Motion of Centre of Mass Questions in Gujarati

(A) તંત્ર બે કણો $A$ અને $B$ નું બનેલું છે જે પરસ્પર આકર્ષણ બળ હેઠળ ગતિ કરે છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી $(F_{ext} = 0)$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય છે $(a_{cm} = 0)$.
આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,બંને કણો સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{cm, initial} = 0$ છે.
તેથી,કોઈપણ પછીની ક્ષણે,જ્યારે $A$ અને $B$ ની ઝડપ અનુક્રમે $v$ અને $2v$ હોય,ત્યારે પણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = 0$ જ રહેશે.

(C) વિસ્ફોટ એ આંતરિક બળની ઘટના છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,આંતરિક બળો તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિમાં ફેરફાર કરી શકતા નથી.
શેલ પર લાગતું બાહ્ય બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ) બદલાતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચેની તરફ $g$ જ રહે છે.
તેથી,શેલના ટુકડાઓનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તે જ પરવલયાકાર માર્ગ પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે જે માર્ગ પર અખંડ શેલ વિસ્ફોટ થયા વગર ગતિ કરત.

(C) ધારો કે માણસ $A$ નું દળ $m_A = 40 \, kg$,માણસ $B$ નું દળ $m_B = 60 \, kg$,અને પાટિયાનું દળ $m_P = 40 \, kg$ છે. પાટિયાની લંબાઈ $L = 120 \, cm$ છે.
નીચેની સપાટી લીસી હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય આડા બળો ન હોવાથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન નિશ્ચિત રહે છે.
ધારો કે પાટિયાના કેન્દ્રનું પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
શરૂઆતમાં,માણસ $A$,$x_A = -60 \, cm$ પર છે,માણસ $B$,$x_B = 0 \, cm$ પર છે,અને પાટિયાનું કેન્દ્ર $x_P = 0 \, cm$ પર છે.
તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{CM} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_P x_P}{m_A + m_B + m_P} = \frac{40(-60) + 60(0) + 40(0)}{40 + 60 + 40} = \frac{-2400}{140} = -\frac{120}{7} \, cm$ છે.
જ્યારે $A$,$B$ ને મળે છે,ત્યારે ધારો કે પાટિયું જમણી તરફ $d$ જેટલું ખસે છે. પાટિયાના કેન્દ્રનું નવું સ્થાન $x_P' = d$ છે.
$B$ જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેતું હોવાથી,$B$ નું સ્થાન $x_B' = 0$ છે. $B$ પાટિયાના કેન્દ્રમાં હતું,અને પાટિયું $d$ જેટલું ખસ્યું હોવાથી,$B$ હવે પાટિયાના જમણા છેડે છે. તેથી,$A$ ને પણ $B$ ને મળવા માટે પાટિયાના જમણા છેડે હોવું જોઈએ.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $m_A x_A' + m_B x_B' + m_P x_P' = m_A x_A + m_B x_B + m_P x_P$.
$A$ અને $B$ પાટિયાના જમણા છેડે મળતા હોવાથી,$x_A' = x_B' = d + 60$.
$40(d + 60) + 60(0) + 40(d) = -2400$.
$40d + 2400 + 40d = -2400 \Rightarrow 80d = -4800 \Rightarrow d = -60 \, cm$.
મળવાનું બિંદુ $x_B' = 0$ છે. પાટિયાનો જમણો છેડો $x_P' + 60 = -60 + 60 = 0$ પર છે. આમ,તેઓ પાટિયાના જમણા છેડે મળે છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(V_{COM})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{COM} = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
આપેલ છે:
$m_{1} = 10\,kg$,$v_{1} = 14\,m/s$
$m_{2} = 4\,kg$,$v_{2} = 0\,m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{COM} = \frac{10 \times 14 + 4 \times 0}{10 + 4}$
$V_{COM} = \frac{140}{14} = 10\,m/s$

(D) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{CM})$ શોધવાનું સૂત્ર $a_{CM} = \frac{F_{ext}}{M_{total}}$ છે.
જ્યારે બંને દડા હવામાં હોય,ત્યારે દરેક દડા પર લાગતું એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે નીચેની તરફ $mg$ લાગે છે.
ધારો કે બે દડાના દળ $m_1$ અને $m_2$ છે. કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext} = m_1g + m_2g = (m_1 + m_2)g$ થાય.
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = m_1 + m_2$ છે.
તેથી,$a_{CM} = \frac{(m_1 + m_2)g}{m_1 + m_2} = g$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ હોવાથી અને તે દળ,વેગ કે પ્રક્ષેપણના સમય પર આધારિત ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ હંમેશા નીચેની તરફ $g$ રહે છે.

