Motion of Centre of Mass Questions in Gujarati

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન અચળ રહે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સૂત્ર: $X_{cm} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$ છે.
અહીં,$M_1 = M$,$x_1 = 0$,$M_2 = M$,અને $x_2 = 10\, m$ છે.
$X_{cm} = \frac{M(0) + M(10)}{M + M} = \frac{10M}{2M} = 5\, m$.
જેમ માણસ દોરડું ખેંચે છે,તેમ બંને એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાને મળે છે,જે $x = 5\, m$ છે.

(A) એટવુડ મશીનમાં દરેક દળના પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \left( {\frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $m_1$ માટે નીચેની દિશા ધન છે અને $m_2$ માટે ઉપરની દિશા ધન છે. તો પ્રવેગ સદિશો $\vec{a_1} = a \hat{j}$ અને $\vec{a_2} = -a \hat{j}$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(A_{cm})$ નીચે મુજબ છે:
$A_{cm} = \frac{m_1 \vec{a_1} + m_2 \vec{a_2}}{m_1 + m_2}$
$A_{cm} = \frac{m_1 (a) - m_2 (a)}{m_1 + m_2} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) a$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$A_{cm} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \times \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
$A_{cm} = {\left( {\frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)^2}g$

(A) જ્યારે બોમ્બને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પરવલયાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. જ્યારે હવામાં વિસ્ફોટ થાય છે,ત્યારે વિસ્ફોટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા આંતરિક બળોને કારણે ટુકડાઓ અલગ-અલગ દિશામાં ગતિ કરે છે.
આંતરિક બળો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ની ગતિમાં ફેરફાર કરી શકતા નથી,તેથી $COM$ મૂળ પરવલયાકાર માર્ગ પર જ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે જાણે કે વિસ્ફોટ થયો જ ન હોય.
$COM$ ની ગતિ ફક્ત બાહ્ય બળો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે આ કિસ્સામાં માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.

(D) આ તંત્ર બે કણોનું બનેલું છે અને તેના પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ અચળ રહે છે.
અહીં કુલ બાહ્ય બળ $0$ હોવાથી,કણોના આંતરિક સાપેક્ષ વેગમાં ફેરફાર થવા છતાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ બદલાતો નથી.
આપેલ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $0.5\ m/s$ છે,તેથી જ્યારે અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ $3\ m/s$ થાય ત્યારે પણ તે $0.5\ m/s$ જ રહેશે.

(C) ધારો કે દરેક સમાન કણનું દળ $M$ છે.
પ્રથમ કણનો વેગ $v_1 = 2v$ અને બીજા કણનો વેગ $v_2 = v$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(V_{COM})$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_{COM} = \frac{M_1 v_1 + M_2 v_2}{M_1 + M_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V_{COM} = \frac{M(2v) + M(v)}{M + M}$
$V_{COM} = \frac{3Mv}{2M}$
$V_{COM} = \frac{3v}{2}$

(B) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તેના પર લાગતા બાહ્ય બળો દ્વારા નક્કી થાય છે.
આ કિસ્સામાં,તંત્ર પર લાગતું એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે સમગ્ર તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે.
આંતરિક બળો (જે પદાર્થને તોડવાનું કારણ બને છે) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને અસર કરતા નથી,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ પદાર્થ $A$ ના માર્ગને જ અનુસરે છે.
તેથી,$B$ અને $C$ ના સંયુક્ત તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ ના માર્ગની સાપેક્ષમાં સ્થળાંતર પામતું નથી.

(C) પ્રક્ષિપ્તનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ અવધિ $R = 100 \ m$ પર ઉતર્યું હોત.
વિસ્ફોટ એ આંતરિક બળ હોવાથી,$COM$ મૂળ પરવલયાકાર માર્ગને અનુસરવાનું ચાલુ રાખે છે.
ધારો કે ત્રણ ટુકડાઓનું દળ $m_1 = m_2 = m_3 = m$ છે.
ધારો કે જમીન પર ઉતરતી વખતે તેમના સ્થાન $x_1, x_2, x_3$ છે.
આપેલ છે: $x_1 = 0$ (પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ પર પાછો ફરે છે),$x_2 = R/2 = 50 \ m$ (મહત્તમ બિંદુએ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તે સીધો નીચે પડે છે),અને $x_{COM} = R = 100 \ m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{COM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $100 = \frac{m(0) + m(50) + m(x_3)}{3m}$.
$300 = 50 + x_3$.
$x_3 = 300 - 50 = 250 \ m$.

