ્રનો વેગ $V_{\text{center}} = \omega R$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ધરીની ઉપર રહેલા સ્કેલનો વેગ $V_{\text{scale}} = V_{\text{center}} + \omega r$ છે.
$\omega = \frac{V_{\text{center}}}{R}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V_{\text{scale}} = V_{\text{center}} + \left(\frac{V_{\text{center}}}{R}\right)r = V_{\text{center}} \left(1 + \frac{r}{R}\right)$.
$r = 5 \ cm$ અને $R = 10 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$V_{\text{scale}} = V_{\text{center}} \left(1 + \frac{5}{10}\right) = 1.5 V_{\text{center}}$.
જો રોલર $t$ સમયમાં $d_{\text{roller}} = 50 \ cm$ અંતર કાપે,તો $V_{\text{center}} \cdot t = 50 \ cm$.
તે જ $t$ સમયમાં સ્કેલ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_{\text{scale}} = V_{\text{scale}} \cdot t = 1.5 V_{\text{center}} \cdot t = 1.5 \times 50 \ cm = 75 \ cm$.
આમ,સ્કેલ જમીનની સાપેક્ષમાં $75 \ cm$ ખસે છે,જ્યારે રોલરનું કેન્દ્ર જમીનની સાપેક્ષમાં $50 \ cm$ ખસે છે. રોલરના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં સ્કેલનું સ્થાન કેન્દ્રથી $75 \ cm - 50 \ cm = 25 \ cm$ આગળ હશે.

(C) $t=0$ સમયે,$\omega=0$. $t=\sqrt{\pi} \text{ s}$ સમયે,$\omega = \alpha t = \frac{2}{3} \sqrt{\pi} \text{ rad/s}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ $v_{cm} = \omega R = \frac{2}{3} \sqrt{\pi} \times 1 = \frac{2}{3} \sqrt{\pi} \text{ m/s}$ છે.
તકતી દ્વારા ભ્રમણ કરેલ ખૂણો $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (\sqrt{\pi})^2 = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ છે.
આ ક્ષણે,પથ્થર જમીનથી $y = R - R \cos \theta = 1 - \cos 60^{\circ} = 1 - 0.5 = 0.5 \text{ m}$ ની ઊંચાઈ પર છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં પથ્થરનો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં સ્પર્શીય વેગનો સદિશ સરવાળો છે. આ વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $v_y = v_{cm} \sin \theta = (\frac{2}{3} \sqrt{\pi}) \sin 60^{\circ} = \frac{2}{3} \sqrt{\pi} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3\pi}}{3} \text{ m/s}$ છે.
છૂટા પડ્યા પછી પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત વધારાની ઊંચાઈ $h = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(\frac{\sqrt{3\pi}}{3})^2}{2 \times 10} = \frac{3\pi / 9}{20} = \frac{\pi}{60} \text{ m}$ છે.
સપાટીથી કુલ મહત્તમ ઊંચાઈ $H = y + h = 0.5 + \frac{\pi}{60} = \frac{1}{2} + \frac{\pi/6}{10}$ છે.
$\frac{1}{2} + \frac{x}{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.523$ મળે છે. આમ,$x \approx 0.52$.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની રેખીય ગતિઊર્જા $K_{linear} = \frac{1}{2} mv_{cm}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની ચાકગતિઊર્જા $K_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,આપણી પાસે $v_{cm} = \omega R$ શરત છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{K_{linear}}{K_{rotational}} = \frac{\frac{1}{2} mv_{cm}^2}{\frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) \omega^2} = \frac{mv_{cm}^2}{\frac{2}{5} m(v_{cm}^2)} = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $5/2$ છે.

(A) ધારો કે $F = 49 \ N$ એ લગાડેલું બળ છે,$m = 20 \ kg$ એ નક્કર ગોળાનું દળ છે અને $r$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
સંપર્ક બિંદુ (નીચેનું બિંદુ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} mr^2$ થાય.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau = F \times (2r)$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે: $F \times 2r = (\frac{7}{5} mr^2) \alpha$.
$49 \times 2r = \frac{7}{5} \times 20 \times r^2 \times \alpha$.
$98r = 28r^2 \alpha$.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a = r \alpha$ થાય,તેથી $\alpha = \frac{a}{r}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $98r = 28r^2 (\frac{a}{r}) = 28ra$.
$98 = 28a$.
$a = \frac{98}{28} = 3.5 \ m/s^2$.