(B) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. દોરી અદબનીય હોવાથી,બંને બ્લોક સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરે છે.
$53^{\circ}$ ના ઢાળ પરના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $mg \sin 53^{\circ} - T = ma$.
$37^{\circ}$ ના ઢાળ પરના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - mg \sin 37^{\circ} = ma$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $mg(\sin 53^{\circ} - \sin 37^{\circ}) = 2ma$.
$a = \frac{g(\sin 53^{\circ} - \sin 37^{\circ})}{2} = \frac{10(0.8 - 0.6)}{2} = \frac{10(0.2)}{2} = 1 \, m/s^2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ સદિશો $\vec{a}_1 = a(\cos 53^{\circ} \hat{i} + \sin 53^{\circ} \hat{j})$ અને $\vec{a}_2 = a(-\cos 37^{\circ} \hat{i} + \sin 37^{\circ} \hat{j})$ છે.
$\cos 53^{\circ} = \sin 37^{\circ} = 0.6$ અને $\sin 53^{\circ} = \cos 37^{\circ} = 0.8$ હોવાથી,$\vec{a}_1 = a(0.6 \hat{i} + 0.8 \hat{j})$ અને $\vec{a}_2 = a(-0.8 \hat{i} + 0.6 \hat{j})$ મળે.
$\vec{a}_{cm} = \frac{a}{2} [(0.6 - 0.8) \hat{i} + (0.8 + 0.6) \hat{j}] = \frac{a}{2} [-0.2 \hat{i} + 1.4 \hat{j}] = a(-0.1 \hat{i} + 0.7 \hat{j})$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{a}_{cm}| = a \sqrt{(-0.1)^2 + (0.7)^2} = 1 \sqrt{0.01 + 0.49} = \sqrt{0.5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, m/s^2$ થાય.

(B) સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય આડા બળો ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે પાટિયા દ્વારા કાપેલું અંતર $x$ છે,જે માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
માણસ જમીનની સાપેક્ષમાં $(\ell - x)$ જેટલું અંતર કાપે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $M(\ell - x) = (3M)x$.
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા: $\ell - x = 3x$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $4x = \ell$,જે $x = \frac{\ell}{4}$ આપે છે.
માણસ દ્વારા જમીનની સાપેક્ષમાં કાપેલું અંતર $\ell - x = \ell - \frac{\ell}{4} = \frac{3\ell}{4}$ છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
આ પ્રશ્નમાં,શેલ મુક્ત અવકાશમાં છે,જેનો અર્થ છે કે તેના પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી $(F_{ext} = 0)$.
તેથી,વિસ્ફોટ પછી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ વિસ્ફોટ પહેલાંના શેલના વેગ જેટલો જ રહેશે.
આપેલ પ્રારંભિક વેગ $v = 60\,m/s$ છે.
આમ,$v_{cm} = 60\,m/s$.

(B) તંત્ર લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી. તેથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે,એટલે કે $\Delta X_{cm} = 0$.
ધારો કે જ્યારે $A$ અને $C$ તેમના સ્થાનની અદલાબદલી કરે છે ત્યારે પાટિયું જમણી તરફ $x$ અંતર ખસે છે.
ધારો કે $A, B, C$ અને પાટિયાના પ્રારંભિક સ્થાન $x_A = -2\,m, x_B = 0\,m, x_C = 2\,m$ અને $x_P = 0\,m$ છે.
જ્યારે $A$ અને $C$ સ્થાનની અદલાબદલી કરે છે,ત્યારે પાટિયાની સાપેક્ષમાં તેમના નવા સ્થાન $x'_A = 2\,m$ અને $x'_C = -2\,m$ થાય છે. પાટિયું જમણી તરફ $x$ જેટલું ખસે છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં દરેક દળનું સ્થાનાંતર:
$\Delta x_A = (2 + x) - (-2) = 4 + x$
$\Delta x_B = x - 0 = x$
$\Delta x_C = (-2 + x) - 2 = -4 + x$
$\Delta x_P = x - 0 = x$
સૂત્ર $m_A \Delta x_A + m_B \Delta x_B + m_C \Delta x_C + m_P \Delta x_P = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$40(4 + x) + 50(x) + 60(-4 + x) + 90(x) = 0$
$160 + 40x + 50x - 240 + 60x + 90x = 0$
$240x - 80 = 0$
$x = 80/240 = 1/3\,m$.
$x$ ધન હોવાથી,પાટિયું (અને તેથી $B$ જે પાટિયા પર છે) $1/3\,m$ જમણી તરફ ખસશે.