(D) કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(V_{cm})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ છે:
$m_1 = 2 \ kg$,$v_1 = 3 \ m/s$
$m_2 = 3 \ kg$,$v_2 = 2 \ m/s$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_{cm} = \frac{(2 \ kg)(3 \ m/s) + (3 \ kg)(2 \ m/s)}{2 \ kg + 3 \ kg}$
$V_{cm} = \frac{6 + 6}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \ m/s$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $2.4 \ m/s$ છે.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 1 \ kg$,$u_1 = 2 \ m/s$,$u_2 = 5 \ m/s$.
કિસ્સો $1$: બંને કણો એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(2) + 1(5)}{2 + 1} = \frac{4 + 5}{3} = 3 \ m/s$. તેથી,$v_1 = 3 \ m/s$.
કિસ્સો $2$: બંને કણો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
ધારો કે $u_1 = 2 \ m/s$ અને $u_2 = -5 \ m/s$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(2) + 1(-5)}{2 + 1} = \frac{4 - 5}{3} = -1/3 \ m/s$.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,તેથી $v_2 = |-1/3| = 1/3 \ m/s$.

(C) આ તંત્ર બે માણસો અને હોડીનું બનેલું છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી (પાણીનો અવરોધ અવગણવામાં આવે છે અને હોડી સ્થિર પાણીમાં છે),તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાતું નથી.
તેથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર $0 \ m$ છે.

(C) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
અહીં બંને કણોનું દળ સમાન છે,તેથી ધારો કે $m_1 = m_2 = m$.
પ્રથમ કણની ગતિની દિશાને ધન લેતા,પ્રથમ કણનો વેગ $v_1 = 2v$ અને બીજા કણનો વેગ $v_2 = -v$ થશે (કારણ કે તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{cm} = \frac{m(2v) + m(-v)}{m + m}$
$v_{cm} = \frac{2mv - mv}{2m}$
$v_{cm} = \frac{mv}{2m} = \frac{v}{2}$

(D) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ ફક્ત તેના પર લાગતા બાહ્ય બળો પર આધાર રાખે છે.
આ કિસ્સામાં,પદાર્થ $A$ (અને ત્યારબાદ ભાગ $B$ અને $C$ ના તંત્ર) પર લાગતું એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે નીચેની તરફ $g$ જેટલો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
તૂટવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન બાહ્ય બળ બદલાતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $g$ જ રહે છે.
તેથી,ભાગ $B$ અને $C$ થી બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો ગતિપથ મૂળ પદાર્થ $A$ ના ગતિપથ જેવો જ રહે છે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ પદાર્થ $A$ ના ગતિપથની સાપેક્ષમાં ખસતું નથી.

(D) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના મૂળ સ્થાને જ રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta R_{cm} = 0$.
તેથી,$m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2 = 0$.
ધારો કે પ્રથમ કણ $(m_1)$ ને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતર ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta r_1 = d$.
ધારો કે બીજા કણ $(m_2)$ ને વિરુદ્ધ દિશામાં $x$ અંતર ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta r_2 = -x$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $m_1 d + m_2 (-x) = 0$.
$m_1 d = m_2 x$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{m_1}{m_2} d$ મળે છે.

(D) એટવુડ મશીનમાં દરેક પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,$m_1$ દળનો પ્રવેગ $\vec{a}_1 = a \hat{j}$ અને $m_2$ દળનો પ્રવેગ $\vec{a}_2 = -a \hat{j}$ થશે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 (a) + m_2 (-a)}{m_1 + m_2} = \frac{(m_1 - m_2) a}{m_1 + m_2}$.
હવે,$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{a}_{cm} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g \right) = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 g$.

(A) તંત્ર (ટ્રૉલી + પિસ્તોલ + ગોળી) પર કોઈ બાહ્ય ક્ષૈતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાશે નહીં.
ધારો કે ટ્રૉલીનું સ્થાનાંતર $\Delta x_1$ છે અને ગોળીનું જમીનની સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $\Delta x_2$ છે.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર $\Delta x_{cm} = \frac{M \Delta x_1 + m \Delta x_2}{M + m} = 0$ થાય.
અહીં,ગોળી ટ્રૉલીની સાપેક્ષ $L$ અંતર કાપે છે. જો ટ્રૉલી $\Delta x_1$ જેટલું અંતર કાપે (ડાબી તરફ,તેથી $\Delta x_1$ ઋણ છે),તો ગોળીનું જમીનની સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $\Delta x_2 = L + \Delta x_1$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $M \Delta x_1 + m(L + \Delta x_1) = 0$.
$M \Delta x_1 + mL + m \Delta x_1 = 0$.
$(M + m) \Delta x_1 = -mL$.
$\Delta x_1 = -\frac{m}{M+m} L$.
નોંધ: આપેલ વિકલ્પ $A$ એ $-\frac{m}{M} L$ છે,જે $m \ll M$ ધારણા હેઠળનું અંદાજિત મૂલ્ય છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $A$ સાચો ગણાય છે.

(A) આ તંત્ર બે કણોનું બનેલું છે જે તેમના પરસ્પર આંતરિક આકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,બંને કણો સ્થિર છે,જેનો અર્થ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{CM, initial} = 0$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કોઈપણ ક્ષણે $0$ જ રહેશે.
તેથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $0$ થશે.