(A) સમતલ સપાટી પર ગબડતા પૈડા માટે,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ $B$ નો વેગ $V_B = 2v$ છે,જ્યાં $v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $V_B = 8 \ m/s$,તેથી $2v = 8 \ m/s$,જેનો અર્થ છે કે $v = 4 \ m/s$.
તળિયે રહેલું બિંદુ $A$ એ તત્કાલીન પરિભ્રમણ કેન્દ્ર છે.
રીમ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ $V_P = \omega r_P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_P$ એ તત્કાલીન કેન્દ્ર $A$ થી અંતર છે.
કેન્દ્ર $C$ ની સપાટી પર રહેલા બિંદુ $P$ માટે,અંતર $AP = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૈડાની ત્રિજ્યા છે.
કારણ કે $v = \omega R$,તેથી $\omega = v/R$.
આમ,$V_P = (v/R) \times (R\sqrt{2}) = v\sqrt{2}$.
$v = 4 \ m/s$ મૂકતા,આપણને $V_P = 4\sqrt{2} \ m/s$ મળે છે.

(B) ગબડતી વસ્તુને જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતી ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતી કલ્પી શકાય છે.
તેથી,સંપર્ક બિંદુની ત્વરિત ઝડપ શૂન્ય હોય છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
જેમ કે પદાર્થ પરિભ્રમણ કરી રહ્યો છે,સંપર્ક બિંદુ પાસે પદાર્થના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોય છે,તેથી તેનો ત્વરિત પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી.
તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
જમીન પર સંપૂર્ણ ગબડતી ગતિમાં,સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે સંપર્ક બિંદુ જમીનની સાપેક્ષમાં ખસતું નથી,તેથી ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
આમ,વિધાન $C$ સાચું છે.
ઢળતી સપાટી પર ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં ગબડતી ગતિ થઈ શકતી નથી કારણ કે ઘર્ષણ બળ જ જરૂરી ટોર્ક પૂરું પાડે છે જે પદાર્થને ગબડાવે છે.
જ્યારે ઢળતી સપાટી સંપૂર્ણપણે લીસી હોય,ત્યારે પૈડું તેના વજનની અસર હેઠળ ફક્ત લપસશે.
તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.

(C) અડધા પરિભ્રમણમાં પૈડા દ્વારા કાપેલું અંતર $d = \frac{C}{2} = \frac{2 \pi r}{2} = \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ પૈડાનો પરિઘ છે.
અડધા પરિભ્રમણ પછી,શરૂઆતમાં સપાટીના સંપર્કમાં રહેલું બિંદુ (બિંદુ $A$) પૈડાની ટોચ પર (બિંદુ $B$) પહોંચે છે.
પૈડાના કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું આડું અંતર $\pi r$ છે અને બિંદુનું ઊભું સ્થાનાંતર પૈડાના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2r$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $AB$ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(\text{આડું અંતર})^2 + (\text{ઊભું અંતર})^2}$
$AB = \sqrt{(\pi r)^2 + (2r)^2} = r \sqrt{\pi^2 + 4}$
અહીં $r = 1 \ m$ આપેલ હોવાથી,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $AB = \sqrt{\pi^2 + 4} \ m$ થશે.

(D) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{k^2}{R^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k = R$ છે,તેથી $K.E._{\text{ring}} = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + 1) = Mv^2$.
આપેલ છે કે $K.E._{\text{ring}} = 6 \ J$,તેથી $Mv^2 = 6 \ J$.
ડિસ્ક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે,તેથી $k^2 = \frac{1}{2} R^2$.
$K.E._{\text{disc}} = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} Mv^2 (\frac{3}{2}) = \frac{3}{4} Mv^2$.
ડિસ્કના સમીકરણમાં $Mv^2 = 6 \ J$ મૂકતા:
$K.E._{\text{disc}} = \frac{3}{4} \times 6 = \frac{18}{4} = 4.5 \ J = \frac{9}{2} \ J$.