(B) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. બ્લોક્સ દોરી વડે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરે છે.
તંત્ર માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T - mg \sin 37^{\circ} = ma$
$mg \sin 53^{\circ} - T = ma$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$mg(\sin 53^{\circ} - \sin 37^{\circ}) = 2ma$
$a = \frac{g(\sin 53^{\circ} - \sin 37^{\circ})}{2} = \frac{10(0.8 - 0.6)}{2} = \frac{10(0.2)}{2} = 1 \, m/s^2$.
પ્રથમ બ્લોકનો પ્રવેગ $\vec{a}_1 = a \angle 53^{\circ}$ (ઢાળ પર ઉપરની તરફ) અને બીજા બ્લોકનો પ્રવેગ $\vec{a}_2 = a \angle 37^{\circ}$ (ઢાળ પર નીચેની તરફ) છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $a_{cm} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(180^{\circ} - (53^{\circ} + 37^{\circ}))} = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2a^2 \cos(90^{\circ})} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
$a = 1 \, m/s^2$ મૂકતા,આપણને $a_{cm} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, m/s^2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે:
દળ $m_1 = 1 \text{ kg}$,વેગ $\vec{v}_1 = 2\hat{i} \text{ m/s}$.
દળ $m_2 = 2 \text{ kg}$,વેગ $\vec{v}_2 = 2 \cos(30^{\circ})\hat{i} - 2 \sin(30^{\circ})\hat{j} \text{ m/s}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{CM}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{v}_{CM} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{CM} = \frac{1(2\hat{i}) + 2(2 \cos 30^{\circ}\hat{i} - 2 \sin 30^{\circ}\hat{j})}{1 + 2}$
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$:
$\vec{v}_{CM} = \frac{2\hat{i} + 2(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} - 2 \cdot \frac{1}{2}\hat{j})}{3}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{2\hat{i} + 2(\sqrt{3}\hat{i} - 1\hat{j})}{3}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{2\hat{i} + 2\sqrt{3}\hat{i} - 2\hat{j}}{3}$
$\vec{v}_{CM} = \left( \frac{2 + 2\sqrt{3}}{3} \right)\hat{i} - \frac{2}{3}\hat{j} \text{ m/s}$.

(A) તંત્ર (ફુગ્ગો + વાંદરો) પર શિરોલંબ દિશામાં કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ નું સ્થાન બદલાતું નથી.
ધારો કે ફુગ્ગો $y$ જેટલા અંતરે નીચે ઉતરે છે. જેમ વાંદરો $L$ લંબાઈની દોરી પર ચઢે છે,તેમ વાંદરો જમીનની સાપેક્ષમાં $(L - y)$ જેટલા અંતરે ઉપર જાય છે.
$COM$ ના પ્રારંભિક સ્થાનને સંદર્ભ બિંદુ તરીકે લેતા,$COM$ સ્થિર રહેવાની શરત નીચે મુજબ છે:
$M \cdot y = m \cdot (L - y)$
$My = mL - my$
$My + my = mL$
$y(M + m) = mL$
$y = \frac{mL}{M + m}$
તેથી,ફુગ્ગો $\frac{mL}{M + m}$ જેટલા અંતરે નીચે ઉતરશે.

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,છોકરા-કાર્ટ તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે છે.
ધારો કે $m_1 = 20\, kg$ છોકરાનું દળ છે અને $m_2 = 80\, kg$ કાર્ટનું દળ છે.
ધારો કે છોકરો કાર્ટની સાપેક્ષમાં દીવાલ તરફ $10\, m$ ચાલે છે. ધારો કે કાર્ટ જમીનની સાપેક્ષમાં દીવાલથી દૂર $x$ અંતર ખસે છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં છોકરાનું દીવાલ તરફનું સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = 10 - x$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં કાર્ટનું દીવાલથી દૂરનું સ્થાનાંતર $\Delta x_2 = -x$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
$20(10 - x) + 80(-x) = 0$.
$200 - 20x - 80x = 0$.
$100x = 200 \implies x = 2\, m$.
જમીનની સાપેક્ષમાં છોકરાનું દીવાલ તરફનું કુલ સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = 10 - 2 = 8\, m$ છે.
દીવાલથી છોકરાનું અંતિમ અંતર $25 - 8 = 17\, m$ થશે.

(C) ધારો કે ફેંકવાનું બિંદુ $O$ છે અને મૂળ અવધિ $OQ = 4\, km$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $P$ છે,જે ફેંકવાના બિંદુથી $OP = 2\, km$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે.
વિસ્ફોટ આંતરિક બળોને કારણે થતો હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ પરવલયાકાર પથને અનુસરે છે અને $Q$ બિંદુએ જમીન પર પડે છે.
ધારો કે ભારે ભાગનું દળ $m_1 = 3M/4$ અને હલકા ભાગનું દળ $m_2 = M/4$ છે.
ભારે ભાગ $P$ થી શિરોલંબ નીચે પડે છે,તેથી તેનું સમક્ષિતિજ સ્થાન $x_1 = OP = 2\, km$ છે.
ધારો કે હલકા ભાગનું સમક્ષિતિજ સ્થાન $x_2 = OR$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{(3M/4) \times 2 + (M/4) \times x_2}{M}$
$4 = \frac{3}{2} + \frac{x_2}{4}$
$4 - 1.5 = \frac{x_2}{4}$
$2.5 = \frac{x_2}{4}$
$x_2 = 10\, km$.
આમ,હલકા ભાગની સમક્ષિતિજ અવધિ $10\, km$ છે.