(C) તંત્ર હોડી અને બે વ્યક્તિઓનું બનેલું છે.
હોડી સ્થિર પાણીમાં હોવાથી અને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ક્ષૈતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી (વ્યક્તિની હિલચાલમાં સામેલ બળો તંત્રના આંતરિક બળો છે),તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાતું નથી.
તેથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થાનાંતરિત થશે નહીં.
આમ,સ્થાનાંતર $0\, m$ છે.

(B) માણસ ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત અવકાશમાં હોવાથી,માણસ-પથ્થર તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે. તેથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે જ્યારે પથ્થર જમીન પર પહોંચે છે ત્યારે માણસ $x$ જેટલો ઉપર જાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સિદ્ધાંત મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે:
$M_{man} \cdot \Delta x_{man} + M_{stone} \cdot \Delta x_{stone} = 0$
અહીં,પથ્થર નીચેની તરફ $10\, m$ ખસે છે (તેથી $\Delta x_{stone} = -10\, m$) અને માણસ ઉપરની તરફ $x$ ખસે છે (તેથી $\Delta x_{man} = x$).
$50 \cdot x + 0.5 \cdot (-10) = 0$
$50x = 5$
$x = \frac{5}{50} = 0.1\, m$
તેથી,જમીનથી માણસની અંતિમ ઊંચાઈ $10 + x = 10 + 0.1 = 10.1\, m$ થશે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ શોધવાનું સૂત્ર: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2}$ છે.
આપેલ છે: $m_1 = 200 \ g$,$\vec{v}_1 = 10\hat{i} \ m/s$,$m_2 = 500 \ g$,$\vec{v}_2 = 3\hat{i} + 5\hat{j} \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{200(10\hat{i}) + 500(3\hat{i} + 5\hat{j})}{200 + 500}$.
$\vec{v}_{cm} = \frac{2000\hat{i} + 1500\hat{i} + 2500\hat{j}}{700}$.
$\vec{v}_{cm} = \frac{3500\hat{i} + 2500\hat{j}}{700}$.
$\vec{v}_{cm} = 5\hat{i} + \frac{25}{7}\hat{j} \ m/s$.

(D) બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $12R$ છે.
અથડામણ ત્યારે થાય છે જ્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય,જે $R + 2R = 3R$ છે.
તેથી,અથડામણ માટે બંને વસ્તુઓ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $12R - 3R = 9R$ છે.
સિસ્ટમ મુક્ત અવકાશમાં હોવાથી અને માત્ર આંતરિક ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું હોવાથી,સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે નાની વસ્તુ (દળ $M$) દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $x$ છે અને મોટી વસ્તુ (દળ $5M$) દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $y$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,$M x = (5M) y$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x + y = 9R$,તેથી $y = 9R - x$.
સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $M x = 5M (9R - x)$.
$x = 45R - 5x$.
$6x = 45R$.
$x = 7.5R$.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ શોધવાનું સૂત્ર: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2}$ છે.
આપેલ છે: $m_1 = 2\ kg$,$v_1 = 3\ m/s$,$m_2 = 3\ kg$,$v_2 = 2\ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}_{cm} = \frac{2 \times 3 + 3 \times 2}{2 + 3}$.
$\vec{v}_{cm} = \frac{6 + 6}{5} = \frac{12}{5} = 2.4\ m/s$.

(B) બે કણોની સિસ્ટમ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$.
આપેલ છે: $m_1 = 2\ kg$,$v_1 = 2\ m/s$,$m_2 = 4\ kg$,$v_2 = 10\ m/s$.
બંને પદાર્થો એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,આપણે તેમના વેગને ધન ગણી શકીએ છીએ.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{(2 \times 2) + (4 \times 10)}{2 + 4} = \frac{4 + 40}{6} = \frac{44}{6} = 7.33\ m/s$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $7.3\ m/s$ મળે છે.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$.
આપેલ છે: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$.
ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_1 = 20 \ m/s$ છે (ધન દિશામાં).
બંને પદાર્થો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,બીજા પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_2 = -10 \ m/s$ થશે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{(2 \times 20) + (4 \times -10)}{2 + 4} = \frac{40 - 40}{6} = \frac{0}{6} = 0 \ m/s$.
તંત્ર પર લાગતું એકમાત્ર બળ પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (આંતરિક બળ) છે,તેથી તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે. પરિણામે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે. શરૂઆતનું વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $0 \ m/s$ રહેશે.