(A) ધારો કે પૈડાની ત્રિજ્યા $R = 2 \ cm$ છે.
શરૂઆતમાં,બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
અડધા પરિભ્રમણ પછી,પૈડાનું કેન્દ્ર પરિઘના અડધા જેટલા અંતરે એટલે કે $\pi R$ જેટલું આગળ વધે છે.
કેન્દ્રનું નવું સ્થાન $(\pi R, R)$ છે.
અડધા પરિભ્રમણ પછી,બિંદુ $P$ પૈડાના નીચેના ભાગથી ઉપરના ભાગ પર જાય છે.
બિંદુ $P$ ના નવા યામ $(\pi R, 2R)$ થશે.
સ્થાનાંતર $d$ એ પ્રારંભિક સ્થાન $(0, 0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(\pi R, 2R)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \sqrt{(\pi R - 0)^2 + (2R - 0)^2} = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$.
$R = 2 \ cm$ મૂકતા: $d = 2\sqrt{\pi^2 + 4} \ cm$ અથવા $2(\pi^2 + 4)^{1/2} \ cm$.

(C) ગબડતા નક્કર ગોળાની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$KE_{total} = \frac{1}{2} m V^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m r^2$ અને ગબડવાની શરત $V = r \omega$ છે.
$KE_{total} = \frac{1}{2} m V^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m r^2) (\frac{V}{r})^2 = \frac{1}{2} m V^2 + \frac{1}{5} m V^2 = \frac{7}{10} m V^2$.
જ્યારે ગોળો સ્પ્રિંગને મહત્તમ અંતર $x$ સુધી સંકોચે છે,ત્યારે તેની તમામ ગતિઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે $(U = \frac{1}{2} k x^2)$.
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{7}{10} m V^2$
$x^2 = \frac{14}{10} \frac{m V^2}{k} = \frac{1.4 \times 2 \times 6^2}{36} = \frac{1.4 \times 2 \times 36}{36} = 2.8$.
$x = \sqrt{2.8} \approx 1.67 \ m$.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $\omega^2 = \frac{v^2}{R^2}$ થાય.
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{ring} = mR^2$ છે. તેથી,$K.E._{ring} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
આપેલ છે કે $K.E._{ring} = 4 \ J$,તેથી $mv^2 = 4 \ J$ મળે.
ડિસ્ક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{disc} = \frac{1}{2}mR^2$ છે. તેથી,$K.E._{disc} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
$mv^2 = 4 \ J$ કિંમત મૂકતા,$K.E._{disc} = \frac{3}{4} \times 4 \ J = 3 \ J$ મળે.

(C) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં પદાર્થની કુલ ગતિ ઉર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$
જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે,$R$ એ ત્રિજ્યા છે અને $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આપેલ છે કે $m = 1 \ kg$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{E}{v_{cm}^{2}} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right) \quad ...(i)$
આપેલ આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\frac{E}{v_{cm}^{2}} = \frac{3}{4}$ છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$
$\frac{3}{2} = 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}$
$\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે તકતી (disc) માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} m R^{2}$ છે,તેથી $k^{2} = \frac{1}{2} R^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{1}{2}$.
આમ,આપેલ પદાર્થ તકતી (disc) છે.

(C) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,કુલ ગતિઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
સ્થાનાંતરિત $KE = \frac{1}{2}mv^2$.
ચાકગતિ $KE = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mK^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})$.
કુલ $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{R^2+K^2}{R^2})$.
ચાકગતિ સાથે સંકળાયેલ કુલ ઊર્જાનો અંશ $\frac{Rotational \ KE}{Total \ KE} = \frac{\frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})}{\frac{1}{2}mv^2(\frac{R^2+K^2}{R^2})} = \frac{K^2}{K^2+R^2}$ છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે,જે $v$ વેગ અને $\omega = v/R$ કોણીય વેગથી ગબડે છે,સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે ચાકગતિ ઊર્જા $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
તકતી માટે જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$I$ અને $\omega = v/R$ ની કિંમત મૂકતા,$K_r = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (v/R)^2 = \frac{1}{4} Mv^2$ મળે છે.
કુલ ગતિઊર્જા $K = K_t + K_r = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$ થાય.
$K$ ની સરખામણી $K_r$ સાથે કરતા: $K = \frac{3/4 Mv^2}{1/4 Mv^2} K_r = 3 K_r$.
આમ,કુલ ગતિઊર્જા તેની ચાકગતિ ઊર્જા કરતા $3$ ગણી છે.