(C) ધારો કે લાકડાનું દળ $m_1 = 0.03\, kg$ અને ગોળીનું દળ $m_2 = 0.02\, kg$ છે. કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 0.05\, kg$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું જમીનથી સ્થાન $Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.03 \times 100 + 0.02 \times 0}{0.05} = \frac{3}{0.05} = 60\, m$ મળે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.03 \times 0 + 0.02 \times 100}{0.05} = \frac{2}{0.05} = 40\, m/s$ મળે.
અથડામણ પછી,તંત્ર $60\, m$ ની ઊંચાઈએ $40\, m/s$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે એક કણ તરીકે ગતિ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = Y_{cm} + \frac{V_{cm}^2}{2g} = 60 + \frac{40^2}{2 \times 10} = 60 + 80 = 140\, m$ થાય.
ઇમારતની ટોચથી ઊંચાઈ $140\, m - 100\, m = 40\, m$ મળે.

(A) કણોના પ્રવેગ નીચે મુજબ છે:
$\vec{a}_A = -a\hat{i}$
$\vec{a}_B = a\hat{j}$
$\vec{a}_C = a\hat{i}$
$\vec{a}_D = -a\hat{j}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m_A\vec{a}_A + m_B\vec{a}_B + m_C\vec{a}_C + m_D\vec{a}_D}{m_A + m_B + m_C + m_D}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m(-a\hat{i}) + 2m(a\hat{j}) + 3m(a\hat{i}) + 4m(-a\hat{j})}{m + 2m + 3m + 4m}$
$\vec{a}_{cm} = \frac{-ma\hat{i} + 2ma\hat{j} + 3ma\hat{i} - 4ma\hat{j}}{10m}$
$\vec{a}_{cm} = \frac{2ma\hat{i} - 2ma\hat{j}}{10m} = \frac{a}{5}\hat{i} - \frac{a}{5}\hat{j} = \frac{a}{5}(\hat{i} - \hat{j})$

(A) આ સિસ્ટમમાં સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બે બ્લોક $A$ અને $B$ છે. જ્યારે સિસ્ટમને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક્સ પર લાગતા એકમાત્ર બળો આંતરિક સ્પ્રિંગ બળો છે.
ક્ષૈતિજ દિશામાં સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,સિસ્ટમ પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે $(F_{ext} = 0)$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો સિસ્ટમ પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે $(a_{cm} = 0)$.
જો સિસ્ટમ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ શૂન્ય રહે છે,જેનો અર્થ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.

(B) તંત્ર બે બ્લોક $A$ અને $B$ નું બનેલું છે,જેના દળ $m_A = 2\,kg$ અને $m_B = 3\,kg$ છે,જે લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ અચળ રહે છે.
બ્લોક $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_A = 10\,m/s$ છે અને બ્લોક $B$ સ્થિર છે,એટલે કે $v_B = 0\,m/s$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{cm} = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B}$
$v_{cm} = \frac{2 \times 10 + 3 \times 0}{2 + 3} = \frac{20}{5} = 4\,m/s$
કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કોઈપણ સમયે $t$ પર $4\,m/s$ જ રહેશે,જેમાં $t = 10\,s$ નો પણ સમાવેશ થાય છે.

(C) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણને કારણે પદાર્થો એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે,તેથી તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી $(F_{ext} = 0)$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય,તો ગતિ દરમિયાન દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ શૂન્ય જ રહે છે.
આપેલ છે કે પદાર્થો શરૂઆતમાં સ્થિર હતા,તેથી તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_1(0) + m_2(0) = 0$ છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = 0\,m/s$ થશે.

(C) તંત્ર (માણસ + હોડી) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે હોડીનું દળ $M = 500\,kg$ અને માણસનું દળ $m = 100\,kg$ છે.
હોડીની લંબાઈ $L = 9\,m$ છે.
ધારો કે પાણીની સાપેક્ષમાં હોડીનું સ્થાનાંતર $x$ છે.
જ્યારે માણસ એક છેડેથી બીજા છેડે જાય છે,ત્યારે હોડીની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાનાંતર $L = 9\,m$ થાય છે.
પાણીની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાનાંતર $(L - x) = (9 - x)$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ: $m(L - x) - Mx = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $100(9 - x) - 500x = 0$.
$900 - 100x - 500x = 0$.
$900 = 600x$.
$x = \frac{900}{600} = 1.5\,m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને સ્થિર રાખવા માટે હોડી માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી સ્થાનાંતર $1.5\,m$ માણસના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.

(A) એટવુડ મશીન માટે,પદાર્થોનો પ્રવેગ $a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $m_1$ માટે નીચેની દિશા ધન છે અને $m_2$ માટે ઉપરની દિશા ધન છે. તો $m_1$ નો પ્રવેગ $a_1 = a$ (નીચેની તરફ) અને $m_2$ નો પ્રવેગ $a_2 = -a$ (ઉપરની તરફ) થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{CM})$ નીચે મુજબ છે:
$a_{CM} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$a_{CM} = \frac{m_1(a) + m_2(-a)}{m_1 + m_2} = \frac{(m_1 - m_2)a}{m_1 + m_2}$
હવે,સમીકરણમાં $a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$ મૂકતા:
$a_{CM} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g \right)$
$a_{CM} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 g$

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તે જ સ્થાને રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta R_{cm} = 0$.
તેથી,$m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2 = 0$.
આપેલ છે કે પ્રથમ કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta r_1 = d$ લો.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $m_1 d + m_2 \Delta r_2 = 0$.
$\Delta r_2$ માટે ઉકેલતા: $\Delta r_2 = -\left( \frac{m_1}{m_2} \right) d$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બીજા કણને પ્રથમ કણની વિરુદ્ધ દિશામાં,એટલે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ જ,$\left( \frac{m_1}{m_2} \right) d$ જેટલા અંતરે ખસેડવો જોઈએ.