(A) તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ મુજબ ગતિ કરે છે,જે સમીકરણ $F_{ext} = M_{total} \cdot a_{cm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ તંત્રમાં,કણો તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે,જે આંતરિક બળ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી $(F_{ext} = 0)$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{cm})$ શૂન્ય છે.
આપેલ છે કે કણો શરૂઆતમાં સ્થિર હતા,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $(v_{cm})$ શૂન્ય હતો.
કારણ કે $a_{cm} = 0$ છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કોઈપણ સમય $t$ માટે તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય શૂન્ય પર અચળ રહે છે.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ છે:
$m_1 = 20 \ kg$,$\vec{v}_1 = 2v$
$m_2 = 10 \ kg$,$\vec{v}_2 = v$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{20 \times 2v + 10 \times v}{20 + 10}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{40v + 10v}{30}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{50v}{30} = \frac{5}{3}v$

(D) વસ્તુ $A$ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ નીચે પડી રહી છે,જે તંત્ર પર લાગતું બાહ્ય બળ છે. જોકે,વસ્તુનું બે ભાગ $B$ અને $C$ માં વિભાજન આંતરિક બળોને કારણે થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,આંતરિક બળો તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થિતિ કે ગતિમાં કોઈ ફેરફાર કરતા નથી.
કારણ કે બાહ્ય બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ) સમગ્ર તંત્ર પર સમાન રીતે લાગે છે,તેથી ભાગ $B$ અને $C$ નું સંયુક્ત દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ વસ્તુ $A$ ના પથને જ અનુસરશે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ વસ્તુ $A$ ના પથની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરિત થશે નહીં.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં બંને કણો સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_{initial} = 0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
અહીં,કણો પરસ્પર આકર્ષણ (આંતરિક બળો) ને કારણે ગતિ કરે છે,તેથી તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે અને તેના પ્રારંભિક વેગ જેટલો જ રહે છે.
તંત્ર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થયું હોવાથી,દરેક સમયે $v_{cm} = 0$ રહેશે.

(B) ધારો કે માણસનું દળ $M$ છે અને પાટિયાનું દળ $m = \frac{M}{3}$ છે.
કોઈપણ બાહ્ય આડા બળની ગેરહાજરીમાં,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે પાટિયાનું જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતર $x$ છે,જે માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
માણસનું જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતર $(L - x)$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M(L - x) = m(x)$.
$m = \frac{M}{3}$ મૂકતા:
$M(L - x) = \frac{M}{3} x$
$L - x = \frac{x}{3}$
$L = x + \frac{x}{3} = \frac{4x}{3}$
$x = \frac{3L}{4}$ (આ પાટિયાનું સ્થાનાંતર છે).
માણસનું જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતર $L - x = L - \frac{3L}{4} = \frac{L}{4}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે,દળ $m_1 = m_2 = m$.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 2\hat{i}\,ms^{-1}$ અને $\vec{v}_2 = 2\hat{j}\,ms^{-1}$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a}_1 = (3\hat{i} + 3\hat{j})\,ms^{-2}$ અને $\vec{a}_2 = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{CM} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(2\hat{i} + 2\hat{j})}{2m} = (\hat{i} + \hat{j})\,ms^{-1}$ થાય.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{CM} = \frac{m_1\vec{a}_1 + m_2\vec{a}_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(3\hat{i} + 3\hat{j} + 0)}{2m} = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j})\,ms^{-2}$ થાય.
અહીં પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_{CM} = (\hat{i} + \hat{j})$ અને પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_{CM} = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j})$ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી (એટલે કે $\vec{a}_{CM} = k\vec{v}_{CM}$ જ્યાં $k = 1.5$),દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુરેખ રેખા પર ગતિ કરશે.

(C) તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ પરવલયાકાર પથને અનુસરે છે કારણ કે વિસ્ફોટ આંતરિક બળોને કારણે થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ છે,તેથી તે $x_{com} = R$ પર પડે છે.
પથનું મહત્તમ બિંદુ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $\frac{R}{2}$ જેટલા સમક્ષિતિજ અંતરે છે.
ધારો કે નાનું દળ $m$ સ્થિર થાય છે,એટલે કે તેનું સમક્ષિતિજ સ્થાન $x_1 = \frac{R}{2}$ છે.
ધારો કે મોટું દળ $2m$ એ $x_2 = x$ અંતરે પડે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{com} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{m \cdot \frac{R}{2} + 2m \cdot x}{m + 2m}$.
$3mR = \frac{mR}{2} + 2mx$.
$3mR - \frac{mR}{2} = 2mx$.
$\frac{5mR}{2} = 2mx$.
$x = \frac{5R}{4}$.

(C) ધારો કે $m_1 = 80\, kg$ (માણસનું દળ) અને $m_2 = 200\, kg$ (હોડીનું દળ).
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે: $\Delta x_{cm} = 0$.
ધારો કે $x$ એ હોડીનું કિનારાથી દૂરનું સ્થાનાંતર છે. કિનારાની સાપેક્ષમાં માણસનું સ્થાનાંતર $(8 - x)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
$80(8 - x) + 200(-x) = 0$.
$640 - 80x - 200x = 0$.
$280x = 640$.
$x = \frac{640}{280} \approx 2.286\, m$.
કિનારાથી માણસનું પ્રારંભિક અંતર $20\, m$ હતું. કિનારા તરફ $8\, m$ ચાલ્યા પછી અને હોડી કિનારાથી $x$ જેટલી દૂર ખસ્યા પછી,તેનું નવું અંતર $20 - 8 + x = 12 + 2.286 = 14.286\, m \approx 14.3\, m$ થાય.