(C) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
વર્તુળાકાર ડિસ્ક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે,તેથી $k^2 = \frac{1}{2}R^2$. ગતિઊર્જા $K_{disc} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv^2 = 6 \ J$ થાય.
આના પરથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{6 \times 2}{3} = 4 \ J$ મળે.
પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે,તેથી $k^2 = R^2$. ગતિઊર્જા $K_{ring} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$ થાય.
કારણ કે $\frac{1}{2}mv^2 = 4 \ J$,તેથી $mv^2 = 8 \ J$ થાય.
આમ,રીંગની કુલ ગતિઊર્જા $8 \ J$ છે.

(B) નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = R\omega$ થાય,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5}M(R\omega)^2 = \frac{1}{5}Mv^2$ છે.
સ્થાનંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{2+5}{10}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $2: 7$ છે.

(C) સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને રીંગનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_{cm} \omega_0 = m r^2 \omega_0$ છે.
જ્યારે રીંગ સરકવાનું બંધ કરે છે,ત્યારે તે સરક્યા વિના ગબડે છે,તેથી $v = r \omega$ થાય.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_{cm} \omega + m r v = m r^2 (v/r) + m r v = m r v + m r v = 2 m r v$ થાય.
સંપર્ક બિંદુ પર ઘર્ષણ બળ લાગતું હોવાથી,તે બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
$m r^2 \omega_0 = 2 m r v$.
તેથી,$v / \omega_0 = r / 2 = 50 \ cm / 2 = 25 \ cm$.

(D) આપેલ છે, વર્તુળાકાર રીંગનું દળ $m = 10 \text{ kg}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની રેખીય ઝડપ $v = 1.5 \text{ m/s}$.
ગબડતી રીંગની કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ તેની ચાકગતિ અને સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K_i = K_{\text{rotational}} + K_{\text{translational}} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
રીંગ માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^2$ અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K_i = \frac{1}{2} (m R^2) \left(\frac{v}{R}\right)^2 + \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2$.
$K_i = 10 \times (1.5)^2 = 10 \times 2.25 = 22.5 \text{ J}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, રીંગને અટકાવવા માટે જરૂરી કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = K_f - K_i = 0 - 22.5 = -22.5 \text{ J}$.

(D) સરક્યા વિના ગબડતી ગતિ માટે,વેગ $v = r \omega$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $E = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
$v = r \omega$ મૂકતા,આપણને મળે $E = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 = \frac{1}{2} (I + m r^2) \omega^2$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
આપેલ છે કે $K_{rot} = 50 \% \text{ of } E$,તેથી $K_{rot} = \frac{1}{2} E$.
પદો મૂકતા: $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (I + m r^2) \omega^2]$.
$I = \frac{1}{2} I + \frac{1}{2} m r^2$.
$\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} m r^2$,જે સૂચવે છે કે $I = m r^2$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r^2$ એ પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે હોય છે.

(A) સપાટી પર ગબડતી વસ્તુનું સપાટી પરના બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને કારણે ઉદ્ભવતું કોણીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા કોણીય વેગમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$L_O = L_{\text{linear}} + L_{\text{rotational}} = MvR + I\omega$
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
$L_O = MvR + I\left(\frac{v}{R}\right) = vR \left(M + \frac{I}{R^2}\right)$
નક્કર ગોળા માટે,$I_1 = \frac{2}{5}MR^2$. તેથી,$L_1 = vR \left(M + \frac{2}{5}M\right) = \frac{7}{5}MvR$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I_2 = \frac{1}{2}MR^2$. તેથી,$L_2 = vR \left(M + \frac{1}{2}M\right) = \frac{3}{2}MvR$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{7}{5}MvR}{\frac{3}{2}MvR} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)\omega^2 = \frac{1}{5}MR^2\omega^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = R\omega$ થાય,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
$\omega$ ની કિંમત ચાકગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $K_{rot} = \frac{1}{5}MR^2(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા અને સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{1}{2}Mv^2} = \frac{2}{5}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2: 5$ છે.