(C) તંત્ર પર લાગતું એકમાત્ર બળ પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હોવાથી,બે દળના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,તો તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે $m_1$ દ્વારા કાપેલું અંતર $x_1$ છે અને $m_2$ દ્વારા કાપેલું અંતર $x_2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $m_1 x_1 = m_2 x_2$ છે.
આપેલ છે કે $x_1 = x$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$m_1 x = m_2 x_2$.
$x_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x_2 = \frac{m_1 x}{m_2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે દળ $m_1 = 2m$ અને $m_2 = 6m$ છે.
એટવુડ મશીનમાં દળનો પ્રવેગ $a = \frac{|m_2 - m_1|}{m_1 + m_2} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$a = \frac{|6m - 2m|}{6m + 2m} g = \frac{4m}{8m} g = \frac{g}{2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ છે.
અહીં,$a_1 = a$ (ઉપરની તરફ) અને $a_2 = -a$ (નીચેની તરફ).
તેથી,$a_{cm} = \frac{m_1 a - m_2 a}{m_1 + m_2} = \frac{(2m - 6m) a}{2m + 6m} = \frac{-4m}{8m} a = -\frac{1}{2} a$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a_{cm}| = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \times \frac{g}{2} = \frac{g}{4}$ થાય.

(C) તંત્ર બે કણોનું બનેલું છે જે તેમના આંતરિક પરસ્પર આકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,કુલ બાહ્ય બળ $\vec{F}_{ext} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મો અનુસાર,જો તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય $(\vec{a}_{cm} = 0)$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,બંને કણો સ્થિર છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_{cm, initial} = 0$ છે.
તેથી,કોઈપણ ક્ષણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm} = 0$ રહેશે.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર $(\Delta R_{cm})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta R_{cm} = \frac{m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2}{m_1 + m_2}$.
અહીં આપેલ છે કે,$m_1 = m$,$\Delta r_1 = x$,$m_2 = m'$,$\Delta r_2 = 0$,અને $\Delta R_{cm} = \frac{x}{5}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{5} = \frac{m(x) + m'(0)}{m + m'}$.
$\frac{x}{5} = \frac{mx}{m + m'}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$):
$\frac{1}{5} = \frac{m}{m + m'}$.
$m + m' = 5m$.
$m' = 4m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m'}{m} = 4$ થાય છે.

(D) સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ કાર્ય કરતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે. સ્કેટર દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો ગુણોત્તર તેમના દળ (અથવા વજન) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે સ્કેટર $A$ અને $B$ ના વજન અનુક્રમે $m_A$ અને $m_B$ છે,જ્યાં $m_A/m_B = 5/7$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર અનુક્રમે $x_A$ અને $x_B$ છે. તેઓ મળે છે,તેથી $x_A + x_B = 6\,m$.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_A x_A = m_B x_B$.
ગુણોત્તર મૂકતા,$5 x_A = 7 x_B$.
$x_B = 6 - x_A$ હોવાથી,આપણને મળે છે $5 x_A = 7(6 - x_A)$.
$5 x_A = 42 - 7 x_A \implies 12 x_A = 42 \implies x_A = 3.5\,m$.
તેથી $x_B = 6 - 3.5 = 2.5\,m$.

(B) કણો પરસ્પર આકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે $(F_{ext} = 0)$.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{CM})$ અચળ રહે છે.
આપેલ છે: $m_1 = 1\,kg$,$x_1 = 2\,m$,$v_1 = 5\,m/s$; $m_2 = 1\,kg$,$x_2 = 8\,m$,$v_2 = -3\,m/s$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પ્રારંભિક સ્થાન $X_{CM}(0) = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} = \frac{(1)(2) + (1)(8)}{1 + 1} = \frac{10}{2} = 5\,m$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{CM} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} = \frac{(1)(5) + (1)(-3)}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1\,m/s$ છે.
સમય $t$ પર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{CM}(t) = X_{CM}(0) + v_{CM} \cdot t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1\,s$ સમયે,$X_{CM}(1) = 5 + (1)(1) = 6\,m$ થાય.