(B) ધારો કે હોડીનું દળ $M = 60 \, kg$,લંબાઈ $L = 4 \, m$,અને બે માણસોના દળ $m_1 = 60 \, kg$ અને $m_2 = 80 \, kg$ છે.
તંત્ર (હોડી + માણસો) પર કોઈ બાહ્ય ક્ષૈતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે હોડીનું સ્થાનાંતર $x$ છે. જ્યારે માણસો સ્થાનની અદલાબદલી કરે છે,ત્યારે જમીનની સાપેક્ષે માણસોનું સ્થાનાંતર અનુક્રમે $(L - x)$ અને $(-L - x)$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $M(x) + m_1(x - L) + m_2(x + L) = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $60x + 60(x - 4) + 80(x + 4) = 0$.
$60x + 60x - 240 + 80x + 320 = 0$.
$200x + 80 = 0$.
$200x = -80$.
$x = -80 / 200 = -0.4 \, m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે હોડી ભારે માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં $0.4 \, m$ જેટલી ખસે છે.

(B) ધારો કે માણસનું દળ $M_m = M$ છે અને દોરીનું દળ $M_s = M$ છે. દોરીની લંબાઈ $L$ છે.
સમતલ લીસું હોવાથી,તંત્ર (માણસ + દોરી) પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી. તેથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાતું નથી.
ધારો કે માણસનું પ્રારંભિક સ્થાન $x_m = 0$ છે અને દોરીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_s = L/2$ છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પ્રારંભિક સ્થાન:
$X_{cm} = \frac{M_m x_m + M_s x_s}{M_m + M_s} = \frac{M(0) + M(L/2)}{M + M} = \frac{ML/2}{2M} = L/4$.
જ્યારે માણસ બધી દોરી એકઠી કરી લે છે,ત્યારે માણસ અને દોરી $2M$ દળનું એક જ તંત્ર બની જાય છે જે માણસના અંતિમ સ્થાન $x_f$ પર સ્થિત છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતિમ સ્થાન $X'_{cm} = x_f$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ખસતું ન હોવાથી,$X_{cm} = X'_{cm}$,તેથી $x_f = L/4$.
માણસનું સ્થાનાંતર $\Delta x = |x_f - x_m| = |L/4 - 0| = L/4$ છે.

(C) માત્ર ડબ્બાને તંત્ર તરીકે લેતા,મુસાફરો ડબ્બા પર આંતરિક બળો લગાડે છે જે ડબ્બા માટે બાહ્ય બળ તરીકે કાર્ય કરે છે. પાટા ઘર્ષણરહિત હોવાથી,આ બળોને કારણે ડબ્બો ગતિ કરી શકે છે,તેથી $C_1$ જમીનની સાપેક્ષમાં ગતિ કરશે.
'ડબ્બો અને મુસાફરો' તંત્ર માટે,મુસાફરો દ્વારા ડબ્બા પર અને ડબ્બા દ્વારા મુસાફરો પર લાગતા બળો આંતરિક બળો છે. આ સંયુક્ત તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C_2$ જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેશે.

(A) ધારો કે બ્લોક $A$ નું દળ $m$ છે અને દડા $B$ નું દળ $m$ છે. સિસ્ટમ (બ્લોક + દડો) લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
તેથી,સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન સમક્ષિતિજ દિશામાં બદલાતું નથી.
ધારો કે જ્યારે દડો $B$ સંતુલન સ્થિતિમાં પહોંચે ત્યારે બ્લોક $A$ નું ડાબી તરફનું સ્થાનાંતર $x$ છે.
આ પ્રક્રિયામાં,દડો $B$ જમીનની સાપેક્ષમાં જમણી તરફ $(L \sin \theta - x)$ જેટલું સમક્ષિતિજ અંતર કાપે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$m_A \Delta x_A + m_B \Delta x_B = 0$
ડાબી દિશાને ઋણ અને જમણી દિશાને ધન લેતા:
$m(-x) + m(L \sin \theta - x) = 0$
$-mx + mL \sin \theta - mx = 0$
$2mx = mL \sin \theta$
$x = \frac{L \sin \theta}{2}$