(A) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે, જે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે, તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$
અહીં $m = 5 \,kg$ અને $v = 4 \,m/s$ આપેલ છે:
$KE = \frac{7}{10} \times 5 \times (4)^2 = \frac{7}{10} \times 5 \times 16 = 7 \times 8 = 56 \,J$
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે ગોળાના કેન્દ્રનો અંતિમ વેગ $v$ છે અને જ્યારે તે સરક્યા વિના ગબડવાનું શરૂ કરે ત્યારે તેની અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે.
ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુ પર કાર્ય કરતું હોવાથી,સંપર્ક બિંદુની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
તેથી,સંપર્ક બિંદુની આસપાસ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન: $L_i = m v_0 r$
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ અંતિમ કોણીય વેગમાન: $L_f = mvr + I_{cm}\omega$
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
તે સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,શરત $v = r\omega$ અથવા $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા:
$mv_0 r = mvr + (\frac{2}{5} mr^2)(\frac{v}{r})$
$mv_0 r = mvr + \frac{2}{5} mvr$
$v_0 = v + \frac{2}{5} v$
$v_0 = \frac{7}{5} v$
$v = \frac{5}{7} v_0$

(A, C, D) જ્યારે એક વર્તુળાકાર તકતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતી હોય, ત્યારે તેની ધાર પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ કેન્દ્રના સ્થાનાંતરિત વેગ $(v)$ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શકીય વેગ $(\omega R)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
તકતી સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી, $v = \omega R$ થાય.
$1$. સપાટી સાથેના સંપર્ક બિંદુ $(P)$ પાસે વેગ $v_P = v - \omega R = v - v = 0$ થાય છે.
$2$. સૌથી ઉપરના બિંદુ $(S)$ પાસે વેગ $v_S = v + \omega R = v + v = 2v$ થાય છે.
$3$. ધાર પરના અન્ય કોઈપણ બિંદુ પાસે વેગનું મૂલ્ય $0$ અને $2v$ ની વચ્ચે હોય છે. ખાસ કરીને, કેન્દ્રની ઊંચાઈએ વેગ $\sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2}v$ હોય છે.
આમ, ધાર પરના બિંદુના વેગ માટે શક્ય મૂલ્યો $0$, $v$, $\sqrt{2}v$ અને $2v$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી $v$, $2v$ અને $0$ માન્ય છે.

(B) ઘર્ષણ બળ $f = \mu_K mg$ એ સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. રેખીય પ્રવેગ $a = -\mu_K g$ છે.
$t$ સમયે વેગ $v(t) = v_0 - \mu_K gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રની આસપાસ ઘર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau = fR = \mu_K mgR$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \tau/I = \frac{\mu_K mgR}{(1/2)mR^2} = \frac{2\mu_K g}{R}$ છે.
$t$ સમયે કોણીય વેગ $\omega(t) = \omega_0 + \alpha t = \frac{v_0}{4R} + \frac{2\mu_K g}{R}t$ છે.
જ્યારે $v(t) = \omega(t)R$ ની શરત સંતોષાય ત્યારે ગબડવાનું શરૂ થાય છે.
સમીકરણો મૂકતા: $v_0 - \mu_K gt = (\frac{v_0}{4R} + \frac{2\mu_K g}{R}t)R$.
આનું સાદું રૂપ: $v_0 - \mu_K gt = \frac{v_0}{4} + 2\mu_K gt$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{3v_0}{4} = 3\mu_K gt$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{v_0}{4\mu_K g}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{49}{4 \times 0.25 \times 9.8} = \frac{49}{9.8} = 5 \text{ s}$.