(D) તંત્ર બે કણો $A$ અને $B$ નું બનેલું છે જે પરસ્પર આકર્ષણ બળ હેઠળ ગતિ કરે છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,બંને કણો $A$ અને $B$ સ્થિર છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{cm, initial} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહેતો હોવાથી,કોઈપણ ક્ષણે,જેમાં $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $v$ અને $2v$ હોય ત્યારે પણ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $0$ જ રહેશે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\overrightarrow{v}_{com} = \frac{m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2}}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m_1 = m_2 = m$ હોવાથી,$\overrightarrow{v}_{com} = \frac{m(\overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2})}{2m} = \frac{\overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2}}{2} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = (\hat{i} + \hat{j}) \ m/s$ મળે.
તે જ રીતે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\overrightarrow{a}_{com} = \frac{m_1 \overrightarrow{a_1} + m_2 \overrightarrow{a_2}}{m_1 + m_2} = \frac{\overrightarrow{a_1} + \overrightarrow{a_2}}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a_1} = (3\hat{i} + 3\hat{j}) \ m/s^2$ અને $\overrightarrow{a_2} = 0$,તેથી $\overrightarrow{a}_{com} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j}}{2} = 1.5(\hat{i} + \hat{j}) \ m/s^2$ મળે.
અહીં પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}_{com} = (\hat{i} + \hat{j})$ અને પ્રવેગ સદિશ $\overrightarrow{a}_{com} = 1.5(\hat{i} + \hat{j})$ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુરેખ રેખા પર ગતિ કરશે.

(C) તંત્ર બે કણો $m_1$ અને $m_2$ નું બનેલું છે જે આંતરિક આકર્ષણ બળ દ્વારા એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરે છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{CM} = F_{ext} / (m_1 + m_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{CM} = 0$ છે.
$a_{CM} = 0$ અને $v_{CM} = 0$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમગ્ર ગતિ દરમિયાન સ્થિર રહે છે.

(V) $CM$ ની ઝડપ $V$ જ રહેશે.
બાળક $V$ વેગથી ગતિ કરતી ટ્રોલી પર ગમે તે રીતે દોડી રહ્યું છે. બાળકની દોડવાની ક્રિયા એ (ટ્રોલી + બાળક) તંત્રમાં આંતરિક બળો ઉત્પન્ન કરે છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ નો વેગ ત્યારે જ બદલાય છે જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું હોય.
ભોંયતળિયું લીસું (ઘર્ષણરહિત) હોવાથી અને તંત્ર પર અન્ય કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,(ટ્રોલી + બાળક) તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
તેથી,ટ્રોલી પર બાળકની ગતિ ગમે તે હોય,તંત્રના $CM$ નો વેગ બદલાતો નથી. $CM$ ની ઝડપ $V$ જ રહેશે.

(N/A) એક લંબચોરસ બ્લોકને $\theta$ ખૂણે રહેલા ઢળતા સમતલ $AB$ પર કોઈ પણ બાજુની હિલચાલ વગર નીચે સરકતો દર્શાવવામાં આવ્યો છે.
આ ગતિમાં,બ્લોક સમતલ પર એવી રીતે નીચે ગતિ કરે છે કે જેથી પદાર્થના તમામ કણો (દા.ત.,$P_1$ અને $P_2$) એકસાથે ગતિ કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સમયે,પદાર્થના દરેક કણનો વેગ સમાન હોય છે.
દ્રઢ પદાર્થની આવી ગતિને શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ (pure translational motion) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિમાં,કોઈપણ સમયે પદાર્થના તમામ કણો સમાન વેગ ધરાવે છે.

(N/A) $(1)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ નક્કી કરવા માટે કણોના તંત્રના આંતરિક બળોના જ્ઞાનની જરૂર નથી; માત્ર બાહ્ય બળો જાણવા પૂરતા છે.
$(2)$ આ સમીકરણ મેળવવા માટે આપણે કણોના તંત્રના પ્રકારને સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર નહોતી. આ તંત્ર કણોનો સમૂહ હોઈ શકે છે જેમાં તમામ પ્રકારની આંતરિક ગતિ હોઈ શકે છે,અથવા તે એક દ્રઢ પદાર્થ હોઈ શકે છે જે શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ અથવા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિનું મિશ્રણ ધરાવે છે.
$(3)$ તંત્ર ગમે તે હોય અને તેના વ્યક્તિગત કણોની ગતિ ગમે તેવી હોય,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા $M\vec{A} = \vec{F}_{ext}$ મુજબ ગતિ કરે છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,પરવલયાકાર માર્ગે ગતિ કરતો એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ હવામાં અધવચ્ચે વિસ્ફોટ પામીને ટુકડાઓમાં વહેંચાઈ જાય છે.
વિસ્ફોટ માટે જવાબદાર બળો આંતરિક બળો છે,અને તે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
કુલ બાહ્ય બળ,જે પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,તે વિસ્ફોટ પહેલાં અને પછી સમાન રહે છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બાહ્ય બળની અસર હેઠળ તે જ પરવલયાકાર માર્ગ પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે જે માર્ગે તે વિસ્ફોટ ન થયો હોત તો ગતિ કરત.

(B) સમીકરણ $M\vec{A} = \vec{F}_{ext}$ એ કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ દર્શાવે છે.
અહીં,$M$ એ તંત્રનું કુલ દળ છે,$\vec{A}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ છે,અને $\vec{F}_{ext}$ એ તંત્ર પર લાગતા તમામ બાહ્ય બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
આ સમીકરણ કણોના તંત્ર પર લાગુ પાડવામાં આવેલા ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યું છે,જ્યાં ન્યુટનના ત્રીજા નિયમને કારણે આંતરિક બળો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
તેથી,તે કણોના તંત્ર માટે ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમનું સ્વરૂપ છે.