(B) ધારો કે સમક્ષિતિજ સપાટી એ $x$-અક્ષ માટે સંદર્ભ રેખા છે. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સમક્ષિતિજ દિશામાં સ્થાનાંતર થતું નથી.
ધારો કે $x_A$ અને $x_B$ એ બ્લોક $A$ અને દડા $B$ ના સમક્ષિતિજ સ્થાન છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સમક્ષિતિજ સ્થાન $X_{cm} = \frac{m x_A + m x_B}{m + m} = \frac{x_A + x_B}{2}$ છે.
શરૂઆતમાં,ધારો કે $x_A = 0$ અને $x_B = L \sin \theta$. તેથી,$X_{cm, initial} = \frac{0 + L \sin \theta}{2} = \frac{L \sin \theta}{2}$.
જ્યારે દોરી શિરોલંબ થાય છે,ત્યારે બ્લોક $A$ અને દડો $B$ એક જ સમક્ષિતિજ સ્થાન $x'$ પર હશે. આમ,$X_{cm, final} = \frac{x' + x'}{2} = x'$.
બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ શૂન્ય હોવાથી,$X_{cm, initial} = X_{cm, final}$,તેથી $x' = \frac{L \sin \theta}{2}$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે.
હવે,શિરોલંબ દિશાનો વિચાર કરો. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું શિરોલંબ સ્થાન $Y_{cm} = \frac{m y_A + m y_B}{m + m} = \frac{y_A + y_B}{2}$ છે.
શરૂઆતમાં,$y_A = 0$ અને $y_B = -L \cos \theta$. તેથી,$Y_{cm, initial} = \frac{0 - L \cos \theta}{2} = -\frac{L \cos \theta}{2}$.
અંતે,$y_A = 0$ અને $y_B = -L$. તેથી,$Y_{cm, final} = \frac{0 - L}{2} = -\frac{L}{2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $\Delta Y_{cm} = Y_{cm, final} - Y_{cm, initial} = -\frac{L}{2} - (-\frac{L \cos \theta}{2}) = -\frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$.
શિરોલંબ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય નીચેની દિશામાં $\frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$ છે.

(D) તંત્ર $m$ દળનો માણસ અને $M$ દળની ટ્રોલીનું બનેલું છે.
ટ્રોલી લીસી આડી સપાટી પર હોવાથી,તંત્ર (માણસ $+$ ટ્રોલી) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે $(a_{cm} = 0)$.
શરૂઆતમાં,તંત્ર સ્થિર છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે $(v_{cm} = 0)$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી અને તેનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,ગતિ દરમિયાન તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.

(A) તંત્ર (માણસ + ટ્રોલી) લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
તેથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાતું નથી.
ધારો કે માણસનું સ્થાનાંતર $x_m$ છે અને જમીનની સાપેક્ષ ટ્રોલીનું સ્થાનાંતર $x_t$ છે.
ધારો કે ટ્રોલી ડાબી તરફ $x$ અંતર કાપે છે,તેથી $x_t = -x$.
માણસ ટ્રોલીની સાપેક્ષ જમણી તરફ $L$ અંતર કાપે છે.
તેથી,જમીનની સાપેક્ષ માણસનું સ્થાનાંતર $x_m = L - x$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m x_m + M x_t = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $m(L - x) + M(-x) = 0$.
$mL - mx - Mx = 0$.
$mL = (m + M)x$.
$x = \frac{mL}{m + M}$.
આમ,જમીનની સાપેક્ષ ટ્રોલી દ્વારા કાપેલું અંતર $\frac{mL}{m + M}$ છે.

(A) તંત્ર (માણસ + ટ્રોલી) લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,તેના પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી. તેથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે જમીનની સાપેક્ષે માણસનું સ્થાનાંતર $x_m$ છે અને ટ્રોલીનું સ્થાનાંતર $x_t$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ગતિ કરતું ન હોવાથી,$m x_m + M x_t = 0$. મૂલ્ય લેતા,$m |x_m| = M |x_t|$,તેથી $|x_t| = \frac{m}{M} |x_m|$.
ટ્રોલીની સાપેક્ષે માણસનું સાપેક્ષ સ્થાનાંતર ટ્રોલીની લંબાઈ જેટલું છે,$L = |x_m| + |x_t|$.
$|x_t|$ ની કિંમત મૂકતા,$L = |x_m| + \frac{m}{M} |x_m| = |x_m| (1 + \frac{m}{M}) = |x_m| (\frac{M + m}{M})$.
$|x_m|$ માટે ઉકેલતા,આપણને $|x_m| = \frac{ML}{m + M}$ મળે છે.

(D) તંત્ર (માણસ + ટ્રોલી) લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,તેના પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી. તેથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે $x_m$ અને $x_t$ એ જમીનની સાપેક્ષે માણસ અને ટ્રોલીના સ્થાનાંતર છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર હોવાથી,$m x_m + M x_t = 0$.
માણસ ટ્રોલીની સાપેક્ષે $L$ અંતર કાપે છે,તેથી $x_m - x_t = L$,અથવા $x_m = L + x_t$.
આ કિંમત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $m(L + x_t) + M x_t = 0 \implies x_t(m + M) = -mL \implies x_t = -\frac{mL}{m+M}$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે ટ્રોલી પાછળની તરફ ગતિ કરે છે (માણસની ગતિની વિરુદ્ધ),તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
ટ્રોલીનું સ્થાનાંતર $x_t = \frac{mL}{m+M}$ માત્ર દળ અને લંબાઈ $L$ પર આધાર રાખે છે,માણસની ઝડપ પર નહીં,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
કારણ કે $x_t = \frac{m}{m+M} L$,અને $\frac{m}{m+M} < 1$,ટ્રોલી દ્વારા કાપેલું અંતર હંમેશા $L$ કરતા ઓછું હોય છે,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) તંત્ર ટ્રોલી અને બે વ્યક્તિઓનું બનેલું છે. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં,તંત્ર સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
જ્યારે પ્રથમ વ્યક્તિ ($m$ દળ) ડાબી તરફ $u_{rel}$ સાપેક્ષ વેગ સાથે કૂદકો મારે છે,ત્યારે ટ્રોલી ($M+m$ દળ) જમણી તરફ $v_1 = \frac{m u_{rel}}{M+m}$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
જ્યારે બીજી વ્યક્તિ ($m$ દળ) જમણી તરફ $u_{rel}$ સાપેક્ષ વેગ સાથે કૂદકો મારે છે,ત્યારે ટ્રોલી ($M$ દળ) ડાબી તરફ $v_2 = \frac{m u_{rel}}{M}$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
ટ્રોલીનો અંતિમ વેગ આ વેગોનો સદિશ સરવાળો છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે બાહ્ય બળ શૂન્ય છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે ટ્રોલીનો અંતિમ વેગ દળ અને કૂદકાની દિશા પર આધાર રાખે છે,અને તે જરૂરી નથી કે તે પ્રથમ વ્યક્તિની દિશામાં જ હોય.
વિકલ્પ $C$ પણ ખોટો છે કારણ કે અંતિમ વેગનું સૂત્ર $\left( {\frac{{m{u_{rel}}}}{{M + m}} - \frac{{m{u_{rel}}}}{{M + 2m}}} \right)$ નથી.

(A) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેની પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં જ રહે છે.
ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L = 5 \ m$ છે. બે સમાન દળ $m$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સળિયાના મધ્યબિંદુ પર છે,એટલે કે બંને છેડાથી $L/2 = 2.5 \ m$ અંતરે છે.
શરૂઆતમાં,સળિયો શિરોલંબ છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ ધરીથી $0$ સમક્ષિતિજ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સાથે $\theta = 37^o$ નો ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પ્રારંભિક શિરોલંબ ધરીથી સમક્ષિતિજ અંતર $0$ જ રહે છે.
ધારો કે નીચેના દળનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x_1$ છે અને ઉપરના દળનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x_2$ છે.
તંત્રની સંમિતિને કારણે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા મધ્યબિંદુ પર હોય છે. મધ્યબિંદુનું સમક્ષિતિજ સ્થાન $x_{cm} = (x_1 + x_2) / 2 = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x_1 = -x_2$. બે દળો વચ્ચેનું અંતર $L = 5 \ m$ છે. સળિયાનો સમક્ષિતિજ પ્રક્ષેપ $L \sin(37^o) = 5 \cdot (3/5) = 3 \ m$ છે.
આમ,$|x_1| + |x_2| = 3 \ m$. કારણ કે $|x_1| = |x_2|$,આપણને $2|x_1| = 3 \ m$ મળે છે,જે $|x_1| = 1.5 \ m$ આપે છે.

(A) ધારો કે છેડા $A$ નું સ્થાન $(x, 0)$ અને છેડા $P$ નું સ્થાન $(0, y)$ છે. નિસરણીની લંબાઈ $L = 5\, m$ છે,તેથી $x^2 + y^2 = L^2 = 25$ થાય.
આપેલ છે કે $x = 3\, m$,તેથી $y = \sqrt{25 - 3^2} = 4\, m$ મળે.
$x^2 + y^2 = 25$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0$ મળે.
અહીં $dx/dt = -2\, m/s$ (દીવાલથી દૂર જાય છે),તેથી $2(3)(-2) + 2(4)(dy/dt) = 0$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $dy/dt = 1.5\, m/s$ મળે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $x_{cm} = x/2$ અને $y_{cm} = y/2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગના ઘટકો $v_{x,cm} = (1/2)(dx/dt) = (1/2)(-2) = -1\, m/s$ અને $v_{y,cm} = (1/2)(dy/dt) = (1/2)(1.5) = 0.75\, m/s$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનું મૂલ્ય $V_{cm} = \sqrt{v_{x,cm}^2 + v_{y,cm}^2} = \sqrt{(-1)^2 + (0.75)^2} = \sqrt{1 + 0.5625} = \sqrt{1.5625} = 1.25\, m/s$ થાય.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $(V_{cm})$ નીચે મુજબ છે:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 4 + 2 \times 0}{1 + 2} = \frac{4}{3}\, m/s$ (ઉપરની તરફ).
બંને દડાઓ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોવાથી,દરેક દડાનો પ્રવેગ $g$ નીચેની તરફ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{cm})$ નીચે મુજબ છે:
$a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times (-g) + 2 \times (-g)}{1 + 2} = -g$ (નીચેની તરફ).
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પાસે શરૂઆતનો ઉપરની તરફનો વેગ અને અચળ નીચેની તરફનો પ્રવેગ હોવાથી,તે પહેલા ઉપર જશે,મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરશે અને પછી નીચે આવશે.