$n$ કણોની એક સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $m_{1}, m_{2}, m_{3}, \ldots, m_{n}$ દળ ધરાવતા કણોના સ્થાન સદિશો ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે અનુક્રમે $\overrightarrow{r_{1}}, \overrightarrow{r_{2}}, \overrightarrow{r_{3}}, \ldots, \overrightarrow{r_{n}}$ છે.
જો $\overrightarrow{R}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ હોય,તો:
$\overrightarrow{R} = \frac{m_{1} \overrightarrow{r_{1}} + m_{2} \overrightarrow{r_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{r_{n}}}{m_{1} + m_{2} + \ldots + m_{n}}$
ધારો કે $M = \sum_{i=1}^{n} m_{i}$ એ સિસ્ટમનું કુલ દળ છે. તેથી:
$M \overrightarrow{R} = m_{1} \overrightarrow{r_{1}} + m_{2} \overrightarrow{r_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{r_{n}} \quad \ldots (1)$
સિસ્ટમનું દળ સમય સાથે બદલાતું નથી તેમ ધારીને,સમીકરણ $(1)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$M \frac{d \overrightarrow{R}}{d t} = m_{1} \frac{d \overrightarrow{r_{1}}}{d t} + m_{2} \frac{d \overrightarrow{r_{2}}}{d t} + \ldots + m_{n} \frac{d \overrightarrow{r_{n}}}{d t}$
અહીં $\frac{d \overrightarrow{R}}{d t} = \overrightarrow{V}$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ) અને $\frac{d \overrightarrow{r_{i}}}{d t} = \overrightarrow{v_{i}}$ ($i$-માં કણનો વેગ) હોવાથી,આપણને મળે છે:
$M \overrightarrow{V} = m_{1} \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \overrightarrow{v_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{v_{n}}$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ:
$\overrightarrow{V} = \frac{m_{1} \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \overrightarrow{v_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{v_{n}}}{M} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} \overrightarrow{v_{i}}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$

(N/A) ધારો કે એક તંત્ર $n$ કણોનું બનેલું છે,જેમના દળ $m_1, m_2, \dots, m_n$ છે અને તેઓ અનુક્રમે $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n$ વેગથી ગતિ કરે છે.
તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{P}$ એ બધા કણોના વ્યક્તિગત વેગમાનના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \dots + \vec{p}_n = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \dots + m_n \vec{v}_n$ --- $(1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{V}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\vec{V} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \dots + m_n \vec{v}_n}{m_1 + m_2 + \dots + m_n}$
ધારો કે તંત્રનું કુલ દળ $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ છે. તેથી:
$\vec{V} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \dots + m_n \vec{v}_n}{M}$
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$M \vec{V} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \dots + m_n \vec{v}_n$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\vec{P} = M \vec{V}$
આમ,કણોના તંત્રનું કુલ વેગમાન એ તંત્રના કુલ દળ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગના ગુણાકાર બરાબર છે.

(N/A) કણોના તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{p} = M\vec{v}_{cm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ તંત્રનું કુલ દળ છે અને $\vec{v}_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\vec{p}}{dt} = M \frac{d\vec{v}_{cm}}{dt}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{d\vec{v}_{cm}}{dt}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{d\vec{p}}{dt} = M\vec{a}_{cm}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અનુસાર,તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$ છે.
તેથી,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}_{ext}$
આ કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ છે.
વિધાન: કણોના તંત્ર પર લાગતું બાહ્ય બળ એ તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.

(N/A) જો કોઈ બાહ્ય બળો ન હોય,તો દ્વિ તારા પ્રણાલીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મુક્ત કણની જેમ ગતિ કરે છે,જે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.
સમાન દળ ધરાવતા બે તારાઓના ગતિપથ પણ આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે. તેઓ જટિલ દેખાય છે.
જો આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભ ફ્રેમમાં જઈએ,તો આપણને જોવા મળે છે કે ત્યાં બંને તારાઓ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરી રહ્યા છે,જે સ્થિર છે. તારાઓના સ્થાન એકબીજાથી વ્યાસાંત વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ,જે આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
આપણી સંદર્ભ ફ્રેમમાં,તારાઓના ગતિપથ નીચે મુજબના સંયોજન છે:
$(i)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સીધી રેખામાં સમાન ગતિ,અને
$(ii)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ તારાઓની વર્તુળાકાર કક્ષાઓ.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ને તે બિંદુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં તંત્રનું કુલ દળ કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે જોડાયેલી સંદર્ભ ફ્રેમમાં,વ્યાખ્યા મુજબ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પોતે સ્થિર હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ તેના સ્થાન સદિશના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી,જો આ ફ્રેમમાં $CM$ નું સ્થાન અચળ હોય,તો તેનો વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ફ્રેમમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $0 \ m/s$ છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે।
કણોના તંત્રમાં, દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ એ બધા જ વ્યક્તિગત કણોના વેગના ભારિત સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $V_{cm} = \frac{\sum m_i v_i}{\sum m_i}$.
તંત્રમાં રહેલા વ્યક્તિગત કણો આંતરિક ગતિ, ભ્રમણ અથવા કંપનને કારણે અલગ-અલગ વેગ ધરાવી શકે છે।
ઉદાહરણ તરીકે, એક ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થમાં, ભ્રમણાક્ષથી અલગ-અલગ અંતરે રહેલા કણો અલગ-અલગ રેખીય વેગ ધરાવે છે, જ્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર હોઈ શકે અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરતું હોઈ શકે છે।

(B) ના,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહેશે.
કારણ કે ગોળો સ્થિર છે અને વાયુના અણુઓના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી,તેથી ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $\vec{F}_{ext} = 0$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
ગોળો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહેશે,એટલે કે $\vec{v}_{cm} = 0$.

(B) એક પરિમાણમાં ગતિ કરતા કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{CM})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + m_3 v_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
આપેલ છે:
$m_1 = 5 \, kg, v_1 = 5 \, m/s$
$m_2 = 4 \, kg, v_2 = 4 \, m/s$
$m_3 = 2 \, kg, v_3 = 2 \, m/s$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{CM} = \frac{(5 \times 5) + (4 \times 4) + (2 \times 2)}{5 + 4 + 2}$
$v_{CM} = \frac{25 + 16 + 4}{11}$
$v_{CM} = \frac{45}{11} \approx 4.09 \, m/s$

(A) કોઈપણ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ માત્ર તંત્ર પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ પર આધાર રાખે છે,પછી ભલે તે બળ ગમે તે બિંદુએ લાગતું હોય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{F_{net}}{M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સળિયા પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ એ લગાડવામાં આવેલું બળ $F$ છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{F}{M}$ થશે.
આ પ્રવેગ બળ જે ખૂણે $\theta$ લગાડવામાં આવે છે તેનાથી સ્વતંત્ર છે,કારણ કે સમગ્ર બળ $F$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થાનાંતરિત ગતિમાં ફાળો આપે છે.

(A) કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તંત્ર પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ દ્વારા નક્કી થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{ext} = M_{total} \cdot a_{cm}$.
અહીં,સળિયાનું કુલ દળ $M$ છે અને લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $F$ છે.
તેથી,$F = M \cdot a_{cm}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગ માટે ઉકેલતા,આપણને $a_{cm} = F/M$ મળે છે.

(B) કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(V_{cm})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
આ પ્રશ્નમાં,કણો એકબીજાની તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે. તેમની સાપેક્ષ ગતિને ધ્યાનમાં લેવા માટે,આપણે $m_1$ ની દિશાને ધન અને $m_2$ ની દિશાને ઋણ (અથવા તેનાથી ઉલટું) ગણીએ.
જો $v_1$ એ $m_1$ નો ધન દિશામાં વેગ હોય,તો $v_2$ ($m_1$ તરફ ગતિ કરતો હોવાથી) ઋણ દિશામાં હશે,એટલે કે $-v_2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 (-v_2)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(V_{cm})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{cm} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
આ પ્રશ્નમાં,કણો એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે. ધારો કે $m_1$ ની દિશા ધન છે. તો $m_1$ નો વેગ $\vec{v}_1 = v_1$ થશે અને $m_2$ નો વેગ $\vec{v}_2 = -v_2$ થશે (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_{cm} = \frac{m_1(v_1) + m_2(-v_2)}{m_1 + m_2}$
$V_{cm} = \frac{m_1v_1 - m_2v_2}{m_1 + m_2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે બે કણોના સ્થાન દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની સાપેક્ષમાં $x_1$ અને $x_2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_1 x_1 = m_2 x_2$ થાય.
જ્યારે પ્રથમ કણને $CM$ તરફ $x$ અંતર ખસેડવામાં આવે,ત્યારે તેનું નવું સ્થાન $x_1' = x_1 - x$ થાય.
$CM$ ને તે જ સ્થાને રાખવા માટે,બીજા કણને $CM$ તરફ $x'$ અંતર ખસેડવો પડે જેથી $m_1(x_1 - x) = m_2(x_2 - x')$ થાય.
આ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,$m_1 x_1 - m_1 x = m_2 x_2 - m_2 x'$ મળે.
કારણ કે $m_1 x_1 = m_2 x_2$ છે,તેથી આ પદો ઉડી જશે અને $-m_1 x = -m_2 x'$ વધશે.
તેથી,$x' = \frac{m_1 x}{m_2}$ મળે.

(A) કોઈપણ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તંત્ર પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ છે: $F_{ext} = M_{total} \cdot a_{cm}$.
અહીં,સળિયાનું કુલ દળ $M$ છે અને લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $F$ છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$a_{cm} = \frac{F_{ext}}{M_{total}} = \frac{F}{M}$.
આ પરિણામ બળ કયા બિંદુએ લગાડવામાં આવ્યું છે તેના પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે બળ $F$ સમગ્ર દળ $M$ પર કાર્ય કરીને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાનાંતરીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.