(B) તંત્ર (હોડી + છોકરો) પર કોઈ બાહ્ય ક્ષૈતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે $M = 90\ kg$ એ હોડીનું દળ છે અને $m = 30\ kg$ એ છોકરાનું દળ છે.
હોડીની લંબાઈ $L = 3\ m$ છે.
ધારો કે હોડી છોકરાની વિરુદ્ધ દિશામાં $d$ જેટલું અંતર કાપે છે.
જ્યારે છોકરો હોડીની સાપેક્ષમાં $L$ જેટલું અંતર કાપે છે,ત્યારે પાણીની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાનાંતર $(L - d)$ થાય છે.
પાણીની સાપેક્ષમાં હોડીનું સ્થાનાંતર $-d$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m(L - d) + M(-d) = 0$.
$30(3 - d) - 90d = 0$.
$90 - 30d - 90d = 0$.
$90 = 120d$.
$d = \frac{90}{120} = 0.75\ m$.

(B) આ તંત્ર એક છેડે જોડાયેલા બે સમાન સળિયાઓનું બનેલું છે,જે લીસી આડી સપાટી પર રાખવામાં આવ્યું છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
તંત્ર પર લાગતા એકમાત્ર બાહ્ય બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (નીચેની તરફ) અને સપાટી દ્વારા લંબબળ (ઉપરની તરફ) છે.
આ બંને બળો શિરોલંબ દિશામાં લાગે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{ext, x} = M a_{cm, x}$.
કોઈ બાહ્ય આડું બળ ન હોવાથી $(F_{ext, x} = 0)$,આડી દિશામાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય છે $(a_{cm, x} = 0)$.
શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર છે,તેથી આડી દિશામાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે $(v_{cm, x} = 0)$.
આડી દિશામાં પ્રારંભિક વેગ અને પ્રવેગ બંને શૂન્ય હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આડી દિશામાં ગતિ કરશે નહીં.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ફક્ત શિરોલંબ દિશામાં જ ગતિ કરશે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો ગતિપથ એક સીધી ઉભી રેખા છે.

(B) ધારો કે પાટિયાનું જમીનની સાપેક્ષમાં ડાબી દિશામાં સ્થાનાંતર $x$ છે. સિસ્ટમ લીસી સપાટી પર હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય આડા બળો ન હોવાથી,સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાતું નથી.
બ્લોકનું દળ $m_1 = M$,માણસનું દળ $m_2 = 2M$ અને પાટિયાનું દળ $m_3 = 2M$ છે. સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_{total} = M + 2M + 2M = 5M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે: $\Delta X_{cm} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 + m_3 \Delta x_3}{M_{total}} = 0$.
ધારો કે પાટિયાનું સ્થાનાંતર ડાબી તરફ $x$ $(-x)$ છે.
માણસ પાટિયા પર છે,તેથી તેનું સ્થાનાંતર પણ $-x$ છે.
બ્લોક શરૂઆતમાં ગરગડીથી $3 \ m$ દૂર છે. જ્યારે તે ગરગડી સુધી પહોંચે છે,ત્યારે તે પાટિયાની સાપેક્ષમાં જમણી તરફ $3 \ m$ ખસે છે. જમીનની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = (3 - x)$ જમણી તરફ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $M(3 - x) + 2M(-x) + 2M(-x) = 0$.
$3M - Mx - 2Mx - 2Mx = 0$.
$3M = 5Mx$.
$x = \frac{3}{5} = 0.6 \ m$.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{20 \times 6 + 10 \times (-3)}{20 + 10} = \frac{120 - 30}{30} = \frac{90}{30} = 3 \, m/s$ (જમણી તરફ).
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ અથવા મહત્તમ સંકોચન સમયે,બ્લોક્સનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને બ્લોક્સ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ ($v_{cm} = 3 \, m/s$ જમણી તરફ) જેટલા સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
તેથી,આ ક્ષણો પર $10 \, kg$ અને $20 \, kg$ બંને બ્લોકનો વેગ $3 \, m/s$ (જમણી તરફ) હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
વિકલ્પ $(B)$ જણાવે છે કે $20 \, kg$ બ્લોકનો વેગ $3 \, m/s$ (જમણી તરફ) છે,જે સાચું છે.
વિકલ્પ $(C)$ જણાવે છે કે $10 \, kg$ બ્લોકનો વેગ $3 \, m/s$ (ડાબી તરફ) છે,જે ખોટું છે.
પ્રશ્નમાં ખોટો વિકલ્પ પસંદ કરવાનું કહ્યું હોવાથી,$(C)$ એ ખોટું વિધાન છે.